2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题精编
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） （A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ， 解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC -+-=， 22222)()(a c a c BC -++=，222AB BC AC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC的值为（ ） （A ）132- （B ）32（C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，m r QA -=．（第5题图）在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅． 即 QD m m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QO DO QD +=，即 22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=． 所以，231313+=-+=-+=m r m r QA QC ． 故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ． 答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011． 因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002． 于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-． 解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得m xm m x 2323-=， 解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ， 由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-b c a . 8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400， 所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于 ．答：6． 解：因为 122902303030a a a <+<+<<+<，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0， 1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1， 所以 130110<+<a ， 1≤3012+a ＜2． 故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6． 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82． 记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以0≤)71208(1250a -⨯＜510， 故71128＜a ≤71208． 因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ；（2）求所有满足条件的x ．解：（1）12x =满足条件． ……………………5分（2）因为abx =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，所以ab<-121<，即1)a b<1)a <．当a ＝1时，1)13(1)12(⨯-<<⨯-b ，这样的正整数b 不存在．当a ＝2时，2)13(2)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝1，此时12x =． 当a ＝3时，3)13(3)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝2，此时23x =．当a ＝4时，4)13(4)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在．当a ＝5时， 5)13(5)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，此时35x =．当a ＝6时， 6)13(6)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a ＝7时， 7)13(7)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，4，5，此时73=x ，74，75． 当a ＝8时， 8)13(8)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝5，此时58x =．所以，满足条件的所有分数为12，23，35，73，74，75，58．…………………15分 12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ①及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分又当a ＝b 时，由①，②得221614c a a =++， ③ 245ac a a =--， ④将④两边平方，结合③得()()2222161445a a a a a ++=--，化简得3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=， 解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．……………15分解法2：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ，所以 )1(2+±=+a c b ．又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程054)1(222=--++±a a x a x ⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=∆a a a ，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ，即05242=--a a ，或056=--a ，解得4211±=a ，或65-=a ． 所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．…………………15分13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ． 求证：PE AC CE KB ⋅=⋅．证明：因为AC ∥PB ，所以KPE ACE ∠=∠．又P A 是⊙O 的切线，所以KAP ACE ∠=∠．故KPE KAP ∠=∠，于是△KPE ∽△KAP ，所以 K P K EK A K P=， 即 2K P K E K A =⋅．………………5分由切割线定理得2KB KE KA =⋅，所以， KP ＝KB ．…………………10分因为AC ∥PB ，所以，△KPE ∽△ACE ，于是PE KPCE AC=， 故P E K BC E A C=， 即 P E A C C E K B⋅=⋅． …………………15分14．2006个都不等于119的正整数200621,,,a a a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数12119,,,b b b ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数1b ，12b b +，…，12119b b b +++， ①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为1i b b ++和j b b ++ 1（1≤i ＜j ≤119），于是1119i j b b +++，从而此命题得证．…………………5分对于200621,,,a a a 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为102119162006+⨯=，所以200621a a a +++ ≥391010223816=+⨯． ②…………………10分取1201904238119====a a a ，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，200621a a a +++ 的最小值为3910．…………………15分。
2006年全国初中数学竞赛试题
