2010年浙江省高等数学竞赛试卷及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)(解析版)(word版)
绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 31=次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式台体的体积公式 24R S π= )(312211S S S S h V ++= 球的体积公式其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 334R V π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则（ ）（A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆（C ）Rp Q C ⊆（D ）RQ P C ⊆解析：{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） （A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7?解析：选A ，本题主要考察了程序框图的结构，以及与数列有关的简 单运算，属容易题（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题（5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） （A ）2z z y -= （B ）222z x y =+ （C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+解析：可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错，B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错，C 项，y z z 2≥-，故C 错，D 项正确。
2006-2010年浙江省高等数学(微积分)竞赛工科类试题
2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一、 计算题（每小题12分，满分60分）1、计算lim 1nxn x n e n →∞⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→x xx n n e n x n 1lim ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→11lim xx n x n e n x ne ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→111lim xx n x n e e n x ne x e e n x ne x n x n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1limnx en x e x x nn x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→-1lim 12()te t e x t t x -+=→-10121lim()1)1ln(11lim21120tt ttt e x tt x +-+⋅+=→- 22)1()1ln()1(limtt t t t e x t x+++-=→ 22)1ln()1(limtt t t e x t x++-=→tt e x t x2)1ln(11lim200+--=→22xex -=。
2、求4881(1)x xdx x x ++-⎰.解: 4848242828411111(1)2(1)2(1)x x x x x xdx dxdxx x x x x x ++++++==---⎰⎰⎰242224211114(1)4(1)x xx xdx dx x x x x ++++==--⎰⎰3111122411411A B C dx dx x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎛⎫=++=++⎪ ⎪-+-+⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰131ln(1)ln ln(1)422x x x C ⎡⎤=--+-++⎢⎥⎣⎦311ln(1)ln ln(1)848x x x C=--+-++.3、求22110x yy e dy e dx x⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 解: 222211111100x xyyy yye edy e dx dy dx dy e dxxx⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx yyedx dy dy e dxx=-⎰⎰⎰⎰22211101(1)2xyxe e dx y e dy xe dx -=--==⎰⎰⎰.4、求过(1,2,3)且与曲面3()z x y z =+-的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令3(,,)()F x y z x y z z =+--则(,,)1x F x y z '=,2(,,)3()y F x y z y z '=-,2(,,)3()1zF x y z y z '=---令所求平面方程为: (1)(2)(3)0A xB yC z -+-+-=,在曲面3()z x y z =+-上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0,1}-,则0A C-=在曲面3()z x y z =+-上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3,4}-,则340A B C +-=. 解得:A B C==即所求平面方程为: 6x y z ++=.二、(15分)设3()6xxf x e =-,问()0f x =有几个实根?并说明理由.解: 当0x ≤, 306xxe >≥当0x >,0e >且xe的增长速度要比36x来得快!所以()0f x =无实根.三、(满分20分)求31n n x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑中20x 的系数.解: 当1x <时,33331111n n x x x x x ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 3301122n n x x x x∞=''''⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑322(1)2n n xn n x∞-==-∑故31n n x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑中20x 的系数为171.四、(20分) 计算C xyds ⎰,其中C 是球面2222x y z R++=与平面0x y z ++=的交线.解： 2222()()2()C C Cx y z ds x y z ds xy yz zx ds ++=+++++⎰⎰⎰而2()0C x y z ds ++=⎰,22223()2CCx y z ds R ds Rπ++==⎰⎰,CCCxyds yzds zxds ==⎰⎰⎰,故33C R xyds π=-⎰.五、(20分)设12,,,n a a a 为非负实数,试证:1sin sin nk k a kxx=≤∑的充分必要条件为11nkk ka =≤∑.证明：必要性 由于1sin sin nk k a kxx=≤∑,则1sin sin nkk kx x a xx=≤∑,x ≠11sin sin limlim1n nkk x x k k kx x a ka xx→→==⇒=≤=∑∑.充分性;要证明1s i n s i n nk k a k x x=≤∑,只需证明:1sin 1sin nkk akxx=≤∑,这里s i n 0x ≠,若sin 0x =,不等式显然成立;即只需证明: 1sin 1sin nkk kx a x =≤∑,而11sin sin sin sin nnkkk k kx kxa axx==≤∑∑,11nkk ka =≤∑故只要说明: sin sin kx kx≤,即sin sin kxk x≤,当1k=时,显然成立;假设当k n =时,也成立,即sin sin nx n x≤;当1kn =+时, sin(1)sin()sin cos sin cos n x nx x nx x x nx+=+=+sin sin (1)sin nx x n x≤+≤+.六、(15分)求最小的实数c ,使得满足1()1f x dx =⎰的连续函数()f x都有10f dx c ≤⎰.解: 1111(2()2()2f dx f dx t f t dxf t dx≤=≤=⎰⎰⎰⎰,取2y x =,显然10()1f x dx =⎰,而11024233f dx ==⋅=⎰⎰,取(1)n y n x =+,显然1()1f x dx =⎰,而1101(1)22,2nn f dx n dx n n +=+=⋅→→∞+⎰⎰,故最小的实数2c =.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰1111555u t =+==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2010年浙江省高等数学竞赛试题与答案(共4份)
