华人教育数学模拟试卷
华人教育数学模拟试卷(三)
华人教育数学模拟试卷（三）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数631)1(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ii的值是（）A．i B．－i C．1 D．－12．函数y＝f（x）有反函数y＝f－1（x），把y＝f（x）的图像在直角坐标平面内绕原点顺时针方向旋转90°后得到另一个函数的图像，则另一个函数是（）A．y＝f－1（－x）B．y＝f－1（x）C．y＝－f－1（－x）D．y＝－f－1（x）3．已知奇函数f（x）在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）4．设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么（）A．与同向，且∣∣＞∣∣B．与同向，且∣∣＜∣∣C．与反向，且∣∣＞∣∣D．∥5．函数y＝－3－x与函数y＝－log3（－x）的图像（）A．关于x轴对称B．关于直线x＋y＝0对称C．关于y轴对称D．关于直线x－y＝0对称6．ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，EF是AB上的一动线段，∣EF∣＝b（b＜a，a，b为定值），若P是A1D1上的定点，（P不与D1重合）而Q在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（）A．是变量且有最大奉B．是变量但无最大值C．是变量且有最小值D．是常量7．直线ax＋by－1＝0的倾斜角是直线3x－y－33＝0的倾斜角的2倍，且它在y轴上的截距为1，则（）A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝－1C．a＝1，b＝3D．a＝－1，b＝－38．{a n}的等差数列，S10＞0，S11＜0，则使a n＜0最小的n值为（）A ．5B ．6C ．7D ．89．“ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件10．已知b an n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→22lim 2，则常数a ，b 的值分别为（ ） A ．a ＝2，b ＝－4B ．a ＝－2，b ＝4C ．a ＝21，b ＝－4D ．a ＝－21，b ＝4111．设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为2πR，B 与C 的球面距离为3πR，则球O 在二面角B －OA －C 内的部分球面的面积是（ ） A ．2π31R B ．2π91R C ．2π32RA ．2π92R 12．设函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝－943π9π2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则使g （x ）≥f （x ）的x 的取值范围是（ ）A ．[0，π]B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3,2π C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π2,3π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π5,6π 第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数是 ．14．已知随机变量ξ的概率分布为：则P{ξ＝3}＝．15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有不同的参赛方案种(用数字作答)．16．斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到面BCC 1B 1的距离是a ，则该三棱柱的体积是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图4所示，在四面体P －ABC 中，面P AC ⊥底面ABC ，P A ＝BC ＝a ，PC ＝AB ＝2a ，∠APC ＝60°，D 为AC 的中点．图4（1）求证：P A ⊥AB ；（2）求二面角P －BD －A 的正切值；（3）求点A 到平面PBD 的距离．18．（本小题满分12分）已知动点P 与双曲线12322=-y x 的两个焦点所连线段的长度之和为定值．且这两条线段夹角余弦的最小值为91-． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得Q 与P 点轨迹上的点的最近距离为1．19．（本小题满分12分） 设函数f (x )是定义在[]1,1-上的奇函数，且对任意a 、b ∈[]1,1-，当0≠+b x 时，都有0)()(>++ba b f a f（1）若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小；（2）解不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121x f x f ；（3）如果g (x )＝f (x －c )和h (x )＝f (x －c 2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．20．（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为31和41，求：（1）至多有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为10099，至少需要多少个乙这样的人．21．（本小题满分12分）已知f (x )是以3为周期的奇函数，f (1)＝1，向量m ＝(a －sin θ，－1)，n ＝)cos 2,1(θb ，且m ⊥n ．（1）若a ＝b ＝22，求⎪⎭⎫ ⎝⎛θθcos sin 1f 的值；（2）若b ＝a 22-，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈2π,2πθ，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分14分）若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项和，对任意正整数n 有a n ＝,232+-n 4B n －12A n ＝13n ． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设有抛物线列C 1，C 2，…，C n 抛物线C n （n ∈N *)的对称轴平行于y 轴，顶点为(a n ，b n )，且通过点D n(0，n 2＋1)，设过点D n 且与抛物线C n 相切的直线的斜率为k n ，求极限nn n n b a k k k k ++++∞→ 321lim；（3）设集合X ＝{x ∣x ＝2a n ，n ∈N *}，Y ＝{y ∣y ＝4b n ，n ∈N *}，若等差数列{c n }的任一项c n ∈X ∩Y ，c 1是X ∩Y 的最大数，且12526510-<<-c ，求{c n }的通项公式．答案解析：一、选择题1．B 原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=π36isin π36cos 2π46isin π46cos 266i 2πsin i 2πcos -=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2．D y ＝f()x 顺时针转90°后图像与y ＝f－1(x ）关于x 轴对称)(1x f y --=∴另一图像为3．D βαβα->∴>+2π,2π0cos sin >>∴βα上在]0,1[)(-x f上在]1,0[)(x f∴)(cos )(sin ,βαf f <∴4．A)28()32(b a b a BC AB AC --++=+=b a +-=6则 )28(23312b a b a --=--=+=又有.||||,23BC AD BC AD BC AD >∴=同向与即5．D 像关于而原函数与反函数的图的反函数为),(log 33x y yx --=-=-对称x y =对称的图像关于与函数x y x y y x =--=-=∴-)(log 33.6．D b EF P =||,是定点为定值EFP S ∆∴又Q 在C 1D 1上滑动且C 1D 1//面EFP ∴Q 到面EFP 的距离为定值∴V EFPQ 为定值.7．A 由题设可知01=-+by ax 的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为111,3=-=-∴bb a.1,3==∴b a8．B02)(106510>+=a a S.0,0,02)(11566611><∴<+=a a a a S9．A 若方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线即,122表示双曲线=+bc y a c x0,02<<ab abc 得只要∴“ab ＜0”是必要条件若ab ＜0，c 可等于0∴“ab ＜0”不是充分条件.10．Ab n ann a n =+--∞→22)2(2lim⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==∴=-=-42,1202b a b a a 则 11．C 2π,RC A B A 的球面距离都为与与OC OA OB OA ⊥⊥∴,第11题图的平面角为二面角从而C OA B BOC --∠ 3πRC B 的球面距离为与又3π=∠∴BOC 这样球O 在二面角B —OA —C 内的部分球面的面积等于2232461R R ππ=⨯ 12．D 注意到f()x 图像经过⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6π5,21,6π两点，这两点也在g ()x 在图像上，而g ()x 的图像是顶点为⎪⎭⎫⎝⎛23,2π，开口向下的抛物线，作出草图，知)()(,6π5,6πx f x g x ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈时二、填空题 13．5提示：解法一：先变形，再部分展开，确定系数)331)(21()1()1()1()1(324232252x x x x x x x x x -+-+-=--=-+所以x 3的系数是第一个括号内的1与第二个括号内的－x 3的系数－1相乘和第一个括号内的－2 x 2的系数－2与第二个括号内的－3 x 的系数－3相乘后再相加而得到，即1×(－1)+(－2)×(－3)=5解法二：利用通项公式因2)1(x +的通项公式为r rr x C T ⋅=+215)1(x -的通项公式为k kk k x C T ⋅-=+51)1(其中{}{}5,4,3,2,1,0,2,1,0∈∈k r 令3=+r k则⎩⎨⎧==21r k 或⎩⎨⎧==12r k 或⎩⎨⎧==03r k 故x 3的系数为.5C C C C 35251215=-⋅+-14．0.21 提示：由离散型随机变量的分布列的性质)3(16543210=∴=++++++ξP P P P P P P P21.0)01.006.010.024.022.016.0(1=+++++-=15．252提示：分类：(1)选出4人没有甲乙共有2444=A (种)选法，(2)含甲、乙某一人共有144A C C 2331334=(种)选法，(3)甲、乙同时参赛共有84)A A 2A (C 22334424=+-(种)选法.综合(1)、(2)、(3)共252种不同的参赛方案. 16．a S2提示：将其分为三棱锥11ABC A - 四棱锥111B BCC A -且Sa V B BCC A 3111=-.23123a S Sa V =⨯=∴三、解答题17．(1)证明：在△P AC 中2222360cos 2a PC PA PC PA AC =︒⋅⋅-+= 222PC AC PA =+∴ AC PA ⊥∴又∵平面P AC ⊥平面ABC ∴P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB第17题图(2)解：在平面ABC 内，作AE ⊥直线BD ，垂足为E 则由三垂线定理得，PE ⊥BD∴∠PEA 是二面角A BD P --的平面角在△ABC 中，222AB BC AC=+ ∴∠ACB =90°∴a a a BD 7214322=+=∵BD BC AD AE ::=∴a a aBD BC AD AE 72127232==⋅=∴321tan ==∠AE PA PEA (3)解：由(2)可知，BD ⊥平面P AE ∴平面P AE ∠平面PBD ，交线为PE作AG ⊥PE 于G ，则AG ⊥平面PBD 在Rt △P AE 中a AE PA PE 77022=+= a PE AE PA AG 1030=⋅= 即点A 到平面PBD 的距离为.1030a 18．解：(1)c F F a PF PF 222121=>=+ (a ＞0,F 1、F 2为双曲线的焦点)∴P 点轨迹为椭圆()9144012201201202cos 222122212221222121221222121-=-=+-≥+-=+-+≥⋅-+=∠a PF PFPF PF PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF F2,3==∴b a ∴P 点轨迹方程为14922=+y x (2)假设点Q 存在，其坐标为(t ,0)(t ＞0)设)cos 2,cos 3(θθP则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=51453cos 5sin 4)cos 3(2222t t t PQ θθθ若,1530≤<t 即350≤<t 时 由,21512min =⇒=t PQ 矛盾若153>t ，即35>t 时 则当1cos =θ时，由1)3(22min =-=t PQ 解得t =2或t =4 故存在点Q (2，0)或(4，0)，使得4922y x +上的点到Q 点的距离最小值为1.19．解：(1)对于任意x 1、x 2[]1,1-∈当x 1＜x 2时，由奇函数的定义和题设不等式得：0)()()()()()()()(1212121212>-⋅-+-+=-+=-x x x x x f x f x f x f x f x f)(x f ∴在[]1,1-上是增函数 [])()(,1,1,,b f a f b a b a >∴-∈>(2))(x f 在[]1,1-上是增函数 ∴原不等式同解于,141211≤-<-≤-x x 而对于任意4121,R -<-∈x x x 恒成立 故由211-≤-x 和141≤-x 分别解得21-≥x 和45≤x∴不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,21 (3)记函数g (x )和h (x )的定义域分别为P 和Q 则{}11≤-≤-=c x x P{}112≤-≤-=c x x Q∴≠Q P的充要条件是22>-c c故c 的取值范围是{}2222-<->-c c cc c 或由,22>-cc 无解；由22-<-c c 解得1-<c 或2>c∴c 的取值范围是()().,21,+∞-∞-说明：已知不等式提供的信息是b a>时，).()(b f a f >从而判断出)(x f 的单调性，这样就可以解决(2)，但要注意41,21--x x 就在[]1,1-内.20．解：(1)至多1人破译出密码包括两种情况：两人都译不出密码或恰有1个人译出密码，即12113141141311311411)()()(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P(2)设有n 个像乙这样的人，则它们都译不出密码的概率为,411n⎪⎭⎫ ⎝⎛-由题意得：100994111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 解得n =16 即至少需要16个像乙这样的人.21．