2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+ （D ）23+（第5题图）二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值 等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ． （1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．（第7题图）ABD G12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．（第13题）C14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
2006年全国初中数学竞赛试题
2006 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。以下每道小题均给出了代号为 A，
B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的
括号里。不填、多填或错填均得 0 分）
1．在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔 4 千米经过一个限速标志牌；并且从 10 千
故选 B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一
部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，
还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了 34 个六十二边
形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004
解得 x=1250×(208－71a) ．
因为 0≤x＜105 ，所以 0≤1250×(208－71a)＜105 ，故 128 a ≤ 208 ．
71
71
因为 a 为整数，所以 a=2．于是 x=1250×(208－71×2)=82500．
a
数为 1），且 a ≤8， 2 1 x 3 1 ．
（1） 试写出一个满足条件的 x； （2） 求所有满足条件的 x．
2
12．设 a ， b ， c 为互不相等的实数，且满足关系式
b2 c 2 2a 2 16a 14
①
bc a 2 4a 5
②
求 a 的取值范围．
13．如图，点 P 为⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B．过
2 30
，…，
a
29 30
等于
0
或
1．由题设知，其中有
2006年浙江省初中数学竞赛复赛试题及答案-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-
2006年浙江省初中数学竞赛复赛试题及答案-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，则x3=17．当这5个自然数中最大一个x5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x1=0，x2=1，x4=18，此时x5=24．2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x，y，则3 x = 4 y，．∴ ．，x =2．∴ 长方形ABCD的周长为19．3．答案：A解：，∴ 0＜k＜1，∴ ＜0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形．5．答案：C解：将函数表达式变形，得，，．∴ x，y都是整数，∴ 也是整数．∴ 或或或或或解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）．6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克，28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：15解：，，，∴ ，．8．答案：解：连结OC，OP，则∴OCP=90°，∴COP=60°，OC = a，∴ PC =，PB =PC =，PA =．9．答案：解：y ==其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y最小为-1．10．答案：26解：连结AP，则PE+PC=PE+PA，当点P在AE上时，其值最小，最小值为．11．答案：20解：设A、B、C三种贺卡售出的张数分别为x，y，z，则消去y得，．由，得．12．答案：right，evght解：由题意得，（为非负整数）．由0≤≤25，可分析得出，三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由条件得，在B站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人．……………2分（2）在E站有2人下车，即在D—E途中有2个浙江人，5个上海人，……………2分从而C—D途中至少有2位浙江人，在D站至少有2人下车，……………2分∴ C站后车厢里至少有9个人．∴ 火车离开B站时车厢里有12人，离开D站时有7人，∴ 在C站至少有3人下车，即经过C站后车厢里至多9人，故经过C站后车厢里有9人，即在C站有3人下车．……………2分∴ B—C途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人．……………2分在D站有2人下车，C—D途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN，则PN∴AB，且．……………………2分∴∴ABF∴∴NPF，．∴ BF=2FP．……………………2分（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则MG∴EF，AG=GF=FN．……………………2分∴S∴NEF=S∴MNG……………………2分=×S∴AMN……………………2分=××S∴ABC =S．……………2分15．(15分)解：设…中有r个－1、s个1、t个2，则………………5分两式相加，得s＋3t＝1103，故．………………2分∴ …………………2分=．………………2分∴ 200≤…≤6×367+200=2402．当时，…取最小值200，………2分当时，…取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）．………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．………………2分理由如下：∴ a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∴ 如果a＞b，a和b的最大公约数=（a－b）和b的最大公约数，如果a＜b，a和b的最大公约数=（b－a）和b的最大公约数，∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分∴ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C ．2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又8)763)(147(22=--+-n n a m m ，所以 ()()8737=-+a ， 解得 9-=a ．故选C ．3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 答：B ．解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得22222)()(a c a c AC-+-=，22222)()(a c a c BC-++=，222ABBCAC =+，所以 22222)(c a c a -=-．由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．故选B ．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007答：B ．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，解得k ≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B ．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（ ）（A ）132- （B ）32 （C ）23+ （D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，mr QC +=，m r QA -=．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ⋅=⋅． 