集合、逻辑、推理与证明

集合、逻辑、推理与证明
一、考试说明要求：（A:了解；B：理解；C：掌握）
二、应知应会知识和方法：
1．(1)已知集合S＝{1，2，3}，集合T＝{2，3，4，5}，则S∩T＝___________．
解：{2，3}．
目标：熟悉集合运算的含义。

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜x＜－1，或x＞4}，则集合A∪(∁U B)＝______________．
解：{x｜－2≤x≤4}，或写成[－2，4]．
目标：熟悉集合与不等式的综合应用。

注意端点的处理。

(3)设集合M＝{m∈Z｜－3＜m＜2}，N＝{n∈Z｜－1≤n≤3}，则M∩N＝_________．解：{－1，0，1}．
目标：熟悉集合元素的附加条件。

这是做准这种题目的关键。

(4)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
解：4．
目标：考察集合的交、并、补运算．这是集合运算中的元素关系，要注意集合的性质中的互
异性，求出的 a 值，要注意验根。

（5）设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=N ，{}4,2=M ，则图中的阴影部分所表示的集合是（ ） A 、{}4,2,1 B 、{}4,1 C 、{}1 D 、{}2 解： C
目标：考察集合的文氏图的解图。

比给出运算更高的一 种要求。

（6）满足{}{}M a a x x n M ∈===,2|,2,1,0，则集合M N = （ ） A 、{}1,0 B 、{}0 C 、{}2,1 D 、{}2,0 解：D
目标：考察集合元素的附加条件。

2．(1)对于集合A ，B ，定义“A －B ”的含义是：A －B ＝{x ｜x ∈A ，且x ∈／B }．若A ＝{x ｜－2＜x ≤4}，B ＝{x ｜x ≤1}，则集合A －B ＝____________． 解：{x ｜1＜x ≤4}，或写成(－1，4]．
目标：这是考察集合中的新定义，可以培养学生的阅读，分析能力。

(2)设P ，Q 是两个非空集合，定义：P ×Q ＝{(a ，b )｜a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{3，4}，Q ＝{4，5，6，7}，则集合P ×Q 中的元素的个数为_________． 解：8．
目标：这是考察集合中的新定义，可以培养学生的阅读，分析能力。

用到解决集合的最基本方法----列举法。

(3)定义集合运算：A ※B ＝{z ｜z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，3}，则集合A ※B 中所有元素之和为___________． 解：9．
目标：这是考察集合中运算的新定义，可以培养学生的阅读，分析能力。

用到解决集合的最基本方法----列举法，而且要注意审清所求条件。

3．(1)已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，正确的有_____个．
解：2，分别为原命题和逆否命题．
目标：关键是理解四种命题的相互关系。

(2)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为_____________．
解：“若a≤b，则2a≤2b－1”．
目标：让学生正确理解命题的否命题关系。

(3)下列命题：①每一个二次函数的图象都开口向上；②对于任意非正数c，若a≤b，则a ≤b＋c；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6＜0成立．其中既是全称命题又是真命题的有____________．
解：②．
目标：了解全称命题的定义，并且能够准确判断命题的真假。

(4)命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是：_____________．
解：∃x∈R，x3－x2＋1＞0．
说明：考察命题的四种形式及其之间的关系；和全称性命题，存在性命题的否定形式．熟练巩固全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

4．(1)已知：p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q 的__________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：充分不必要．
目标：这道题是课本的一道习题，从具体问题，改成符号表示，对学生熟练掌握四种命题关系。

(2)设集合M＝{x｜0＜x≤3}，N＝{x｜0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：必要不充分．
目标：让学生掌握四种命题的定义。

(3)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：充分不必要．
目标：让学生掌握四种命题的定义。

(4)“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”是“a＞0，b＞0”的___________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
解：充分不必要．
目标：让学生掌握四种命题的定义。

考察充分必要条件，及多知识点的综合运用能力． （5）“y x =”是""y x =的（ ）
Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件 Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件 解：Ｂ
目标：考察充分必要条件，及多知识点的综合运用能力。

5．(1)用反证法证明命题：“a ，b ∈Z ，若ab 为奇数，则a ，b 全为奇数”时，应假设__________________． 解：“若a ，b 不全为奇数”． 目标：了解反证法的定义。

(2)若△ABC 能剖分为两个与其自身相似的三角形，则此三角形必为_______三角形．(填“锐角”，“直角”，“钝角”) 解：直角．
说明：使用反证法证明时，应准确的做出反设(否定结论)；能利用反证法思想解决问题． 6．(1)下列推理：
正确的序号是 ． 解：④．
目标：对演绎推理的正确理解。

(2)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ． 解：大前提是错误的．
(3)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线间的平行线段长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到_______________________________，这个类比命题为____命题．(填“真”，“假”)
① 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是增函数， y ＝2x 是指数函数， y ＝2是增函数． ② 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)是偶函数，
y ＝(x ＋1)2是二次函数， y ＝(x ＋1)2是偶函数．
④ 对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象都过点(1，0)，
y ＝lg x 是对数函数， y ＝lg x 的图象都过点(1，0)．
③ 减函数y ＝kx ＋b (k ＜0)是一次函数， y ＝2x ＋1是一次函数， y ＝2x ＋1是减函数．
解：“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”，真．
说明：熟悉演绎推理、类比推理的一般模式，并能判断推理的正误．
7．(1)32＞3＋12＋1，43＞4＋13＋1，54＞5＋14＋1，… ，由此可以得到的一个结论是 ．
解：n ＋1n ＞n ＋1＋1n ＋1 (n ≥2，且n ∈N*)．
(2)数列{a n }中，a 1＝1，对任意n ∈N*，a n ＋1＝2a n
2＋a n
，依次计算a 2，a 3，a 4后，归纳出a n 的通项公式为 ． 解：2n ＋1
．
(3)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝_________；当n ＞4时，f (n )＝ ．（用n 表示） 解：5，1
2
(n ＋1)(n －2)．
目标：这是书本上的一道习题，是通过不完全归纳推导出规律。

能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决简单问题．
(4)根据右图中5个图形及其相应点的个数变化规律，
试猜想第n 个图中有________个点． 解：n 2－n ＋1．
说明：能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决简单问题．
（５）与ABC Rt ∆相对应的，是四面体Ｐ－ＤＥＦ；与ABC Rt ∆的两条边交成１个直角相对应的，是四面体Ｐ－ＤＥＦ的３个面在一个顶点处构成３个直二面角；与ABC Rt ∆的直角边边长b a ,相对应的，是四面体Ｐ－ＤＥＦ的面,,FPD DEF ∆∆和DPE ∆的面积
321,,s s s ；与ABC Rt ∆的斜边边长c 相对应的，是四面体Ｐ－ＤＥＦ的面PEF ∆的面积。

由此，我们可以类比ABC Rt ∆中的勾股定理，猜想出四面体Ｐ－ＤＥＦ四个面的面积之间的关系：___________________________。

解：2
32
22
12s s s s ++=
目标：能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决由平面问题上升为空间问题的某种量的关系． （６）在ABC ∆中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为c b a ,,，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，
c b a ,,成等比数列，则ABC ∆为____________ .(填三角形的形状)
解：等边三角形
目标：让学生掌握在解决数学问题时，往往先作语言的转换，（把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等。