2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第3章 3.1 不等关系与不等式 Word版含答案

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数学人教B版必修五教案3.1.1不等关系与不等式含答案

教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？(2)在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？(3)数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？(4)任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x A＜x B.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40 km/h 的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a ＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t 表示某天的气温，则26 ℃≤t ≤32 ℃.实例3，若用x 表示一个非负数，则x ≥0.实例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下图．|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v 表示速度，则v ≤40 km/h.实例7，⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%，p ≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f ≥2.5%或p ≥2.3%，这是不对的．但可表示为f ≥2.5%且p ≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a 和b ，在a ＝b ，a ＞b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a －b ＞＞b ；a －b ＝＝b ；a －b ＜＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.例2比较下列各组数的大小(a ≠b)．(1)a ＋b 2与21a ＋1b(a ＞0，b ＞0)； (2)a 4－b 4与4a 3(a －b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a ＋b 2－21a ＋1b＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2(a ＋b )＝(a －b )22(a ＋b ). ∵a ＞0，b ＞0且a ≠b ，∴a ＋b ＞0，(a －b)2＞0.∴(a －b )22(a ＋b )＞0，即a ＋b 2＞21a ＋1b . (2)a 4－b 4－4a 3(a －b)＝(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)－4a 3(a －b)＝(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b)[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)]＝－(a －b)2(3a 2＋2ab ＋b 2)＝－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]．∵2a 2＋(a ＋b)2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，又a ≠b ，∴(a －b)2＞0,2a 2＋(a ＋b)2＞0.∴－(a －b)2[2a 2＋(a ＋b)2]＜0.∴a 4－b 4＜4a 3(a －b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 、b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a ＜b ，且a b≥10%，由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，于是a ＋m b ＋m ＞a b .又a b≥10%，因此a ＋m b ＋m ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a 、b 为正实数，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞a b.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A．3 B．2 C．1 D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A 组3；习题3—1B 组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x －3)2与(x －2)(x －4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)m 2－2m ＋5和－2m ＋5；(2)a 2－4a ＋3和－4a ＋1.3．已知x ＞0，求证：1＋x 2＞1＋x. 4．若x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小．5．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．参考答案：1．解：∵(x －3)2－(x －2)(x －4)＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，∴(x －3)2＞(x －2)(x －4)．2．解：(1)(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)＝m 2－2m ＋5＋2m －5＝m 2.∵m 2≥0，∴(m 2－2m ＋5)－(－2m ＋5)≥0.∴m 2－2m ＋5≥－2m ＋5.(2)(a 2－4a ＋3)－(－4a ＋1)＝a 2－4a ＋3＋4a －1＝a 2＋2.∵a 2≥0，∴a 2＋2≥2＞0.∴a 2－4a ＋3＞－4a ＋1.3．证明：∵(1＋x 2)2－(1＋x)2＝1＋x ＋x 24－(x ＋1)＝x 24，又∵x ＞0，∴x 24＞0.∴(1＋x 2)2＞(1＋x)2.由x ＞0，得1＋x 2＞1＋x.4．解：(x 2＋y 2)(x －y)－(x 2－y 2)(x ＋y)＝(x －y)[(x 2＋y 2)－(x ＋y)2]＝－2xy(x －y)．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0.∴－2xy(x －y)＞0.∴(x 2＋y 2)(x －y)＞(x 2－y 2)(x ＋y)．5．解：∵a ab b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b )a －b ，且a ≠b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a .当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0.则(a b )a －b ＞1.于是a a b b ＞a b b a .综上所述，对于不相等的正数a、b，都有a a b b＞a b b a.。

高中数学人教B版必修5学案：3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式课堂探究学案(含答案)

