2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》单元复习测试题2及答案解析.docx
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度,得到函数()g x 的图象,若()g x 为偶函数,则ϕ的最小值是( ) A .6π B .3π C .23π D .56π 2.斐波那契螺线又叫黄金螺线,广泛应用于绘画、建筑等,这种螺线可以按下列方法画出:如图,在黄金矩形ABCD (51AB BC -=)中作正方形ABFE ,以F 为圆心,AB 长为半径作圆弧BE ;然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ,以H 为圆心,DE 长为半径作圆弧EG ;……;如此继续下去,这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ,EG ,GI 的长度分别为,,l m n ,对于以下四个命题:①l m n =+;②2m l n =⋅;③2m l n =+;④211m l n=+.其中正确的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④3.已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( ) A .(,0)(2,)-∞+∞B .(4,)+∞C .(0,2)D .(0,4)4.函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是( ) A .20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2π,π35.函数()()sin cos y x =的部分图象大致为( )A .B .C .D .6.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,()0,1A -,()3,1B 是其图象上的两点,那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为( )A .,33xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B .722,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C .,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D .722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有弧AB 长为83π,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )(3 1.73≈)A .6平方米B .9平方米C .12平方米D .15平方米8.当5,2,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若αβ>,则以下不正确的是( ) A .sin sin tan tan αββα->- B .cos tan cos tan αββα+<+ C .sin tan sin tan αββα> D .tan sin tan sin αββα<9.现有四个函数:①y =x |sin x |,②y =x 2cos x ,③y =x ·e x ;④1y x x=+的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A .①②③④B .①③②④C .②①③④D .③②①④10.:sin 3cos 1p x x +>的一个充分不必要条件是( ) A .02x π<<B .203x π<<C .32x ππ-<<D .566x ππ<<11.设函数()tan 3f x x π=-,()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是( ) A .4B .5C .12D .1312.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()f x 的图象( )A .向右平移3π个单位长度 B .向右平移4π个单位长度 C .向左平移3π个单位长度D .向左平移4π个单位长度二、填空题13.已知函数()22f x x ω=-(0>ω)的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称,且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的值为______. 14.sin 75=______.15.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(00)2A πωϕ>><,,的部分图象如图所示,则f (0)的值为___________.16.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭,将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后,得到的图象为偶函数,则ϕ的最小值是_______ 17.已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3x π=,则a =______;18.如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++,()ϕπ<的图像的一部分,它的解析式为________.19.如图,游乐场所的摩天轮匀速旋转,每转一周需要l2min ,其中心O 离地面45米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面65米时,用了________分钟?20.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立,且01x 时,()21x f x =-,则()2log 11f =______.三、解答题21.已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像, ()g x 图像关于原点对称,()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π. (1)求()f x 在[]0,π上的增区间; (2)若()230f x m -=+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解,求实数m 的取值范围. 22.已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R . (1)用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象; (2)求函数()f x 在[],ππ-内的值域; (3)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.23.为整治校园环境,设计如图所示的平行四边形绿地ABCD ,在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观,两扇形的边(圆心分别为A 和C )均落在平行四边形ABCD 的边上,圆弧均与BD 相切,其中扇形的圆心角为120°,扇形的半径为12米.(1)求两块花卉景观扇形的面积;(2)记BDA θ∠=,求平行四边形绿地ABCD 占地面积S 关于θ的函数解析式,并求面积S 的最小值.24.下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.(1)求ϕ的值及()f x 单调递增区间.(2)若()f x 的图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍,然后再将所得图象向右平移3π个单位,最后向上平移1个单位,得到函数()g x 的图象,若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点,求b 的取值范围.25.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >,0>ω,2πϕ<)的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式; (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在[]0,m 上单调递增,当实数m 取最大值时,求函数()f x 在[]0,m 上的最大值. 26.已知函数()23,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的单调递增区间和单调递减区间;(3)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求f (x )值域.