高中数学选修2-1圆锥曲线提高训练
(完整word版)数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题(含详细答案)
数学选修2-1《圆锥曲线与方程》复习训练题一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1曲线 与曲线 (0 <k<9) 具有（ ） A 、相等的长、短轴 B 、相等的焦距C 、相等的离心率D 、相同的准线2、若k 可以取任意实数，则方程x 2+ky 2=1所表示的曲线不可能是( )A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线 3、如果抛物线y 2= ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0） 4、平面内过点A （-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A ． y 2=－2x B ． y 2=－4x C ．y 2=－8x D ．y 2=－16x5、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3 B ．26 C ．36 D ．336、若椭圆的中心及两个焦点将两条准线之间的距离四等分，则椭圆的离心率为（ ）A 、B 、C 、D 、7、过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A ．14222=-x yB ．12422=-y xC ．12422=-x yD ．14222=-y x 8、抛物线214y x =关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是（ ） A 、(1,0) B 、1(,0)16 C 、(0,0) D 、1(0,)169、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e =30x -=的双曲线方程是 （ ）（A ）22134x y -= （B ）22153y x -= （C ）22124x y -= （D ）22142y x -= 10、椭圆上一点P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长b ，且它的离心率e =192522=+y x 192522=-+-ky k x 21222333则P 到另一焦点的对应准线的距离为 （ ） （A）6 （B）3 （C）2（D） 11、已知双曲线 和椭圆 (a>0, m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形12、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
上海市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．132．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A ．4B ．15C ．14D ．47．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．39．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，当a 取最大值时，双曲线C 的方程为________.17．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N ，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率255e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点 （1）求椭圆的标准方程 （2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-， 故选C.2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．A【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F bcb c== ， 因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =， 故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a =2k . 5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以15b a =所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+， 所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率2213c b e a a==+= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a =A ，B 两点的纵坐标分别是=y又AOB=，得2p =， 故选：C ． 【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=， 所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】 抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小， 将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：222e =． 故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．16．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-， 解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为3133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =， 由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=， 即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =， 所以101042c e a ===. 故答案为：102【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-， 渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】【分析】由几何关系得出1PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a=，结合直角三角形的边角关系得出22332a c ac -=，再解方程23230e e +-=，即可得出答案.【详解】1160,||F PQ PF PQ ︒∠==1PFQ 为正三角形，则11||PFPQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =PQ x ∴⊥轴设点()00,,0P c y y >，由220222221y c a ba b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得20b y a =，即22b PF a = 在12F PF ∆中，222211tan 23F F F PF c PF ab∠==⋅= 即232b ac =，22332a c ac -=23230e e ∴+-=，解得33e =故答案为：33【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.三、解答题21．(1) 32; (2) 2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =理化简12k k 即得解. 【详解】（1）椭圆D的离心率e ==a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=， 设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++2222(222)m m m ⎛⎛⎫=-++= ⎪ +⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2215x y +=（2）9【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率5c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =， 所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-， 联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点． 【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =， 当点M为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOBm SAB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-，∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f xy f x y ===，从而求得该定点.26．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=． （2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】 关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法； （2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。