不等关系与不等式讲堂研究一、比较大小常用的方法解析：证明一个不等式和比较实数的大小相同，依据题目的特色能够有不一样的证明方法．(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，可是它们又有自己的合用范围，关于不一样的问题应入选择不一样的方法进行解决．①一般实数大小的比较都能够采纳作差法，可是我们要考虑作差后与0 的比较，往常要进行因式分解，配方或许其余变形操作，所以，作差后一定简单变形到能看出与0 的大小关系的式子．②作商法主要合用于那些能够判断出恒为正数的数或许式子，拥有必定的限制性，作商后要与 1 进行比较，所以，作商后一定易于变为能与 1 比较大小的式子，此种方法主要合用a b于那些含有幂指数的数或式子的大小的比较，比如，比较a a b b与ab2的大小就能够使用作商法．③在解决这些问题的时候，依据实质状况选择此中一种适合的方法．要依据题目的详细构造特色，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．(2)要注意不等式与函数的联合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤其是函数的单一性．如：a>b a3>b3，可依据幂函数y＝ x3在R上单一递加获得．名师点拨：利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分状况对变量进行议论，议论时应做到不重不漏．二、教材中的“思虑与议论”a c已知b＝d，假如 c＞ d，那么 a＞ b 能否必定成立？请说明原由．a c解析：不必定成立．如c＝1，d＝－1时， c＞ d，此时若 a＝－1， b＝1，也知足b＝d，但不知足 a＞ b．题型一用不等式 ( 组 ) 表示不等关系【例 1】某矿山车队有 4 辆载重为10 t的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有9 名驾驶员．此车队每日起码要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每日可来回6次，乙型卡车每辆每日可来回8 次，写出知足上述全部不等关系的不等式．解析：解答此题只要用不等式表示上述不等关系即可．解：设每日派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则15x 4 y 30,即 0x4, x N ,0y7, y N ,反省：此题易忽视甲型卡车和乙型卡车的总和不超出驾驶员人数而致使错误．致使错误的原由是没有真实理解题意，所以解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．题型二比较两数的大小【例 2】当x≥1时，比较x3＋1与2x2－2x＋2的大小．解析：依据 >a －>0， <a－<0，只要比较所给两个式子的差值与0 的大小a b b a b b 即可．解： x3＋1－(2 x2－2x＋2)＝x3－2x2＋2x－1＝x3－ x2－( x2－2x＋1)＝x2( x－1)－( x－1)2＝(x－ 1)( x2－x＋ 1)12 3＝(x－ 1) x－2＋4，1 23∵x≥1，∴ x－1≥0， x－＋>0，1 23∴(x－1)x－2＋4≥0．∴x3＋1≥2x2－2x＋2．反省：利用作差法比较大小时重点在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，而后确立每个因式的符号，进而确立积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子( 或分母 ) 有理化等方法．题型三不等关系的实质应用【例 3】商铺销售茶壶和茶杯，茶壶每个订价20 元，茶杯每个订价 5 元，该店推出两种优惠方法：(1) 买一个茶壶赠予一个茶杯；(2) 按总价的92%付款．某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个( 许多于 4 个 ) ，若设购置茶杯数为x 个，付款数为y(元)，试分别成立两种优惠方法的y 与 x 之间的函数关系式，并议论该顾客买相同多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．解析：此题是一次函数问题，经过成立两种优惠方法的一次函数模型，而后利用作差法议论选哪一种优惠方法．解：由优惠方法 (1) 得y1＝20×4＋ 5( x－4) ＝ 5x＋60( x≥4) ，2由优惠方法 (2) 得y2＝ (5 x＋ 20×4) ×92%＝ 4.6 x＋ 73.6( x≥4) ．y1－y2＝0．4x－13.6( x≥4)，令 y1－ y2＝0，得 x＝34．当购置 34 只茶杯时，两种方法付款相同；当 4≤x<34 时，y1<y2，优惠方法 (1) 省钱；当 x>34时， y1>y2，优惠方法(2)省钱．反省：利用作差法比较两个代数式的大小时，假如不可以直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类议论．题型四易错辨析【例4】设＋＞ 0，n 为偶数，比较b n－ 1a n－ 1 1 1n ＋n与＋的大小．a b a b a bn n n n n n－1)b－ 1a－1 1 1 ( a－ b )( a －1－ b错解：a n ＋b n －a－b＝( ab) n．∵n 为偶数，∴( ab)n＞0．又 a n－ b n与 a n－1－b n－1同号，( a n－b n)( a n－1－b n－1)b n－ 1a n－ 1 1 1∴(ab) n＞0，即a n＋b n－a－b＞0．b n－ 1a n－1 1 1∴a n ＋b n ＞a＋b．错因解析： n 为偶数时， a n－ b n和 a n－1－ b n－1不必定同号，这里忽视了在题设条件a＋ b＞ 0 且没有明确字母的详细值的状况下，要考虑分类议论，即对＞0，＞ 0 和a ，b有ab一个负值的状况加以议论．n－ 1n－1n nn－1n－1b a 1 1 ( a－ b )( a－ b )正解：a n ＋b n－a－b＝( ab) n．(1)当 a＞0， b＞0时，( a n－ b n)( a n－1－ b n－1)≥0，( ab)n＞0，n n n－1n－1( a－ b )( a－ b)所以( ab) n≥0，b n－ 1a n－ 111故a n ＋b n ≥a＋b．(2)当 a，b 有一个为负数时，不如设 a＞0，b＜0，且 a＋ b＞0，所以 a＞| b|．又 n为偶数，所以n n n－ 1n－ 1n( a－b )·(a－ b) ≥0，且 ( ab) ＞ 0，( a n－b n)( a n－1－b n－1)故(ab) n≥0，n－ 1n－ 11 1即a n ＋b n ≥a＋b．abb n－ 1a n－1 1 1综合 (1)(2)可知，a n＋b n≥a＋b．3。