解：n m b n a m ⊥=--=),cos 2,1(),1,sin (θθ0cos 2sin =--=⋅∴θθb a n m 即θθcos 2sin b a +=(1)当22==b a 时，θθcos sin 22+= ,21cos sin 21=+θθ即41cos sin -=θθ 又∵)(x f 是以3为周期的奇函数，1)1(=f1)1()13()4()4(cos sin 1-=-=+-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f f f θθ (2)当a b 22-=时，由已知条件可得θθθθsin )cos 1(cos sin =+-=a a a 即2tan cos 1sin θθθ=+=a 又因为2π2π<<-θ 故4π4π<<-θ ∴)1,1(2tan -∈=θa 说明：本题考查向量运算以及三角函数的运算和性质.22．解：(1)251-=a 123)1(22321-=+-++-=--n n a a n n ∴数列{}n a 是以25-为首项、－1为公差的等差数列2)4(223225+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∴n n n n A n 由n A B n n 13124=- 得4116412132n n A n B n n +-=+= ∴45124)1(11)1(64116221+-=-+-++-=-=-n n n n n B B b n n n (2)∵n n b a ,均小于零，且抛物线n C 过点(0，12+n )∴抛物线开口向上设n C 的方程)0)((2)(2>-=-p b y p a x n n即⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++45322322n y p n x ∵n C 过点)1,0(2+n D n ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4531223222n n p n ∴21=p ∴抛物线n C 的方程为4532322++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n y n x ① 设过n D 且与n C 相切的直线n l 的方程为12++=n x k y n ② 将②代入①得0)32(2=-++x k n x n又n l 与n C 只有一个公共点 则∆=0，故32+=n k n∴3145122322)325(lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+++∞→n n n n b a k k k n n n n (3)对任意∈n N * 322--=n n a3)16(25124-+-=--=n n b n 所以X Y ⊆，即Y Y X =∵c 1是Y X 中的最大数 ∴c 1=－17设等差数列{}n c 的公差为d 则d c 91710+-=125917265-<+-<-d 129527-<<-∴d 又{}n b 4 是一个以－12为公差的等差数列24),N (12*-=∴∈-=∴d m m d )N (247*∈-=∴n n c n说明：本题是数列、数列极限、集合，以及解析几何中的抛物线、直线的综合题型，且每问都自成体系，对思维能力要求较高，这正是高考热点题型之一.。
2021-2022年华师大中考数学模拟试卷及答案
中考数学模拟卷时间：120分钟满分：120分题号一二三总分得分一、选择题（每小题3分，共30分）1.－2021的倒数是（）A.2021B.－2021C.12022 D.－120222.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量.把130000000kg用科学记数法可表示为（）A.13×107kg ×108kg ×107kg ×108kg3.下列图案中，属于轴对称图形的是（）4.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3的度数为（）A.70°B.100°C.110°D.120°5.下列运算中正确的是（）A.a2＋a2＝2a4B.a10÷a2＝a5C.a3·a2＝a5D.（a＋3）2＝a2＋96.如图，该几何体的俯视图是（）7.7－13的小数部分是（）A.3－13B.4－13C.13－3D.13－48.如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.14πB.π－12C.12D.14π＋12第8题图 第9题图9.如图①，平行四边形纸片ABCD 的面积为60，沿对角线AC ，BD 将其裁剪成四个三角形纸片，将纸片△AOD 翻转后，与纸片△COB 拼接成如图②所示的四边形（点A 与点C ，点D 与点B 重合），则拼接后的四边形的两条对角线之积为（ ）A.30B.40C.50D.6010.如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3……以此类推，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 19的值为（ ）…A.2021B.6184C.589840D.431760 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.函数y ＝2－xx的自变量取值范围是 . 12.已知△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ＝4，S △DEF ＝25，则ABDE＝ . 13.已知一组数据：3，3，4，7，8，则它的方差为 .14.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可列方程组为 .15.若最新x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2m ＋1，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是 .16.已知x 1，x 2是最新x 的方程x 2＋nx ＋n －3＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，则x 1x 2＝ .17.如图，反比例函数y ＝kx （k ≠0，x ＞0）的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D .若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为 .18.规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2.则下列说法正确的是 （写出所有正确说法的序号）.①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点.三、解答题（共66分） 19.（6分）计算：|1－2|＋（π－2021）0－2sin45°＋⎝⎛⎭⎫12－2.20.（6分）化简求值：⎝⎛⎭⎫3x －2＋2x ＋2÷5x 2＋2x x 2－4，其中x ＝3.21.（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.22.（8分）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度（结果保留根号）.23.（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，宜宾市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；（2）请补全条形统计图；（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.24.（8分）如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于点A （－3，m ＋8），B （n ，－6）两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积.25.（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC ＝PC ，∠COB ＝2∠PCB .（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是AB ︵的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝4，求MN ·MC 的值.26.（12分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴、y 轴分别交于A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点.（1）试求抛物线的解析式；（2）P 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，设P 的横坐标为t ，P 到BC 的距离为h ，求h 与t 的函数关系式，并求出h 的最大值；（3）设点M 是x 轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N ，使得以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N 坐标；若不存在，说明理由.参考答案与解析1．D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D10．C 解析：a 1＝3＝1×3，a 2＝8＝2×4，a 3＝15＝3×5，a 4＝24＝4×6，…，a n ＝n (n ＋2)，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19＝11×3＋12×4＋13×5＋14×6＋…＋119×21＝12(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋119－121)＝12(1＋12－120－121)＝589840.故选C. 11．x ≤2且x ≠0 12.2513.4. 4 14.⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋13y ＝100，x ＋y ＝10015．m ＞－2 16.－1 17.218．②③ 解析：当x ＝1.7时，[x ]＋(x )＋[x )＝[1.7]＋(1.7)＋[1.7)＝1＋2＋2＝5，故①错误；当x ＝－2.1时，[x ]＋(x )＋[x )＝[－2.1]＋(－2.1)＋[－2.1)＝(－3)＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确；当x ＝1时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝4＋3＋1＝8＜11；当x ＝2时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝8＋6＋2＝16＞11，∴可得x 的大致范围为1＜xx ＜2时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝4＋6＋2＝12，不符合方程；当1＜x ＜1.5时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝4×1＋3×2＋1＝4＋6＋1＝11，故③正确；∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1；当x ＝0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋0＋0＝0；当0＜x ＜1时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1；∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13；x ＋1＝4x 时，得x ＝13；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误．综上所述，正确的说法有②③.19．解：原式＝2－1＋1－2＋4＝4.(6分) 20．解：原式＝3（x ＋2）＋2（x －2）（x －2）（x ＋2）·（x ＋2）（x －2）x （5x ＋2）＝5x ＋2x （5x ＋2）＝1x.(4分)当x＝3时，原式＝13.(6分)21．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F .(2分)在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠F ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF (AAS)．(6分)∴BC ＝EF ，∴BC －CE ＝EF －CE ，即BE ＝CF .(8分)22．解：由题意知∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°，∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°.∴∠DBE ＝∠BDE .∴BE ＝DE .(2分)设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝x ＋2x ＝3x (m)，BC ＝BE 2－EC 2＝（2x ）2－x 2＝3x (m)．(4分)由题意知∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60m ，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC .∴3x ＋60＝3x ，解得x ＝30＋103，∴2x ＝60＋20 3.(7分)答：塔ED 的高为(60＋203)m.(8分) 23．解：(1)60 90°(2分)(2)60－15－30－10＝5，补全条形统计图如图所示．(4分)(3)画树状图如下：(6分)∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为1220＝35.(8分)24．解：(1)将A (－3，m ＋8)代入反比例函数y ＝m x 得m－3＝m ＋8，解得m ＝－6，∴m ＋8＝－6＋8＝2，∴点A 的坐标为(－3，2)，反比例函数的解析式为y ＝－6x .(2分)将点B (n ，－6)代入y ＝－6x ，得－6n＝－6，解得n ＝1，∴点B 的坐标为(1，－6)．将点A (－3，2)，B (1，－6)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝2，k ＋b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴一次函数的解析式为y ＝－2x －4.(4分) (2)设AB 与x 轴相交于点C ，令－2x －4＝0，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)，∴OC ＝2.(6分)S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×6＝2＋6＝8.(8分)25．(1)证明：∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO .又∵∠COB ＝2∠A ，∠COB ＝2∠PCB ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠PCB .(2分)又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°.∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°.即OC ⊥CP .∵OC 是⊙O 的半径．∴PC 是⊙O 的切线．(5分)(2)解：连接MA ，MB .(6分)∵点M 是AB ︵的中点，∴AM ︵＝BM ︵，∴∠ACM ＝∠BCM .∵∠ACM ＝∠ABM ，∴∠BCM ＝∠ABM .(7分)∵∠BMN ＝∠BMC ，∴△MBN ∽△MCB .∴BMMC＝MNBM.∴BM 2＝MN ·MC .(8分)又∵AB 是⊙O 的直径，AM ︵＝BM ︵，∴∠AMB ＝90°，AM ＝BM .∵AB ＝4，∴BM ＝2 2.∴MN ·MC ＝BM 2＝8.(10分)26．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(3分)(2)如图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交BC 于点E ，作PH ⊥BC 于点H ，连接PB ，PC .∵B (3，0)，C (0，3)，∴OB ＝OC ＝3，BC ＝OB 2＋OC 2＝3 2.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.(5分)∵点P 的横坐标为t ，且在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，∴P (t ，－t 2＋2t ＋3)，D (t ，0)，E (t ，－t ＋3)，∴PE ＝(－t 2＋2t ＋3)－(－t ＋3)＝－t 2＋3t ，∴S △PBC ＝S △PEB ＋S △PEC ＝12PE ·BD ＋12PE ·OD ＝12PE ·(BD ＋OD )＝12PE ·OB ＝12(－t 2＋3t )×3＝－32t 2＋92t .又∵S △PBC ＝12BC ·PH ＝12×32·h ＝322h ，∴322h ＝－32t 2＋92t ，∴h 与t 的函数关系式为h ＝－22t 2＋322t (0＜t ＜3)．(7分)∵h ＝－22t 2＋322t ＝－22⎝⎛⎭⎫t －322＋982，∴当t ＝32时，h 有最大值，最大值为982.(8分)(3)存在．若AM 为菱形对角线，则AM 与CN 互相垂直平分，∴N (0，－3)；(9分)若CM 为菱形对角线，则CN ＝AM ＝AC ＝12＋32＝10，∴N (－10，3)或N (10，3)；(10分)若AC 为菱形对角线，则CN ＝AM ＝CM ，设M (m ，0)，则AM ＝m ＋1，CM 2＝m 2＋32.∵CM 2＝AM 2，∴m 2＋32＝(m ＋1)2，解得m ＝4，∴CN ＝AM ＝CM ＝5，∴N (－5，3)．(11分)综上可知，使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 有4个，分别为N 1(0，－3)，N 2(－10，3)，N 3(10，3)，N 4(－5，3)．(12分)。
海南省海口市海南华侨中学初中毕业生学业数学模拟试卷一
2021海南侨中毕业生学业数学模拟试题（一） 时间：100分钟 满分：120 一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.实数-12021 的相反数是（ ）A. 12021B. -12021C.2021D.-20212.已知a=-3,则代数式a+2 的值为( )A.-5B. -2C.-1D.13.国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路.据统计，2019 年末全国农村贫困人口比 2018 年末全国农村贫困人口减少了11090000 人，其中数据11090000 用科学记数法可表示为( )A.11.09×105B. 1.109×107C. 0.1109×108D. 1.109×1084.如图1是由7个小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是( )5.分式方程1x−3=2的解是（ ）A.无解B.x =5C.x =2D.72 （图1）6.下列计算正确的是( )A.2a 2+3a 2=5a 4B.3a −2a =1C.2a 2·a 3=2a 6D.(a 2)3=a 67.在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A （1,4），B （-1,1），C(2，2)，如果将△ABC 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到△A`B`C`，那么点B 的对应点B`的坐标是（ ）A.(-3，0) B(0，3) C.(-3，2) D.(1，2)8.如图2，直线a//b 将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上， 若∠1=28°，则∠2的度数是（ ）A.62°B.108°C.118°D.152°9某中学积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(3男两女)成立了 （图2） “交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护则恰好是一男一女的概率是( )A.16B. 15C. 25D. 3510.如图3，Rt △ABO 中，∠AOB=90°，点A 在第一象限，点B 在第二象限， 且AO BO =12,若经过点A 的反比例函数解析式为y =1x ，则经过点B(x,y)的 反比例函数解析式为（ ）A.y =2xB. y =−2xC. y =−4xD. y =−8x （图3） 11.如图4,菱形ABCD 的对角线AC,BD 交于点0，E 是AB 的中点，若AC=6,BD=8,则OE=( )A.3B.5C.2.5D.412.如图5，正方形ABCD 的边长为2√2，对角线AC 与BD 相交于点0，E 是0C 的中点，连接BE ，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为（ ）A.√55B.√22C.23 D.1（图4） （图5） （图6）二、填空题（本大题共4小题，共16分）13.分解因式:x 3−4x = .14.若分式x 2−1x−1的值为0，则x= .15如图6，AB 是圆0的直径，PA 切圆0于点A ，线段PO 交圆0于点C ，连接BC ，若∠P=32°，则∠B= .16.用火柴棒按下面的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第7个图形需要火柴棒 根，第n 个图形需要火柴棒 根.三、解答题（本大题共6小题，共68分）17、计算（每小题6分，共12分）（1）√−83−(−1)2021+(√2+1)0−(−13)−2 （2）解不等式{2x −6＜6−2x 2x +1＞3+5x 218.(10 分)为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用 5400 元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买 120 瓶，则钱还缺 200 元;若医用口罩买1200 个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完、求医用口罩和洗手液的单价:19.(8分)某校对九年级学生掌握“预防新冠肺炎生活卫生常识”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格(说明:成绩大于或等于 60 分合格，成绩大于或等于 80 分的为优秀),学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图表:请根据上述统计图表，解答下列问题:(1)表中a= , b= c=(2)补全频数分布直方图:(3)校八年级共有学生 320 人，本次测试成绩优秀的学生大约有人:20、(10分)如图7，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得 D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB=36米。
2021年河北省保定市华人中学高二数学文月考试卷含解析
2021年河北省保定市华人中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列{a n}的首项为1，{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)则（）A． B． C． D．参考答案：A2. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种参考答案：D3. 若不等式对任意都成立，则的取值范围是( )A. B． C. D.参考答案：B4. 已知＜＜0，①＞；②＞；③＞；④＜，上述不等式中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C5. 执行右图所示的程序框图,如果输入的,则输出的M等于（）A.3 B. C. D.参考答案：C6. 函数有（）A．极大值，极小值B．极大值，极小值C．极大值，无极小值D．极小值，无极大值参考答案：C7. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：D取，则，但，故；取，则，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.8. 设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝( )A．10 B. C. D．38参考答案：A9. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．10. 已知随机变量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是( )A．6和2.4 B．2和5.6 C．6和5.6 D．2和2.4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是________．参考答案：12. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若(b–c)cosA=a cosC，则cosA=______参考答案：13.函数的值域为_______.参考答案：【分析】在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解【详解】令，则,，函数的值域为【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域。
港澳台学生高考辅导：数学考前冲刺模拟7(含答案)
解法二：如图 2，连结 AO，延长 AO 交 BD 于点 F.通过计 EO AD D EO=3，AE=2 3 ，又知 AD=4 3 ，AB=8，得 . F AE AB E O 所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. A 图2 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影，所以 PA⊥BD.
（Ⅱ）准线 L 的方程为 x
m 1 m
m 1 x1 m 1 m . | QF2 | x1 c | PF2 | c x 0
②
将 x0
m2 1 代入②，化简得 m
| QF2 | 1 m m 2 1. 2 | PF2 | m m 1
由题设
| QF2 | 2 3 ，得 m m 2 1 2 3 ， | PF2 |
16. 已知函数 f ( x) e x 2 x a 有零点，则 a 的取值范围是___________． (, 2 ln 2 2]
2 x y 5, 17. 在空间直角坐标系 O xyz 中，过原点作与直线 垂直的平面，则它们的交点坐标为 x 2y z 6
北京博飞--华侨港澳台培训学校
数 学 测 试
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分. 把正确的答案填在对应的位置. 1、已知过点 A 2，m 和 B m， 4 的直线与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（ A 8 B
0
）A
C 2
D 10 ）B
2、设直线 m 与平面 相交但不 垂直，则下列说法中正确的是（ ． A．在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不 可能与平面 平行 ． D．与直线 m 平行的平面不 可能与平面 垂直 ．
华人教育高考模拟试卷
华人教育高考模拟试卷（三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（三部分，共115分）第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题，每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What will the woman do?A．Have a trip abroad．B．P hone her family．C．Go back home．2．What are the two speakers talking about?A．A country．B．A trip．C．supper．3．What’s the probable relationship between the two speakers?A．Daughter and father．B．B oss and employee．C．Student and teacher．4．Where does the conversation take place?A．In a restaurant．B．I n a hotel．C．In a company．5．How did Margret go to Chicago?A．By air．B．B y train．C．By ship．第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各个小题将给出5秒钟的作答时间。
深圳华文学校八年级上册期末数学模拟试卷及答案
