【K12教育学习资料】新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练6三角函数的图象与性质理
配套K12高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质文
专题06 三角函数的图像与性质1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A5．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.163 3 C ．8 D ．16答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.6．义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6. (1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin2ωx ＋3cos2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12)(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 【变式探究】(1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【锦囊妙计，战胜自我】1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.【变式探究】(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C【名师点睛】(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【锦囊妙计，战胜自我】 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．【变式探究】设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．【名师点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C. 3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3 答案 A解析 π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32 B.32C ．－12D.12答案 D 解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f(3)＋…＋f (2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ， ∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________． 答案 2＋ 37．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3] 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]． 8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________. 答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125， 化简得2sin αcos α＝－2425， 则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， 由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75， 将该式与sin α＋cos α＝15联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， 且0<α－π4<π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x . x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 则当x ＝0时，g (x )的最大值为12； 当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14. 10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案 2212．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值． 解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1. 又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2， 所以f (x )＝2sin(x ＋π4)． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． 故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1)＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)， 又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3， 即sin(2x ＋π6)＝－12. 因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)， 所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
【配套K12】2018年高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913 D.139 解析：由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝3.答案：B2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：c 2＝(a －b)2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，所以S △ABC ＝12absin C ＝12×6×32＝332.答案：C3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么β＝( )(导学号 54850106)A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，得sin α＝45，又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，得sin(α－β)＝210， 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22， 由0＜β＜π2，得β＝π4.答案：C4．(2017·韶关调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A ．－19 B.19 C.53 D ．－53解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2(x －π3)＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝53.答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C ＋cos Asin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：因为2sin Acos C ＋cos Asin C ＝s in A ·cos C ＋sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋sin B.所以等式左边去括号，得sin B ＋2sin Bcos C ＝sin Acos C ＋sin B ， 则2sin Bcos C ＝sin Acos C ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理变形，得a ＝2b. 答案：A 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acosC ＋ccos A ，则B ＝________．解析：由正弦定理得2sin Bcos B ＝sin A ·cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C)＝sin B ．所以2sin Bcos B ＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.答案：π37．(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________．(导学号 54850107)解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α；又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：2238．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．解析：由已知，cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14.所以cos ∠CBD ＝－14，所以sin ∠CBD ＝1－cos 2∠CBD ＝154， 所以S △ABC ＝12×BD ×BC ×sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又BC ＝BD ＝2，且∠ABC＝2∠BDC，则cos ∠ABC ＝14＝2cos 2∠BDC －1.解得cos ∠BDC ＝104或－104(舍去)． 答案：152104三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0得tan A ＝－3， 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c·cos 2π3.则c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4或－6(舍去)． (2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝π2.所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝23π－π2＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·ADsin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a>b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝asin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin Acos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2Acos π4＋cos 2Asin π4＝7226. 11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m(m∈R)，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为－1.(导学号 54850108)(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f(C)＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BC ＝BD ，且AD ＝5，求△ACD 的面积．解：(1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π6＋cos xsin π6＋m ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝ 3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6min ＝－1. 所以f(x)＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，且f(C)＝1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，因为C∈(0，π)，得2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3.如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ， 在△ACB 中，由余弦定理， 得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x ，解得x ＝32.所以cos A ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－32＝1314，得sin A ＝1－cos 2A ＝77.所以S △ACD ＝12AC ·ADsin A ＝12×5×4×77＝1077.。
2018届高中数学高考二轮复习三角函数及解三角形教案含答案(全国通用)
教学过程 一、考纲解读在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.（1）任意角的概念、弧度制 （2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（3）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（4）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（5）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (6) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、复习预习复习相关概念:三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等.在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等. 三、知识讲解考点1 三角函数的定义及性质（1）任意角的概念、弧度制.扇形相关内容,如弧长,面积,圆锥侧面等 （2）三角函数①任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②正弦、余弦、正切的诱导公式， x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，三角函数的周期性. ③正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性.④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点2 三角恒等变形（1）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考点3 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷]设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【规范解答】解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=解法2.选B （特殊角） 取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。
最新-2018届高三数学二轮复习 专题高效升级卷6 三角函数的图象与性质课件 文 新人教A版 精品
（1）求f（x）的最小正周期； （2）设x∈［－ ， ］，求f（x）的值域和单
调递增区间.