人教版数学高二B数学必修5学案 3.1 不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学习目标：1.了解不等式的性质．(重点)2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)[自主预习·探新知]1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号<，≤，>，≥，≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤4．常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a>b，b>c⇒a>c1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.()(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.()(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(4)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()[解析](1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，故此说法正确．(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．(3)√.因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(4)√.因为不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．用不等号填空：(1)若a>b，则ac2________bc2.(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.(3)若a>b，c<d，则a－c________b－d.(4)已知x<1，则x2＋2________3x.[解析](1)因为当c2>0时，有ac2>bc2.当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”．(2)因为a＋b>0，b<0，所以a>0，故应填“<”．(3)因为c<d，所以－c>－d，又因为a>b，所以a－c>b－d，故应填“>”．(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，则(x－2)(x －1)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故应填“>”．[答案](1)≥(2)<(3)>(4)>[合作探究·攻重难]用不等式(组)表示不等关系所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上，若该班除小李外共有x人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系.【导学号：12232270】[解]由于该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：⎩⎪⎨⎪⎧12x－y＝84，10x<y，11x－y>40，x∈N＋.[规律方法] 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.[跟踪训练]1．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．图3-1-1[解]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L＋10)(W＋10)＝350，L>4W，L>0，W>0.实数大小的比较设x，y，z∈R2224x＋2z－2的大小.【导学号：12232271】[解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[规律方法] 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.[跟踪训练]2．已知a ，b ∈R ＋.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )，当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.不等式的性质应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12，又∵－6<a <8， ∴－2<ab <4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？ [提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．(1)已知－π2≤α<β≤π2，试求α－β2的取值范围；(2)设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围.【导学号：12232272】[思路探究] (1)－π2≤α<β≤π2→α－β的范围→α－β2的范围 (2)法一：用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围法二：用f (－1)，f (1)表示a ，b →用a ，b 表示f (－2) →用f (－1)，f (1)表示f (－2)→f (－2)的范围 [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4， ∴－π4≤－β2<π4， ∴－π2≤α－β2<π2. 又α<β，∴α－β2<0， ∴－π2≤α－β2<0.∴α－β2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0.(2)法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[5,10]．法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[5,10]．[规律方法] 1.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2.利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.[跟踪训练]3．(1)已知12<a<60,15<b<36，求a－b与ab的取值范围；(2)若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.[解](1)∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.∵136<1b<115，∴1236<ab<6015，∴13<ab<4.∴a－b和ab的取值范围分别是(－24,45)，⎝⎛⎭⎪⎫13，4.(2)证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd>0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.[当堂达标·固双基]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()【导学号：12232273】A．5x＋4y<200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200D[据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.]2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是() A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5A[M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.]3．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为()【导学号：12232274】A.a＋mb＋m＜ab B．a＋mb＋m＞abC.a－mb－m＜ab D．a－mb－m＞abB[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．加糖之前糖水的浓度为ab，加糖之后糖水的浓度为a＋m b＋m，故a＋mb＋m>ab.]4．已知－1<2x－1<1，则2x－1的取值范围是_________．(1，＋∞)[－1<2x－1<1⇒0<x<1⇒1x>1⇒2x>2⇒2x－1>1.]5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：e(a－c)2>e(b－d)2.【导学号：12232275】[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－高中数学打印版校对完成版本 1)(3x 2＋1)．∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1>0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0， ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.(2)证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2.。