北师大版高中数学选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 Word版含答案
习题课——直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A组1、直线y=x+b交抛物线y=x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )A、-1B、0C、1D、2详细解析:设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，将y=x+b代入y=x2，化简可得x2-2x-2b=0，故x1+x2=2，x1x2=-2b，所以y1y2=x1x2+b( x1+x2 )+b2=b2、又OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即-2b+b2=0，则b=2或b=0，经检验b=0时，不满足OA⊥OB，故b=2、正确答案:D2、( 2016·全国丙高考)已知O为坐标原点，F是椭圆C:=1( a>b>0 )的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴、过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E、若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A、B、C、D、详细解析:由题意，不妨设直线l的方程为y=k( x+a )，k>0，分别令x=-c与x=0，得|FM|=k( a-c )，|OE|=ka、设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得，即，整理，得，故椭圆的离心率e=，故选A、正确答案:A3、已知双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A、=1B、=1C、-y2=1D、x2-=1详细解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为( x-3 )2+y2=1，∴圆心为( 3，0 )，半径为1、双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线方程为y=±x、∵双曲线的渐近线与圆C相切，∴=1、又双曲线的右焦点为圆C的圆心，∴c=3、结合c2=a2+b2解得b=1，a=2、∴双曲线的方程为-y2=1、故选C、正确答案:C4、已知双曲线=1( a>0，b>0 )与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A、( 1，)B、( 1，)∪( ，+∞ )C、( ，+∞ )D、[，+∞ )详细解析:直线y=2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，则双曲线渐近线的斜率|k|>2，即>2，则有>4，所以e2=>5，所以e>、故选C、正确答案:C5、若过椭圆=1内一点( 2，1 )的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是、详细解析:设弦两端点分别为A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则=1，=1，两式相减并把x1+x2=4，y1+y2=2代入得，=-、∴所求直线的方程为y-1=-( x-2 )，即x+2y-4=0、正确答案:x+2y-4=06、过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0，则双曲线C的方程为、详细解析:∵，∴FA⊥FB，∴△AFB为直角三角形、∵过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2、设|FB|=x，则|FA|=4-x，∴x2+( 4-x )2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为-y2=1、正确答案:-y2=17、设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，且=-4，则点A的坐标为、详细解析:设A，则，∵F( 1，0 )，∴、∴=-=-4、整理得，+12-64=0，∴=4，即y0=±2、∴点A坐标为( 1，±2 )、正确答案:( 1，±2 )8、焦点分别为( 0，5)和( 0，-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程、解设椭圆的方程为=1( a>b>0 )，且a2-b2=( 5)2=50，①由消去y，得( a2+9b2 )x2-12b2x+4b2-a2b2=0、设弦两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=、∵，∴，即a2=3b2，②此时Δ>0、由①②得a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为=1、9、抛物线y2=x上存在P，Q两点关于直线y-1=k( x-1 )对称，求k的取值范围、解设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，∴①-②，得( y1-y2 )( y1+y2 )=x1-x2，∴∴y1+y2=-k、∴-1=k=[( y1+y2 )2-2y1y2-2]、∴-k-2=k[k2-2y1( -k-y1 )-2]，∴2k+2k2y1+k3-k+2=0，∴Δ=4k4-8k( k3-k+2 )>0，∴k( -k3+2k-4 )>0，∴k( k3-2k+4 )<0，∴k( k+2 )( k2-2k+2 )<0，∴k∈( -2，0 )、10、导学号90074086如图，已知抛物线C的顶点为O( 0，0 )，焦点为F( 0，1 )、( 1 )求抛物线C的方程;( 2 )过点F作直线交抛物线C于A，B两点、若直线AO，BO分别交直线l:y=x-2于M，N两点，求|MN|的最小值、解( 1 )由题意可设抛物线C的方程为x2=2py( p>0 )，则=1，所以抛物线C的方程为x2=4y、( 2 )设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，直线AB的方程为y=kx+1、由消去y，整理得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4、从而|x1-x2|=4、由解得点M的横坐标x M=、同理，点N的横坐标x N=、所以|MN|=|x M-x N|==8、令4k-3=t，t≠0，则k=、当t>0时，|MN|=2>2、当t<0时，|MN|=2、综上所述，当t=-，即k=-时，|MN|的最小值是、B组1、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px( p>0 )，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，点A在x轴上方，则△ABO的面积是( )A、8p2B、4p2C、2p2D、p2详细解析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x，由得A( 2p，2p )，则B( 2p，-2p )，所以|AB|=4p，所以S△ABO=×4p×2p=4p2、故选B、正确答案:B2、抛物线y=2x2上两点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )关于直线y=x+m对称，且x1·x2=-，则m等于( )A、B、2 C、D、3详细解析:依题意知k AB==-1，而y2-y1=2( )，∴x2+x1=-，且在直线y=x+m上，即+m，y2+y1=x2+x1+2m，∴2( )=x2+x1+2m，2[( x2+x1 )2-2x2x1]=x2+x1+2m，∴2m=3，m=、正确答案:A3、已知两直线x=±1分别过椭圆=1的两个焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是、详细解析:由题意知椭圆的焦点坐标为( ±，0 )，∵两直线x=±1分别经过椭圆的两个焦点，∴4-b2=1，∴b2=3、∴椭圆方程为=1、直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后，所得一元二次方程的判别式Δ≤0，即方程( 4k2+3 )x2+16kx+4=0的判别式162k2-16( 4k2+3 )≤0，即k2≤，∴-≤k≤、正确答案:-≤k≤4、设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为、详细解析:易知a=2，b=1，c=，所以F1( -，0 )，F2( ，0 )，设P( x，y )，则=( --x，-y )·( -x，-y )=x2+y2-3=x2+1--3=( 3x2-8 )，因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆的短轴端点时，有最小值-2、当x=±2，即点P为椭圆的长轴端点时，有最大值1、正确答案:1，-25、已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A( 