九年级数学圆中的计算
冀教版九年级圆的知识点总结归纳
冀教版九年级圆的知识点总结归纳圆是几何中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。
在冀教版九年级数学教材中，关于圆的知识点和性质进行了详细的介绍和探究。
本文将对冀教版九年级数学教材中关于圆的知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和理解圆的概念和性质。
一、圆的定义与相关概念在学习圆之前，我们首先要了解圆的定义和相关概念。
1. 圆的定义：圆是平面上到一定点距离相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、弧、弦、直径等。
3. 相关概念：直径、半径、弧长、弦长、圆心角、圆周角等。
二、圆的性质及相关定理1. 圆的性质：(1) 圆上任意两点与圆心连线的长度相等；(2) 圆的半径相等；(3) 圆上的任意弧都小于或等于半圆；(4) 圆上的任意弧所对的圆心角相等；(5) 圆上的任意弧所对的弧长与圆心角大小成正比。
2. 相关定理：(1) 弧长定理：圆的弧长与圆心角的大小成正比；(2) 弧度制与角度制的转换关系：1弧度= 180° / π ；(3) 圆心角定理：位于同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等；(4) 弦切定理：切线与弦的关系。
三、圆的应用1. 圆的面积计算：圆的面积公式为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
2. 相关应用题：(1) 已知圆的半径，如何求圆的周长和面积；(2) 如何判断一个点在圆内或外；(3) 如何判断两个圆的位置关系。
四、圆的构造1. 构造圆的方法：(1) 已知圆心和半径，可以利用圆规和直尺来画出一个圆；(2) 已知圆上的三个点，可以通过连线构造出圆。
2. 相关构造题：(1) 如何通过点和直线构造圆；(2) 如何通过两个不同的点构造圆。
五、圆的证明题在九年级数学教材中，我们还会遇到一些关于圆的定理的证明题，如三角形内切圆和外接圆的性质证明等。
对于这类题目，我们需要灵活运用所学知识，利用图形特点和定理推理，进行证明。
综上所述，圆是数学中一个重要且广泛应用的几何概念，掌握圆的相关知识点和性质对于我们理解几何学和应用数学非常重要。
人教版数学九年级上册第31讲 圆中的位置关系-课件
D B
解析：连接OC，则OC⊥CE，∠OCE＝90°.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.又∵∠A＝∠CDB ＝20°，∴∠COE＝40°.在Rt△OCE中，∠E＝90°－∠COE＝50°.
点P在圆上 解析：因为圆O的直径为10 cm，所以圆O的半径为5 cm，又知OP＝5 cm，所以OP等于圆的半径， 所以点P在圆上．故答案为：点P在圆上．
B
解析：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°.∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的 半径是2，故选B. 【思路点拨】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏ห้องสมุดไป่ตู้
我们，还在路上……
＞
解析：∵⊙O的半径为6 cm，点P在⊙O外，∴OP＞6 cm.故答案为：＞.
【思路点拨】知道圆O的直径为10 cm，OP的长，得到OP的长与半径的关系，求出点P与圆的位置关 系；根据点与圆的三种位置关系的判定方法，直接判断，即可解决问题．
相切
2024年浙教版九年级数学期末复习急速提分法第6招 巧用勾股定理解决圆中线段长的问题
极速提分法
解题秘方：2：作直径，利用直径所对的圆周角是直角说 明直径与弦构成直角三角形，再结合勾股定理求解．
解法 2：如图②，作直径 AD，连结 BD. ∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°. 又∵∠D＝∠C＝45°， ∴∠DAB＝45°.∴BD＝AB＝4. 在 Rt△ ABD 中，AB2＋BD2＝AD2， ∴AD＝4 2，∴⊙O 的半径为 2 2.
极速提分法
在 Rt△ OBC 中，根据勾股定理得 OC2＝OB2－BC2＝72－52＝24， 在 Rt△ OPC 中，根据勾股定理得 OP＝ OC2＋PC2＝ 24＋1＝5.
极速提分法
5．在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝ 24，则CD的长为___4___6__；
极速提分法
3．[2023·绍兴期中]一根排水管的截面如图所示，已知排 水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些 水，当水面AB的宽变为16时，求水面AB上升的高度．
极速提分法
解：如图，作 OD⊥AB 于点 D，则 D 为 AB 的中点，即 AD＝BD＝12AB＝6. 在 Rt△ BOD 中，根据勾股定理得 OD2＝OB2－BD2＝102－62＝64， 所以 OD＝8.
极速提分法
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若 AB＝EF，求证：CD＝GH. 证明：如图，过点 O 作 OM⊥AB， 作 ON⊥EF，垂足分别为 M，N， 则 DM＝12CD，HN＝12GH，AM＝12AB， EN＝12EF.