高中数学人教B版必修五教案：3.1不等关系与不等式5

2018—2019 学年度第一学期渤海高中高二教课设计主备人：使用人：时间：2018年 9月 28 日课题不等关系与不等式课时第一课时课型新讲课教课1、会表示不等关系依照：数学课程标准要点2、用作差比较两个数的大小教课比较两个数的大小依照：教参，教材难点原因：一、知识目标依据本学习1、能用不等式 (组) 表示实质问题的不等关系. 节课重目标2、学会作差法比较两实数的大小．难点制二、能力目标定能归纳总结比较两个数大小的方法的解题步骤及注意事项教具教课环节多媒体课件、教材，教辅教课内容教师行为学生行为设计企图时间1. 课前3 分钟一、解读学习目标二、课前检测用不等关系表示以下几个命题：(1)a 与 b 的和是非负数可表示为 ________；(2)某公路立交桥对经过车辆的高度 h“限高 4 m”可表示为 ________；(3)设点 A 与平面α的距离为d，B 为平面α上的随意一点，则 d 的取值范围为________；评论总结预习独立达成课前明确本节状况结果检测课学习目 3标，准备学分习。

钟(4)随意实数 a， b 之间的大小关系可表示为 ________．1、用不等式 (组)表示不等关系2.例 1 2008 年春节前夜，我承国南方大多数地域遭到特大接雪冻天气．灾区学生小李家结中经济发生困难，为帮助小果李解决开学花费问题，小李所在班级学生( 小李除外 )决定担当这笔花费．若每人承担 12 元人民币，则剩余84元；若每人担当10 元，则不够；若每人担当11 元，又多出 40 元以上．若该班除小李外共有 x 人，这笔开学花费共用 y 元，用不等式 ( 组)表示上述不等关系．2、实数大小的比较例 2 (1)已知 x<1，比较 x3－ 1 与 2x2－ 2x 的大小．(2)设 x， y， z∈R，比较 5x2＋ y2＋ z2与 2xy＋ 4x＋ 2z－ 2的大小．1、评论学生的1、展现列出解决学生 8展现结果不等关系自主学习分2、巡视学生的2、小组议论中碰到的钟达成状况比较大小关系疑惑，加深3、对学生的展的过程学生对知示和评论要给识的印象予实时的反馈。