0，6)、当△APF周长最小时，该三角形的面积为、详细解析:设双曲线的左焦点为F1，如图、由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+( 2a+|PF1| )+|AF|=|PA|+|PF1|+( 2a+|AF| )、由于2a+|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则应使|PA|+|PF1|最小，即P，A，F1三点共线、∵A( 0，6)，F1( -3，0 )，∴直线AF1的方程为=1，即x=-3、将其代入x2-=1得y2+6y-96=0，解得y=2或y=-8( 舍去)，因此点P的纵坐标为2、∴S△APF==·|F1F|·y A-·|F1F|·y P=×6×6×6×2=12、正确答案:126、已知椭圆+y2=1，求斜率为2的弦的中点轨迹方程、解设直线与椭圆相交所得弦为AB，A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，弦的中点为M( x，y )，则两式相减，得( x1-x2 )( x1+x2 )+2( y1-y2 )( y1+y2 )=0、因此=-=-=2，所以x+4y=0，由题意知点M( x，y )落在椭圆内部，则有+y2<1，即<1，解得-<x<，因此所求的轨迹方程为x+4y=0、7、已知点M( -2，0 )，N( 2，0 )，动点P满足条件|PM|-|PN|=2、记动点P的轨迹为W、( 1 )求W的方程;( 2 )若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值、解( 1 )依题意，知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，因此所求方程为=1( x>0 )、( 2 )当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A( x0，)，B( x0，-)，=2、当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程=1中，得( 1-k2 )x2-2kbx-b2-2=0，①依题意可知方程①有两个不相等的正数根，设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则得|k|>1，=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+b )( kx2+b )=( 1+k2 )x1x2+kb( x1+x2 )+b2==2+>2、综上可知的最小值为2、8、导学号90074087已知点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )( x1x2≠0 )是抛物线y2=2px( p>0 )上的两个动点，O是坐标原点，向量满足||=||、设圆C的方程为x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、( 1 )求证线段AB是圆C的直径;( 2 )当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值、( 1 )证明因为||=||，所以( )2=( )2，即+2-2，整理，得=0，所以x1x2+y1y2=0、①设M( x，y )是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则=0，即( x-x1 )( x-x2 )+( y-y1 )( y-y2 )=0、展开上式并将①式代入，得x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、从而可知线段AB是圆C的直径、( 2 )解设圆C的圆心坐标为( x，y )，则因为=2px( p>0 )，=2px2( p>0 )，所以x1x2=、由( 1 )知x1x2+y1y2=0，所以x1x2=-y1y2，所以-y1y2=、因为x1x2≠0，所以y1y2≠0，所以y1y2=-4p2、所以x=)=+2y1y2 )-( y2+2p2 )，所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2、设圆心C( x，y )到直线x-2y=0的距离为d，则d=、当y=p时，d有最小值，由题设得，所以p=2、。
数学北师大版高中选修2-1(北师大版选修2-1)高二圆锥曲线练习
（北师大版选修2-1第三章）高二圆锥曲线练习 一、选择题1.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）A. 22y x =-B. 24y x =-C. 22y x =-D. 24y x =2.曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同3已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A. 221169x y +=B.2211612x y +=C. 22143x y +=D. 22134x y +=4．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为 （（A ）3（B ）3（C （D ）2 5. 双曲线221(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.836. 设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A.2± B.43± C.12± D.34±7. 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A. 1716B. 1516C. 78D. 0 8. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 8.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.M 是2y x =上的动点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线x-y+1=0的对称曲线C 上的一点，则|MN|的最小值是（ ） A.12- B. 12-1 10椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 A ．45 B ．25C.32D ．4511．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条12．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=物线的方程为A ．x y 232= B ．x y 32=C ．x y 292= D ．x y 92=二.填空题13．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是 。
新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题(附解析)
新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题（附解析）新人教A版选修2-1圆锥曲线复习题（附解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设定点，，动点满足条件＞，则动点的轨迹是（）.A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段或不存在2、抛物线的焦点坐标为（）.A．B．C．D．3、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的值为（）. A．B．C．D．5、设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（）.A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要6、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x －5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）.A.6B.7C.8D.97、过双曲线的右焦点作直线l，交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（）.A.1B.2C.3D.48、设直线，直线经过点(2,1)，抛物线C:，已知、与C共有三个交点，则满足条件的直线的条数为（）.A.1B.2C.3D.49、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）.A.直线B.抛物线C.双曲线D.圆10、以过椭圆的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（）.A.相交B.相切C.相离D.不能确定11、过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是().A.B.C.D.12、若抛物线上总存在两点关于直线对称，则实数的取值范围是（）.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________.14、长度为的线段AB的两个端点A、B都在抛物线上滑动，则线段AB 的中点M到轴的最短距离是.15、是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上任意一点，从引∠的外角平分线的垂线，交的延长线于M，则点M的轨迹是.16、已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（）.Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；Ｄ．的内切圆必通过点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、(本小题满分12分)椭圆的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且|PF1|=,|PF2|=，PF1⊥PF2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.18、(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案是：如图，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：若航天器在轴上方，则在观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19、(本小题满分12分)已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点.如果，求直线AB的方程。