极速提分法
又∵AB＝EF，∴AM＝EN.
连结 分两种情况： ①如果 A′B′＝16，连结 OB′，设 OD 与 A′B′交于点 E， 则 E 为 A′B′的中点，即 A′E＝B′E＝12A′B′＝12×16＝8. 在 Rt△ B′OE 中，根据勾股定理得 OE2＝OB′2－B′E2＝ 102－82＝36，所以 OE＝6.则水面上升的高度为 8－6＝2； ②如果 A″B″＝16，同理可得水面上升的高度为 8＋6＝14. 综上，水面 AB 上升的高度为 2 或 14.
九年级下册数学圆周角定理
九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。
二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。
2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。
3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。
4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。
5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。
6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。
2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。
3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。
4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。
这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。
九年级上册数学圆弧的定理及推导过程
九年级上册数学圆弧的定理及推导过程数学中的圆弧定理是指圆周角的性质和相关推导过程。
圆周角是指以圆心为顶点的角，它的顶点在圆上，两边则是圆上的弧。
一、圆周角的性质：1.一个角的度数等于它所对的弧的度数；2.同样角所对的弧长相等；3.同样圆心角所对的弧长与圆的半径成正比；4.同样圆心角所对的弧长与与之所对的弧长成正比。
根据这些性质，可以得出圆弧的定理：二、定理1：两个圆心角所对的弧长比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有两个圆，对应的圆心角是A和B，对应的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，对应的弧长比等于两个圆心角的比值。
这就是圆弧的定理1。
三、定理2：在同一条弦上的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有两个圆，它们的圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，它们之间的弦是CD，根据圆周角的性质3和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一条弦上的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。
这就是圆弧的定理2。
四、定理3：位于同一个圆上，且顶点相同的两个圆心角，它们所对的弧长的比等于这两个角的比值。
推导过程：假设有一个圆，它上面的两个圆心角是A和B，它们所对的弧长是a和b，根据圆周角的性质2和性质4可得：a :b = ∠A : ∠B即，在同一个圆上、且顶点相同的两个圆心角所对的弧长的比等于这两个角的比值。
这就是圆弧的定理3。
五、定理4：一个角是其对应的弧长的两倍。
推导过程：假设有一个圆，它上面的圆心角是A，所对的弧长是a，根据圆周角的性质1可得：∠A = 2a即，一个角是其对应的弧长的两倍。
这就是圆弧的定理4。
通过以上的圆弧定理及推导过程，可以更好地理解圆周角和弧长之间的关系，应用它们来解决相关的几何问题。
在实际问题中，圆弧定理可以帮助我们计算弧长、角度等内容，提供了更多的解题方法和思路。
九年级数学圆的方程知识点
九年级数学圆的方程知识点圆的方程是数学中的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将围绕九年级数学课程中的圆的方程知识点展开论述，从基础概念开始，逐步深入探讨。
一、圆的基础概念首先，我们需要了解圆的基础概念。
圆是平面上一组到中心点距离相等的点的集合。
这个中心点通常用字母O表示，我们称之为圆心。
而到圆心距离相等的这些点，就被称为圆上的点。
这些点的距离我们称之为圆的半径，用字母r表示。
二、圆的方程定义在代数学中，我们可以使用方程来表示圆。
圆的方程通常有两种形式：一种是标准方程，另一种是一般方程。
标准方程是指以坐标系的原点为圆心的圆方程，其形式为x² + y² = r²。
而一般方程则可以是(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a,b)表示圆心的坐标。