2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：3-1不等关系

3.1.2 不等式的性质1．掌握不等式的性质．2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔______.(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒______. (3)加法法则：a ＞b ⇔________. 推论1 a ＋b ＞c ⇒a ＞______；推论2 a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞______.(4)乘法法则：a ＞b ，c ＞0⇒______；a ＞b ，c ＜0⇒______. 推论1 a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒______；推论2 a ＞b ＞0⇒a n ＞b n(n ∈N ＋，n ＞1)；推论3 a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ＋，n ＞1)．在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【做一做1】已知a ＞b ，则下列各式中正确的个数是( )． ①ac ＜bc ；②ac ＞bc ；③(a －b )c ＞0.A ．0B ．1C ．2D ．3【做一做2】已知a ＞b ，c ＞d ，e ＞0，则a ＋ce ______b ＋de (填“＞”或“＜”)．【做一做3】已知a ＞b ＞0，c ＜0，则c a ________c b(填“＞”或“＜”)．一、不等式的性质的应用误区剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ，已知的两个不等式必须是同向不等式；(2)a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；(3)a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ＋，n ＞1)及a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ＋，n ＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n ∈N ＋，n ＞1，否则结论就不成立．假设去掉b ＞0这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n ∈N ＋，n ＞1”这个条件，取a ＝3，b ＝2，n ＝－1，又会出现3－1＞2－1，即13＞12的错误结论．对于性质4的推论2和推论3，在n 取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞b ⇒a n ＞b n(n ＝2k ＋1，k ∈N )，a ＞b ⇒na ＞nb (n ＝2k ＋1，k ∈N )．(1)性质中的a 和b 可以是实数，也可以是代数式． (2)性质3是不等式移项法则的基础．(3)性质3的推论2是同向不等式相加法则的依据．(4)若a ＞b 且ab ＞0，则1a ＜1b .若a ＞b ，且ab ＜0，则1a ＞1b，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．(5)若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .(6)若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a d ＞b c.二、教材中的“？”在解一元一次不等式3x －2≤5x ＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？剖析：题型一判断真假【例1】下列命题中，一定正确的是( )． A ．若a ＞b ，且1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0B ．若a ＞b ，b ≠0，则a b＞1C ．若a ＞b ，且a ＋c ＞b ＋d ，则c ＞dD ．若a ＞b ，且ac ＞bd ，则c ＞d反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型二应用不等式的性质证明不等式【例2】已知a ，b 为正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小．反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或n 次方作差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形．题型三不等式性质的实际应用【例3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a ，b ，根据题意知a ＜b 且a b≥10%，然后设同时增加的面积为m ，得到a ＋m ＜b ＋m ，用比较法判断a ＋mb ＋m 与ab的大小即可．反思：一般地，设a ，b 为正实数，且a ＜b ，m ＞0，则a ＋mb ＋m ＞ab.利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添上m 克糖(m ＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0.618，从而带给观众更美的享受．题型四易错辨析【例4】已知－π2＜β＜α＜π2，求2α－β的取值范围．错解：∵－π2＜α＜π2，∴－π＜2α＜π.又∵－π2＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2.∴－3π2＜2α－β＜3π2.错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋(α－β)的取值范围，因为忽视了不等式自身的隐含条件β＜α⇔α－β＞0而导致扩大了取值范围．1a ≥b 可以推出( )． A ．1a ≥1b B ．ac 2≥bc 2C ．a c2＞b c2 D ．(ac )2≥(bc )22若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )．A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2C ．b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |3已知a ＜0，－1＜b ＜0，则下列不等式成立的是( )．A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞aC ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a4已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 的值的符号为________．5实数a ，b ，c ，d 满足三个条件：①d ＞c ，②a ＋b ＝c ＋d ，③a ＋d ＜b ＋c ，则将a ，b ，c ，d 按照从大到小的次序排列为________．答案：基础知识·梳理(1)b ＜a (2)a ＞c (3)a ＋c ＞b ＋c c －b b ＋d (4)ac ＞bc ac ＜bc ac ＞bd 【做一做1】A 【做一做2】＞【做一做3】＞典型例题·领悟【例1】A 对选项A ，∵1a ＞1b ，∴b －aab＞0.又a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＜0，∴a ＞0，b ＜0；对选项B ，当a ＞0，b ＜0时，有ab＜1，故B 错；对选项C ，当a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C 错；对选项D ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－1，d ＝3时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D 错．【例2】证明：证法一：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(b a －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab.因为a ，b 为正实数，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.于是有(a ＋b )(a －b )2ab≥0.当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．证法二：因为(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，所以(a b ＋b a)2－(a ＋b )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab －(a ＋b ＋2ab )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab，因为a ，b 为正实数，所以(a ＋b )(a －b )2ab ≥0，所以(a b ＋b a )2≥(a ＋b )2.又因为a b ＋b a ＞0，a＋b ＞0，所以a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【例3】解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求可知a ＜b 且ab≥10%.由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )＞0，于是a ＋m b ＋m ＞a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m ＞a b≥10%.所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．【例4】正解：∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2.∴－π＜α－β＜π.又∵β＜α，∴α－β＞0， ∴0＜α－β＜π，∴－π2＜2α－β＜32π.随堂练习·巩固1．B ∵c 2≥0，a ≥b ，∴ac 2≥bc 2.2．D 可取特殊值，令a ＝－1，b ＝－2代入验证知选项D 不正确．3．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1＜b ＜0，所以0＜b 2＜1.所以a ＜ab 2＜0，且ab ＞0，易得答案D.本题也可以根据a ，b 的取值范围取特殊值，比如令a ＝－1，b＝－12，也容易得到正确答案．4．正 ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )， ∴b 2＝a 2＋c 2＋2ac . ∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2.∵a ＞c ，∴(a －c )2＞0. ∴b 2－4ac ＞0，即b 2－4ac 的符号为正．5．b ＞d ＞c ＞a 由③可得，d －b ＜c －a ；由②可得，c －a ＝b －d ，于是有d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ，∴d ＜b ，a ＜c .再由①d ＞c 可得：b ＞d ＞c ＞a .。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元 3.1.1 不等关系与不等式 Word版含答案