深圳华文学校八年级上册期末数学模拟试卷及答案一、选择题1．新型冠状病毒“COVID ﹣19”的平均半径约为50纳米（1纳米＝10﹣9米），这一数据用科学记数法表示，正确的是（ ） A ．50×10﹣9米 B ．5.0×10﹣9米 C ．5.0×10﹣8米 D ．0.5×10﹣7米 2．下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）A ．3，3，3B ．3，4，5C ．5，6，10D ．4，5，93．如图，AB//CD ，F 为,BAC ACD ∠∠的平分线的交点，EF AC ⊥于点E ，且EF=6，则AB 与CD 之间的距离是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124．若229x mxy y -+是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．8B ．6C ．±8D ．±65．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，△ABD ≌△ACE ，其中B ，C 为对应顶点，D ，E 为对应顶点，下列结论不．一定成立的是（ ）A ．AC=CDB ．BE=CDC ．∠ADE=∠AED D ．∠BAE=∠CAD6．如图，ΔA 'B 'C ≌ΔABC ，点B '在AB 边上，线段A 'B '，AC 交于点D ．若∠A ＝40°，∠B ＝60°，则∠A 'CB 的度数为( )A ．100°B ．120°C ．135°D ．140°7．下列运算正确的是（ ） A ．()325a a =B ．()22ab ab =C ．632a a a ⋅=D ．235a a a ⋅=8．如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BD CD E F ==是AD 上的任意两点．若8,6BC AD ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．20C ．24D ．489．有下列说法：①轴对称的两个三角形形状相同；②面积相等的两个三角形是轴对称图形；③轴对称的两个三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的．其中正确的有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，4,7AB CD ==，则AC 的长为（ ）A ．3B ．11C ．15D ．9二、填空题11．如图，AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG =20度，则 HFD ∠为 ______________度．12．已知236x mx ++是一个完全平方式，那么m 的值为_________________ 13．已知：AD 、AE 分别是ABC 的高，中线，6BE =，4CD =，则DE 的长为_________．14．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=5，AB=10．若点A 坐标为（1，2），则点B 的坐标为_____．15．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()na b +（n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数，例如：()2222a b a ab b +=++展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出()5a b +的展开式：()5a b +=______．16．如果三角形的两边长为1和5，第三边长为整数，那么三角形的周长为_____． 17．如图，在△ABC 中，AB=AC=8cm ，BC=5cm ．D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′的位置，点A ′在△ABC 的外部，则阴影部分图形的周长为________cm ．18．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=_____度．19．已知分式221+1x a x x --+化简后的结果是一个整式，则常数a =_____________．20．如图，OP 平分AOB ∠，PM OA ⊥于M ，点D 在OB 上，DH OP ⊥于H ，若4OD =，7OP =，3PM =，则DH 的长为__________．三、解答题21．如图，在ABC 中，110ABC ∠=，40A ∠=．（1）作ABC 的角平分线BE （点E 在AC 上；用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求BEC ∠的度数．22．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______________；（请选择正确的一个） A 、2222()a ab b a b -+=-， B 、22()()a b a b a b -=+-， C 、2()a ab a a b +=+．（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知22412x y -=，24x y +=，求2x y -的值．②计算：2222211111111112344950⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 23．如图，ABC ∆和AED ∆是等腰直角三角形，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒，点E 在ABC ∆的内部，且130BEC ∠=︒．图1 备用图 备用图（1）猜想线段EB 和线段DC 的数量关系，并证明你的猜想； （2）求DCE ∠的度数；（3）设AEB α∠=，请直接写出α为多少度时，CED ∆是等腰三角形． 24．先化简，再求值：2112(1)3(2)23b a b ---+-，其中a =-1，b =1．25．如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，70B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥，求CDF ∠的度数．26．如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．27．数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式31(1)(1)x x x ++-表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x -1,小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下： 设31(1)(1)x x x ++-11A Bx x =++-则有31(1)(1)x x x ++-(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)A xB x A B x B Ax x x x x x -+++-=+=+-+-+-故此31A B B A +=⎧⎨-=⎩ 解得12A B =⎧⎨=⎩所以31(1)(1)x x x ++-=1211x x ++-问题解决：（1）设1(1)1x A Bx x x x -=+++，求A 、B ．（2）直接写出方程111(1)(1)(2)2x x x x x x x --+=++++ 的解.28．先化简，再求值：2212(1)11x xx x x -÷-+--，其中x 满足x 2+7x=0．29．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：22420=-，221242=-，222064=-，因此4,12,20这三个数都是“巧数”.（1）400和2020这两个数是“巧数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n 和22n -（其中n 取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？（3）求介于50到101之间所有“巧数”之和.30．如图①所示是一个长为2m ，宽为2n(m n)>的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形()1如图②中的阴影部分的正方形的边长等于______(用含m 、n 的代数式表示)；()2请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法①：______； 方法②：______；()3观察图②，试写出2(m n)+、2(m n)-、mn 这三个代数式之间的等量关系：______；()4根据()3题中的等量关系，若m n 12+=，mn 25=，求图②中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：50纳米＝50×10﹣9米＝5.0×10﹣8米． 故选：C ． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案. 【详解】解：A 、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； B 、3+4＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； C 、5+6＞10，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误； D 、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确； 故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边3．D解析：D 【解析】 【分析】过点F 作MN AB ⊥于点M ，交CD 于点N ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MF EF FN ==，再根据平行线间的距离的定义解答． 【详解】解：如图，过点F 作MN AB ⊥于点M ，交CD 于点N ，//AB CD ， MN CD ∴⊥．F 为BAC ∠、ACD ∠的平分线的交点，6EF =， 6MF EF FN ∴===，AB ∴与CD 之间的距离12MF FN =+=． 故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的求解，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．4．D解析：D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值． 【详解】22229(3)x mxy y x mxy y -+=-+，∵229x mxy y -+是一个完全平方式， ∴23mxy x y -=±⋅， 解得6m =±． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB=∠AEC ，∠BAD=∠CAE ，BD=CE ，∴180°-∠ADB=180°-∠AEC ，∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ，BD+DE=CE+DE ， 即∠ADE=∠AED ，∠BAE=∠CAD ，BE=CD ， 故B 、C 、D 选项成立，不符合题意； 无法证明AC=CD ，故A 符合题意， 故选A.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质即可解答. 【详解】解：已知ΔA 'B 'C ≌ΔABC ，则∠A 'C B '=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°， 又因为CB=C B '，且∠B=60°， 故三角形C B 'B 是等边三角形， ∠B 'CB=60°，故∠A 'CB=60°+80°=140°， 答案选D. 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟悉掌握是解题关键.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用幂的运算性质直接计算后即可确定正确的选项． 【详解】 A 、()326a a =，故错误，不符合题意；B 、()222ab a b =，故错误，不符合题意； C 、639a a a ⋅=，故错误，不符合题意； D 、235a a a ⋅=，正确，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了幂的运算性质，解题的关键是了解这些性质并能正确的计算．8．A解析：A 【解析】 【分析】利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得S △ADC =S △ADB ，通过拼接可得S 阴影=S △ADB ，再利用三角形的面积公式可求解． 【详解】∵AB=AC ，BD=CD ，AD=AD ， ∴△ADC ≌△ADB （SSS ），AD ⊥BC ∴S △ADC =S △ADB ，BD=12BC ， ∵BC=8， ∴BD=4，∵S △BEF =S △CEF ，AD=6， ∴S 阴影=S △ADB =12BD•AD 12=×4×6=12．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解S阴影=S△ADB是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】根据平移、翻折或旋转的性质逐项判断可求解．【详解】解：①轴对称的两个三角形形状相同，故正确；②面积相等的两个三角形形状不一定相同，故不是轴对称图形，故错误；③轴对称的两个三角形的周长相等，故正确；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是形状相同的，故正确．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变换，掌握平移、翻折或旋转的性质是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可．【详解】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．二、填空题11．35【解析】分析：过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．详解：过点G作AB平行线交EF于P，由题意易知，AB∥GP解析：35【解析】分析：过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．详解：过点G作AB平行线交EF于P，由题意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG=20°，∴∠PGF=70°，∴∠GFC=∠PGF=70°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=35°．故答案为35°.点睛：本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．12．【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．【详解】解：，，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两解析：12±【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】解：222366x mx x mx ++=++，26mx x ∴=±⋅，解得12m =±．故答案为：12±．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．13．2或10【解析】【分析】由已知条件，可推导出；再假设D 点所在的不同位置，分别计算，即可得到答案．【详解】∵是的中线，且∴假设点D 在CB 的延长线上，如下图∵是的中线，且∴∵∴解析：2或10【解析】【分析】由已知条件，可推导出6EC BE ==；再假设D 点所在的不同位置，分别计算DE ，即可得到答案．【详解】∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴6EC BE ==假设点D 在CB 的延长线上，如下图∵AE 是ABC 的中线，且6BE =∴212BC BE ==∵4CD =∴CD BC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点B 之间，如下图∵4CD =，6EC =∴CD EC <，和图形不符∴该假设不成立；假设点D 在点E 和点C 之间，如下图∴642DE EC CD =-=-=；假设点D 在点BC 延长线上，如下图∴6410DE EC CD =+=+=；故答案为：2或10．【点睛】本题考察了三角形中线和三角形高的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线和三角形高的性质，从而完成求解．14．（﹣2，1）．【解析】【分析】作BN⊥x轴，AM⊥x轴，根据题意易证得△BNO≌△OMA，再根据全等三角形的性质可得NB=OM，NO=AM，又已知A点的坐标，即可得B点的坐标.【详解】解解析：（﹣2，1）．【解析】【分析】作BN⊥x轴，AM⊥x轴，根据题意易证得△BNO≌△OMA，再根据全等三角形的性质可得NB=OM，NO=AM，又已知A点的坐标，即可得B点的坐标.