三、确定圆的方程在实际问题中，我们常常需要确定一个圆的方程。
这时，可以利用已知条件与圆的方程相结合进行求解。
例如，已知圆心为(2,3)，半径为5的圆，我们可以得到一般方程(x-2)² + (y-3)² = 25。
四、圆的相关性质在研究圆的方程时，了解其相关性质也是非常有意义的。
首先，圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
其次，我们还可以通过圆的方程求解出圆与坐标轴的交点，这些交点称为圆的截距点。
五、圆的图象我们可以通过绘制圆的图象来直观地理解圆的性质。
绘制圆的图象可以先确定圆心的位置，然后根据半径的长度在平面上画出一个闭合的曲线。
这个曲线就是圆的图象。
在数学课堂上，老师通常会通过黑板上的绘图来演示，让学生深入了解圆的形态。
六、圆的方程与实际问题圆的方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域中，钢筋混凝土顶板的厚度可以用圆的方程来表达。
在工程计算中，圆的方程可以用于计算液体的体积、计算管道的长度等。
因此，学好圆的方程对于今后的学习和实践是非常重要的。
九年级下册数学与圆有关的计算公式
九年级下册数学与圆有关的计算公式主要包括圆的周长、圆的面积、圆的弧长、圆的扇形面积等。
1. 圆的周长公式：
$C = 2\pi r$
其中，$C$ 是圆的周长，$r$ 是圆的半径，$\pi$ 是一个常数，约等于3.14159。
2. 圆的面积公式：
$S = \pi r^2$
其中，$S$ 是圆的面积，$r$ 是圆的半径。
3. 圆的弧长公式：
$L = \theta \cdot r$
其中，$L$ 是圆的弧长，$\theta$ 是弧所对的圆心角（以弧度为单位），$r$ 是圆的半径。
4. 圆的扇形面积公式：
$S_{扇形} = \frac{1}{2} \theta \cdot r^2$
其中，$S_{扇形}$ 是圆的扇形面积，$\theta$ 是扇形所对的圆心角（以弧度为单位），$r$ 是圆的半径。
5. 圆的切线长公式：
$l = \sqrt{r^2 - d^2}$
其中，$l$ 是从圆外一点到圆的切线长，$r$ 是圆的半径，$d$ 是该点到圆心的距离。
6. 圆的弦长公式：
$l = 2\sqrt{r^2 - h^2}$
其中，$l$ 是圆的弦长，$r$ 是圆的半径，$h$ 是弦心距（即弦的中点到圆心的距离）。
以上是与圆有关的计算公式，掌握这些公式可以帮助你更好地理解和解决与圆相关的问题。
九年级数学圆周角和圆心角知识点
九年级数学圆周角和圆心角知识点引言：数学作为一门博大精深的学科，其中的几何知识在我们的日常生活中无处不在。
而在九年级数学学习中，圆周角和圆心角是我们必须理解和掌握的重要概念之一。
本文将深入探讨九年级数学中的圆周角和圆心角知识点，希望能够为同学们的学习提供一些帮助。
一、圆周角圆周角是指一个图形所对的圆的圆周上的一部分，以弧所对的角叫做圆周角。
我们可以通过弧所对的圆心角来计算圆周角的大小。
假设圆的半径为r，圆弧对应的圆心角为θ（弧度制），那么圆周角的度数就是θ的度数。
例如，当θ为π/2时（即90度），圆周角也是90度。
圆周角的度数取决于其对应的圆心角的度数大小，换言之，圆周角可以看作是圆心角对应弧的一种度数表示。
二、圆心角圆心角是指圆周上任意两点连线与定点所夹的角，定点即为圆心。
通过圆心角的大小，我们可以判断出对应弧的长短和角的大小。
圆周上的所有圆心角的和等于360度，这是因为360度对应于一整个圆周。
根据圆心角的大小，我们可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
如果一个圆心角的度数小于90度，则称之为锐角；如果一个圆心角的度数等于90度，则称之为直角；如果一个圆心角的度数大于90度但小于180度，则称之为钝角。
三、圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角有着密切的联系。
首先，同一个圆弧所对应的圆心角和圆周角的度数相等。
这是因为，圆周角可以看作是圆心角对应的弧的度数表示。
其次，同一个圆的圆周角之和等于360度。
这是由圆心角之和等于360度所决定的。
另外，当两个圆心角的度数相等时，它们所对应的圆周角的度数也是相等的。
四、常见的圆周角和圆心角问题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些与圆周角和圆心角相关的问题。
下面我们来讨论一些常见的问题类型。
问题类型一：已知圆心角的度数，求圆周角的度数。
根据前文的介绍，我们可以直接通过圆心角的度数来确定圆周角的度数。
例如，当圆心角的度数为120度时，对应的圆周角的度数也为120度。
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下面是圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40m,拱形 的半径为29m,求拱形的高.
C
转化为数学模型为: A
有一圆弧形桥拱,拱的
D B
跨度AB=40m,拱形的半
径R=29m,求拱形的高.
