5算法第五章贪心法

第五章贪心方法目录⏹5.1 一般方法⏹5.2 背包问题⏹5.3 带有期限的作业排序⏹5.4 最优归并模式(略)⏹5.5 最小生成树(略)⏹5.6 单源点最短路径(略)5.1 一般方法⏹方法适用的问题特点⏹方法的基础知识⏹方法的求解步骤及核心问题⏹方法的抽象化控制⏹方法的缺点和优点一个现实世界里的例子⏹如果有一个机会可以帮助你梦想成真，那么你希望参加哪两个活动(2010年盛事)：☐1 去南非看足球世界杯；☐2 到上海看世博会；☐3 参加瑞士公主的大婚庆典；☐4 现场观看广州亚运会。

1、21、31、42、32、43、4贪心方法适用的问题特点有这样一类问题：它有n个输入, 而它的解就是这n个输入的某个子集，这些子集必须满足某些事先给定的条件。

约束条件可行解最优解目标函数1、21、31、42、32、43、4两个活动个人喜好基础知识⏹贪心方法是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。

⏹贪心方法的思想可以追溯到1823年J.C.Warnsdorff解决马踏棋盘问题时给出的一个著名的算法。

⏹贪心方法应用的典型问题有背包问题、带有期限的作业排序、最小生成树、单源点最短路径等问题。

贪心方法的求解步骤⏹贪心方法是根据具体的问题：☐选取一种量度标准；☐按此标准对n个输入进行排序；☐按该顺序一次输入一个量；☐如果这个输入量和当前该量度意义下的部分最优解加在一起不能产生一个可行解, 则不把此输入加入到这个部分解中。

⏹这种能够得到某种量度意义下的最优解的分级处理方法就是贪心方法。

贪心方法设计求解的核心问题⏹贪心方法设计求解的核心问题是选择能产生问题最优解的最优量度标准。

⏹值得一提的是，把目标函数作为度量标准所得到的解也不一定是问题的最优解。

A(1)A(2)…A(n)次优解次优解最优解A 1(n)…A 1(1)量度标准1A 2(n)…A 2(1)量度标准2A k (n)…A k (1)……量度标准k按某种最优量度标准从A 中选择一个输入，把它赋值给x,并从A 中消去它。

Procedure GREEDY(A, n)//A(1:n)包含n 个输入//solution←Φ//将解向量solution 初始化为空//for i ← to n do x← SELECT(A)if FEASIBLE(solution,x)then solution←UNION(solution,x)endifrepeatreturn (solution)end GREEDY 算法5.1 贪心方法的抽象化控制判定x 是否可以包含在解向量中。

将x 与解向量结合并修改目标函数。

方法的缺点和优点⏹缺点：☐不是对所有问题都能得到整体最优解。

☐需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

⏹优点：☐一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

☐策略的构造简单易行。

☐对范围相当广泛的许多问题他能产生整体最优解或者是整体最优解的近似解。

5.2 背包问题⏹问题描述⏹背包问题实例⏹背包问题的贪心算法⏹定理5.1问题描述已知有n 种物品和一个可容纳M 重量的背包，每种物品i 的重量为w i ，假定将物品i 的某一部分x i 放入背包就会得到p i x i 的效益(0≤x i ≤1,p i>0) ，采用怎样的装包方法会使装入背包物品的总效益为最大？极大化∑ p i x i 0≤x i ≤1, p i >0约束条件∑ w i x i ≤M w i >0, 1≤i≤n1≤i≤n1≤i≤n问题的形式化描述背包问题实例考虑下列情况下的背包问题：n=3,M=20,(p 1,p 2,p 3)=(25,24,15), (w 1,w 2,w 3)=(18,15,10)(x 1,x 2,x 3)∑w i x i ∑p i x i (1)按效益值的非增次序把物品放到包里。

(1,2/15,0)2028.2(0,2/3,1)2031(2)按物品重量的非降次序把物品放到包里。

(0,1,1/2)2031.5(3)按pi/wi 比值的非增次序把物品放到包里。

⏹即以目标函数为量度标准☐该标准使得背包每装入一件物品就获得最大可能的效益值增量。

☐结果是一个次优解，原因是背包容量消耗过快。

123i i i i (1,2/15,0)2028.2(0,2/3,1)2031(0,1,1/2)2031.5(1)按效益值的非增次序把物品放到包里。

(p1,p2,p3)=(25,24,15)；(w1,w2,w3)=(18,15,10)。

(2)按物品重量的非降次序把物品放到包里。

⏹以容量为量度标准☐该标准使得背包每装入一件物品就获得最小可能的容量增量。

☐结果仍是一个次优解, 原因是容量在慢慢消耗的过程中, 效益值却没有迅速的增加。

⏹选效益值和容量之比为量度标准☐每一次装入的物品使它占用的每一单位容量获得当前最大的单位效益☐结果是一个最优解, 因为每一单位容量的增加将获得最大的单位效益值。

123i i i i (1,2/15,0)2028.2(0,2/3,1)2031(0,1,1/2)2031.5(p1,p2,p3)=(25,24,15)；(w1,w2,w3)=(18,15,10)。