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-,若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈,结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解:由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数,则52()62k k Z πππϕ-=+∈,即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>,所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选:A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;(2)求解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组),从而得到()f x 的解析式;(3)求函数解析式中参数的值:利用待定系数法求解,根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值; (4)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2.A解析:A 【分析】设1AB =,则2BC =,再由14圆弧分别求出,,l m n ,再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设1AB =,则2BC =,所以)12l BE π==⨯,)213ED =-=所以(32m EG π==⨯,(134CG =-=,所以())422n GI ππ==⨯=,所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+,故①正确;(222234m π⨯==,))2122l n ππ⨯⨯=⋅=, 所以2m l n =⋅,故②正确;))122l n ππ⨯++==,((22332m ππ=⨯⨯-=-,所以2m l n ≠+,故③不正确;11l n l n l n ++===⋅(1132m π==⨯,所以211m l n ≠+, 故④不正确;所以①②正确, 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是读懂题意,正确求出扇形的半径,利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.3.D解析:D 【分析】令2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ,易知函数()f x 是偶函数,将问题转化为研究当(0,2)x π∈时,2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点,令sin t x =,则转化为2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.【详解】当(2,2)x ππ∈-,2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ,则()()f x f x -=,函数()f x 是偶函数,由偶函数的对称性,只需研究当(0,2)x π∈时,2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点,设sin t x =,则2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时,2()22=--h t at t 是开口向下,对称轴为10t a=<的二次函数, (0)20h =-<则(1)0->=h a ,这与0a <矛盾,舍去;②当0a >时,2()22=--h t at t 是开口向上,对称轴为10t a=>的二次函数, 因为(0)20h =-<,(1)220-=+->=h a a , 则存在(1,0)t ∈-,只需(1)220=--<h a ,解得4a <, 所以04a <<.综上,非零实数a 的取值范围为04a <<. 故选:D . 【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解4.C解析:C 【分析】先求出函数的单调增区间,再给k 取值即得解. 【详解】令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z ), 所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z ), 当1k =-时,5233ππx -<<- 当0k =时,433x ππ<<又∵[]0,x π∈, 故选:C 【点睛】方法点睛:求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间,一般利用复合函数的单调性原理解答:首先是对复合函数进行分解,接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性,最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.5.A解析:A 【分析】先确定奇偶性,再取特殊值确定函数值可能为负,排除三个选项后得出结论. 【详解】记()()sin cos f x x =,则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==,为偶函数,排除D ,当23x π=时,21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除B ,C .故选:A . 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象,解题方法是排除法,可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项,再由特殊的函数值,函数值的正负,变化趋势等排除一些选项后得出正确结论.6.D解析:D 【分析】由题意可得()01f =-,()31f =,所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤,再利用单调性脱掉f ,可得02sin 13x ≤+≤,再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤, 因为()0,1A -,()3,1B 是函数()f x 图象上的两点,所以()01f =-,()31f =,所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤, 因为()f x 是定义在R 上的增函数, 可得02sin 13x ≤+≤,解得:1sin 12x -≤≤, 由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣, 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤.7.B解析:B 【分析】根据已知求出矢2=,弦2AD ==. 【详解】由题意可得:823=43AOB ππ∠=,4OA =,在Rt AOD 中,可得:3AOD π∠=,6DAO π∠=,114222OD AO ==⨯=, 可得:矢422=-=,由sin43AD AO π===可得:弦2AD ==所以:弧田面积12=(弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米.故选:B 【点睛】方法点睛:有关扇形的计算,一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.8.D解析:D 【分析】对A ,由()sin tan f x x x =+在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断;对B ,由()cos tan f x x x =-在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断;对C ,由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断;对D ,由tan ()sin x f x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断. 【详解】A .设()sin tan f x x x =+,则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因为αβ>,所以()()f αf β>,所以sin tan sin tan ααββ+>+,所以sin sin tan tan αββα->-,所以A 对,不符合题意;B .