实验高中高三数学11月考试卷理科数学

中山实验高中2013-2014高三11月阶段考试理 科 数 学试时间：120分钟；满分：150分；第一部分 选择题一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1.设集合{}{}{},2,1,2,2,1,2,1,0,1,2=--=B A U }{}()()2,1,0,1,2,1,22,1,2,U U A A C B =--==--⋃则等（ ）A.{}1B.{}1,2C.{}2D.{}0,1,22.复数32(1)i i += （ ） A ．2B ．－2C ．2iD ． 2i -3.如图所示，该程序运行后输出的结果为 ( ) A ．14 B ．16 C ．18 D ．644.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2 D.12 5.已知||||||b a b a -==,则a 与b 的夹角为 ( ) A.6π B ．4π C ．3π D.2π 6.数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n ．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 7.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则2AP AP AO -∙的最大值是（ ） A.-1 B. 0 C.81 D. 21第二部分 非选择题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 ．10.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图 都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何 体的表面积为________________．11.曲线y ＝e 2x在点(0,1)处的切线方程为________________． 12.下列命题中所有真命题的序号是________________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 13.在ABC ∆中，120,5,7,A AB BC ===则sin sin BC的值为______________． 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 则 ______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）设()ln -4f x a x x =+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ） 求函数()f x 的极值.12-⋅=n n n a =n S如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． （Ⅰ）证明：AD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22222244417．（本小题满分14分）已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数b a x f ∙=)(.将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象.（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）若b a⊥,求()y g x = 的值。

在三棱锥ABC P -中，侧棱长均为297，底边32,2,4===BC AB AC ,E D 、分别为BC PC 、的中点.（Ⅰ）求三棱锥ABC P -的体积； （Ⅱ）求二面角E DA C --的平面角.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）求证：312->n T n .20．（本小题满分14分）已知函数bx ax e x f ex f ==-)(,)(21.（Ⅰ）若)()()()(221x bf x f x f x f --+=，是否存在R b a ∈,，使)(x f y =为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；（Ⅱ）若1,2==b a ，求)()()(21x f x f x g +=在R 上的单调区间；（Ⅲ）已知[)2ln ,0∈b ，[][]1,01,00∈∀∈∃x x 对，有1)()(021<-x f x f 成立，求a 的取值范围。

EDCBAP班级___________ 座号 ___________ 姓名 ___________装订线内请勿答题中山实验高中高三11月中段考试理科数学答卷得分：一、选择题：请涂在答题卡上。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9、 。

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三、解答题：（共６小题，共80分，解答题写出文字说明，以及必要的证明过程或演算过程）15、16、 侧（左）视图正（主）视图PDCBA22222244417、18、 EDCBAP班级___________ 座号 ___________ 姓名 ___________装订线内请勿答题19、20、OQABC DP 汕头市聿怀中学2013-2014高三11月阶段考试理科数学参考答案一、选择题（40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D AAACBBC二、填空题（30分）9. 48 10. 11. y ＝2x ＋1. 12.②③ 13．35； 三、解答题（80分）15.解：（Ⅰ） ()ln -4f x a x x =+， ∴/()1af x x=- …………………2分 由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即()10f '=，5分∴1a =……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln -4(0)f x x x x =+>，/11()1=xf x x x-=- …………7分令/()0(0)01f x x x >>⇒<<故()f x 在()0,1上为增函数；………………8分 令/()0(0)1f x x x <>⇒>，故()f x 在()1,+∞上为减函数；………………11分故()f x 在1x =处取得极大值()13f =。