即 QDm m r m r ⋅=+-))((，所以 mm r QD 22-=．连结DO ，由勾股定理，得222QODOQD+=， 即22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得rm 33=．所以，231313+=-+=-+=mr m r QAQC ．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，a c -＝2005．若a ＜b ，则a ＋b＋c 的最大值为 ． 答：5013．解：由a ＋b ＝2006，a c -＝2005，得 a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以，a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 .答：320-．解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则342=m ．由△ADG ∽ △ABC ，可得mx m m x 2323-=，解得m x )332(-=．于是48328)332(222-=-=m x ，由题意，a ＝28，b ＝3,c ＝48，所以320-=-bc a .8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了x x 3685040046=⨯米．于是400)1(400800)1(368>--+-x x ，且 x x 400)800368(-+≤400， 所以，5.12≤x ＜5.13．故x =13，此时1045013400=⨯=t ．9．已知<01a <，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于 ． 答：6． 解：因为 122902303030a a a <+<+<<+< ，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝1130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝0，1230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1330a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝…＝2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝1， 所以 130110<+<a ，1≤3012+a ＜2．故18≤a 30＜19，于是6≤a 10＜319，所以[]10a =6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef ＝bcdef a 82． 记43210101010x b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+，于是5568110812081010a x a x ⨯⨯+=⨯+⨯+，解得)71208(1250a x -⨯=．因为0≤x ≤510，所以≤)71208(1250a -⨯＜510，故71128＜a ≤71208．因为a 为整数，所以a ＝2．于是82500)271208(1250=⨯-⨯=x ．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11（A ）．已知ab x =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，1312-<<-x ．（1）试写出一个满足条件的x ； （2）求所有满足条件的x ． 解：（1）12x =满足条件． ……………………5分（2）因为ab x =，a ,b 为互质的正整数，且a ≤8，所以ab <-121<，即1)a b <1)a<．当a ＝1时，1)13(1)12(⨯-<<⨯-b ，这样的正整数b 不存在． 当a ＝2时，2)13(2)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝1，此时12x =． 当a ＝3时，3)13(3)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝2，此时23x =．当a ＝4时，4)13(4)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a ＝5时， 5)13(5)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，此时35x =．当a ＝6时， 6)13(6)12(⨯-<<⨯-b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a ＝7时， 7)13(7)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝3，4，5，此时73=x ，74，75．当a ＝8时， 8)13(8)12(⨯-<<⨯-b ，故b ＝5，此时58x =．所以，满足条件的所有分数为12，23，35，73，74，75，58．…………………15分 12（A ）．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式 14162222++=+a a c b ① 及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分又当a ＝b 时，由①，②得221614c a a =++，③ 245ac a a =--，④将④两边平方，结合③得()()2222161445aa a a a ++=--，化简得3224840250a a a +--=，故 2(65)(425)0a a a +--=， 解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．……………15分解法2：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ，所以 )1(2+±=+a c b ．又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程54)1(222=--++±a a x a x ⑤的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=∆a a a ，所以1->a ．当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ，即05242=--a a ，或056=--a ，解得4211±=a ，或65-=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且65-≠a ，4211±≠a ．…………………15分13（A ）．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ． 求证：P E A C C E K B ⋅=⋅．证明：因为AC ∥PB ，所以K PE AC E ∠=∠．又PA 是⊙O 的切线，所以K A P A C E ∠=∠．故K PE K AP ∠=∠，于是△KPE ∽△KAP ，所以K P K E K AK P=，即 2K P K E K A =⋅．………………5分由切割线定理得2KB KE KA =⋅，所以， KP ＝KB ．…………………10分因为AC ∥PB ，所以，△KPE ∽△ACE ，于是P E K P C E A C =，故 P E K B C EA C=，即 P E A C C E K ⋅=⋅．…………………15分14（A ）．2006个都不等于119的正整数200621,,,a a a 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数12119,,,b b b ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数1b ，12b b +，…，12119b b b +++ ， ① 若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为1i b b ++ 和j b b ++ 1（1≤i ＜j ≤119），于是1119i jb b +++ ，从而此命题得证．…………………5分对于200621,,,a a a 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为102119162006+⨯=，所以200621a a a +++ ≥391010223816=+⨯． ②…………………10分取1201904238119====a a a ，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，200621a a a +++ 的最小值为3910．