设()cos tan f x x x =-,则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 因为αβ>,所以()()f f αβ<,所以cos tan cos tan ααββ-<-,所以cos tan cos tan αββα+<+,所以B 对,不符合题意; C .设()sin tan f x x x =,因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数,且都单调递增, 所以()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因为αβ>,所以()()f αf β>, 所以sin tan sin tan ααββ>,所以sin tan sin tan αββα>,所以C 对,不符合题意; D .设tan ()sin x f x x =,则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,因为αβ>,所以()()f αf β>,所以tan tan sin sin αβαβ>, 所以tan sin tan sin αββα>,所以D 错,符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小,解题的关键是恰当构造函数,判断函数的单调性,利用单调性判断大小.9.D解析:D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负,单调性、奇偶性,定义域、值域等进行判断. 【详解】左边第一个图象中0x <时,0y <,只有③满足,此时只有D 可选,实际上,左边第二个图象关于y 轴对称,是偶函数,只有②满足,而0x >时,10y x x=+>恒成立,只有最右边的图象满足,由此也可得顺序是③②①④,选D . 故选:D . 【点睛】思路点睛:本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可两者结合,由函数解析式和图象分别确定函数的性质,如奇偶性、单调性、函数值的正负,特殊的函数值,变化趋势等等,两者对照可得结论.10.A解析:A 【分析】首先求解命题p 表示的集合,再根据集合关系表示充分不必要条件,判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭,即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,解得:522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈, 得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈,设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析,只有选项A 的集合是集合M 的真子集, 故选:A 【点睛】结论点睛:本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若p 是q 的必要不充分条件,则q 对应集合是p 对应集合的真子集; (2)p 是q 的充分不必要条件, 则p 对应集合是q 对应集合的真子集; (3)p 是q 的充分必要条件,则p 对应集合与q 对应集合相等;(4)p 是q 的既不充分又不必要条件, q 对的集合与p 对应集合互不包含.11.A解析:A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数,作出两个函数图象,数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =,所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象,由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点,所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4, 故选:A 【点睛】方法点睛:判断函数零点个数的方法(1)直接法:令()0f x =,如果能求出解,那么有几个不同的解就有几个零点; (2)利用函数的零点存在性定理:利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线,并且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质,(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)图象法:画出函数()f x 的图象,函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数;将函数()f x 拆成两个函数,()h x 和()g x 的形式,根据()()()0f x h x g x =⇔=,则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数;(4)利用函数的性质:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到,若所考查的函数是周期函数,则需要求出在一个周期内的零点个数,根据周期性则可以得出函数的零点个数.12.B解析:B 【分析】首先根据图象求函数的解析式,再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭, 即22ππωω=⇒=,当6x π=-时,22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭, 解得:2,3k k Z πϕπ=+∈,2πϕ<,3πϕ∴=,()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭, 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭, ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选:B 【点睛】方法点睛:本题考查函数的图象变换,以及()sin y A ωx φ=+的性质,属于中档题型,()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长(或缩短)到原来的1ω倍,得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+,若sin y A x ω=向右(或左)平移ϕ(0ϕ>)个单位,得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、填空题13.【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为:【点睛】本题考查根据余弦型函解析:23【分析】根据函数图像的对称点,得到ω的表达式,根据()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调,得到T 的范围,从而得到ω的范围,再得到ω的值. 【详解】函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以304πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即342k ππωπ=+,k ∈Z ,得到4233k ω=+,k ∈Z ,()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调, 所以223T π≥,即43T π≥, 所以243ππω≥,所以32ω≤,而0>ω,所以0k =,23ω=. 故答案为:23. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值,根据余弦型函数的周期求参数的值,属于中档题.14.【解析】试题分析:将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点:两角和的正弦 解析:【解析】 试题分析:232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302︒︒︒︒︒︒︒+=+=+==将非特殊角化为特殊角的和与差,是求三角函数值的一个有效方法. 考点:两角和的正弦15.【分析】由图可得的周期振幅即可得再将代入可解得进一步求得解析式及【详解】由图可得所以即又即又故所以故答案为:【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值考查学生识图计算等能力是一道中档题解析:3- 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅,即可得,A ω,再将(,0)6π代入可解得ϕ,进一步求得解析式及()0f . 【详解】由图可得2A =,1()46124T πππ=--=,所以2T ππω==,即2ω=,又()06f π=,即2sin(2)06πϕ⨯+=,,3k k Z πϕπ+=∈,又||2ϕπ<,故3πϕ=-,所以()sin()f x x π=-223,(0)2sin()33f π=-=-故答案为:. 