(数学选修2-1)第二章 圆锥曲线 [综合训练B组]及答案
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（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组]及答案一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,02．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定二、填空题1．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
2．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。
4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。
5．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。
【创新设计】2021-2021学年高中数学 2-1圆锥曲线标准训练 苏教版选修2-1(1)
第二章圆锥曲线与方程圆锥曲线双基达标(限时15分钟)1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M知足MF1＋MF2＝10，那么动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，因此动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标知足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，那么动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由概念知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．假设点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，那么点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线概念知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．以下说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应专门注意椭圆的概念的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于|F1F2|，故如此的点不存在．③中点(10，0)到F1、F1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F1F2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的选项是③.答案③6．已知动圆M过定点A(－3，0)，而且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判定动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，因此MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，因此MA＋MB＝8，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．综合提高限时30分钟7．△ABC中，假设B、C的坐标别离是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度为3，那么A点的轨迹方程是________________________________________________________．解析∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC的中点D(0，0)设A (x ，y )，又∵AD ＝3，∴x 2＋y 2＝3(y ≠0)因此A 点的轨迹方程x 2＋y 2＝9(y ≠0)．答案 x 2＋y 2＝9(y ≠0)8．已知动点M 的坐标知足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，那么动点M 的轨迹是__________． 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为核心，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案 抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．假设点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，那么动点P 的轨迹是__________．解析 点P 到直线C 1D 1的距离确实是点P 到点C 1的距离，因此动点P 的轨迹确实是动点到直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部份．答案 抛物线的一部份10．已知点A (－1，0)、B (1，0)．曲线C 上任意一点P 知足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.那么曲线C 的轨迹是______．解析 由PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0，得|PA →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．答案 椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2，0)，求动圆圆心M 的轨迹．解设动圆M的半径为r，∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴MC＝r－2，MA＝r，∴MA－MC＝2，又∵AC＝4>2，∴点M的轨迹是以C、A为核心的双曲线的左支．12．如下图，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c，0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R、Q为两核心，实轴长为2a的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q是圆x2＋y2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P.当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹．解因为线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，因此PA＝PQ.而半径OQ＝OP＋PQ，因此OP＋PA＝2，且2>3＝OA，故点P的轨迹为椭圆(除去与x轴相交的两点)．。
考点18 圆锥曲线与方程提高题汇总(选修2-1)(解析版)