…………………15分11（B ）．已知△ABC 中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当BCBD 2和ABBE 2均为正整数时，△ABC 是什么三角形？并证明你的结论．解：设,2m BCBD =nABBE =2，,m n 均为正整数，则244cos 4B D B E m n B A BB C=⋅⋅=<，所以，mn ＝1，2，3．…………………5分（1）当mn ＝1时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1==n m ．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是△ABC 是等边三角形．（2）当mn ＝2时，cos 2B =，45B ∠=︒，此时2,1==n m ，或1,2==n m ，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90B A C ∠=︒，或90B C A ∠=︒，于是△ABC 是等腰直角三角形．（3）mn ＝3时，cos 2B =，30B ∠=︒，此时3,1==n m ，或1,3==n m ．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30A C B ∠=︒，或30B A C ∠=︒，于是△ABC 是顶角为120 的等腰三角形．…………………15分12（B ）．证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程2225107()m n m n m n +=++．证法1：原方程可以写为22(107)2570m n m n n -++-=，于是 ()221074(257)16849n n n n ∆=+--=+是完全平方数．…………………5分设21684949(121)n k +=+，其中k 是任意一个正整数，则2427n k k =+．…………………10分于是210710(427)77(121)22n k k k m +±++±+==22107k k=-，或2210777k k ++．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427k k k k =-+（其中k 是正整数）满足题设方程．…………………15分证法2：原方程可写为()()257m n m n -=+，所以可设27m n x+=（x 是正整数）， ①取 57m n x -=． ②…………………5分① －②得67(1)n x x =-．令6x y =（y 是任意正整数），则2427n y y =-．…………………10分于是()2227364272107m y y y y y=⋅--=+．所以，存在无穷多对正整数(),m n ()222107,427y y y y =+-（其中y 是任意正整数）满足题设方程．…………………15分13（B ）．如图，已知锐角△ABC 及其外接圆⊙O ，AM 是BC 边的中线．分别过点B ，C 作⊙O 的切线，两条切线相交于点X ，连结AX ．求证：BACAXAM ∠=cos ．证明：设AX 与⊙O 相交于点1A ，连结OB ，OC ，1O A ．又M 为BC 的中点，所以，连结OX ，它过点M ．因为,OB BX OX BC ⊥⊥，所以2XB XM XO=⋅． ①又由切割线定理得21XB XA XA =⋅．②…………………5分由①，②得1X A X M X AX O=，于是△XMA ∽△1X A O ，所以1OA AM OB AXOXOX==．…………………10分又2B O C B A C ∠=∠，所以B O X B A C ∠=∠，于是BACOXOB AXAM ∠==cos ．…………………15分14（B ）．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n 的最小值为6．证明：设10个学生为1210,,,S S S ，n 个课外小组为12,,,n G G G ． 首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为1S ，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．…………………5分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设1S 恰好参加12,G G ，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与1S 没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组12,,,n G G G的人数之和不小于310⨯＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组12,,,n G G G 的人数不超过5n ，故n5≥30，所以n ≥6．…………………10分下面构造一个例子说明6n =是可以的．{}112345,,,,G S S S S S =， {}212678,,,,G S S S S S =，{}3136910,,,,G S S S S S =，{}4247910,,,,G S S S S S =，{}535789,,,,G S S S S S =，{}6456810,,,,G S S S S S =．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件． 所以，n 的最小值为6．…………………15分。
2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8， 所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°． 因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）． 故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2， 即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43， 由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是 ：x 2＝(23－3)m 2＝283－48， 由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5． 故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ， 所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ． 由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC， 即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ， 故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。
006年全国初中数学竞赛试题及答案
2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）20075．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+ （D ）23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值（第5题图）ABCD OQPA为 ．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值 等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a Λ，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ． （1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ①542--=a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．14．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求（第13题）BCOPEKn的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题.doc
2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题（2006年3月12日 上午9：00—11：00）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或2．一块含有︒30AB ＝8cm,里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