【详解】解：作BN⊥x轴，AM⊥x轴，∵510，∴AO2+OB2=AB2，∴∠BOA=90°，∴∠BON+∠AOM=90°，∵∠BON+∠NBO=90°，∴∠AOM=∠NBO，∵∠AOM=∠NBO，∠BNO=∠AMO，BO=OA，∴△BNO≌△OMA，∴NB=OM，NO=AM，∵点A的坐标为（1,2），∴点B的坐标为（-2,1）.故答案为（-2,1）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质. 15．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5【解析】【分析】利用已知各项系数变化规律进而得出答案．【详解】解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；解析：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5【解析】【分析】利用已知各项系数变化规律进而得出答案．【详解】解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．16．【解析】【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a＜5+1，即4＜a＜6解析：【解析】【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数确定三角形的周长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5﹣1＜a＜5+1，即4＜a＜6，∵a为整数，∴a的值为5，则三角形的周长为1+5+5＝11．故答案为：11．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．17．21【解析】【分析】由折叠性质可知，△ADE≌△A′DE，可得对应边相等，然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解．【详解】解：∵AB=AC=8解析：21【解析】【分析】由折叠性质可知，△ADE≌△A′DE，可得对应边相等，然后将阴影部分图形周长BC+BD+AD′+AE′+CE转化为BC+AB+AC即可求解．【详解】解：∵AB=AC=8，∴△ABC是等腰三角形，又由折叠性质可知AD=AD′，AE=AE′，∴阴影部分图形的周长为，BC+BD+AD′+AE′+CE，=BC+BD+AD+CE+AE，=BC+AB+AC，=5+8+8，=21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查轴对称折叠性质，正确理轴对称折叠性质是本题的解题关键．18．135【解析】由题意得,在与中, ∵AB=DE, ∠ABC=∠ADE,BC=AD, , ,,又∵△DEF是等腰直角三角形, ,.解析：135【解析】由题意得,在与中, ∵AB =DE ,∠ABC =∠ADE ,BC =AD ,()ABC ADE SAS ∴∆≅∆ , ,, 又∵△DEF 是等腰直角三角形, ,.19．【解析】【分析】依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数的值即可.【详解】∵分式化简后 解析：3【解析】【分析】依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成()()x a x b ++的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数a 的值即可.【详解】 ∵分式221+1x a x x --+化简后的结果是一个整式 ∴分式的分子部分可以化为：(1)()x x b ++∵()221()(1)x x b x bx x b x b x b ++=+++=+++ 222211x a x x x a --+=-+-2111b b a +=-⎧∴⎨=-⎩解得：2b =-,3a =故答案为：3【点睛】本题考查了分式的变形求字母的值，解决本题的关键是正确的将分式的分子部分进行变形，使得分子部分含有（x+1）.20．【解析】【分析】作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PM=解析：12 7【解析】【分析】作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PM=3，S△ODP=12×OP×DH=12×OD×PE，∴12×7×DH=12×4×3，解得，DH=127，故答案为：127．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）95°【解析】【分析】（1）依据角平分线的作法，即可得到△ABC 的角平分线BE ；（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠AEB 的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠BEC 的度数．【详解】（1）如图（满足“三弧一线”可得）线段BE 即为所求（2）由（1）得，BE 平分ABC ∠∵110ABC ∠=︒ ∴1552ABE ABC ∠=∠=︒ ∵40A ∠=︒∴180554085AEB ∠=︒-︒-︒=︒∵180AEB BEC ∠+∠=︒∴1808595BEC ∠=︒-︒=︒【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及基本作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法．22．（1）B ；（2）①3；②51100【解析】【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】（1）根据图形得：22()()a b a b a b -=+-， 上述操作能验证的等式是B ，故答案为：B ；（2）①∵224(2)(2)12x y x y x y -=+-=，24x y +=，∴23x y -=； ②2222211111111112344950⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111349495050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1324354850495122334449495050=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 515120=⨯ 51100=． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．23．（1）EB DC =，证明见解析；（2）40︒；（3）为115︒或85︒或145︒【解析】【分析】（1）EB ＝DC ，证明△AEB ≌△ADC ，可得结论；（2）如图1，先根据三角形的内角和定理可得∠ECB ＋∠EBC ＝50°，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠ACE ＋∠ABE ＝90°−50°＝40°，由（1）中三角形全等可得结论；（3）△CED 是等腰三角形时，有三种情况：①当DE ＝CE 时，②当DE ＝CD 时，③当CE ＝CD 时，根据等腰三角形等边对等角可得α的值．【详解】解：（1）证明：EB DC =90BAC EAD ∠=∠=︒BAC CAE EAD CAE ∴∠-∠=∠-∠EAB DAC ∴∠=∠在AEB ∆与ADC ∆中AB AC EAB DAC AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEB ADC ∴∆≅∆，EB DC ∴=；（2）130BEC ∠=︒，360130230BEA AEC ∴∠+∠=︒-︒=︒AEB ADC ∆≅∆，AEB ADC ∠=∠，230ADC AEC ∴∠+∠=︒，又AED ∆是等腰直角三角形，90DAE ∴∠=︒，∴四边形AECD 中，3609023040DCE ∠=︒-︒-︒=︒； （3）当△CED 是等腰三角形时，有三种情况：①当DE ＝CE 时，∠DCE ＝∠EDC ＝40°，∴α＝∠ADC ＝40°＋45°＝85°，②当DE ＝CD 时，∠DCE ＝∠DEC ＝40°，∴∠CDE ＝100°，∴α＝∠ADE ＋∠EDC ＝45°＋100°＝145°，③当CE ＝CD 时，∵∠DCE ＝40°，∴∠CDE ＝180402︒-︒＝70°， ∴α＝70°＋45°＝115°，综上，当α的度数为115︒或85︒或145︒时，AED ∆是等腰三角形．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，第一问证明全等三角形是关键，第二问运用整体的思想是关键，第三问分情况讨论是关键．24．a 2-2b +4；3．【解析】【分析】首先根据整式的运算法则对算式进行化简，再把字母的值代入计算即可得到结果．【详解】解：原式=()2211221333223623b a b b a b ⎛⎫⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-=-+-+ ⎪⎝⎭=a 2-2b +4，当a=-1，b=1时，原式=1-2+4=3．【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练应用乘法对加法的分配律计算是解答本题的关键． 25．70CDF ∠=︒【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．【详解】解：∵30A ∠=︒，70B ∠=︒，∴18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒.∵CE 平分ACB ∠，∴1402ACE ACB ∠=∠=︒. ∵CD AB ⊥于D ，∴90CDA ∠=︒，18060ACD A CDA ∠=︒-∠-∠=︒.∴20ECD ACD ACE ∠=∠-∠=︒.∵DF CE ⊥，∴90CFD ∠=︒，∴18070CDF CFD ECD ∠=︒-∠-∠=︒.【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．26．（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n ．【解析】【分析】（1）过点E 作EH ∥AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n 刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n 度．【详解】（1）过E 作EH ∥AB （如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB ∥CD ，又∵EH ∥AB ，∴CD ∥EH （平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EH ∥AB ，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD ∥EH ，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．27．（1）A=1，B=-2；（2）23 x=【解析】【分析】（1）根据题目所给方法进行求解即可；（2）根据题目所给方法先对等号左边各式进行变形化简，最后再解分式方程即可.【详解】解：（1）∵1(1)xx x-=+(1)1(1)(1)A B A x Bxx x x x x x++=++++()(1)A B x Ax x++=+，∴11A BA+=-⎧⎨=⎩，解得12A B =⎧⎨=-⎩； （2）设1(1)(2)12x A B x x x x -=+++++， 则有1(2)(1)()2(1)(2)12(1)(2)(1)(2)x A B A x B x A B x A B x x x x x x x x -++++++=+==++++++++， ∴121A B A B +=-⎧⎨+=⎩，解得23A B =⎧⎨=-⎩， ∴123(1)(2)12x x x x x -=-++++， 由（1）知，112(1)1x x x x x -=-++， ∴原方程可化为13122x x x -=++， 解得23x =， 经检验，23x =是原方程的解. 【点睛】本题为关于分式及分式方程的创新题，此类型题重点在于理解题目所给的做题方法，并按照题目所给示例进行解答.28．11x -+，16【解析】【分析】 由x 满足x 2+7x=0，可得到x =0或-7；先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的条件下，代入计算即可．【详解】 原式2212(1),(1)(1)11x x x x x x x ⎡⎤--=÷-⎢⎥+---⎣⎦ 2212(21),(1)(1)1x x x x x x x ---+=÷+-- 221(1)(1)-=⨯+--x x x x x 1.1=-+x 又270x x +=，∴x (x +7)=0，1207x x ∴==-，；当x =0时，原式0做除数无意义；故当x =−7时，原式11.716=-=-+ 29．（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）532．【解析】【分析】（1）根据“巧数”的定义进行判断即可；（2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可； （3）介于50到100之间的所有“巧数”中，最小的为：142-122=52，最大的为：262-242=100，将它们全部列出不难求出他们的和．【详解】解：（1）400不是“巧数”，2020是“巧数”．原因如下：因为2240010199=-，故400不是“巧数”，因为2020=5062-5042，故2020是“巧数”；（2）22(2)(22)(222)(222)2(42)4(21)n n n n n n n n --=+--+=-=-∵n 为正整数，∴2n －1一定为正整数，∴4(2n －1)一定能被4整除，即由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；（3）介于50到100之间的所有“巧数”之和，S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．故答案是：532．【点睛】本题考查了因式分解的应用．能根据“巧数”的定义进行计算是解决此题的关键．（2）中能利用因式分解把所求的代数式进行变形是解题关键；（3）中不要先计算50到100之间的每一个巧数，根据题意先把它们的和列出来，会发现可以抵消部分，然后计算简单．30．（1）()m n -（2）①2(m n)-②2(m n)4mn +-（3）22(m n)4mn (m n)+-=-（4）44【解析】【分析】()1由图①可知，分成的四个小长方形每个长为m ，宽为n ，因此图②中阴影部分边长为小长方形的长减去宽，即()m n -;()2①直接用阴影正方形边长的平方求面积；②用大正方形面积减四个小长方形的面积; ()3根据阴影部分面积为等量关系列等式;()4直接代入计算．【详解】()1小长方形每个长为m ，宽为n ，∴②中阴影部分正方形边长为小长方形的长减去宽，即()m n -故答案为()m n -()2①阴影正方形边长为()m n -∴面积为：2(m n)-故答案为2(m n)-②大正方形边长为()m n +∴大正方形面积为：2(m n)+四个小长方形面积为4mn∴阴影正方形面积=大正方形面积4-⨯小长方形面积，为：2(m n)4mn +- 故答案为2(m n)4mn +- ()3根据阴影正方形面积可得：22(m n)4mn (m n)+-=-故答案为22(m n)4mn (m n)+-=-()224(m n)4mn (m n)+-=-且m n 12+=，mn 25= ,222(m n)(m n)4mn 1242514410044∴-=+-=-⨯=-=【点睛】本题考查了根据图形面积列代数式，用几何图形面积验证完全平方公式.找准图中各边的等量关系是解题关键．。