试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()22222exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b+= 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。
4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by czΓ-+-+-++⎰其中n Γ与的方向成右手系。
5．设f 连续，满足()()() 22 02exp xf x x x t f t dt =--⎰且()11/f e =,求()()1n f 的值。
二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{},,max ,211011dx x a a a n n ⎰-==,4,3,2=n ，求n n a ∞→lim 。
三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞→x f x ，1)(≤''x f ，证明：0)(lim ='∞→x f x 。
四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足)()()(,,y f x f y x f y x +≥+∀且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[,2)(∈≤x x x f （2）21)(1≤⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N ，当正整数n >N 时，G n ∈（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()() +22 122dxx x x ∞-∞+-+⎰3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。
2010年浙江高考数学文科试卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( )A.{|12}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|14}x x <<-D.{|21}x x -<<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集. 【参考答案】D【试题解析】2422x x ∴<⇒-<<，{}2Q x x ∴=-＜＜1，{}21P Q x x ∴=-<<，故选D.2.已知函数 2()log (1),f x x =+若()1,f α= α= ( )A.0B.1C.2D.3【测量目标】对数函数的性质.【考查方式】给出对数函数解析式，()f α的值，求未知数α. 【参考答案】B 【试题解析】2()log (1)f αα=+，12α∴+=，故1α=，选B.3.设i 为虚数单位，则5i1i-=+ ( ) A.23i -- B.23i -+ C.23i - D.23i +【测量目标】复数代数形式的四则运算..【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简. 【参考答案】C 【试题解析】5i (5i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2----===-++-，故选C ， 4.某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 ( )A.4?k >B.5?k >C.6?k >D.7?k > 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件. 【参考答案】A【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：k S 是否继续循环 循环前 1 1第一次 2 4 是 第二次 3 11 是 第三次 4 26 是 第四次5 57否故4k >.5.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = ( ) A.11- B.8- C.5 D.11 【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式. 【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和. 【参考答案】A【试题解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得2q =-，带入所求式可知答案选A.6.设0＜x ＜π2，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.【参考答案】B 【试题解析】π0,sin 12x x <<∴<，故2sin sin x x x x <，结合2sin x x 与sin x x 的取值范围相同，可知答案选B.7.若实数,x y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则x y +的最大值为（ ） A.9 B.157 C.1 D.715【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出线性规划条件，求最值. 【参考答案】A【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设z x y =+，直线z x y =+过可行域内点()4,5A 时z 最大，最大值为9，故选A.8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 （ ） A.35233cm B.3203 3cm C.22433cm D.16033cm 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 【参考答案】B【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为4、4、2，正四棱台上底边长为4，下底边长为8，高为2，那么相应的体积为：222213204422(4488)33⨯⨯+⨯⨯+++=.故选B.9.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞,则 （ ） A.1()0f x <,2()0f x < B.1()0f x <，2()0f x > C.12()0,()0f x f x >< D.12()0,()0f x f x >>【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断. 【参考答案】B【试题解析】0x 是1()21xf x x=+-的一个零点，0()0f x ∴=，又1()21x f x x=+-是单调递增函数，且()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，102()()0()f x f x f x ∴<=<，故选B.10.