解：（1）∵f（x）＝－ 3（cos2x－sin2x）－ 2sinxcosx
＝－ 3 cos2x－sin2x＝－2sin（2x＋ ），
A.y＝sin（2x＋6 ）
B.y＝sin（2x＋ ） C.y＝sin（2x－ ） D.y＝sin（2x－6 ）
答案：D
5. 为了得到函数y＝sin（2x－ ）的图象，只
需把函数y＝sin（2x＋ ）的图象（ ） 6
A.向左平移
个长度单位
B.向右平移
个长度单位
C.向左平移
个长度单位
D.向右平移
A.［
，3
］
C.［
，3
］
B.［3
，7
］
D.［3
，3
］
答案：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共 16分）
13. 函数f（x）＝sin2（2x－ ）的最小正周期 是______.
答案：
14. 如图是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B （A＞0，ω＞0，|φ|∈（0， ）） 图象的一
， ］上为减
A.y＝sin（2x＋ ）
B.y＝cos（2x＋ ） C.y＝sin（x＋ ） D.y＝cos（x＋ ） 答案：A
3.函数y＝sin（2x－ ）的一条对称轴方程是 （）
A.x＝ C.x＝ 答案：D
B.x＝
D.x＝5
4. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于 直线x＝ 对称的是（ ）
解：（1）由题意可得A＝2，T2 ＝2π，即2 ＝4π，
【高三数学试题精选】2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答案)
2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。
2018年高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课时规范练理
第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B ．1C.35D.15解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案：A2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为2，则函数f (x )的一个零点为( )A ．－π3B.23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0D ．(0，0)解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π3，因为T ＝2πa＝2，所以a ＝π.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，所以当x ＝23时，f (x )＝0.答案：B3．(2017·哈尔滨质检)把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x ＝π4对称，且f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，则φ＝( )(导学号54850103)A.π8B.3π8 C ．－π8 D ．－3π8解析：把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋2φ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象．根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即2cos 2φ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1.又f (0)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－φ，故有2sin 2φ＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2cos φ，即sin φ＜12，结合选项，φ＝－π8.答案：C4．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k2π，其中k 1，k 2∈Z.所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω＝23.φ＝2k 1π＋112π，由|φ|＜π得φ＝π12.答案：A5．(2017·惠州调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22等于( )。
最新-2018年高考数学二轮限时训练 三角函数、平面向量
第三部分：三角函数、平面向量（6）(限时：时间45分钟，满分100分) 一、选择题1．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①A B →＋C D →＝B C →＋D A →；②A C →＋B D →＝B C →＋A D →；③A C →－B D →＝D C →＋A B →.其中正确的 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ①式的等价式是A B →－B C →＝D A →－C D →，左边＝A B →＋C B →右边＝D A →＋D C →，不一定相等；②式的等价式是A C →－B C →＝A D →－B D →，A C →＋C B →＝A D →＋D B →＝A B →成立；③式的等价式是A C →－D C →＝A B →＋B D →，A D →＝A D →成立，故选C.【答案】 C2．(2018年福鼎)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：O P →＝O A →＋λ(A B →＋A C →)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 由O P →＝O A →＋λ(A B →＋A C →)，得O P →－O A →＝λ(A B →＋A C →)，即A P →＝λ(A B →＋A C →)，∴△ABC 中BC 的中线在直线AP 上，故直线AP 一定通过△ABC 的重心．【答案】 C3．已知平面内有一点P 及一个△ABC，若P A →＋P B →＋P C →＝A B →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上【解析】 ∵P A →＋P B →＋P C →＝A B →，∴P A →＋P B →＋P C →－A B →＝0，即P A →＋P B →＋B A →＋P C →＝0，∴P A →＋P A →＋P C →＝0，2P A →＝C P →，∴点P 在线段AC 上．【答案】 D4．(2018年柳州上学期期末)已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC的面积之比是( )A ．1∶2 B．1∶3C ．2∶3 D．1∶1【解析】 设AC 的中点为D ，则O A →＋O C →＝2O D →，∴O A →＋O C →＋2O B →＝2O D →＋2O B →＝0，∴O D →＝－O B →，即点O 为AC 边上的中线BD 的中点，∴S △AOC S △ABC ＝12. 【答案】 A5．(2011年正定模拟)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0【解析】 ∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c ①又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1即，∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.【答案】 D二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.【解析】 由已知得a ＋λb ＝－k(b －3a )，【答案】 －137．在▱ABCD 中，A B →＝a ，A D →＝b ，A N →＝3N C →，M 为BC 的中点，则M N →＝________.(用a 、b 表示)【解析】 由A N →＝3N C →，得4A N →＝3A C →＝3(a ＋b )，A M →＝a ＋12b ， ∵M N →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b . 【答案】 －14a ＋14b8．如图，|O A →|＝1，|O B →|＝3，|O C →|＝2，∠AOB＝∠BOC＝30°，用O A →，O B →表示O C →，则O C →＝________.【解析】 作O A →的相反向量O A →′，过C 作CD∥OB 交直线OA′于D ，作CE∥OD 交直线OB 于E ，则O C →＝O D →＋O E →，在△OCE 中，CE ＝2，OE ＝23，∴O D →＝2OA ′→＝－2O A →，O E →＝2O B →.