考点18 圆锥曲线与方程提高题汇总一、单选题（共15小题）1.（2021•郑州一模）设点A，B分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若＝5，2＝•，且||＜||，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，设，则（m＞0），再由2＝•，得BN⊥MB，求得m ＝a，可得|AN|，|BN|，cos∠MNB，在△ABN中，由余弦定理列式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：设，则（m＞0），∵2＝•＝（）•＝，∴，即BN⊥MB，则，即（2a+m）2+（6m﹣2a）2＝（5m）2，解得m＝a或m＝．①若m＝时，||＝，||＝2a，不满足||＜||（舍去），②若m＝a时，||＝3a，||＝4a，满足||＜||，则m＝a．∵cos∠MNB＝，在△ANB中，|AB|2＝|AN|2+|BN|2﹣2|AN||BN|•cos∠MNB，即，整理得，即，得e＝．故选：B．【知识点】双曲线的性质2.（2020秋•秦州区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点A作准线的垂线，垂足为H．若tan∠AFH＝2，则＝（）A．B．C．D．2【分析】由题意如图：再由抛物线的性质可得|AF|＝|AH|，在三角形中求出|AF|，|BF|的表达式，可得的值．【解答】解：由题意如图所示：设准线与x轴的交点为M，过点F作FC⊥AH交于C，由抛物线的定义可知|AF|＝|AH|，所以∠AHF＝∠AFH＝α，∠F AH＝π﹣2α＝∠OFB，|BF|＝＝，|AF|＝＝＝，所以＝＝﹣＝＝，故选：C．【知识点】抛物线的性质3.（2020秋•长安区校级期末）已知双曲线是双曲线C上关于原点对称的两点，P是双曲线C上异于A，B的一点，若直线P A与直线PB的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【分析】先设A、B、P点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，推出a，b关系，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意，可设点A（p，q），B（﹣p，﹣q），P（s，t）．，，两式相减可得，由斜率公式得：k1k2＝＝＝＝2．即为b2＝2a2，双曲线C的离心率为e＝＝＝．故选：B．【知识点】双曲线的性质4.（2020秋•皇姑区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交y轴于点A，若点P为线段F A的中点，且|FQ|＝2，则p的值为（）A．B．C．2D．3【分析】如图所示，分别过点P，Q作PE⊥l，QB⊥l，垂足分别为E，B，通过抛物线的性质，结合|PQ|的距离，求解即可．【解答】解：如图所示，分别过点P，Q做QB⊥l，PE⊥l，垂足分别为B，E，设|PF|＝m，由点P为线段F A的中点，则|PF|＝|PE|＝m，|QB|＝|QF|＝2m，|QP|＝3m，所以|AP|＝3m，|FQ|＝2，所以m＝1，|PQ|＝3，直线PQ的斜率为：，PQ的方程为：y＝2（x﹣），代入抛物线方程．可得8（x2﹣px+）＝2px，8x2﹣10px+2p2＝0x1+x2＝p，可得x1+x2+p＝p＝3，P＝故选：B．【知识点】抛物线的性质5.（2020秋•重庆期末）已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF＝α，∠MOR＝β，用a，b表示tanα，tanβ，再求出tan2β，由，得|MN|＝5|FM|，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF＝α，∠MOR＝β，∵，|OF|＝c，a2+b2＝c2，∴|OM|＝a，|FM|＝b，，∴．又∵|OM|＝a，∴．又由，得|MN|＝5|FM|，即，结合a2+b2＝c2，整理可得12a2＝5c2，即离心率．故选：B．【知识点】双曲线的性质6.（2020秋•香坊区校级期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．C．D．【分析】由题意，|F1P|+|PF2|＝2，|F1F2|＝2；从而由余弦定理求解，从而求面积．【解答】解：由题意，椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，|F1P|+|PF2|＝2，|F1F2|＝2；则由余弦定理得，|F1F2|2＝|F1P|2+|PF2|2﹣2|F1P||PF2|cos60°；故4＝（|F1P|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|cos60°﹣2|F1P||PF2|；故4＝12﹣3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|＝；故△PF1F2的面积S＝|F1P||PF2|•sin60°＝；故选：D．【知识点】椭圆的性质7.（2021•浙江模拟）如图，已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin，|AB|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为（）A．3B．C．D．2【分析】设|BF1|＝m，由双曲线定义结合已知|AB|＝|BF2|，即可得到|AF2|＝4a，|BF2|＝8a，在△ABF2中，利用余弦定理可得关于a，c的等式，则双曲线的离心率可求．【解答】解：设|BF1|＝m，则|BF2|＝2a+m，|AF1|＝|AB|﹣|BF1|＝|BF2|﹣m＝2a，则|AF2|＝4a，∴sin＝，解得m＝6a，从而|BF2|＝8a，在△BF1F2中，•cos∠F1BF2，即4c2＝36a2+64a2﹣2×6a×8a×，即c2＝4a2，又e＞1，得e＝．故选：D．【知识点】双曲线的性质8.（2020秋•齐齐哈尔期末）已知双曲线，其左、右焦点分别为F1，F2，点M的坐标为（3，2），双曲线C上的点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足，则△PMF1与△PMF2面积的差＝（）A．﹣2B．2C．4D．6【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，由向量数量积的定义可得∠MF1P＝∠MF1F2，由余弦定理和二倍角公式，可得直线PF1的斜率和方程，求得P的坐标，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线的a＝3，b＝4，c＝5，∵，∴|MF1|•cos∠MF1P＝|MF1|•cos∠MF1F2，∴∠MF1P＝∠MF1F2，∵F1（﹣5，0）、F2（5，0），点M（3，2），∴|MF1|＝2，|MF2|＝2，|F1F2|＝2c＝10，故由余弦定理可得cos∠MF1F2＝＝＝，∴cos∠PF1F2＝2cos2∠MF1F2﹣1＝，∴sin∠PF1F2＝＝，∴tan∠PF1F2＝＝，∴直线PF1的方程为y＝（x+5）．把它与双曲线联立可得P（5，），∴|PF1|＝，∴sin∠MF1F2＝，∴S△MPF1＝••2•＝，∵S＝•2•＝，∴＝﹣＝6．故选：D．【知识点】双曲线的性质9.（2020秋•乐山期中）已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆E于A、B两点，且线段AB被点（2，﹣1）平分，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（2，﹣1），求出斜率，得到a，b关系，即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减得：＝0，∵线段AB的中点坐标为（2，﹣1），∴x1+x2＝4，y1+y2＝﹣2，∴＝，由AB斜率k AB＝＝，∴＝，即a＝2b，e＝＝＝．故选：B．【知识点】椭圆的性质10.（2020秋•辽宁期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF2BF1的周长P与面积p＝4，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，推出AF1|+|AF2|＝，求出|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，判断四边形AF2BF1为矩形，结合面积公式以及已知条件求出3a2＝2c2，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：由题知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，四边形AF2BF1的是平行四边形，|AF1|+|AF2|＝，联立解得，|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，又线段F1F2为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形AF2BF1为矩形，所以S＝|AF1||AF2|＝﹣a2，因为面积p＝4，所以p2＝32S，即p2＝32（﹣a2），解得p2＝32a2，由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，得2a2+＝4c2，即3a2＝2c2，可得e＝．故选：C．【知识点】双曲线的性质11.（2020秋•滨海新区月考）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，则双曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF的长，由题意可得p＝6a，求得双曲线与抛物线的交点坐标，再代入双曲线的方程，可得a，b的关系，再由离心率公式，可得所求值．【解答】解：抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，准线与x轴的交点为E（﹣，0），即|EF|＝p，线段EF被双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的顶点三等分，可得2a＝p，即p＝6a，由题意可得两曲线C1，C2的交点为（，p），（，﹣p），代入双曲线的方程可得﹣＝1，即有9﹣＝1，即有＝，则双曲线C2的离心率为e＝＝＝＝．故选：D．【知识点】圆锥曲线的综合、双曲线的性质12.（2020秋•东安区校级期末）已知圆＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，N是C1上一点，M在C2上，当点M在M1时，|MF|+|MN|取得最小值，当点M在M2时，|MF|﹣|MN|取得最大值，则|M1M2|＝（）A．