设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠12F PF =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x ±3y 0= B.3x ±y 0= C.x ±2y 0= D.2x ±y 0=【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程. 【参考答案】D【试题解析】假设1,F P x OP =为12FF P △的中线，根据三角形中线定理可知： 222222(2)2(7)(2)5x a x c a x x a c a ++=+⇒+=+，由余弦定理可知： 22222(2)(2)4(2)142x a x x a x c x x a a c ++-+=⇒+=-，，∴渐进线为20y ±=. 故选D.非选择题部分（共100分）二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 . 【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力. 【参考答案】45;46【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为45;46.12.函数2π()sin (2)4f x x =-的最小正周期是 .【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角.【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期. 【参考答案】π2【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为()1π1cos 4222f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可知其最小正周期为π2. 13.已知平面向量,,1,2,(2),==⊥-αβαβααβ则2+αβ的值是 .【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算. 【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义. 【参考答案】10【试题解析】10，由题意可知()20•-=ααβ，结合2214==，αβ，解得12•=αβ，所以22+=αβ22448210+•+=+=ααββ，开方可知答案为10.14.在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行、 第1n +列的数是 .【测量目标】等差数列的性质与通项公式.【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力.【参考答案】2n n +【试题解析】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n 行的公差为n ，所以第0n 行的通项公式为()001n n n a n -+=，又因为为第1n +列，故可得答案为n n +2.15.若正实数,x y 满足26x y xy ++=， 则xy 的最小值是 .【测量目标】利用基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法.【参考答案】18【试题解析】运用基本不等式，26226xy x y xy =+++，令2t xy =，可得22260t t --，注意到t ＞0，解得t ≥23,故xy 的最小值为18.16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值 .【测量目标】利用不等式求最大（小）值.【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力. 【参考答案】20【试题解析】由2386050012(1%)2(1%)7000x x ⎡⎤++⋅++⋅+⎣⎦可得x 的最小值为20.17.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 、分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 . 【测量目标】古典概型的概率.【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用. 【参考答案】34【试题解析】由题意知，G 点共有16种取法，而只有E 为P 、M 中一点，F 为Q 、N 中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，因此概率为43. 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设S 为ABC △的面积，满足2223()4S a b c =+-. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值.【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值.【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知1sin 2cos 24ab C ab C =⋅.∴tan C = （步骤1）0<<πC ，∴π3C =. （步骤2） （Ⅱ)解：由已知得2πsin sin sin sin(π)sin sin()3A B A C A A A +=+--=+-1πsin sin )326A A A A =+=+. （步骤3）当ABC △为正三角形时取等号，∴sin A +sin B . （步骤4）19.（本题满分14分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=.（Ⅰ）若55S =，求6S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围.【测量目标】等差数列的前n 项和与通项，一元二次不等式.【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解. 【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知65153S S -==-,6658a S S =-=-, （步骤1） ∴115105,58.a d a d +=⎧⎨+=-⎩ （步骤2）解得17a =，∴613,7S a =-=. （步骤3） (Ⅱ)解：56150,S S +=11(510)(615)150,a d a d ∴+++= （步骤4）即2211291010,a da d +++=∴221(49)8,a d d +=- （步骤5）28,d ∴ （步骤6）∴d 的取值范围为22d-或2 2.d （步骤7）20.（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，120ABC ∠=.E 为线段AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成'A DE △，使平面'A DE ⊥平面BCD ，F 为线段'AC的中点. （Ⅰ）求证：BF ∥平面'A DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE ‘所成角的余弦值.【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.【试题解析】 (Ⅰ)证明：取'A D 的中点G ，连接,GF CE ，由条件易知FG ∥CD ，12FG CD =.BE ∥CD ,12BE CD =. （步骤1）∴FG ∥,.BE FG BE = （步骤2）故四边形BEGF 为平行四边形,∴BF ∥EG , （步骤3）又EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE∴BF //平面'A DE （步骤4）（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD 中，设BC a =, 则2,,AB CD a AD AE EB a ===== （步骤5） 连接CE ,120ABC ∠=在BCE △中，可得3,CE a =(步骤6)在ADE △中，可得,DE a = （步骤7） 在CDE △中，222,CD CE DE =+CE DE ∴⊥. (步骤8)在正'A DE △中，M 为DE 中点，∴'AM DE ⊥. （步骤9）由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知'AM ⊥平面',BCD A M CE ⊥. （步骤10）取'A E 的中点N ，连线NM 、NF ，∴',NF DE NF A M ⊥⊥. （步骤11）DE 交'AM于M ,∴NF ⊥平面'A DE , （步骤12）则FMN ∠为直线FM 与平面'A DE 所成角.