∴O C →＝－2O A →＋2O B →.【答案】 －2O A →＋2O B →三、解答题 9.如右图所示，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值．【解析】 AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →) ＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， 又QA →＝MA →－MQ →＝12BM →－λCM → ＝12BM →＋λMC →， 且又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， ∵BM →＋MC →＝BC →，∴λ＝12.10.如右图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，D 在OB 上，且OD →＝2DB →，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【解析】 (1)由条件可得，OB →＋OC →＝2OA →，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .CD →＝OD →－OC →＝23OB →－OC → ＝23b －(2a －b )＝－2a ＋53b ， ∴DC →＝2a －53b . (2)设CE →＝mCD →，∴OE →＝OC →＋CE →＝OC →＋mCD →＝2a －b ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ＝(2－2m )a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53m －1b . 又OE →＝λOA →＝λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2m ＝λ，53m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，λ＝45，故λ＝45.。
教育最新K122018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训2解三角形文
专题限时集训(二) 解三角形[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A，则cos B ＝( ) A ．－12B ．12 C ．－32D ．32B [由正弦定理，得b3cos B＝a sin A ＝bsin B，即sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又0<B <π，故B ＝π3，cos B ＝12.]2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( )【导学号：04024040】A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 A [由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R . 所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32.] 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3C [∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]4．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.]5．如图22，四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝22，CD ＝3，∠CBD ＝30°，∠BCD＝120°，则∠ADB ＝( )图22A ．90°B ．60° C.45°D ．30°C [在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝CD sin ∠CBD ·sin∠BCD ＝312×32＝3，在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD＝22＋32－522×22×3＝22，所以∠ADB ＝45°，故选C.] 二、填空题6．(2017·长沙二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝45，c ＝5，且B ＝2C ，点D 为边BC 上一点，且CD ＝3，则△ADC 的面积为________．6 [在△ABC 中，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，又B ＝2C ，则b 2sin C cos C ＝csin C，又sin C ＞0，则cos C ＝b 2c ＝255，又C 为三角形的内角，则sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝55，则△ADC 的面积为12AC ·CD sin C ＝12×45×3×55＝6.]7．(2016·石家庄一模)已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为__________. 【导学号：04024041】6 [在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB2－4AB ，解得AB ＝6或AB ＝－2(舍)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×27＝127，CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BDCD ＝6.]8．如图23，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝__________m.图231039 [分析题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos Cc.(1)求ab的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解](1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，1分∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )， ∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C ). 3分 ∵A ＋B ＋C ＝π，4分 ∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0，∴b > 3.①8分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3，② 10分 由①②得b 的取值范围是(3，3)．10．(2016·广州二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C.(1)求B 的大小；(2)若b ＝3，A ＝π4，求△ABC 的面积．【导学号：04024042】[解](1)∵2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C. 由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ， 1分 化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，2分 ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12．6分 ∵0<B <π，∴B ＝2π3.5分 (2)∵A ＝π4，∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4，6分 ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24．由正弦定理得c sin C ＝bsin B，9分 ∵b ＝3，B ＝2π3，∴c ＝b sin C sin B ＝6－22，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34．[B 组 名校冲刺]一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb的值为( )【导学号：04024043】A.22B ． 2C ．2D ．4C [由正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0.∵sin A ≠0，∴sin B －3cos B ＝0，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac . 又b 2＝ac ，∴4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb＝2. 故选C.]2．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 法二：同法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A, 又B ＝π4， ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ，即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角． 又∵1＋tan 2A ＝1cos 2A ，∴cos 2A ＝110，∴cos A ＝－1010.故选C.] 3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sinC －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3B [因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C. 又B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B.]4．如图24，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )图24A.223 B.24 C.64D.63C [∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A .∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C.]二、填空题5．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A ＝__________.23[由题意可知S △ACD ∶S △BCD ＝4∶3， ∴AD ∶DB ＝4∶3，AC ∶BC ＝4∶3，在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝43sin A ，又B ＝2A ，∴sin 2A ＝43sin A ，∴cos A ＝23.]6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则tan C 等于________.【导学号：04024044】－43 [在△ABC 中，2S ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，把cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab代入上式，得2S ＝2ab cos C ＋2ab ，再利用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ，可得2×12ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，化简，得sin C －2cos C ＝2，两边平方得sin 2C ＋4cos 2C －4sin C ·cos C ＝4，即sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C sin 2C ＋cos 2C ＝4，分子分母同除以cos 2C ，得tan 2C ＋4－4tan C tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故填－43.]三、解答题7．(2016·福州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A ＝a cos C.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求△ABC 周长的最大值．【导学号：04024045】[解] (1)由(2b －c )cos A ＝a cos C 及正弦定理， 得(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 3分∴2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B. ∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0. ∵A ∈(0，π)，cos A ＝12，∴A ＝π3．(2)由(1)得A ＝π3，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C. 8分△ABC 的周长l ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3＋23sin B ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B cos π3＋cos B sin π3＝3＋33sin B ＋3cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴当B ＝π3时，△ABC 的周长取得最大值为9．8．已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上单调递减．(1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝cos A ，证明：△ABC 为等边三角形．[证明](1)∵sin B ＋sin Csin A＝2－cos B －cos Ccos A，∴sin B cos A ＋sin C cos A ＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ， ∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ， 4分sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， sin C ＋sin B ＝2sin A ， ∴b ＋c ＝2a ．6分 (2)由题意知，2πω＝4π3，解得ω＝32，7分 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝sin π6＝12＝cos A ，A ∈(0，π)， ∴A ＝π3，8分由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ， ∴b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝bc ，即b 2＋c 2－2bc ＝0，∴b ＝c .11分 又A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．12分。
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专题能力训练6 三角函数的图象与性质
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=sin的最小正周期为()
A.4π
B.2π
C.π
D.
2.(2017浙江湖州期末)已知sin=-,α∈,则tan α=()
A.B.-C.-D.
3.若当x=时,函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f是()
A.奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点(π,0)对称
C.奇函数且图象关于直线x=对称
D.偶函数且图象关于点对称
4.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的值为()
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对任意x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式是()
A.y=2sin 2x
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
7.为了得到函数y=cos的图象,只需将函数y=sin 2x的图象()
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
8.(2017浙江温州九校联考期末)若将函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度,得到的图象对应的函数为奇函数,则|φ|的最小值为()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.已知2cos2x+sin 2x=A sin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.