华人教育数学模拟试卷
华人教育数学模拟试卷（一）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.得分1．下列四个集合中，表示空集的是（）A．{}0B．{}C∈=+xxx,012C．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<=+20,23cossinπααααD．{}RR∈∈=+yxyxyx,,0),(222．若函数)(xfy=是函数222xy--=（0≤x≤1）的反函数，则)(xfy=的图像是图1中的（）图13．等比数列{}n a中，2:3:23=SS，则公比q的值为（）A．1 B．21-C．1或21-D．－1或214．给出函数中最小正周期为2π的函数是（）)2π(sinsin)3(;2sin)2(;2cot2tan)1(44-+==-=xxyxyxxyA．（1）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）5．已知0)(,2,1=⋅-==ababa，则a与b夹角是（）A．60°B．90°C．45°D．30°6．直线l沿y轴正方向平移a个单位(0≠a)，再沿x轴的负方向平移a+1个单位，结果恰好与原直线l 重合，那么l的斜率为（）A．1+aaB．－1+aaC．aa1+D．－aa1+7．设P为椭圆12222=+byax上一点，F1、F2为焦点，若∠P F1F2=75°，∠P F2F1=15°，则椭圆离心率为（）A ．22 B ．23 C ．32 D ．368．二项式612⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 展开式中的常数项是（ ） A ．20B ． －20C ．160D ．－1609．为保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取必须要求（ ）A ．不同的层以不同的抽样比抽样B ．每层等可能抽样C ．每层等可能地抽取一样多的样本，而若有k 层，样本容量为n ,则每层抽取kn个样本 D ．每层等可能地抽取不一样多的样本，即抽取),2,1(k i Ni N n n iΛ=⋅=个样本，其中N 为个体总数，i N 为第i 层所含个体数，n 为样本容量 10．用数学归纳法证明)1,(12131211*>∈<-++++n n n n N Λ时，在证明过程的第二步从n =k 到n =k +1成立时，左边增加了的项数是（ ）A ． 2kB ． 2k －1C ． 2k -1D ． 2k +111．已知函数)(x f 在x=1处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→等于（ ）A ．21B ．1C ．2D ．41 12．设地球的半径为R ，在纬度为α的纬线圈上有A 、B 两地，若这两地的纬线圈上的弧长为απcos R ，则A 、B 两地之间的球面距离为（ ）A ．R πB ．αsin πRC ．R αD ．)2π(α-R二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知,43133+-=+n n n nCA nC求nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23展开式中不含x 的项是 ．14．为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为 ． 15．正方体1111D C B A ABCD-的棱长为2，E 为DD 1的中点，则截面△AEC 的面积为 ,截面△AEC将正方体分成两部分,其大小两部分体积之比为 ． 16．以下四个命题中正确命题的序号是 ． （1）方程01222=+-+x y x表示的图形是圆；（2）椭圆016169522=--+x y x的一条准线方程是2-=x ，另一条准线方程是518=x ； （3）抛物线22y x=的焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,81；（4）双曲线1254922=-x y 的渐近线方程为x y 75±=. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况.求至少一次出现正面的概率.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列.（1）求证：2cos 22cos CA C A +=-；（2）求C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos +-+的值；（3）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.19．（本小题满分12分）已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5).（1）求以AC AB ,为边的平行四边形面积；（2）若a 3=，有a 分别与 AC AB ,垂直，求向量a 的坐标.20．（本小题满分12分）用水清洗一次蔬菜上的残留农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可以洗掉残留农药量的21，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数)(x f .（1）试规定)0(f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数)(x f 应满足的条件及性质；（3）设)(x f 211x +=，现有)0(>a a 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.21．（本小题满分12分）如图2所示，三棱锥P －ABC 的底面是正三角形ABC ，侧面P AB ⊥底面ABC ，侧面P AC 和PBC 都与底面成α角，求各侧棱与底面所成的角.图222．（本小题满分14分） 数列{}n a 中，2,841==a a ，且满足)N (02*12∈=+-++n a a a n n n（1）求数列{}n a 的通项以式；（2）设n n a a a S +++=Λ21，求n S ；（3）设)N (),N ()12(1*21*∈+++∈-=n b b b T n a n b n n n nΛ是否存在最大的整数m ，使得对任意*N ∈n ，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.答案与解析 一、选择题1．C{0}表示含有一个元素0的集合，不是空集；方程012=+x 在复数集C 内有两个解，故{}C∈=+x xx ,01|2不是空集，化简集合⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧===∈∈=+)}0,0{(00|),(},,0|),{(22y x y x y x y x y x R R ，它表示平面直角坐标系中的原点组成的集合，也不是空集．24πsin 2cos sin 1,4π34π4π,2π0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+<∴<+<∴<<αααααΘ，满足23cos sin =+αα的锐角α不存在.说明：本题考查空集的意义，如果概念不清楚，容易错选A 、B 、D.2．B22)(2223x x f x y -=⇒--=]1,0[],0,2[∈-∈x x ，∴图像为如图所示．第2题图3．C ∵S 3∶S 2＝3∶2当1≠q 时2:31)1(:1)1(2131=----∴qq a q q a 2:3)1(:)1(23=--q q0122.013222323=+--=+-q q q q q.2112:32:3,121,0120)1(,0)1)(12(0)1)(12(0)1)(1()1(2112222-=∴==-=∴=+∴≠-=-+=---∴=-+--或时当q a a q q q q q q q q q q q q q Θ4．D 对于(1)，4π,4cot 22cot 2tan 1=-=-=T x x x y 对于(2)，2π4π2|,2sin |2===T x y 对于(3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2πsin sin 44x x yxx xx x x 4cos 41432sin 211cos sin 2)cos (sin 222222+=-=-+=从而.2π3=T 5．C 1,0)(2=⋅∴=⋅=-⋅-b a b a a a b a Θ.45,23||||cos ︒==⋅⋅=∴θθb a b a6．B 解法一：设P (x ，y )是l 上任意一点，按规则移动后，P 点坐标为),1(a y a x Q +--∵Q 也在l 上，∴1)1()(+-=----+=a ax a x y a y k解法二：设l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0①显然A ＝0或B ＝0都不合题意依题意，移动后所得直线l '方程为0)()1(=+-+++C a y B a x A即0)1()(=-++++aB a A C By Ax②∵①、②表示同一直线 ∴1,0)1(+-=-=-+a aB A aB a A说明：两法都是基本的，有代表性的，解法一是利用点的移法去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用．而解法二是从整体出发．值得注意的也是学生易错的：点沿y 轴正向移动a 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ，y ＋a )而曲线f (x ，y )＝0沿y 轴正方向移动a 个单位，新曲线方程为f (x ，y －a )＝0，该题还可有特殊点，并赋a 为特殊值去解．7．D 由正弦定理︒=︒=︒90sin ||75sin ||15sin ||2121F F PF PF 于是||75sin 15sin ||||2121F F PF PF =︒+︒+即ca230cos 45sin 22=︒⋅︒36==∴a c e8．D rr r r x x T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1)2(C 661rr r rx ---=366C 2)1(∴3－r ＝0，r ＝3，常数项为T 4＝－160．9．为保证每个个体等可能地被选中，应采用按比例分配样本容量的方法，而按D 的方法时对第i 层的每一个体，入样的概率为,NnN n i i =与层数无关，所以对所有个体而言，其入样的概率相同． 10．A n ＝k ＋1时，左边.12112121121312111-+++++-++++=+k k k k ΛΛ 11．A x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(lim 0Θxf x f x f x f x x ∆-∆+=-+∴→∆→∆)1()1(212)1()1(lim lim 0021121)1(21=⨯='f 12．D 设地心为O ，纬度为α的纬线圈的圆心为O '则α='∠AO O αcos cos R AO O OA A O ='∠⋅='∴设A 、B 两地间的经度差的弧度差数为θ则ααθcos πcos R R =⋅，π=∴θ即A 、B 两地是⊙O '的一条直径的两端点∴∠AOB ＝π－2α∴A 、B 两地间的球面距离等于R (π－2α)． 二、填空 13．8 提示：由已知3133C 4A C +=+n n n n则),1()1(64)2)(1()2)(1(6-+=--+--n n n n n n n n n n 而n ≥3∴等式两边同除n (n －1)整理得：n 2＝16， ∴n ＝4∵0344,234441=-=-+rxC T rrr r 由得r ＝1 ∴不含x 的项是第2项，T 2＝8．14．25提示：由系统抽样方法的步骤可知编号分段时，5008÷200不为整数，先从总体中抽掉8名学生成绩，再分段为200．所以每组容量为：5000÷200＝25 15．6 11∶1提示：如图所示，△ABC 中第15题图5122222=+=+==DE CD EC AE 2222=+=AD CD AC取AC 中点O ，连结OE ，则OE ⊥AC32522=-=-=OC EC OE63222121=⨯⨯=⋅=∴∆OE AC S ACK 32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-ED S V ACD ACDE而V 正方体＝23＝8∴322328=-=-=-ACD E V V V 正方体剩 ∴.1:1123:322:==-ACD E V V 剩 16．（3)提示：方程01222=+-+x y x可化为：145144251445822=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-r x ，其中心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,585182=c a Θ∴它的两条准线方程分别为51858±=x 即5262=-=x x和 故(2)也不正确 抛物线22y x=可化为：812,212==P x y 则 所以焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,81，故命题(3)正确 双曲线254922x y -＝1的渐近线方程为： 057=±x y ，即x y 57±=，所以(4)不正确 综上所述，只有命题(3)正确．三．解答题17．解：解法一：设事件A 为“至少一次出现正面”，并用“M ”，“N ”分别表示“正面”和“反面”，则试验所产生的基本事件的集合为P ＝{(M ，M ，M }，(M ，M ，N )，(M ，N ，M )，(N ，M ，M )，(M ，N ，N )，(N ，M ，N )，(N ，N ，M )，(N ，N ，N )}A ＝{(M ，M ，M }，(M ，M ，N )，(M ，N ，M )，(N ，M ，M )，(M ，N ，N )，(N ，M ，N ，)(N ，N ，M )}由此得，所求概率为解法二；设事件A 1、A 2、A 3分别为“恰有一次出现正面”、“恰有二次出现正面”、“恰有三次出现正面”，依题法一易知：81)(,83)(,83)(321===A P A P A P又设事件A 为“至少一次出现正面”，则321A A A A ++=注意到A 1、A 2、A 3是两两互斥事件，则有87818383)()()()(321=++=++=A P A P A P A P 解法三：设事件A 为“至少一次出现正面”，则事件A 为“三次全出现反面”有A ＝{N ，N ，N } 即A 只会有一个基本事件，又随机试验所含基本事件总数为8．则P (A )＝8187811)(1)(=-=-=∴A P A P 说明：审题时要明确随机试验及试验所产生的基本事件总个数n ．这里的随机试验是“将一枚硬币连抛三次”．因此由试验所产生的基本事件总个数n 并不多．因此，可将所有基本事件和事件“至少一次出现正” (设为A )一一列举出来，按概率公式P(A )＝m /n 计算出P (A )，如解法一．如意注意事件A 就是事件“恰有一次出现正面”(A 1)、“恰有二次出现正面”(A 2)、“三次全出现正面”(A 3)之和，则可先求出P (A 1)，P (A 2)，P(A 3)，然后按加法公式求出P (A )，如解法二，由于事件A 的对立事件A 就是“三次全出现反面”，所以，也可以先求出P (A )，再依对立事件性质求出P(A )，如解法三．解法一用的是直接法，解法二、解法三用的是间接法．易知各种解法是互相联系的，以解法三最简便．87)(==n m A P18．