在Rt FMN △中，NF a , M N =12a , FM =a , 则1cos 2FMN ∠=， （步骤13） ∴直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12. （步骤14）21.（本题满分15分）已知函数2()()f x x a =-()a b -(,R,)a b a b ∈<.（I ）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程.（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠. 证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x .【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.【试题解析】(Ⅰ)解：当1,2a b ==时，'()(1)(35)f x x x =--∴'(2)1,(2)0f f ==， （步骤1）∴()f x 在点()2,0处的切线方程为2y x =-. （步骤2）（Ⅱ）证明：'2()3()(),3a bf x x a x +=--由于a b <，.故23a ba +<. ∴()f x 的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+. （步骤3） 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+， x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，∴x 3＝b . （步骤4）又23a b +－a ＝2（b －23a b+），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，∴a ，23a b +，23a b +，b 依次成等差数列， （步骤5）∴存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+. （步骤6）22.（本题满分15分）已知m 是非零实数，抛物线2:2C y ps =(0)p >的焦点F 在直线2:02m l x my --=上. （I ）若2m =，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B ，2AA F △,1BB F △的重心 分别为,G H .求证：对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外. 【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系. 【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明. 【试题解析】(Ⅰ)解：焦点(,0)2PF 在直线l 上，∴2p m = （步骤1） 又2m =,∴4p =∴抛物线C 的方程为222y m x = ，则抛物线C 的方程为28y x =. （步骤2）（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由222,22,m x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得23420,y m y m --=m≠，∴∆64440m m+>=，且有3412122,y y m y y m+==-，（步骤3）设12,M M分别为线段11,AA BB的中点，由于122G,2,M C F M H HF==可知112(,)33x yG，222(,)33x yH，∴2421212(),6636x x m y y m m m+++==+312222,63y y m+=（步骤4）∴GH的中点4222,363m m mM⎛⎫+⎪⎝⎭. （步骤5）设R是以线段GH为直径的圆的半径，则2222211||(4)(1)49R GH m m m==++(步骤6)设抛物线的标准线与x轴交点2(,0)2mN-，则2423222||()2363m m m mMN⎛⎫=+++⎪⎝⎭442422222221(84)91(1)(4)391(1)(4)9m m mm m m mm m m R=++⎡⎤=+++⎣⎦>++=(步骤7)∴N在以线段GH为直径的圆外. （步骤8）。
(86)2010年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)
2010年高考浙江卷理科数学试题及答案选择题部分（共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 31=次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = 球的表面积公式台体的体积公式 24R S π= )(312211S S S S h V ++= 球的体积公式其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 334R V π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k（C ）?6>k（D ）?7>k（3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （A ）11 （B ）5（C ）-8（D ）-11（4）设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤（6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,（C ）若m l m l //,,//则αα⊂（D ）若m l m l //,//,//则αα（7）若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）2（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。
2010年浙江省高考数学试卷及答案(理科)
绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k（C ）?6>k（D ）?7>k3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （A ）11 （B ）5（C ）-8（D ）-114．设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤6．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,（C ）若m l m l //,,//则αα⊂（D ）若m l m l //,//,//则αα7．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）28．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。
2010年浙江高考真题(含答案)数学理
绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n Sh V 31=次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高kn kkn n P P C k P )1()(=),,2,1,0(n k = 球的表面积公式台体的体积公式 .ξE )(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积 3π34R V =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆（B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k （C ）?6>k （D ）?7>k （3）设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S（A ）11 （B ）5 （C ）-8（D ）-11（4）设2π0<<x ，则“1sin2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）对任意复数i R y x yi x z ),∈,(+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z2||= （B ）222y x z += （C ）x z z2≥|| （D ）||||≤||y x z + （6）设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若α⊥,α⊂,⊥l m m l 则 （B ）若α⊥,//,α⊥m m l l 则（C ）若m l m l //,α⊂,α//则（D ）若m l m l //,α//,α//则（7）若实数y x ,满足不等式组++,0≥1,0≤32,0≥33my xyxyx 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2 （B ）-1（C ）1（D ）2（8）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=b a by ax 的左、右焦点。
浙江省大学高等数学(微积分)竞赛试题及解答
20####省高等数学〔微积分〕竞赛试题与解答一．计算题1. 求()1lim 2x x x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解法一 令1t x =,原式011lim 2t t e t t →⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()0211lim t t t e t→-+= ()0lim 211t t t e →=+=； 解法二 原式112lim 1x x x e x e x -→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 121lim 1xx e xx-→∞-+= 122221lim 1x x e xx x -→∞-+=-1lim 21x x e -→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 2. 求()()2ln 2ln 132x x dx x x +-+++⎰. 解：原式()()()11ln 2ln 112x x dx x x ⎛⎫=+-+- ⎪++⎝⎭⎰ ()()()()()()ln 2ln 1ln 2ln 1x x d x x =-+-++-+⎰()()21ln 2ln 12x x C =-+-++⎡⎤⎣⎦. 3. 求曲线222,arctan ,y x t t y t e e ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程.解：当0t=时,()00x =,()02y =, 由22x t t =-,22dx t dt=-, 02t dx dt ==-, 由2arctan y y t e e +=,21arctan 01y y t y e y t ''+⋅+=+, 该式中令0t=,2y =, 解出()2020t dy y dt e='==-, 因此201t dy dx e==, 所求曲线()y f x =在0t =处的切线方程为()2120y x e-=-, 即212y x e=+. 4. 设()f x =,求()()10f x .解：()()()112211f x x x -==+-+ ()()12f x f x =+,()()1121112f x x -'=+, ()()1221111122f x x -⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭, ,()()()1101021111191222f x x -⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()1122112f x x --'=-+, ()()1222111122f x x --⎛⎫''=---+ ⎪⎝⎭, ,()()()1101022111191222f x x --⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()()()()()10101012f x f x f x =+()()()()()()91019212210101113171131719122x x ----=⋅+-⋅⋅+()192101317191121x x -⋅⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭. 二．设()36xx f x e =-,问()0f x =有几个实根？并说明理由. 解：()22xx f x e '=-, ()x f x e x ''=-,显然()0x f x e x ''=->,(),x ∈-∞+∞,()f x '在(),-∞+∞上严格递增；()11102f e '-=-<,()010f '=>, 由零点定理,存在唯一()01,0x ∈-,使得()00f x '=,即0x 为()f x 的唯一的驻点. 同时,0x 为()f x 在(),-∞+∞内唯一的极小值点,也是最小值点,又在()1,0-,()306x x f x e =->, 故方程()0f x =在(),-∞+∞内无实根.三．已知)lim x ax b →∞-=,求a ,b 的解. 解：由条件,可得)10limxax bx→∞=--limxa→∞⎫=-⎪⎭1a=-,于是1a=,从而)limxb x→∞=-lim1xx→∞⎫=-⎪⎭221332211lim1111111xxx xx x x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13=.四．求由0y=,y=y=围成的平面图形D的面积与D绕x轴旋转一周所得旋转体体积.解：y=y=的交点坐标为2x e=,1y=,在()20,e内>所以D的面积2201e eA dxe=-⎰⎰()22321121ln132eex x xe=⋅--()2136e=-；或者()1222yA e e y dy=-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()2136e =-； D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积2222011ln 4e e x V dx xdx e ππ=-⎰⎰ ()221ln ln 2224e e x x x x ππ=--+⎡⎤⎣⎦2π=；或者()122202y Vy e e y dy π=-⎰ 12202y yde e ππ=-⎰ 12201222y y e e πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 五．设()f x 有连续的二阶导数,证明：()()()()000xf x f f x tf x t dt '''=++-⎰. 证明：因为()0x tf x t dt ''-⎰ ()()0x td f x t '=--⎰ ()()00xxf f x t dt ''=-+-⎰ ()()()00xd xf f x t dt dt'=-+--⎰ ()()()00xf f f x '=--+,所以()()()()000xf x f f x tf x t dt '''=++-⎰. 六．证明：(),x ∀∈-∞+∞,sin sin2sin a x b x x +≤的充分必要条件为21a b +≤. 证明：必要性 设sin sin2sin a x b x x +≤,两边分别约去sin 0x ≠,由此,得2cos 1a b x +≤,令0x →,取极限,得21a b +≤, 在2cos 1a b x +≤中,令x π→,取极限得21a b -+≤,当a ,b 同号时,221a b a b +=+≤,当a ,b 异号时,221a b a b +=-≤. 充分性 设21a b +≤,因为2cos 21a b x a b +≤+≤, 两边同时乘以sin x , 所以sin sin2sin a x b x x +≤.。
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2010年浙江省高等数学（微积分）竞赛试卷（经管类）
一．计算题
1.