……………………………………12分16.解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥， ……………………1分 又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥． ……………………3分 由三视图得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点，所以AD PC ⊥，∴AD ⊥平面PBC 5分（Ⅱ）取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．………6分因为O 为CQ 中点，所以PQ OD ∥，……………………7分因为PQ ⊄平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ……9分 连接AQ ，BQ ，四边形ACBQ 的对角线互相平分，……………10分 所以ACBQ 为平行四边形，所以4AQ =， …………………11分又PA ⊥平面ABC ，所以在直角PAD ∆中，2242PQ AP AQ =+=．12分 17.（原创题） 解：（Ⅰ）31cos sin 3)(-+=∙=x x b a x f=31)6sin(2-+πx …3分)(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ解得：32322ππππ+≤≤-k x k )(x f ∴的单调递增区间为)(32,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ6分 （Ⅱ）b a ⊥，0=∙∴b a 由（1）得031)6sin(2=-+πx 61)6sin(=+∴πx …7分π412)1(.14+-=nn n S=)(x f 31)6sin(2-+πx ，将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，得：=y 31)62sin(2-+πx再向左平移3π个单位，=)(x g 316)3(2sin 2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππx ……………………10分 得=)(x g 316)3(2sin 2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππx =31)652sin(2-+πx =312)6(2sin 2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππx =31)6(2cos 2-+πx =31)6(sin 2122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx =91431)1811(2=--………14分18. （原创题） 解：证明：（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接OB OP ,，1分易得：AC OP ⊥，29449722=-=-=OC CP OP ……2分 32,2,4===BC AB AC ,2,,222==∴∆∆∴+=∴OC OB Rt ABC BC AB AC 为.OB OP OP OB PB ⊥∴+=∴,222. ………………4分又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂= OP ∴⊥平面ABC ………………5分332131=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P ………………6分（Ⅱ）法一：作EG ⊥AC ，GH ⊥DF 于H G 、点，连接EHOP ⊥平面ABC ,⊂EG 平面ABC ,OP EG ⊥∴ ………………7分又PAC OP AC O OP AC 面、且⊂= EG ∴⊥平面PAC . ∵PAC DA 平面⊂， ∴EG DA ⊥ ………………8分 又EGH GH EG G GH EG 面、且⊂= DA ∴⊥平面EGH ……9分 ∵EGH EH 平面⊂，∴DA EH ⊥………………10分 ∴EHG ∠为二面角E DF C --的平面角. ………………11分 ∵2330sin 0==CE EG ,23300==CECOS CG ,25=AG由（Ⅰ）知29=OP ，41591681)43()21(22=+=+=∴AC OP AD . ∴DA GH AG OP S DAG ⨯⨯=⨯⨯=∆212121，23=∴GHOCBAPG HEDCBAP∴33tan =∠EHG ,∴6π=∠EHG ………………14分 法二：以O 为原点，以OP OC 、为z y 、轴建系，则)0,21,23(),49,1,0(E D ，)0,2,0(-A ，8分 设),,1(z y n =为平面DEA 的法向量，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⋅=⋅=--=--⋅=⋅0493)49,3,0(),,1(0492123)49,21,23(),,1(z y z y DA n z y z y DE n ………………11分 ∴1534,53=-=z y ………………12分 又∵)0,0,29(=OP 为平面DEA 的法向量，∴23751625312929||||||cos =++⋅=⋅⋅=n OP n OP θ,二面角E DA C --的平面角为6π.…14分 19. （原创题）解：（Ⅰ）法一：112--+=n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- …3分122121122221-=--=++++=--n n n n ………………5分法二：)12(211221111-=-∴+=----n n nn n n n a a a a ………………3分 21121-=-a又 .212112为公比的等比数列为首项，以是以数列-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴nn a ……4分 12)21()21(21121-=∴-=-=-∴-n n nn n n a a ………………5分（Ⅱ）[])121121(21)12)(12()12()12(21)12)(12(211111111---=-----=--=+=++++-+-n n n n n n n n n n n n n a a a b …7分 n n b b b S +++= 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++---+---=+)121121()121121()121121(211322n n 9分 1212)121121(2111--=---=++n n n …………10分（Ⅲ）证明：kk k k k k k S 2131212223121)12(2121121211⋅-≥-+⋅-=--=--=++ ……12分312)211(312)212121(312221->--=+++-≥+++=∴n n n S S S T n n n n ；……14分 20. （原创题）解：（Ⅰ）存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数，证明如下：…………1分此时：x xxe ee xf ++=-)(， )()(x f e e ex f x x x=++=-∴--，)(x f y =∴为偶函数。