(1)证明：Θa 、b 、c 成等差数列∴2b ＝a ＋c由正弦定理知2sin B ＝sin A ＋sin C2cos2sin 22cos 2sin22CA C AB B -+=⋅∴ 即2cos2cos 2cos 2sin 2C A B B B -= 2cos2cos 2,2cos 2sin 2CA C A C AB -=+-=∴即 (2)解：原式＝)]cos()[cos(212cos 2cos 2C A C A C A C A -++--+)]cos()[cos(61C A C A --+-)cos(31)cos(322cos 2cos C A C A C A C A --+--⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=12cos 23112cos 2322cos 222C A C A C A312cos 32322cos 2312cos 222+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=C A C A C A 12cos 322cos 312cos 222+---⋅--=CA C A C A 112cos 2cos 22=+---=C A C A(3)解：由(1)知12cos 2sin 2≤-=CA B212sin 0≤<∴B又3π0,6π20,2π,02≤<∴≤<∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈B B B 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=4πsin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin cos sin 212B B B B B B B B B B B y 127π4π4π,3π0≤+<∴≤<B B Θ21,14πsin 22≤<∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴y B ∴函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域为(]2,1说明：本题是以三边成等差数列为背景设计的命题．通过正弦定理，将边的问题转化为角的问题，然后再利用三角变换及A ＋B ＋C ＝π将三角函数式化简．利用第(1)题的结论，得出B 的取值范围．最后种用三角函数的性质求出y 的取值范围．求B 的范围也可以利用余弦定理及基本不等式，如acc a c a ac b c a B 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+=2182682)(322=-≥-+=ac ac ac ac ac c a ；求出⎥⎦⎤⎝⎛∈3π,0B ．19．解：(1)由题中条件可知)2,3,1(),3,1,2(-=--=211471414632||||,cos(==⨯++-=⋅=∴AC AB BC23=∴所以以,为边的平行四边形面积372314||||⨯=⋅⋅=S (2)设),,(z y x a =由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===111111z y x z y x 或)1,1,1()1,1,1(---==∴a a 或．20．解：(1)f (0)＝1表示没有用水洗时蔬菜上农药量为原样(2)f (x )应满足的条件和性质是：21)1(,1)0(==f f ，在[)∞,0上，f (x )单调递减，且0＜f (x ＝≤1．(3)设清洗一次后，残留农药量为2111a f +=．清洗两次后，残留量为22222)4(16211a a f +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=则2222221)4)(1()8(a a a a f f ++-=-于是当a ＞22时，21f f >当22<<a a时，21f f <因此当a ＞22时，清洗两次后，残留农药量较少当22=a时，两种方法具有相同效果当220<<a 时，一次清洗残留农药量较少．21．解：解法一：利用面面垂直和三垂线定理构造出侧棱与底面所成的角和侧面与底面所成的角过P 作PD ⊥AB 于D ，连接CD ∵侧面P AB ⊥底面ABC ∴PD ⊥底面ABC∴∠P AD ，∠PBD ，∠PCD 分别是侧棱P A ，PB ，PC 与底面ABC 所成的角过D 作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，连接PE ，PF ，由三垂线定理知PE ⊥AC ， PF ⊥BC所以∠PED 和∠PFD 分别是侧面P AC 和侧面PBC 与底面所成二面角的平面角 ∴∠PED ＝∠PFD ＝α 于是DE ＝DF∴CD 为底面正△ABC 的内角∠ACB 的平分线 ∴AD ＝BD ，P A ＝PB ，∠P AB ＝∠PBA 由AD ＝︒=︒60tan 60sin CDDE 得 tan ∠PCD ＝ααtan 2131tan 2360tan =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒=AD PD CD PD故各侧棱与底面所成的角分别为∠P AD ＝∠PBD ＝arctan⎪⎪⎭⎫⎝⎛αtan 23， ∠PCD ＝arctan ⎪⎭⎫⎝⎛αtan 21第21题图解法二：利用面面垂直和三垂线定理的逆定理构造出侧棱与底面所成的角和侧面与底面所成的角． 如图所示，作PD ⊥底面ABC 于D 点，连结CD ∵侧面P AB ⊥底面ABC ∴PD 在侧面P AB 内则∠P AD ，∠PBD ，∠PCD 分别为侧棱P A ，PB ，PC 与底面所成的角 作PE ⊥PC 于E ，PF ⊥BC 于F ，连结DE 、DF 由三垂线定理的逆定理知 DE ⊥AC ，DF ⊥BC∴∠PED ，∠PFD 分别是侧面P AC ，PBC 与底面所成二面角的平面角 即∠PED ＝∠PFD ＝α ∴PE ＝PF ，Rt △PEC ≌△PFC ∴∠PCA ＝∠PCB 又AC ＝BC ，PC ＝PC∴△P AC ≌△PBC ，P A ＝PB ，∠P AB ＝∠PBA设△ABC 边长为a ，则AD ＝BD ＝a CD a 23,2= a AD DE 4360sin =︒⋅=∴， ααtan 43tan ⋅==a DE PD αtan 23tan ==∠∴AD PD PAB αtan 21tan ==∠CD PD PCD 故各侧棱与底面的夹角分别为.tan 21arctan tan 23arctan ⎪⎭⎫⎝⎛=∠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠=∠ααPCD PBA PAB说明：解答本题的关键是确定点P 在底面ABC 上射影的位置．22．解：∵(1)0212=+-++n n n a a a∴n n n a a a +=++222∴{a n }为等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2 ∴d ＝－2， ∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n(2)∵a 1＞ a 2＞ a 3＞ a 4＞ a 5≥00＞ a 6＞…＞ a n (n ≥6)∴dn n na S S S n n⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯+⨯⨯=+=2)1()2(245852||215d n n na ⋅-++=2)1(401当n ≤9时，22194040n n n n na S n -+=+-+=当n ＞9时，2940n n S n+-=(3)n a a n b n n n 210,)12(1-=-=Θ)1(21)21012(1+=+-=∴n n n n b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯++⨯++⨯=+++=∴)1(1431)12(21)11(112121n n b b b T n n ΛΛ⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+-+-=111514141313121211121n n Λ)(2212122121*N ∈+-=+=+⋅=n n n n n n 4132,32,2141<∴><≤∴m m T T n n Θ m m Θ,8<∴为整数，∴m 最大为7．。
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华人教育数学模拟试卷（一）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.得分1．下列四个集合中，表示空集的是（）A．{}0B．{}C∈=+xxx,012C．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<=+20,23cossinπααααD．{}RR∈∈=+yxyxyx,,0),(222．若函数)(xfy=是函数222xy--=（0≤x≤1）的反函数，则)(xfy=的图像是图1中的（）图13．等比数列{}n a中，2:3:23=SS，则公比q的值为（）A．1 B．21-C．1或21-D．－1或214．给出函数中最小正周期为2π的函数是（）)2π(sinsin)3(;2sin)2(;2cot2tan)1(44-+==-=xxyxyxxyA．（1）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）5．已知0)(,2,1=⋅-==ababa，则a与b夹角是（）A．60°B．90°C．45°D．30°6．直线l沿y轴正方向平移a个单位(0≠a)，再沿x轴的负方向平移a+1个单位，结果恰好与原直线l 重合，那么l的斜率为（）A．1+aaB．－1+aaC．aa1+D．－aa1+7．设P为椭圆12222=+byax上一点，F1、F2为焦点，若∠P F1F2=75°，∠P F2F1=15°，则椭圆离心率为（）A ．22 B ．23 C ．32 D ．368．二项式612⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 展开式中的常数项是（ ） A ．20B ． －20C ．160D ．－1609．为保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取必须要求（ ）A ．不同的层以不同的抽样比抽样B ．每层等可能抽样C ．每层等可能地抽取一样多的样本，而若有k 层，样本容量为n ,则每层抽取kn个样本 D ．每层等可能地抽取不一样多的样本，即抽取),2,1(k i Ni N n n i=⋅=个样本，其中N 为个体总数，i N 为第i 层所含个体数，n 为样本容量 10．用数学归纳法证明)1,(12131211*>∈<-++++n n n n N 时，在证明过程的第二步从n =k 到n =k +1成立时，左边增加了的项数是（ ）A ． 2kB ． 2k －1C ． 2k -1D ． 2k +111．已知函数)(x f 在x=1处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→等于（ ）A ．21B ．1C ．2D ．41 12．设地球的半径为R ，在纬度为α的纬线圈上有A 、B 两地，若这两地的纬线圈上的弧长为απcos R ，则A 、B 两地之间的球面距离为（ ）A ．R πB ．αsin πRC ．R αD ．)2π(α-R二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知,43133+-=+n n n nCA nC求nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23展开式中不含x 的项是 ．14．为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为 ． 15．正方体1111D C B A ABCD-的棱长为2，E 为DD 1的中点，则截面△AEC 的面积为 ,截面△AEC将正方体分成两部分,其大小两部分体积之比为 ． 16．以下四个命题中正确命题的序号是 ． （1）方程01222=+-+x y x表示的图形是圆；（2）椭圆016169522=--+x y x的一条准线方程是2-=x ，另一条准线方程是518=x ； （3）抛物线22y x=的焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,81；（4）双曲线1254922=-x y 的渐近线方程为x y 75±=. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况.求至少一次出现正面的概率.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列.（1）求证：2cos 22cos CA C A +=-；（2）求C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos +-+的值；（3）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.19．（本小题满分12分）已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5).（1）求以AC AB ,为边的平行四边形面积；（2）若a 3=，有a 分别与 AC AB ,垂直，求向量a 的坐标.20．（本小题满分12分）用水清洗一次蔬菜上的残留农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可以洗掉残留农药量的21，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数)(x f .（1）试规定)0(f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数)(x f 应满足的条件及性质；（3）设)(x f 211x +=，现有)0(>a a 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.21．（本小题满分12分）如图2所示，三棱锥P －ABC 的底面是正三角形ABC ，侧面P AB ⊥底面ABC ，侧面P AC 和PBC 都与底面成α角，求各侧棱与底面所成的角.图222．（本小题满分14分） 数列{}n a 中，2,841==a a ，且满足)N (02*12∈=+-++n a a a n n n（1）求数列{}n a 的通项以式；（2）设n n a a a S +++= 21，求n S ；（3）设)N (),N ()12(1*21*∈+++∈-=n b b b T n a n b n n n n是否存在最大的整数m ，使得对任意*N ∈n ，均有32mT n >成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.答案与解析 一、选择题1．C{0}表示含有一个元素0的集合，不是空集；方程012=+x 在复数集C 内有两个解，故{}C∈=+x xx ,01|2不是空集，化简集合⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧===∈∈=+)}0,0{(00|),(},,0|),{(22y x y x y x y x y x R R ，它表示平面直角坐标系中的原点组成的集合，也不是空集．24πsin 2cos sin 1,4π34π4π,2π0≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+<∴<+<∴<<ααααα，满足23cos sin =+αα的锐角α不存在.说明：本题考查空集的意义，如果概念不清楚，容易错选A 、B 、D.2．B22)(2223x x f x y -=⇒--=]1,0[],0,2[∈-∈x x ，∴图像为如图所示．第2题图3．C ∵S 3∶S 2＝3∶2当1≠q 时2:31)1(:1)1(2131=----∴qq a q q a 2:3)1(:)1(23=--q q0122.013222323=+--=+-q q q q q.2112:32:3,121,0120)1(,0)1)(12(0)1)(12(0)1)(1()1(2112222-=∴==-=∴=+∴≠-=-+=---∴=-+--或时当q a a q q q q q q q q q q q q q4．