10.已知cos ,则sin=.
11.已知函数f(x)=sin,对任意的x1,x2,x3,且0≤x1<x2<x3≤π,都有|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|≤m成立,则实数m的最小值为.
12.若函数f(x)=cos 2x+a sin x在区间是减函数,则a的取值范围是.
13.如图,函数f(x)=A sin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,|PM|=2,则A的值为.
14.若函数y=sin ωx能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1,且在区间上为增函数,则正整数的值为.
三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的图象如图,P是图象的最高点,Q是图象的最低点,且|PQ|=.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.
16.(本小题满分15分)函数f(x)=2cos2x+2sin x cos x-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)在上的值域.
参考答案
专题能力训练6三角函数的图象与性质
1.C解析由题意可知最小正周期T==π.故选C.
2.C解析∵sin=-,sin=cos α,
∴cos α=-.
又α∈,
∴sin α=.
∴tan α==-.
故选C.
3.C解析由已知可知+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,
∵y=f=A sin=-A sin x,
∴y=f是奇函数且图象关于x=对称.
故选C.
4.C解析∵f=f,∴直线x=为函数图象的对称轴.
又函数f(x)在区间上有最小值,无最大值,
∴f=-1.
∴ω+=2kπ-,k∈Z.
∴ω=8k-,k∈Z.
故选C.
5.C解析由f(x)≤知,f=±1,
∴sin=±1.
又由f>f(π)得sin φ<0,∴可取φ=-,
∴f(x)=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得单调增区间为(k∈Z).
故选C.
6.A解析由题图可知,T=,T=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),f=2sin=2,φ=-,所以f(x)=2sin,其图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=2sin 2x的图象.故选A.
7.D解析∵函数y=cos
=sin=sin 2,
∴将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos=sin的图象.
故选D.
8.B解析函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y=cos 2=cos,
若此函数为奇函数,则-+φ=+kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,∴当k=-1时,|φ|取得最小值.
故选B.
9. 1解析∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1.
10. 解析因为,
所以sin=sin
=cos.
11.3+ 解析∵函数f(x)=sin,其中x∈[0,π],
∴2x+.
∴-1≤f(x)≤1.
又对任意的x1,x2,x3,且0≤x1<x2<x3≤π,
都有|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|≤m成立,
不妨令f(x2)=-1,则:
当f(x1)=1,f(x3)=时,
|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|取得最大值2+1+=3+,
∴实数m的最小值为3+.
12.(-∞,2]解析f(x)=cos 2x+a sin x=1-2sin2x+a sin x.
令t=sin x,∵x∈,
∴t∈.
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1.
由题意知-,∴a≤2.
∴a的取值范围为(-∞,2].
13. 解析由P(2,0),得Q,
又R(0,A sin φ),则M.
又∠PQR=,故|OQ|=|OR|,
则2+=-A sin φ,则M.
由|PM|=2,得=20,
得ω=,从而A sin φ=-8.
又A sin(2ω+φ)=0,即sin=0,由|φ|≤,得φ=-,从而有A=.
14.7解析依题意,T==1,ωmin=2π,即ω≥2π,由于函数在区间上是增函数,即·2=,T=,ω≤7.5,故2π≤ω≤7.5,ω=7.
15.解 (1)过点P作x轴的垂线,过点Q作y轴的垂线两线交于点M,则由已知得|PM|=2,|PQ|=,由勾股定理得|QM|=3,∴T=6.
又T=,∴ω=,
∴函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,
∴g(x)=sin x.
函数h(x)=f(x)·g(x)=sin·sin x=sin2x+sin x cos x
=sin x
=sin.
当x∈[0,2]时,x-,
∴当x-,即x=1时,h(x)max=.
16.解 (1)由题意知,f(x)=1+cos 2x+sin 2x-1=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由(1)可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减,f(0)=f=1,f,故f(x)在上的值域为[1,].。