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2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30AB ＝8cm, 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
12．设直线1-+=k kx y 和直线k x )k (y ++=1(k 是正整数)及x轴围成的三角形面积为k s ，则2006321s ...s s s +++的值是 。
13．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，则MF 的长为 。
14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为21:的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 。
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）15．(12分)已知c ,b ,a 都是整数，且42=-b a ,012=-+c ab ,求c b a ++的值。
16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。
某日王老板进货A 款式服装35件，B 款式服装25件。
怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？17. 如图所示，⊙O 沿着凸n 边形A 1A 2A 3…A n -1A n 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。
（1）当⊙O 和凸n 边形的周长相等时，证明⊙O 自身转动了两圈；（2）当⊙O 的周长是，凸n 边形的周长是时，请写明此时⊙O 自身转动的圈数。
18. 已知二次函数1122+-++=m x )m (x y 。
（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1122+-++=m x )m (x y 图象的顶点P ，求此时m 的值。
2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案一、选择题1．答案D 解：解方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=526,543ay a x 要使方程组的解是一对异号的数， 只需334026043026043><⎩⎨⎧<->-⎩⎨⎧>-<-a a a a a a 或即或 2．答案B解：连结BE ，分别过E ，F 作AC 的平行线 BC 于点M 和N ，则EM=1，BM=3，MN=33134-=--∴小三角形的周长是MN+2MN+3MN=6cm3．答案C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种4．答案：D解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2+25．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3264= 6．答案：A解：经实验或按下 方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=)1(21+k k ，应停在第p k k 7)1(21-+格，这是P 是整数，且使0≤p k k 7)1(21-+≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，p k k 7)1(21-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k ≤10，设k=7+t(t=1,2,3)代入可得，)1(2177)1(21++=-+t t m p k k ，由此可知，停棋的情形与k=t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到。
7．答案B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k+1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D8．答案C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图形案个数是12×4=48二、填空题9．答案：512 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h ），则5h=3×4,512=h 10．答案：35%或65%（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65%11．答案：10解：不难验证，a 2=b 2+c 2，所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边。
bsinB+csinC=10222===+=∙+∙a aa abc a c c a b b 12．答案：20071003 解：方程组⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧++=-+=11)1(1y x k x k y k kx y 的解为直线的交点是（-1，-1） 直线⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=0,1)1(,1k k x k x k y k kx y 轴的交点分别是与、 11121111210,1+-=+---⨯-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k k k k k Sk k k ，所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-=++++200712006141313121211212006321 S S S S2007100320071121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，∴FN=1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的高，所以FM=22 14．答案：463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+3343532222;222ny n x n y n x n y x n x x n y x n x x 或解得或 ∵35322n n <⨯（此时不能构成三角形，舍去） ∴取⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==334ny n x 其中n 是3的倍数 三角形的面积222236633663634321n S n n n n S =∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=∆对于 当n ≥0时，S △随着n 的增大而增大，故当n=3时，3663=∆S 取最小 三、解答题15．解：将a=4+2b 代入ab+c 2-1=0，得2b 2+4b+c 2-1=0， ∴22622c b -±-= ∵b ，c 都是整数，∴只能取⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==12,12,10,1044332211c b c b c b c b 相对应a 1=4,a 2=4,a 3=0,a 4=0故所求a+b+c 的值有4个：5，3，-1，-316．解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件（x 取整数，且5≤x ≤30），则分配给甲店铺B 款装（30-x ）件，分配给乙店铺A 款服装（35-x ）件，分配给乙店铺B 款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润（设为y 总）为：Y 总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965乙店铺的毛利润（设为y 乙）应满足：Y 乙=27(35-x)+36(x-5)≥950，得x ≥9520 对于y 总=-x+1965,y 随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520,故取x=21，即分配给甲店铺A 、B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，最大的总毛利润为y 总最大=－21+1965=1944（元）17．解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角。