D 对于(1)，4π,4cot 22cot 2tan 1=-=-=T x x x y 对于(2)，2π4π2|,2sin |2===T x y 对于(3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2πsin sin 44x x yxx xx x x 4cos 41432sin 211cos sin 2)cos (sin 222222+=-=-+=从而.2π3=T 5．C 1,0)(2=⋅∴=⋅=-⋅-b a b a a a b a.45,23||||cos ︒==⋅⋅=∴θθb a b a6．B 解法一：设P (x ，y )是l 上任意一点，按规则移动后，P 点坐标为),1(a y a x Q +--∵Q 也在l 上，∴1)1()(+-=----+=a ax a x y a y k解法二：设l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0①显然A ＝0或B ＝0都不合题意依题意，移动后所得直线l '方程为0)()1(=+-+++C a y B a x A即0)1()(=-++++aB a A C By Ax②∵①、②表示同一直线 ∴1,0)1(+-=-=-+a aB A aB a A说明：两法都是基本的，有代表性的，解法一是利用点的移法去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用．而解法二是从整体出发．值得注意的也是学生易错的：点沿y 轴正向移动a 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ，y ＋a )而曲线f (x ，y )＝0沿y 轴正方向移动a 个单位，新曲线方程为f (x ，y －a )＝0，该题还可有特殊点，并赋a 为特殊值去解．7．D 由正弦定理︒=︒=︒90sin ||75sin ||15sin ||2121F F PF PF 于是||75sin 15sin ||||2121F F PF PF =︒+︒+即ca230cos 45sin 22=︒⋅︒36==∴a c e8．D rr r r x x T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1)2(C 661rr r rx ---=366C 2)1(∴3－r ＝0，r ＝3，常数项为T 4＝－160．9．为保证每个个体等可能地被选中，应采用按比例分配样本容量的方法，而按D 的方法时对第i 层的每一个体，入样的概率为,NnN n i i =与层数无关，所以对所有个体而言，其入样的概率相同． 10．A n ＝k ＋1时，左边.12112121121312111-+++++-++++=+k k k k 11．A x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(lim 0xf x f x f x f x x ∆-∆+=-+∴→∆→∆)1()1(212)1()1(lim lim 0021121)1(21=⨯='f 12．D 设地心为O ，纬度为α的纬线圈的圆心为O '则α='∠AO O αcos cos R AO O OA A O ='∠⋅='∴设A 、B 两地间的经度差的弧度差数为θ则ααθcos πcos R R =⋅，π=∴θ即A 、B 两地是⊙O '的一条直径的两端点∴∠AOB ＝π－2α∴A 、B 两地间的球面距离等于R (π－2α)． 二、填空 13．8 提示：由已知3133C 4A C +=+n n n n则),1()1(64)2)(1()2)(1(6-+=--+--n n n n n n n n n n 而n ≥3∴等式两边同除n (n －1)整理得：n 2＝16， ∴n ＝4∵0344,234441=-=-+rxC T rrr r 由得r ＝1 ∴不含x 的项是第2项，T 2＝8．14．25提示：由系统抽样方法的步骤可知编号分段时，5008÷200不为整数，先从总体中抽掉8名学生成绩，再分段为200．所以每组容量为：5000÷200＝25 15．6 11∶1提示：如图所示，△ABC 中第15题图5122222=+=+==DE CD EC AE 2222=+=AD CD AC取AC 中点O ，连结OE ，则OE ⊥AC32522=-=-=OC EC OE63222121=⨯⨯=⋅=∴∆OE AC S ACK 32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-ED S V ACD ACDE而V 正方体＝23＝8∴322328=-=-=-ACD E V V V 正方体剩 ∴.1:1123:322:==-ACD E V V 剩 16．（3)提示：方程01222=+-+x y x可化为：145144251445822=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-r x ，其中心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,585182=c a∴它的两条准线方程分别为51858±=x 即5262=-=x x和 故(2)也不正确 抛物线22y x=可化为：812,212==P x y 则 所以焦点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,81，故命题(3)正确 双曲线254922x y -＝1的渐近线方程为： 057=±x y ，即x y 57±=，所以(4)不正确 综上所述，只有命题(3)正确．三．解答题17．解：解法一：设事件A 为“至少一次出现正面”，并用“M ”，“N ”分别表示“正面”和“反面”，则试验所产生的基本事件的集合为P ＝{(M ，M ，M }，(M ，M ，N )，(M ，N ，M )，(N ，M ，M )，(M ，N ，N )，(N ，M ，N )，(N ，N ，M )，(N ，N ，N )}A ＝{(M ，M ，M }，(M ，M ，N )，(M ，N ，M )，(N ，M ，M )，(M ，N ，N )，(N ，M ，N ，)(N ，N ，M )}由此得，所求概率为解法二；设事件A 1、A 2、A 3分别为“恰有一次出现正面”、“恰有二次出现正面”、“恰有三次出现正面”，依题法一易知：81)(,83)(,83)(321===A P A P A P又设事件A 为“至少一次出现正面”，则321A A A A ++=注意到A 1、A 2、A 3是两两互斥事件，则有87818383)()()()(321=++=++=A P A P A P A P 解法三：设事件A 为“至少一次出现正面”，则事件A 为“三次全出现反面”有A ＝{N ，N ，N } 即A 只会有一个基本事件，又随机试验所含基本事件总数为8．则P (A )＝8187811)(1)(=-=-=∴A P A P 说明：审题时要明确随机试验及试验所产生的基本事件总个数n ．这里的随机试验是“将一枚硬币连抛三次”．因此由试验所产生的基本事件总个数n 并不多．因此，可将所有基本事件和事件“至少一次出现正” (设为A )一一列举出来，按概率公式P(A )＝m /n 计算出P (A )，如解法一．如意注意事件A 就是事件“恰有一次出现正面”(A 1)、“恰有二次出现正面”(A 2)、“三次全出现正面”(A 3)之和，则可先求出P (A 1)，P (A 2)，P(A 3)，然后按加法公式求出P (A )，如解法二，由于事件A 的对立事件A 就是“三次全出现反面”，所以，也可以先求出P (A )，再依对立事件性质求出P(A )，如解法三．解法一用的是直接法，解法二、解法三用的是间接法．易知各种解法是互相联系的，以解法三最简便．87)(==n m A P18．(1)证明： a 、b 、c 成等差数列∴2b ＝a ＋c由正弦定理知2sin B ＝sin A ＋sin C2cos2sin 22cos 2sin22CA C AB B -+=⋅∴ 即2cos2cos 2cos 2sin 2C A B B B -= 2cos2cos 2,2cos 2sin 2CA C A C AB -=+-=∴即 (2)解：原式＝)]cos()[cos(212cos 2cos 2C A C A C A C A -++--+)]cos()[cos(61C A C A --+-)cos(31)cos(322cos 2cos C A C A C A C A --+--⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=12cos 23112cos 2322cos 222C A C A C A312cos 32322cos 2312cos 222+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=C A C A C A 12cos 322cos 312cos 222+---⋅--=CA C A C A 112cos 2cos 22=+---=C A C A(3)解：由(1)知12cos 2sin 2≤-=CA B212sin 0≤<∴B又3π0,6π20,2π,02≤<∴≤<∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈B B B 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=4πsin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin cos sin 212B B B B B B B B B B B y 127π4π4π,3π0≤+<∴≤<B B21,14πsin 22≤<∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴y B ∴函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域为(]2,1说明：本题是以三边成等差数列为背景设计的命题．通过正弦定理，将边的问题转化为角的问题，然后再利用三角变换及A ＋B ＋C ＝π将三角函数式化简．利用第(1)题的结论，得出B 的取值范围．最后种用三角函数的性质求出y 的取值范围．求B 的范围也可以利用余弦定理及基本不等式，如acc a c a ac b c a B 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+=2182682)(322=-≥-+=ac ac ac ac ac c a ；求出⎥⎦⎤⎝⎛∈3π,0B ．19．解：(1)由题中条件可知)2,3,1(),3,1,2(-=--=211471414632||||,cos(==⨯++-=⋅=∴AC AB BC23=∴所以以,为边的平行四边形面积372314||||⨯=⋅⋅=S (2)设),,(z y x a =由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=++023*******z y x z y x z y x解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===111111z y x z y x 或)1,1,1()1,1,1(---==∴a a 或．20．解：(1)f (0)＝1表示没有用水洗时蔬菜上农药量为原样(2)f (x )应满足的条件和性质是：21)1(,1)0(==f f ，在[)∞,0上，f (x )单调递减，且0＜f (x ＝≤1．(3)设清洗一次后，残留农药量为2111a f +=．清洗两次后，残留量为22222)4(16211a a f +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=则2222221)4)(1()8(a a a a f f ++-=-于是当a ＞22时，21f f >当22<<a a时，21f f <因此当a ＞22时，清洗两次后，残留农药量较少当22=a时，两种方法具有相同效果当220<<a 时，一次清洗残留农药量较少．21．解：解法一：利用面面垂直和三垂线定理构造出侧棱与底面所成的角和侧面与底面所成的角过P 作PD ⊥AB 于D ，连接CD ∵侧面P AB ⊥底面ABC ∴PD ⊥底面ABC∴∠P AD ，∠PBD ，∠PCD 分别是侧棱P A ，PB ，PC 与底面ABC 所成的角过D 作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，连接PE ，PF ，由三垂线定理知PE ⊥AC ， PF ⊥BC所以∠PED 和∠PFD 分别是侧面P AC 和侧面PBC 与底面所成二面角的平面角 ∴∠PED ＝∠PFD ＝α 于是DE ＝DF∴CD 为底面正△ABC 的内角∠ACB 的平分线 ∴AD ＝BD ，P A ＝PB ，∠P AB ＝∠PBA 由AD ＝︒=︒60tan 60sin CDDE 得 tan ∠PCD ＝ααtan 2131tan 2360tan =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒=AD PD CD PD故各侧棱与底面所成的角分别为∠P AD ＝∠PBD ＝arctan⎪⎪⎭⎫⎝⎛αtan 23， ∠PCD ＝arctan ⎪⎭⎫⎝⎛αtan 21第21题图解法二：利用面面垂直和三垂线定理的逆定理构造出侧棱与底面所成的角和侧面与底面所成的角． 如图所示，作PD ⊥底面ABC 于D 点，连结CD ∵侧面P AB ⊥底面ABC ∴PD 在侧面P AB 内则∠P AD ，∠PBD ，∠PCD 分别为侧棱P A ，PB ，PC 与底面所成的角 作PE ⊥PC 于E ，PF ⊥BC 于F ，连结DE 、DF 由三垂线定理的逆定理知 DE ⊥AC ，DF ⊥BC∴∠PED ，∠PFD 分别是侧面P AC ，PBC 与底面所成二面角的平面角 即∠PED ＝∠PFD ＝α ∴PE ＝PF ，Rt △PEC ≌△PFC ∴∠PCA ＝∠PCB 又AC ＝BC ，PC ＝PC∴△P AC ≌△PBC ，P A ＝PB ，∠P AB ＝∠PBA设△ABC 边长为a ，则AD ＝BD ＝a CD a 23,2= a AD DE 4360sin =︒⋅=∴， ααtan 43tan ⋅==a DE PD αtan 23tan ==∠∴AD PD PAB αtan 21tan ==∠CD PD PCD 故各侧棱与底面的夹角分别为.tan 21arctan tan 23arctan ⎪⎭⎫⎝⎛=∠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠=∠ααPCD PBA PAB说明：解答本题的关键是确定点P 在底面ABC 上射影的位置．22．解：∵(1)0212=+-++n n n a a a∴n n n a a a +=++222∴{a n }为等差数列，又∵a 1＝8，a 4＝2 ∴d ＝－2， ∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n(2)∵a 1＞ a 2＞ a 3＞ a 4＞ a 5≥00＞ a 6＞…＞ a n (n ≥6)∴dn n na S S S n n⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯+⨯⨯=+=2)1()2(245852||215d n n na ⋅-++=2)1(401当n ≤9时，22194040n n n n na S n -+=+-+=当n ＞9时，2940n n S n+-=(3)n a a n b n n n 210,)12(1-=-=)1(21)21012(1+=+-=∴n n n n b n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯++⨯++⨯=+++=∴)1(1431)12(21)11(112121n n b b b T n n⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+-+-=111514141313121211121n n)(2212122121*N ∈+-=+=+⋅=n n n n n n 4132,32,2141<∴><≤∴m m T T n n m m ,8<∴为整数，∴m 最大为7．。