2019年7月28浙江省第二届大学生高等数学(微积分)竞赛试题
省大学生高等数学(微积分)竞赛章程
浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程(浙江省高校高等数学教学研究会)（年月）第一条总则浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛（以下简称竞赛）是浙江省高等数学教育研究会主办的面向浙江省大学生的群众性科技活动，旨在激发我省大学生学习数学的积极性，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革，也借此活动为广大学生的考研提供帮助.第二条竞赛类别及内容．竞赛分为数学类、工科类、经管类和文科与专科类四大类。
．数学类的试题主要依据专业教材《数学分析》（复旦大学数学系或华东师大数学系编）；．工科类、经管类和文科与专科类的试题主要依据国内有关《高等数学》或者《微积分》教材, 具体内容见竞赛大纲。
第三条竞赛形式、规则和纪律．浙江省高等数学教育研究会统一竞赛题目，考试总分分，闭卷考试方式，以各个学校相对集中的形式进行。
．竞赛一般在每年月最后一个星期六举行，考试时间为分钟。
．以大学生所在的学校为单位参赛，专业不限。
仅限本、专科学生。
．工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛学生，参赛学生在规定时间内完成答卷，并准时交卷。
．参赛学校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。
．对违反竞赛规则的参赛学生，一经发现，取消参赛资格，成绩无效，并通报给参赛学校。
第四条组织形式竞赛由浙江省高等数学教育研究会竞赛组织委员会主持，负责每年动员报名、拟定赛题、组织阅卷和评奖、印制获奖证书、举办全省颁奖仪式等。
竞赛组委会由全省各参赛学校负责人组成。
竞赛分赛区组织进行。
原则上每个学校为一个赛区（每个赛区参赛人数在人以上），不满人可以与邻近的学校合并成立一个赛区。
每个赛区建立一个工作小组，负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪律等工作。
第五条评奖办法由竞赛委员会评选出一等奖％、二等奖％和三等奖％.对成绩特别优秀的考生,授予特等奖。
获奖人数最多的学校获奖名额不超过总名额的％，获奖人数次多的学校获奖名额不超过总名额的％。
高数竞赛试题集
高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。
【精选五套高考模拟卷】浙江省绍兴市2019年高考数学二模试卷(文科)含答案解析
浙江省绍兴市2019年高考数学二模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．如果集合A，B满足B⊆A，则下列式子中正确的是（）A．A∪B=B B．A∩B=A C．∩A=B2．已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．4．对满足不等式组的任意实数x，y，z=x2+y2﹣4x的最小值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．65．已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数6．已知向量=（cosα﹣1，sinα+3）（α∈R），=（4，1），则|+|的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．函数f（x）=log2（x2+2x+a），g（x）=2x，对于任意的实数x1，总存在x2，使得f（x2）=g（x1），实数a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≤2 C．a＞1 D．a≤18．如图，正方形ABCD与正方形ABEF构成一个的二面角，将△BEF绕BE旋转一周．在旋转过程中，（）A．直线AC必与平面BEF相交B．直线BF与直线CD恒成角C．直线BF与平面ABCD所成角的范围是[，]D．平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于二、填空题：共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题6分，共36分。
9．log2+log2= ；若a=log2，则2a+2﹣a= ．10．若函数f（x）=tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2π，则ω= ；f（）= ．11．已知圆x2+y2=4，则经过点M（，1）的圆的切线方程为；若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，则a= ．12．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是，体积是．13．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是．14．已知3x+2y=3x+9y+3，则x+2y最小值为．15．已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为A．若|OA|=2b，则该椭圆的离心率e为．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省高等数学竞赛试题与答案
（2）式乘 2 减（1）得 4 2( y3 − 2 2x3 ) = 0 ，即 y = 2x ，因此再由（1）式，得
fx (x,
y)
= 16x(x2
−
1) 2
=
0
，即
x1
=
0,
x2
=
2 2
,
x3
=
−
2 ，解得 2
⎧ ⎨ ⎩
x1 y1
= =
0 0
,
⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪
x2 y2
= =
2 2 1
,
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
( ) ∑ 解
设
1− x2
−1 2
=
∞
bn x2n ,
则因
n=0
1
(1
−
t
)−
1 2
=1−
1
t
+
−
1 2
(−
1 2
−1)
t2
+ L+ (−1)m
−
1 2
(−
1 2
−1)L(−
1 2
− m +1)
tm
+L
2
2!
m!