B．C．D．【分析】求得圆的圆心和半径、抛物线的焦点和准线方程，由C1向准线x＝﹣2作垂线，交抛物线于M1（1，2），由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可得|MF|+|MN|取得最小值；连接FC1，并延长交抛物线于M2，可得|MF|﹣|MN|取得最大值，由直线C1F的方程与抛物线方程联立，可得M2（4，4），运用两点的距离公式可得所求值．【解答】解：圆＝1的圆心C1（3，2），半径为r＝1，抛物线C2：y2＝8x的焦点为F（2，0），由C1向准线x＝﹣2作垂线，交抛物线于M1（1，2）；可得|M1F|+|M1N|取得最小值3﹣（﹣2）﹣1＝4，连接FC1，并延长交抛物线于M2，可得|M2F|﹣|M2N'|取得最大值|FC1|+1＝+1＝4，由直线C1F的方程y＝2（x﹣2），联立抛物线C2：y2＝8x，可得x2﹣5x+4＝0，解得x＝4（1舍去），即有M2（4，4），可得|M1M2|＝＝，故选：D．【知识点】抛物线的性质、圆与圆锥曲线的综合13.（2020•合肥模拟）已知F1，F2是双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，∴设MF1＝m，则MF2＝4m，由双曲线的定义得4m﹣m＝2a，即3m＝2a，得m＝a，在直角三角形MF2F1中，16m2﹣m2＝4c2，即15m2＝4c2，即15（a）2＝4c2，即5a2＝3c2，则a＝c，则e＝＝＝，故选：A．【知识点】双曲线的性质14.（2020•广州二模）过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若＝3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x【分析】由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线F2P：y＝．与已知渐近线方程联立求得P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C 的渐近线方程．【解答】解：如图，不妨设一条渐近线方程为，则F2P所在直线的斜率为﹣，直线F2P：y＝．联立，解得P（）．设A（x0，y0），由＝3，得（，）＝3（x0﹣c，y0），解得A（，）．代入﹣＝1，得，整理得：．∴双曲线C的渐近线方程为y＝．故选：A．【知识点】双曲线的性质15.（2020秋•安徽月考）已知F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若P为双曲线右支上一点，PF1＝2b，在x轴上存在动点T（x0，0）到直线PF1与PF2的距离相等，当x0∈（，）（c是双曲线的半焦距）时，双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（2，）【分析】利用双曲线的定义可得PF2＝2b﹣2a，由动点T（x0，0）到直线PF1与PF2的距离相等，可得PT 平分∠F1PF2，由角平分线的性质可得＝，从而可求得x0＝，进而可得的取值范围，从而可求得双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：因为P为双曲线右支上一点，PF1＝2b，PF1﹣PF2＝2a，所以PF2＝2b﹣2a，在x轴上存在动点T（x0，0）到直线PF1与PF2的距离相等，所以PT平分∠F1PF2，由角平分线的性质可得＝，即＝＝，整理可得x0＝，因为x0∈（，），所以＜＜，化简得＜＜2，所以＜1+＜5，＜＜，即e＝＝∈（，）．故选：B．【知识点】双曲线的性质二、填空题（共9小题）16.（2020秋•辽宁期末）已知M，N为抛物线y2＝8x上两点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，则MN的最小值为．【分析】设出直线方程，联立方程组，结合根与系数的关系以及直线的垂直关系表示出|MN|，再根据二次函数的性质求出|MN|的最小值即可．【解答】解：设直线MN的方程是x＝ty+m，联立，得：y2﹣8ty﹣8m＝0，故△＝64t2+32m＞0，即2t2+m＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝8t，y1y2＝﹣8m，由∠MON＝90°，则•＝x1x2+y1y2＝0，则•+y1•y2＝0，即﹣8m＝0，解得：m＝0（舍）或m＝8，故|MN|＝＝•＝8•＝8，当t2＝0即t＝0时，|MN|取到最小值16，故答案为：16．【知识点】抛物线的性质17.（2020秋•河南月考）已知长为4的线段AB的两个端点A，B都在抛物线y＝2x2上滑动，若M是线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是．【分析】设抛物线y＝2x2的焦点为F，过点A，B，M作抛物线y＝2x2的准线的垂线，垂足分别是A1，B1，M1，推出当弦AB过抛物线的焦点F时，|MM1|取最小值2，然后转化求解即可．【解答】解：设抛物线y＝2x2的焦点为F，过点A，B，M作抛物线y＝2x2的准线的垂线，垂足分别是A1，B1，M1，则，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，所以当弦AB过抛物线的焦点F时，|MM1|取最小值2，此时，点M到x轴的距离取最小值为．故答案为：．【知识点】抛物线的性质18.（2020秋•皇姑区校级期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝，根据圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，可得d≥1，求解可得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥1，即≥1，得e＝≤2，又e＞1，∴e的取值范围为（1，2]，故答案为：（1，2]．【知识点】双曲线的性质19.（2020秋•哈尔滨期末）过双曲线x2﹣y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长为．【分析】根据双曲线方程得双曲线的实半轴与虚半轴长，进一步求得半焦距．由双曲线的定义，可得|PF2|+|QF2|＝|PF1|+|QF1|+8＝|PQ|+8，结合|PQ|＝7即可算出△PF2Q的周长．【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2＝8，∴a＝b＝2，c＝4，根据双曲线的定义，得|PF2|﹣|PF1|＝4，|QF2|﹣|QF1|＝4，∴|PF2|＝|PF1|+4，|QF2|＝（|QF1|+4），相加可得|PF2|+|QF2|＝|PF1|+|QF1|+8，∵|PF1|+|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|+|QF2|＝7+8，因此△PF2Q的周长＝|PF2|+|QF2|+|PQ|＝7+8+7＝14+8．故答案为：14+．【知识点】双曲线的性质20.（2020秋•重庆期末）抛物线y2＝4x的焦点为F，点F关于原点的对称点为Fˈ，P为抛物线上一点，∠PFˈF＝α，∠PFFˈ＝β，若，则直线PF的斜率为．【分析】设抛物线的准线l：x＝﹣1与x轴的交点为F'，过P点作PP'⊥l，垂足为P'．可求出，由此可求出，，进而求出，从而求出直线PF的斜率．【解答】解：设抛物线的准线l：x＝﹣1与x轴的交点为F'，过P点作PP'⊥l，垂足为P'．则∠P'PF'＝α，根据抛物线的定义，知PF＝PP'．在△PF'F中，，∴，∴，∴，可求得．P′与F′不能重合，所以直线PF'与抛物线有两个交点，∴，即，∴直线PF的斜率为．故答案为：【知识点】抛物线的性质21.（2020秋•济宁期末）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率为．【分析】由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N点坐标，再由两点间的距离公式结合|OF|＝|FN|列式求解双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F（c，0），∵FM⊥l1，∴，则直线FM的方程为y＝﹣，联立，解得，得N（，），∵b2＝c2﹣a2，∴|FN|＝＝，∵|OF|＝|FN|，∴c＝，整理得4a2＝3c2，即e＝．故答案为：．【知识点】双曲线的性质22.（2021•浙江模拟）已知双曲线＝1的左顶点为A，B，C分别为双曲线左、右两支上的点，且BC∥x轴，过B，C分别作直线AB，AC的垂线，两垂线相交于点D，若S△BCD＝，则|BC|＝．【分析】由题意设B（x0，y0）（x0＜0），得，且y0≠0，求出BD与CD的方程，可得D点坐标，写出三角形BCD面积的表达式，结合已知面积可得关于y0的方程，解方程即可求得答案．【解答】解：由双曲线方程＝1，得A（﹣3，0），由题意设B（x0，y0）（x0＜0），则点C（﹣x0，y0），得，且y0≠0．直线AB的斜率，则直线BD的方程为．同理可得直线CD的方程为，联立，解得，则D（3，），结合|BC|＝2|x0|，得，∵S△BCD＝，∴，又，∴，解得，则，∴|BC|＝．故答案为：．【知识点】双曲线的性质23.（2021•徐汇区一模）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，直线l与Γ的左、右支分别交于P、Q（P、Q均在x轴上方），若直线PF1、QF2的斜率均为k，且四边形PQF2F1的面积为，则k＝．【分析】由题意结合双曲线的性质得到关于sinθ的方程，解方程求得sinθ的值即可确定k的值．