3．1.1不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会作差法比较两实数的大小．知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？梳理试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a____b(2)a小于b a____b(3)a不超过b a____b(4)a不小于b a____b对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．知识点二p推出q的符号表示1．“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p____q，读作“p推出q”．2．如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p____q，读作“p等价于q”或“q等价于p”．知识点三作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？梳理作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.类型一用不等式(组)表示不等关系例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？类型二作差法命题角度1作差法比较大小例2已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.1 不等关系与不等式》1

不等关系与不等式的教学设计辽宁省营口市开发区熊岳高中数学组李明不等关系与不等式的教学设计一、教材分析本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。

不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用二、教学目标分析鉴于本节的地位与作用，根据新课标准的要求及高三学生的认知水平，我将教学目标确定为以下三个方面。

（1）知识与技能：通过具体情境感受在现实世界和日常生活中的存在着大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；（2）过程与方法：通过解决具体问题，学会解决比较大小的基本方法。

（3）情感与价值：通过通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

教学重点：比较大小的基本方法：作差法和作商法，及特值法教学难点：作商法和作差法三、学情分析本节课面对的是高中三年级的学生，学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

在学习过程中，教师要抓住学生熟悉的心理，积极调动起学生的学习兴趣。

学生层次参次不齐，个体差异比较明显。

教师只要适当地进行引导，就会取得很好的教学效果四、教学过程由大屏幕显示不等式与不等关系考纲要求，考点分布及考情【设计意图】：让学生在学习知识之前做到心中有数（一）复习旧知（回归教材）教师提问，学生回答，大屏幕显示答案1、两个实数比较大小的依据2、不等式的性质3、不等式的常用性质【设计意图】：学生重新复习教材的内容，可以达到进一步巩固已有知识，，同时达到能熟练应用旧知识的目的（二）知识的回顾由大屏幕显示例1，教师组织学生分组讨论，回答问题例1：下列命题：①若b a bc ac >>则,22；②22,0b ab a b a <<<<则若③已知m b a ,,均为正数，并且b a <，则ba mb a >++m ④x x 432--的最大值是342- 其中正确的命题是教师给学生思考时间后回答问题，并说明理由【设计意图】：这个例子针对的是不等式的性质和常用性质的练习，让学生对不等式的性质的应用有个更进一步的认识，以及在高考中这一块知识如何命题。

2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第3章阶段复习课 Word版含答案

第三课不等式[核心速填]1．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . 2．均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋，当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．常用不等式(1)a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ，b ∈R ＋当且仅当a ＝b 时取等号)．4．三个“二次”关系的实质ax 2＋bx ＋c ＝0的根⇔y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点(x,0)的横坐标； ax 2＋bx ＋c >0的解集⇔y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上的点(x ，y )在x 轴上方的横坐标的取值范围；ax 2＋bx ＋c ＝0的根⇔ax 2＋bx ＋c >0解集的端点值． 5．线性规划当B >0时Ax ＋By ＋C >0所对应的平面区域是直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的部分； Ax ＋By ＋C <0所对应的平面区域是直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的部分．[体系构建][题型探究]若不等式x 2＋≤x ≤2的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．【导学号：12232359】[思路探究] 因为(x －1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y ＝x 2＋ax ＋3－a .[解] 设 f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒有f (x )>0，只需满足：(1)Δ＝a 2－4(3－a )<0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )≥0，f (－2)＝7－3a >0， f (2)＝7＋a >0，－a 2－2>0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )≥0，f (－2)＝7－3a >0， f (2)＝7＋a >0，－a 2＋2<0.解(1)(2)得，当－7<a <2时，不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立．[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元.(2)分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化. [跟踪训练]1．在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .若不等式⎣⎡⎦⎤x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数 x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.13 D.32D [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.故选D.]设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[)0，＋∞.(1)当a＝2时，求函数f (x) 的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f (x) 的最小值．【导学号：12232360】[思路探究](1)将原函数变形，利用均值不等式求解．(2)利用函数的单调性求解．[解](1)把a＝2代入f (x) ＝x＋ax＋1，得f(x)＝x＋2x＋1＝(x＋1)＋2x＋1－1，∵x∈[)0，＋∞，∴x＋1>0，2x＋1>0，∴x＋1＋2x＋1≥22，当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，f (x) 取最小值，此时f (x) min＝22－1.(2)当0<a<1时，f (x) ＝x＋1＋ax＋1－1若x＋1＋ax＋1≥2a，则当且仅当x＋1＝ax＋1时取等号，此时x＝a－1<0(不合题意)，∴上式等号取不到．f (x ) 在[)0，＋∞上单调递增． ∴ f (x ) min ＝ f (0)＝a .[规律方法] 均值不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛.(1)均值不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题. (2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋kx (k >0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.[跟踪训练]2．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3B ．72C ．4D ．92C [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋y x ＋xy ≥2x 2·14x 2＋2y 2·14y 2＋2y x ·x y ＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值为4.]已知O 为坐若点B 满足约束条件⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →的最小值是________．[思路探究] 画出不等式组表示的平面区域，用坐标表示OA →·OB →，数形结合求其最小值．[解]不等式组变形为⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2≥1，1≤x ≤2，1≤y ≤2.由A (1,1)，B (x ，y )，知OA →·OB →＝x ＋y ，因此题目转化为求在上述不等式组表示的可行域内的目标函数z ＝x ＋y 的最小值．注意到第一个不等式表示的是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1及其外部，目标函数变形为直线y ＝－x ＋z ，作出可行域及直线如图阴影部分为可行域，直线为目标函数对应的直线，易知当直线下移至经过点M ，N 时取最小值，此时易得直线方程为x ＋y ＝3，因此所求的最小值为3.[答案] 3[规律方法] 1.线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.2.解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数. (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域.(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(4)求：通过解方程组求出最优解. (5)答：作出答案. [跟踪训练]。