( ) 1− x2
−1 2
=
1−
1
x2
+
−
1 2
(−
1 2
−1)
x4
+L+
(−1)m
−
− x2 2ax
−
y2
（a
>
0
）在
yoz
平面上的投影曲线为 Γ yz
，计算
∫ ⎛ 4a2 − z2
⎜ ⎝ Γ yz
2018-2019全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf
y y→+∞ 0
五 、（ 本 题 满 分 12 分 ） 设 函 数 f (x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 微 ， 且
f (0) = f (1) = 0, f (1 ) = 1 。 证明：(1) 存在ξ ∈ (1 ,1) 使得 f (ξ ) = ξ ；(2) 存在η ∈ (0,ξ )
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
知该抛物线与 x 轴及直线 x = 1所围图形的面积为 1 。试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一 3
周而成的旋转体的体积最小。
七、（本题满分 15 分）已知 un (x) 满足 un′ (x) = un (x) + xn−1ex (n = 1,2,
∞
∑ 求函数项级数 un (x) 之和。 n=1 ∞
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
2009年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(经管类)
2n
2．计算不定积分 ∫
ln x 1 + x (ln x − 1) 2
2
dx .
3．设 f ( x) = x sin 2 x ，求 f (2009) (0) .
x = cot t 4．设 cos 2t ， t ∈ (0,π ) ，求此曲线的拐点. y = sin t
ax 2 + bx x 2 = 1 ，求常数 a, b 的值. 5．已知极限 lim e x + x →0 1− x
?112四满分20分设曲线y?e?xsinx0?x?n?n?z?求此曲线与x轴围成的图n??形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积vn并求limvn
2009 年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题 （经管类）
一、计算题（每小题 12 分，共 60 分） 1．求极限 lim n∑
n →∞
1 . i =n i (n + i)
−x
sin x ， 0 ≤ x ≤ nπ ， n ∈ z + ，求此曲线与 x 轴围成的图
n →∞
形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积 Vn ，并求 lim Vn .
五、 （满分 15 分）设 f n ( x) = x n + x − r ，其中 r > 0 （1）证明： f n ( x) 在 (0, + ∞) 内有唯一的零点 xn ； （2）问 r 为何值时，级数 ∑ xn 收敛？发散？
1
二、 （满分 20 分）设 f (0) = 0 ， 0 < f ' ( x) < 1 ，比较 小并证明之.
(∫
1
0
f ( x)dx 与 ∫ f 3 ( x)dx 的大
0
浙江省高等数学竞赛试题与答案
（1） 若数列{yn} 满足条件
（a）
yn
>
0 ；（b） lim n→∞
yn
=
0 ；（c）
yn
=
a1 yn+1
+ a2 yn+2 ， n
= 1, 2,3,L
证明 a1 + a2 > 1。
（2）若 a1 + a2 > 1，证明存在满足条件（a）、（b）、（c）的数列{yn} 。
5
证 设数列{yn} 满足条件（a）、（b）、（c），
n3π 1+ n
2
− nπ
⎞ ⎟ ⎠
=
∞
(−1)n+1an ，其中 an
n=1
=
sin
1
nπ + n2
→0
( ) 记
g(x)
=
sin
xπ 1+ x2
,
x
>
1 ，则因
g ′( x)
=
π
1− x2 1+ x2
2
xπ cos 1+ x2
<
0 ，故 an+1
<
an ，因此
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
n=1
(−1)n+1an
2
22
22 2
5．假设立体 I 由1− z = x2 + y2 与 z = 0 围成，密度为 ρ ；立体 II 由1+ z = x2 + y2 与
z = 0 围成，密度为 1。若立体 I 和立体 II 组成的立体其重心位于原点 (0, 0, 0) ，求 ρ 的值。
∫∫∫ ρ z d x d y d z + ∫∫∫ z d x d y d z
2019年高考浙江卷数学真题(含答案)
2019年高考浙江卷数学真题(含答案)2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分在1至2页，非选择题部分在3至4页，满分150分，考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)柱体的体积公式V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh/3，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR^2台体的体积公式V=(S1+S2+√(S1S2))h/3，其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的体积公式V=4πR^3/3，其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，则(A∪B)的补集是A。
{1,2,3}B。
{-1,2,3}C。
{-1}D。
{0,2,3}2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A。
2B。
1C。
2/√2D。
√23.若实数x，y满足约束条件3x-y-4≤0，x+y≥1，则z=3x+2y的最大值是A。
-1B。
1C。
10D。
124.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm^3）是A。