【解答】解：由题意绘制示意图如图所示：由双曲线方程可得：a＝2，c＝3，因为直线PF1、QF2的斜率均为k，所以直线PF1∥QF2，在三角形QF1F2中，设QF2＝x，则QF1＝2a+x＝4+x，设QF2的倾斜角为θ，则由余弦定理得，解得，同理可得：，所以四边形PQF2F1的面积：，解得或（舍去），故．故答案为：．【知识点】双曲线的性质24.（2021•浙江模拟）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，则该双曲线的标准方程为，若O为坐标原点，点P为双曲线上一点，且P在第一象限，|F1P|+|F2P|＝12，则|OP|＝．【分析】利用双曲线的离心率求解a，得到双曲线方程；结合双曲线的定义求出|F1P|，|F2P|，通过平行四边形的性质求解即可．【解答】解：由双曲线方程与离心率为，可得，解得a＝2，所求双曲线方程为：﹣y2＝1，由题意可知，|F1P|+|F2P|＝12，|F1P|﹣|F2P|＝4，解得，|F1P|＝8，|F2P|＝4，如图：在△F1PF2中，cos∠PF2O＝，所以：＝，解得|OP|＝．故答案为：﹣y2＝1；．【知识点】双曲线的性质三、解答题（共9小题）25.（2021•浦东新区一模）已知椭圆C1：＝1，F1、F2为C1的左、右焦点．（1）求椭圆C1的焦距；（2）点Q（，）为椭圆C1一点，与OQ平行的直线l与椭圆C1交于两点A、B，若△QAB面积为1，求直线l的方程；（3）已知椭圆C1与双曲线C2：x2﹣y2＝1在第一象限的交点为M（x M，y M），椭圆C1和双曲线C2上满足|x|≥|x M|的所有点（x，y）组成曲线C．若点N是曲线C上一动点，求•的取值范围．【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得焦距2c；（2）设，代入x2+4y2＝4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m，进而得到直线方程；（3）求得M的坐标，设N（x，y）是曲线C上一点，运用向量的坐标运算，可得，分别讨论M在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】解：（1）由椭圆C1：＝1，可得a＝2，b＝1，c＝＝，则椭圆C1的焦距为；（2）由k OQ＝，设，代入x2+4y2＝4得x2+2mx+2m2﹣2＝0，由△＝4m2﹣8（m2﹣1）＝8﹣4m2＞0，得，x A+x B＝﹣2m，x A x B＝2m2﹣2，所以|AB|＝•＝•，又Q到直线l的距离为，由，所以；（3）由，解得，设N（x，y）是曲线C上一点，则，，，，所以；当点N在曲线x2+4y2＝4（|x|≥|x M|）上时，，当时，，当y＝0时，，所以；当点N在曲线x2﹣y2＝1（|x|≥|x M|）上时，；当时，，；综上，．【知识点】椭圆的性质、直线与圆锥曲线的综合26.（2021•青浦区一模）已知动点M到直线x+2＝0的距离比到点F（1，0）的距离大1．（1）求动点M所在的曲线C的方程；（2）已知点P（1，2），A、B是曲线C上的两个动点，如果直线P A的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点P（1，2），A、B是曲线C上的两个动点，如果直线P A的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．【分析】（1）由题意可得，动点M到直线x＝﹣1的距离和到点F（1，0）的距离相等，再由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线P A的斜率为k，得直线PB的斜率为﹣k，分别写出P A，PB所在直线方程，与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，可得直线AB的斜率为定值﹣1；（3）设直线P A的斜率为k，则直线PB的斜率为2﹣k，由（2）可知A的坐标，写出PB的方程，与抛物线方程联立求得B的坐标，写出AB所在直线方程，由直线系方程可得直线线AB过定点．【解答】解：（1）动点M到直线x+2＝0的距离比到点F（1，0）的距离大1，等价于动点M到直线x＝﹣1的距离和到点F（1，0）的距离相等，由抛物线的定义可得，曲线C的方程为y2＝4x；证明：（2）设直线P A的斜率为k，由直线P A的斜率与直线PB的斜率互为相反数，得直线PB的斜率为﹣k，则：l P A：y﹣2＝k（x﹣1），l PB：y﹣2＝﹣k（x﹣1），联立，得k2x2﹣（2k2﹣4k+4）x+（2﹣k）2＝0．结合根与系数的关系，可得A（，）；联立，得k2x2﹣（2k2+4k+4）x+（k+2）2＝0，结合根与系数的关系，可得B（，）．∴，即直线AB的斜率为定值﹣1；证明：（3）设直线P A的斜率为k，则直线PB的斜率为2﹣k，由（2）可知，A（，）；PB所在直线方程为y﹣2＝（2﹣k）（x﹣1），联立，得（2﹣k）y2﹣4y+4k＝0，解得B（，）．∴，∴AB所在直线方程为，整理得，∴直线AB过定点（﹣1，0）．【知识点】直线与圆锥曲线的综合27.（2021•奉贤区一模）如图，曲线τ的方程是x2﹣y|y|＝1，其中A、B为曲线τ与x轴的交点，A点在B点的左边，曲线τ与y轴的交点为D．已知F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，△DBF1的面积为．（1）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，设点P的横坐标为x P、Q的横坐标为x Q，求证：x P•x Q是定值；（2）过点F2的直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围；（3）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，当时，求成立时λ的值．【分析】（1）求出点P，点Q的坐标，计算即可得证；（2）根据题意可得，设直线n的方程为，由直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，可得m＝1，显然直线n的方程为时也符合题意，进而得出结论；（3），利用数量积公式建立关于k的方程，解出k，进而得出答案．【解答】解：（1）证明：设直线方程y＝k（x﹣1）与x2﹣y2＝1（y≥0）交点坐标，设直线方程y＝k（x﹣1）与x2+y2＝1（y≤0）交点坐标，∴x P•x Q＝1；（2）根据面积，得，设过点F2，直线n的方程为，则只有一个交点，故方程只有一个解，亦即，由判别式△＝8m2﹣4（1+m2）（2m2﹣1）＝0，解得m＝1，显然直线n的方程为时也符合题意，由图可知，当与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线y＝﹣x平行时，m＝﹣1，此时仅有一个交点，∴直线n的倾斜角的取值范围为；（3），＝，∵，∴，∴，∴，，∴．【知识点】圆锥曲线的综合28.（2019秋•昌吉市期末）设点M是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．【分析】（1）根据椭圆的性质及椭圆的离心率公式即可求得椭圆方程；（2）方法一：利用椭圆的参数方程，根据点到直线的距离公式，利用辅助角公式及三角函数图象及性质即可求得M到直线的距离的最大值；方法二：作出直线l1的及椭圆，观察图形，可以发现，利用平行于直线l1且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最大值．【解答】解：（1）由题意可知2a＝4，则a＝2，离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆的标准方程；（2）方法一：设M（2cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π）则M到直线x+y﹣5＝0的距离d＝＝，所以当sin（θ+）＝﹣1时，d取最大值，最大值为．所以点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．方法二：由直线l1的方程与椭圆的方程可以知道，直线l1与不相交，设直线m平行于直线l1，则直线m的方程可以写成x+y+k＝0，由方程组，消去y，得4x2+6kx+3k2﹣12＝0，①令方程①的根的判别式△＝0，得36k2﹣4×4（3k2﹣12）＝0，②解方程②得k1＝4或k2＝﹣4，由图可知，当k＝4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为x+y+4＝0，直线m与直线l1的距离d＝＝．所以点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．【知识点】椭圆的性质29.（2018秋•城关区校级期中）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点P（，），离心率是．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为（，），求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，由点差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到中点弦方程，分别求得与x，y轴的交点，可得三角形的面积．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，+＝1，a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1．