O
1 解:如图:由垂径定理得:BD= A B=20m
2
在直角三角形BOD中: OD2 =OB2 - BD2
OD2 =292 - 202 OD=21 m 所以拱形的高CD=29-21=8m
4
问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角 为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为 Nhomakorabea800、900、 450、n0所对的弧长。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
1800
180
360
900
90
360
450
45
360
n0
n
360
所对弧长是
180 2r
一、弧长的计算公式
l n 2r nr
360
180
二、扇形面积计算公式
s n r 2 或s 1 lr
360
2
Sigma胎牛血清 /xueqing/Sigma-xueqing.html Sigma胎牛血清
wpd13xry
起来确实很好看。但由于笑的时机不对，让慕容凌娢有种想吐血的感觉。方才自己的行为难道都被他看见了！完了完了，一定会被当成精神 分裂的，一世英名就要毁于一旦了。“你……你是在侮辱我的智商吗？”慕容凌娢一脸不服气，先发制人的问道，“难道你刚才要眼睁睁看 着我被拐卖，还见死不救吗？”“首先，我可没有见死不就。其次，你也没有生命危险。在者……你觉得你有IQ供我侮辱吗？”“你……” 慕容凌娢无话可说，但现在被一个思想落后于自己数百年的人给问的哑口无言，着实有些羞愧。“在下韩哲轩。”他一本正经的行礼，在慕 容凌娢眼里也算是道歉了。“可否知道姑娘芳名？”什么？慕容凌娢一时间反应不过来。这算是搭讪成功了吗，真是个不按常理出牌的人。 可自己初来乍到，还是不要说真名的好。不然摊上什么事，多都躲不开。刚刚的几个小混混已经给了她一些警醒，自然要考虑周到些。“我 叫白绫。”话一出口，慕容凌娢就后悔了。自己怎么能随口编一个这么难听的名字！三尺白绫，似乎是上吊自杀专用的。“呵呵，真是人如 其名。”这回韩哲轩机智的用折扇遮住了那狡诈的笑容，毕竟在慕容凌娢眼中这笑容一定很欠揍。这算是高级黑吗？慕容凌娢心想，不过看 他认错态度较好，就不追究了。此人衣着华丽，举止不凡，刚刚小混混一哄而散，说不定跟他也有关系。总之还是不要惹了。身处乱世，欺 软怕硬才能吃得开。“白姑娘是第一次来京城吧？”韩哲轩突然贴近了慕容凌娢的脸，神秘兮兮的说，“这京城……可没有表面看起来那么 安宁哦！”“真的？”这种气氛让慕容凌娢紧张了起来。“假的。”韩哲轩说罢转身便走，“不过一个人可要小心哦。我先走了！”居然又 被骗了，难道自己穿越后真的变笨了？不过这人是什么逻辑，刚刚搭讪成功就要走，不正常。慕容凌娢继续沿着街道走，边走边思考关于智 商的问题。诶，不对啊，那个人刚才好像说了“IQ”。等等，这是一个古代人该知道的词吗？慕容凌娢猛地回头，可大街上人来人往，完全 没有看见韩哲轩的影子。慕容凌娢决定为自己逐渐逝去的智商默哀一秒钟。而在此时，集市边上的一条小胡同中，韩哲轩站在一个一个比较 阴暗的地方。手中的折扇竟然发出了白色的光芒。“说吧，有什么事？”妩媚的女声响起，一位美艳动人的银发女子出现在了胡同深处。 “刚才的女孩儿便是你所找到的人？”韩哲轩看向依旧热闹的街道，盯着慕容凌娢的方向。“正是，我拜托一位朋友将血玉坠交到她手里 了。”女子妖娆的扭动纤细的腰肢，走到韩哲轩身旁，“她既然能够来此，必定是催动了血玉之上的法阵。”“可我在她身上感受不到一点 灵气……”韩哲轩的表情变得凝重了许多，与刚才笑嘻嘻的样子截然
360
90 2r
360
45 2r
360
n 2r
360
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那
么，弧长的计算公式为：
l n 2r nr
练一练：
360
180
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此
圆弧的长度。
解：l n 2r nr
360
圆中的计算
23.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
问题情景：
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨 的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段 铁轨的长度吗?
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的 1
图 23.3.1
4
则铁轨长是 1 2 100 50米
360
450
45
360
n0
n
360
45 r 2
360
n r 2
360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径是r，
那么 扇形面积计算公式为
Q s
n
r 2
l
扇形面积S
n° Or
360
nr r 1 lr
180 2 2
s n r 2 或s 1 lr
360
2
小试牛刀： 1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的 面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
=
50
3
cm
18答0 ：此圆弧的长度为50 cm
3
扇形： 如图，由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形．
Q
l
扇形面积S
n° Or
怎样计算圆心角是n0 的扇形面积？
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180
360
180 r 2
360
900
90
360
90 r 2
求AB的长（精确到0.1cm）和扇形 AOB的面积
（精确到0.1cm2）.
解:∵n＝1200,r=12厘米 ∴弧AB为 l nr
120 3.1412
180
25.12 25.1 cm
180
∴扇形AOB面积为
s
1
lr
1 25.1212
22
=150.72 150.7 cm2
2
2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇
形的圆心角的度数是_________°. 3
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧 长是_________；____
答案： 23 36
2s
240°，
r
例题讲解
例1 如图23.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 2 60 3.14 10 2
S
360
360
≈52.33(平方厘米)；
扇形的周长为
l nr 2r 60 3.1410 20
180
180
≈ 30.47（厘米）。
图 23.3.5
例2. 扇形AOB的半径为12cm， AOB=120，