【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.16.【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式最后由奇偶性可得的最小值【详解】将其图象向左平移个单位长度后得的图象由图象为偶函数图象可得所以令得故答案为:【点 解析:6π【分析】先利用两角和的正弦公式化简()f x 的解析式,然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式,最后由奇偶性可得ϕ的最小值. 【详解】1()sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2322f x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3sin 2cos 22226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ , 将其图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后,得()22266y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象,由图象为偶函数图象可得262k ππϕπ+=+()k Z ∈所以62k ϕππ=+ ()k Z ∈ 令0k =,得6π=ϕ. 故答案为:6π 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换,以及三角函数的奇偶性,属于中档题.17.【分析】根据三角函数的性质可知在取得最大值或最小值建立方程即可求解【详解】其中是辅助角是的一条对称轴整理得解得故答案为:【点睛】本题考查三角函数性质得应用利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键【分析】根据三角函数的性质可知()f x 在3x π=取得最大值或最小值,建立方程即可求解.【详解】()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+,其中ϕ是辅助角, 3x π=是()f x 的一条对称轴,231()1322f a a ,整理得230a -+=,解得a =【点睛】本题考查三角函数性质得应用,利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键,属于中档题.18.【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为:【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式属于中档题解析:33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】由两最值点对应横坐标可求周期,由波峰波谷可求,A 将,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ【详解】 由图可知,522663T ππππ=-=,即43T π=,24332ππωω=⇒=, 3112A -==,将,16π⎛⎫⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Z πϕπ=-+∈,又ϕπ<,当0k =时,34πϕ=-,故33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 故答案为:33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式,属于中档题19.【分析】根据题意得到化简得到或得到答案【详解】设时间为根据题意:故故或故或故故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用意在考查学生的应用能力解析:【分析】根据题意得到40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,化简得到124t k =+或128t k =+,得到答案. 【详解】设时间为t ,0t >,根据题意:40sin 456562t ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,故1sin 622t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故2626t k ππππ-=+或52626t k ππππ-=+,故124t k =+或128t k =+,k Z ∈. 故1234564,8,16,20,28,32t t t t t t ======. 故答案为:32. 【点睛】本题考查了三角函数的应用,意在考查学生的应用能力.20.【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析:511-【分析】易得函数周期为4,则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再由01x 时,()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=,则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,[]216log 0,111∈, 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用,具体函数值的求法,属于中档题三、解答题21.(1)70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;(2)12⎛ ⎝⎦. 【分析】(1)由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π,可得函数的周期,从而得出ω的值,由平移得出()g x 的解析式,根据()g x 图像关于原点对称,可求出ϕ的值,从而可求()f x 单调增区间,得出答案.(2)令23t x π=+则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则[2s n 2]i t ∈,根据()230f x m -=+有两解,即2sin 32t m =-有两解,从而可得答案. 【详解】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π,则22T ππω==,1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数()g x 的图像关于原点对称,3k πϕπ-+=,,2πϕ<所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭(1)由222232k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得51212k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈ 令0k =得51212x ππ-≤≤ 1k =得7131212x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2令23t x π=+,0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若()230f x m -=+有两解,即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解,由2sin y t =的图象可得,3322m ≤-<,即1233m <≤-13322m -∴<≤m ∴的取值范围是133,22⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【点睛】关键点睛:本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题,解答本题的关键是设23t x π=+,由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解,即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解,然后数形结合求解,属于中档题.22.(1)答案见解析;(2)3,2⎡⎤⎣⎦;(3)5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】(1)利用五点法作图,按照列表、描点、连线的步骤作图即可;(2)根据x ππ-≤≤求出126x π+的范围,再利用正弦函数的性质求出1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围即可求值域; (3)先求出()12sin 6212g x f x x ππ⎛⎫=+⎛⎫=-⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,再令12222122k x k πππππ-+≤+≤+, ()k Z ∈,不等式的解集与[],ππ-求交集即可.