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3.1不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式
3.1.2不等式的性质
学习目标：1.了解不等式的性质．(重点)2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
[自主预习·探新知]
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号<，≤，>，≥，≠.
(2)所表示的关系是不等关系．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
4．常用不等式的重要性质
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.()
(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.()
(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()
(4)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()
[解析](1)√.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”．不超过用“≤”表示，故此说法正确．
(2)×.因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故此说法错误．
(3)√.因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(4)√.因为不等式a≤b表示a<b或a＝b.故若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．
[答案](1)√(2)×(3)√(4)√
2．用不等号填空：
(1)若a>b，则ac2________bc2.
(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.
(3)若a>b，c<d，则a－c________b－d.
(4)已知x<1，则x2＋2________3x.
[解析](1)因为当c2>0时，有ac2>bc2.
当c 2＝0时，有ac 2＝bc 2，故应填“≥”． (2)因为a ＋b >0，b <0，所以a >0，故应填“<”． (3)因为c <d ，所以－c >－d ，又因为a >b ，所以a －c >b －d ，故应填“>”．
(4)因为x 2＋2－3x ＝(x －2)(x －1)，而x <1，所以x －2<0，x －1<0，则(x －2)(x －1)>0，
即x 2＋2－3x >0，所以x 2＋2>3x ，故应填“>”． [答案] (1)≥ (2)< (3)> (4)>
[合作探究·攻重难]
所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上，若该班除小李外共有x 人，这笔开学费用共用y 元，用不等式(组)表示上述不等关系.
【导学号：12232270】
[解] 由于该班除小李外共有x 人，这笔开学费用共y 元，
则：⎩⎪⎨⎪⎧
12x －y ＝84，
10x <y ，11x －y >40，
x ∈N ＋
.
[规律方法] 1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.
2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.
3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当的设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. [跟踪训练]
1．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．写出L 与W 的关系．
图3-1-1
[解] 由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
(L ＋10)(W ＋10)＝350，
L >4W ，
L >0，W >0.
设x ，y ，z ∈R 4x ＋2z －2的大小.
【导学号：12232271】
[解] ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝1
2且z ＝1时取等号．
[规律方法] 1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.
2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.
[跟踪训练]
2．已知a ，b ∈R ＋.试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )，
当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12，又∵－6<a <8， ∴－2<a
b <4.
你认为正确吗？为什么？
[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <1
2与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式
才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？
[提示]不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2<a－b<4，
∴－4<b－a<－2.
又∵－2<a＋b<2，
∴0<a<3，－3<b<0，
∴－3<a＋b<3.
这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？
[提示]利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b范围的扩大．
(1)已知－π
2≤α<β≤
π
2，试求
α－β
2的取值范围；
(2)设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.
【导学号：12232272】
[思路探究](1)－π
2≤α<β≤π
2→α－β的范围→
α－β
2的范围
(2)法一：用f(－1)，f(1)表示f(－2)→f(－2)的范围。