(3)按pi/wi 比值的非增次序把物品放到包里。

(p2/w2 , p3/w3 , p1/w1 )=(24/15, 15/10, 25/18)算法5.2 背包问题的贪心算法先将物品按pi/wi 比值的非增次序排序(降序)procedure GREEDY-KNAPSACK(P,W,M,X,n)real P(1:n), W(1:n), X(1:n), M, cu; integer i, n;X ←0cu ←Mfor i ←1 to n doif (W(i)>cu) then exit endif X(i) ←1 cu ←cu-W(i)repeatif (i ≤n) then X(i) ←cu/W(i)end GREEDY-KNAPSACK将解向量X 初始化为0cu 为背包的剩余容量放入物品i 的一部分若物品i 的重量大于背包的剩余容量,则退出循环若物品i 的重量小于等于背包的剩余容量,则物品i 可放入背包内如果物品事先按照效益值的非增次序或物品重量的非降次序。

那么利用算法5.2获得到的结果就是该量度意义下的最优解。

(p1,p2,p3)=(25,24,15), (w1,w2,w3)=(18,15,10)。

(p2/w2 , p3/w3 , p1/w1 )=(24/15, 15/10, 25/18)输入参数P=(24,15,25); W=(15, 10,18); M=20; n=3。

初始：X=(0, 0, 0); cu=20。

for 循环部分：(1) 15<cu ，then x(1)=1, cu=cu-w(1)=5;(2) 10>cu, then 跳出循环；结尾：x(2)= cu/w(2) = 0.5。

输入参数X=(1, 0.5, 0)。

运行过程如下最优解证明的基本思想⏹把这个贪心解与任一最优解相比较，如果这两个解不同，就去找开始不同的第一个x i ，然后设法用贪心解的这个x i 去代换最优解的那个x i ，并证明最优解在分量代换前后的总效益值无任何变化。

⏹反复进行这种代换, 直到新产生的最优解与贪心解完全一样, 从而证明了贪心解就是最优解。

定理5.1如果p1/w1≥ p2/w2 ≥ … ≥ p n/w n，则算法GREEDY-KNAPSACK对于给定的背包问题实例生成一个最优解。

证明: 设X=(x1,…,xn)是算法所生成的解。

1. 如果所有的x i 等于1，显然这个解就是最优解。

2. 否则，设j是使x j ≠ 1的最小下标, 由算法可知:对于1≤i<j , xi=1;对于j<i≤n , xi=0 ;对于i=j,0 ≤ xj<1。

3. 若X不是最优解, 则必存在一个最优解Y= (y1,…,y n),使得∑p i y i>∑p i x i。

假定∑wiy i=M，设k是使得y k≠ x k的最小下标，则可以推出yk<x k成立。

4. 现在, 假定把y k 增加到x k , 那么必须从(y k+1,…,y n)中减去同样多的量, 使得所用的总容量仍为M。

这导致一个新的解Z = (z1,…,zn),其中z i= x i, 1≤i≤k。

并且∑wi (y i-z i )= w k (z k-y k)k<i≤n三种可能发生的情况：(1).k<j;(2).k=j;(3).k>j5. 因此，对于Z 有∑p i z i =∑p i y i +(z k -y k )p k -∑(y i -z i )p i= ∑p i y i +(z k -y k )w k p k /w k -∑(y i -z i )w i p i /w i ≥∑p i y i +[(z k -y k )w k -∑(y i -z i )w i ]p k /w k= ∑p i y i 1≤i≤n1≤i≤nk <i≤n1≤i≤nk<i≤n1≤i≤n1≤i≤nk<i≤n所以∑p i z i ≥ ∑p i y i 成立6. 若∑p i z i >∑p i y i , 则Y 不可能是最优解。

所以∑p i z i =∑p i y i ,如果Z=X, 则X 就是最优解；否则Z≠X, 则重复上面的讨论，每次Y 中少一个和X 不同的值，最终把Y 转换成X ,从而证明了X 也是最优解, 证毕。

元素按p i /w i 非增次序排列。

5.3 带有期限的作业排序⏹问题描述⏹带限期的作业排序算法⏹定理5.2⏹定理5.3⏹算法5.4⏹算法5.5问题描述⏹假定只能在一台机器上处理n 个作业, 每个作业均可在单位时间内完成; 又假定每个作业i 都有一个截止期限d i >0(d i 是整数), 当且仅当作业i 在它的期限截止之前被完成时获得p i >0的效益。

⏹该问题的一个可行解是这n 个作业的一个子集合J, J 中的每个作业都能在各自的截止期限之前完成，可行解的效益值是J 中这些作业的效益之和∑p j 。

具有最大效益值的可行解就是最优解。

限制条件例5.2 n=4;(p1,p2,p3,p4) = (100,10,15,20),(d1,d2,d3,d4) = (2,1,2,1)。

可行解处理顺序效益值11100221033154420 1，22，1110 1，31，3115 1，44，1120 2，32，325 3，44，335带限期的作业排序算法的实现思想⏹为得到最优解, 贪心策略应制定一个量度标准, 使得所选择的下一个作业在这种量度下达到最优。

⏹选择目标函数∑p j作为量度标准, 使下一个要计入的作业是满足J是一个可行解的限制条件下使∑pj 得到最大增加的作业, 只需将各作业按效益pi降序排列即可, 即: p1≥ p2≥ …≥ p nJ中的每个作业都能在各自的截止期限之前完成。