即有椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），即有+y12＝1，+y22＝1，两式相减可得+（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，由中点坐标公式可得x1+x2＝1，y1+y2＝1，即有AB的斜率为k AB＝＝﹣，可得直线AB的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝．则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝××＝．【知识点】椭圆的性质30.（2017秋•和平区期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|＝3，直线y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p＝2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1＝0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y＝x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2＝2px，上且|DF|＝3由抛物线定义得，∴p＝2故抛物线的方程为y2＝4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6；∵直线y＝x﹣1过抛物线y2＝4x的焦点F，∴|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8又O到直线y＝x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【知识点】抛物线的性质31.（2020秋•沛县月考）已知椭圆＝1内有一点P（1，1），F为右焦点，椭圆上的点M．（1）求|MP|﹣|MF|的最大值；（2）求|MP|+|MF|的最小值；（3）求使得|MP|+|MF|的值最小时点M的坐标．【分析】（1）运用三点M，P，F共线取得最值，可得所求最大值；（2）先由椭圆的第一定义进行转化，再结合三点共线取得最值的性质，可得|MP|+|MF|的最小值；（3）利用椭圆的第二定义进行转化，再由三点共线无最值，即可求出当|MP|+|MF|取最小值时，点M的坐标．【解答】解：（1）设左焦点为F′，椭圆＝1可得a＝5，b＝4，c＝＝3，则焦点坐标为F（3，0），F'（﹣3，0），e＝＝，由|MP|﹣|MF|≤|PF|，（当且仅当M，P，F三点共线取得等号）而|PF|＝＝，则求|MP|﹣|MF|的最大值为；（2）由|MF|+|MF′|＝10，所以|MF|＝10﹣|MF′|，|MP|+|MF|＝10+|MP|﹣|MF′|≤10+|PF′|，（当且仅当M，P，F'三点共线取得等号．）而|PF'|＝＝，所以|MP|+|MF|的最大值为10+；（3）由题意可得点P在椭圆内部，设M到椭圆的右准线l：x＝的距离为d，由椭圆的第二定义可知d＝|MF|，则|MP|+|MF|＝d+|PM|，由题意可得，过P作PN⊥l，当M为该垂线与椭圆的右交点时，所求的值最小，此时y M＝1，代入椭圆方程可得x M＝，故M（，1）．【知识点】椭圆的性质32.（2020秋•沛县月考）（1）若点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，求点P的轨迹方程．（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差绝对值等于8，求曲线C2的标准方程．【分析】（1）把直线x＝﹣1向左平移一个单位变为x＝﹣2，此时点P到直线x＝﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，即可得到点P的轨迹方程；（2）通过椭圆方程即得双曲线C2的焦点坐标，利用定义可得结论．【解答】解：（1）点P到直线x＝﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P到直线x＝﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝8x；（2）由题意知曲线C2即为双曲线，设其方程为：（a＞0，b＞0），∵椭圆C1的离心率为，∴e＝＝，又∵椭圆C1的焦点在x轴上，且长轴长为26，∴a1＝13，﹣52＝169﹣25＝144，∴椭圆C1的方程为：，∴椭圆C1的焦点坐标分别为：（5，0）、（﹣5，0），∴双曲线C2是以（5，0）、（﹣5，0）为焦点、2a＝8的双曲线，则a＝4，c＝5，b＝＝＝3，即双曲线C2的方程为：．【知识点】椭圆的性质、轨迹方程33.（2019秋•罗湖区校级月考）设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆+＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．（1）若直线l过（0，4），证明：OA⊥OB；（2）求证：的值与直线l的斜率的大小无关．【分析】（1）设直线方程为y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和点满足抛物线方程，结合向量垂直的条件，即可得证；（2）设直线y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得k1+k2；再联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得k3+k4，即可得证．【解答】证明：（1）设直线方程为y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），由x12＝4y1，x22＝4y2，两式相乘可得（x1x2）2＝16y1y2，由可得x2﹣4kx﹣16＝0，则x1x2＝﹣16，y1y2＝16，x1x2+y1y2＝0，即•＝0，OA⊥OB；（2）设直线y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），可得x2﹣4kx﹣4m＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 k 1+k 2＝+＝+＝k ，联立y ＝kx +m 和椭圆2x 2+3y 2＝12，可得（2+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣12＝0， △＝36k 2m 2﹣4（2+3k 2）（3m 2﹣12）＞0，即4+6k 2＞m 2，x 3+x 4＝﹣，x 3x 4＝，k 3+k 4＝+＝+＝2k +m （+）＝2k +＝2k ﹣＝﹣，则＝﹣与直线l 的斜率的大小无关．【知识点】圆锥曲线的综合。
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第二章
圆锥曲线
[提高训练B 组]
一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,02．以椭圆116252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）
A ．1481622=−y x
B ．127922=−y x
C ．1481622=−y x 或127
92
2=−y x D ．以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（
）A ．12−B ．2C ．12+D ．2
2+4．21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（）
A ．7
B ．47
C ．27
D ．2
5
75．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++−+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（）
A ．23x y =或23x y −=
B ．23x y =
C ．x y 92−=或23x y =
D ．23x y −=或x
y 92=6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（
）A ．2p
B ．p
C ．p 2
D ．无法确定
二、填空题
1．椭圆22
189
x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。
2．双曲线2288kx ky −=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。
3．若直线2=−y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。
4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。
5．若双曲线1422=−m
y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________．6．设AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。
三、解答题
1．已知定点(A −，F 是椭圆22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +取得最小值。
2．k 代表实数，讨论方程22280kx y +−=所表示的曲线
3．双曲线与椭圆136
272
2=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求其方程。
4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。