求极限n n →+∞ 解：原极限
=1/4lim[1n e -→+∞=
2.求不定积分2(1sin cos )cos x e x x dx x +⎰ 解：原积分=2sin sin ()tan tan cos cos cos x x x x x e e x e x dx e d x dx e x c x x x
+=+=+⎰⎰⎰ 3.设ABC ∆为锐角（含直角）三角形，求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值
解：记(,)sin()sin sin cos()cos cos ,f B C B C B C B C B C =+++++--
(,)c o s ()c o s s i n ()s i n B f B C B C B B C B '=++-++=
(,)cos()cos sin()sin 0C
f B C B C C B C C '=++-++= cos sin cos sin ,B B C C B C +=+=或2B C π+=
（舍去）. cos(2)cos sin(2)sin 0,,33B B B B B A C B ππ+-+==
===
m a x (,)
(31),m i n (,)1f B C f B C =-=
4.设[]x 为小于等于x 的最大整数，{(,)|13,24}D x y x y =≤≤≤≤，求[]D
x y dxdy +⎰⎰. 解：1111[]334356182222D
x y dxdy +=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎰⎰ 5.设f 连续，满足20()()x x t f x x e f t dt -'=+
⎰，求(0)f '的值. 解：220
()2()2,2,(0)2x x t f x x f e f t dt x f f x f x x f -'''''=++=++-=-+=-⎰ 二.如图，设有一个等边三角形，内部放满n 排半径相同的圆，彼此相切（如图为n=4的情形），
记A 为等边三角形的面积，n A 为n 排圆的面积之和，求lim n n A A
→∞ 解：设圆的半径为r ，三角形边长为a ，则有
2
2
2(2)2,,lim 4n n n A n r a r A A A →∞-+=====
三．设()()x f x e P x =，证明：
（1）()f x 必有极值点；（2）()f x 必有奇数个极值点.
证明：()(()())x f x e P x P x ''=+，因为()()P x P x '+是5次多项式，必有零点，设为a. 若是k 重零点，则()()()()k P x P x x a Q x '+=-，()Q x 是5-k 次多项式且()0Q a ≠ 若k 是奇数，当x 经过a 时()f x '改变符号，a 是f 的极值点.
若k 是偶数，()Q x 是5-k 次的，可得()Q x 必有一奇数重零点，f 必有极值点.
（2）()()P x P x '+的奇数重零点只能是奇数个，因此f 的极值点必是奇数个.
四. 证明：22
2210,t x x x e dt e x +∞
--∀><⎰ 证明：2222exp()exp()exp()exp()2222
x x x t t t x x dt x dt t dt +∞
+∞+∞-=-<-<-⎰⎰⎰ 五. 定义数列{}n a 如下：11101,max{,},2,3,4,,2
n n a a a x dx n -===⎰ 求lim n n a →∞ 解：1111100max{,}n n n n a a x dx a dx a ---=≥=⎰⎰，即{}n a 单调增且1112
a =≤，设01n a ≤≤， 则 1111000max{,}1n n a a x dx dx +-≤=
≤=⎰⎰，即{}n a 有界.。