13.3.1 等腰三角形的性质
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13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
A．BD＝CE C．DA＝DE
图 13-3-8 B．AD＝AE D．BE＝CD
6．[2017·天津]如图 13-3-9，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两
条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP＋EP 最小值的是( B )
A．BCBΒιβλιοθήκη CEC．ADD．AC
图 13-3-9
类型之二 运用方程思想进行等腰三角形的角度计算 如图 13-3-1，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD＝BD，AB＝AC＝
CD，求∠BAC 的度数．
图 13-3-1
解：∵AD＝BD，∴设∠BAD＝∠DBA＝x°. ∵AB＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°， ∠C＝∠DBA＝x°，∴∠BAC＝3x°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x°＝180°， 解得 x°＝36°， ∴∠BAC＝3x°＝108°. 【点悟】 根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，得到各角之间的关 系式，再列方程求解，是解决等腰三角形的角度计算问题的基本方法．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
1．等腰三角形的概念
知识管 理
定 义：有 两边相等的三角形叫做等腰三角形．
相关定义：(1)相等的两条边叫做等腰三角形的 腰 ，另一条边叫做 底边；
(2)两腰所夹的角叫做等腰三角形的 顶角 ，底边与腰的夹角叫做 底角 ．
9．如图 13-3-12，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图 13-3-12
13.3.1等腰三角形的判定(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-等腰三角形的定义：强调等腰三角形两边相等的特征，使学生能够准确地识别等腰三角形。
-等腰三角形的性质：重点讲解两底角相等，底边上的中线、高线、角平分线互相重合的性质，并让学生通过实际作图加深理解。
-等腰三角形的判定定理：详细讲解两边相等、两角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的判定条件，并通过例题巩固。
同学们，今天我们将要学习的是《等腰三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过两边相等的三角形？”比如，你们见过的等腰三角形的物体或者图案。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的判定方法。
首先，我发现通过提问生活中的实例来导入新课，能够很好地激发学生的兴趣和好奇心。他们对于等腰三角形的概念和性质产生了浓厚的兴趣，这为后续的教学奠定了良好的基础。在今后的教学中，我将继续关注学生的生活实际，将理论知识与生活实际相结合，提高学生的学习兴趣。
其次，在新课讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释等腰三角形的判定定理和性质，并通过案例分析和步骤分解来帮助学生理解难点。从学生的反馈来看，这种方法效果还不错。但在讲解过程中，我意识到对于一些基础较弱的学生，可能还需要更加细致和耐心的指导。因此，在接下来的教学中，我会针对这部分学生进行个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
在学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生在解决问题的过程中学会思考和分析。但从学生的讨论成果来看，我觉得自己在引导和启发方面还有待提高。在今后的教学中，我将加强对学生的引导，提出更具启发性的问题，帮助他们深入挖掘问题的本质。
最后，通过这次教学，我认识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我会不断总结经验教训，努力提高自己的教学水平，以期在等腰三角形这一章节的教学中取得更好的效果。同时，我也会关注学生的学习进度和反馈，及时调整教学策略，确保每一位学生都能掌握等腰三角形的判定和应用。
1.教学重点
-等腰三角形的定义：强调等腰三角形两边相等的特征，使学生能够准确地识别等腰三角形。
-等腰三角形的性质：重点讲解两底角相等，底边上的中线、高线、角平分线互相重合的性质，并让学生通过实际作图加深理解。
-等腰三角形的判定定理：详细讲解两边相等、两角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的判定条件，并通过例题巩固。
同学们，今天我们将要学习的是《等腰三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过两边相等的三角形？”比如，你们见过的等腰三角形的物体或者图案。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的判定方法。
首先，我发现通过提问生活中的实例来导入新课，能够很好地激发学生的兴趣和好奇心。他们对于等腰三角形的概念和性质产生了浓厚的兴趣，这为后续的教学奠定了良好的基础。在今后的教学中，我将继续关注学生的生活实际，将理论知识与生活实际相结合，提高学生的学习兴趣。
其次，在新课讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释等腰三角形的判定定理和性质，并通过案例分析和步骤分解来帮助学生理解难点。从学生的反馈来看，这种方法效果还不错。但在讲解过程中，我意识到对于一些基础较弱的学生，可能还需要更加细致和耐心的指导。因此，在接下来的教学中，我会针对这部分学生进行个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
在学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生在解决问题的过程中学会思考和分析。但从学生的讨论成果来看，我觉得自己在引导和启发方面还有待提高。在今后的教学中，我将加强对学生的引导，提出更具启发性的问题，帮助他们深入挖掘问题的本质。
最后，通过这次教学，我认识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我会不断总结经验教训，努力提高自己的教学水平，以期在等腰三角形这一章节的教学中取得更好的效果。同时，我也会关注学生的学习进度和反馈，及时调整教学策略，确保每一位学生都能掌握等腰三角形的判定和应用。
13.3.1等腰三角形的性质
等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （× ）
练习：在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠ B和∠ C的度数
A
B
C D
思考、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
为8cm,则它的周长是 19 cm 。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是什么？
A
B
D
C
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
B D C
看一看 △ABC有什么特点?
C A
B
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角
腰
腰
底角
底角
B
底边
C
小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它 的周长是 ； 10 cm
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 10 cm 或 11 cm 为4cm,则它的周长是 ； 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D BD＝CD AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
A
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （× ）
练习：在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=26°，求∠ B和∠ C的度数
A
B
C D
思考、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
为8cm,则它的周长是 19 cm 。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是什么？
A
B
D
C
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
B D C
看一看 △ABC有什么特点?
C A
B
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角
腰
腰
底角
底角
B
底边
C
小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它 的周长是 ； 10 cm
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长 10 cm 或 11 cm 为4cm,则它的周长是 ； 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长
A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中 AB＝AC C B D BD＝CD AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
A
第13章 13.3 13.3. 1 等腰三角形的性质
第 7 题图
8. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
为( B )
A．6
B．8
C．10
D．12
第 4 题图
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 2:12:57 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
8. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
为( B )
A．6
B．8
C．10
D．12
第 4 题图
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 2:12:57 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
03-第十三章13.3.1等腰三角形
例3 如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.
图13-3-1-2 证明 ∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形.
∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴BE=OE,CF=OF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 点拨 本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的关系,进 而运用等腰三角形的判定定理(等角对等边)得出线段之间的关系,这是 证几何题中常用的方法.
9.(2018广西桂林中考)如图13-3-1-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平
分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是
.
答案 3
图13-3-1-8
解析 因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;因为∠A=36°,所以∠ABC =∠C=72°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=36°,因为∠DBA=∠A =36°,所以△ABD为等腰三角形;又因为∠BDC=∠A+∠ABD=72°,所以 ∠BDC=∠C,所以△BDC为等腰三角形,故答案为3.
题型三 等腰三角形判定与性质的综合应用 例3 如图13-3-1-5所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,且相交于O点.
图13-3-1-5 (1)试说明△OBC是等腰三角形; (2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
人教版八年级数学上册第十三章 1 13. 第1课时 等腰三角形的性质
1
2
2.等腰三角形的性质及其应用 【例2如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.
分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证 明.
1
2
证明:连接AD(图略). ∵D为BC的中点,AB=AC, ∴AD平分∠BAC. 又DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点拨:此题解法灵活,也可以直接利用等腰三角形的性质证明 △BDE≌△CDF.另外,作底边上的中线(或顶角的平分线、底边上的 高)是解决与等腰三角形有关问题时常用的辅助线.
相等
(简写成“等边对等角”);
性质2:等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、底边
上的高相互重合(简写成“三线合一”).
2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上
的高)所在的 直线 就是它的对称轴.
知识梳理 预习自测
1.下列说法正确的是( ). A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍 D.等腰三角形的两个底角相等
.
66°
关闭
答案
1
2
1.等腰三角形的边、角的计算 【例1】 已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这 个等腰三角形各角的度数. 分析:应考虑3种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)° 和(3x-5)°均不是顶角. 解:若2x-2=3x-5,得x=3. 故三角形的三个内角分别为4°,4°,172°; 若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27. 故三角形的三个内角分别为52°,52°,76°; 若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24. 故三角形的三个内角分别为46°,67°,67°.
13.3.1等腰三角形的性质
等腰三角形的性质:
A
性质1：等腰三角形的两个底角
相等 (简写“等边对等角”)
在△ABC中
∵AB=AC
B
C
∴ ∠B＝∠C (等边对等角)
注意：
在一个 三角形中,等边对等角.
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为___7_5_°, 30_°_；
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 为__7_0_°__,_4_0_°__或__5_5°__,_5_5_°；
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它有什么性质吗?
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
A
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
分析：1.如何证明两个角相等？
B
C
D
2.如何构造两个全等的三角形？
方法一：作底边上的中线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
B
D
C
∴∠B=∠C= 180°－∠BAC=40° 又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAD=∠CAD=50°
证明：作底边的中线AD，则BD=CD
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )
B DC
BD=CD ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD ().
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
第一课时
有两条边相等的三角形叫 等腰三角形.
初中数学13.3.1等腰三角形
定边义：：等两腰条三边角相形等中的,相三等
角的形两叫条做边等叫腰做三腰角，形。
另一条边叫做底边.
腰
腰
底
角：等腰三角形中,两腰
的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
顶角
腰
腰
底角 底
理解定义
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
A
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一个都可以得其它两个条件.
B
D
C
性质应用
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为__7_5_°_ , 30°__；
⒉等腰三角形一个角为70°,°__,5_5_°_；
则它的周长是 10 cm 或 11 cm
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm
。
重合的线段 AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C.
A
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
大胆猜想
B
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为__3_5_°__,35°__。
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
⌒
x
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
D
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
角的形两叫条做边等叫腰做三腰角，形。
另一条边叫做底边.
腰
腰
底
角：等腰三角形中,两腰
的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
顶角
腰
腰
底角 底
理解定义
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
A
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一个都可以得其它两个条件.
B
D
C
性质应用
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为__7_5_°_ , 30°__；
⒉等腰三角形一个角为70°,°__,5_5_°_；
则它的周长是 10 cm 或 11 cm
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm
。
重合的线段 AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C.
A
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
大胆猜想
B
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为__3_5_°__,35°__。
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
⌒
x
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
D
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,