【详解】(1)利用五点法作图列表如下:126x π+ 02ππ32π 2πx3π-23π 53π 83π 113π()f x0 2 02-(2)因为x ππ-≤≤,所以123263x πππ-≤+≤, 所以31sin 126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭, 所以()12sin 2263x f x π⎛⎫=+≤⎪⎝⎭-≤, 函数()f x 在[],ππ-内的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦(3)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象, 则()112sin 2sin 6266212g x x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎝⎦⎭⎭⎣, 令12222122k x k πππππ-+≤+≤+()k Z ∈,解得:754466k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈, 当0k =时,7566x ππ-≤≤,当1k =时172966x ππ≤≤, 又因为[],x ππ∈-,所以56x ππ-≤≤, ()g x 在[],ππ-内的单调增区间为5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,【点睛】关键点点睛:在求三角函数单调区间时,要把x ωϕ+看成一个整体让其满足正弦的单调区间,解出的x 的范围即为所求三角函数的单调区间.23.(1)96π平方米;(2)1443sin 262S θ+-⎪⎝⎭=,且最小值为2883平方米. 【分析】(1)根据题中条件,由扇形面积公式,即可计算出结果;(2)过点A 作AE BD ⊥于点E ,由题中条件,得到12AE =,再由θ分别表示出BE 和DE ,得出BD ,进而可得出平行四边形ABCD 的面积S 关于θ的函数解析式,由三角函数的性质,即可求出最小值. 【详解】(1)因为两扇形所在圆的半径均为12米,扇形的圆心角为23π, 所以两块花卉景观扇形的面积为112212129623S ππ=⨯⨯⨯⨯=平方米;(2)过点A 作AE BD ⊥于点E ,因为圆弧均与BD 相切,所以E 即为切点,则12AE =, 又BDA θ∠=,23BAD π∠=,所以3DBA πθ∠=-,π0θ3, 在Rt ADE △中,tan AE DE θ=,所以1212cos tan sin DE θθθ==; 在Rt ABE △中,tan 3AE BE πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以12cos 123tan sin 33BE πθππθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 则12sin cos cos sin 12cos 3312cos 3sin sin sin sin 33BD BE DE πππθθθθθθππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+=+=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 63631233131131sin sin sin 2sin 2cos 2sin cos sin 36222πππθθθθθθθθ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此平行四边形绿地ABCD占地面积sin 216222S BD AE θ+-⎝⨯⨯⎪⎭=⨯=因为π0θ3,所以52666πππθ<+<,因此当262ππθ+=,即6πθ=时,1sin 262S πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=取得最小值,且最小值为min S =.【点睛】 关键点点睛:求解本题的关键在于用θ表示出BD ,再由S BD AE =⨯,得出平行四边形的面积S 关于θ的函数解析式,利用正弦函数的性质,即可求解最值.24.(1)23ϕπ=,7[,],1212k k k Z ππππ--∈;(2)59671212b ππ≤<. 【分析】(1)依题意求出函数的周期T ,再根据2Tπω=,求出ω,再根据函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭,求出ϕ,即可求出函数解析式,再令222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈,求出x 的取值范围,即可求出函数的单调区间;(2)根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式,令()0g x =即可求出函数的零点,要使()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标,小于第11个零点的横坐标即可,即可得到不等式,解得即可; 【详解】 解:(1)由图易知22362T πππ=-=,则T π=,22T πω==,所以()()sin 2f x x ϕ=+ 因为函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭所以sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈,又0ϕπ<<,故23ϕπ=, 则()2sin(2)3f x x π=+ 令:222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈,整理得7,1212k x k k Z ππππ-≤≤-∈,所以()f x 的单调增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. (2)若()f x 的图象横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍,然后再将所得图象向右平移3π个单位,最后向上平移1个单位,得到函数()2sin 21g x x =+ 令()0g x =,得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点,若()g x 在[0,]b 上恰有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标,小于第11个零点的横坐标即可,即b 的范围为:115941212b πππ≥+=.且1111767412121212b ππππππ<++-+= 即59671212b ππ≤< 【点睛】已知f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.25.(1) ())3f x x π=+;【分析】(1)根据函数()f x 的部分图象可得A 及周期T ,再根据周期公式可求出ω,由五点法作图的第三个点可求出ϕ的值,从而可得函数()f x 的解析式;(2)根据平移变换和伸缩变换的规律,可求出()g x 的解析式,再根据函数()g x 在[]0,m 上单调递增,可求出m 的最大值,再根据正弦函数的图象与性质,即可求出函数()f x 在[0,]m 上的最大值.【详解】(1)由已知可得A =52()63πT ππ=-=,所以22=πωT =,所以())f x x ϕ=+,根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=,所以=3πϕ,所以())3f x x π=+(2) 将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度,可得22333πππy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,因为函数()g x 在[]0,m 上单调递增,所以432m ππ-≤,所以524m π≤,m 的最大值为524π,由50,24x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得32,334x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以当2=32x +ππ时,()f x .故函数()f x 在[]0,m . 【点睛】方法点睛:确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤: (1)求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则2M mA ,2M mB +=; (2)求ω,确定函数的周期T ,则2Tπω=; (3)求ϕ,常用方法有以下2种方法:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入;②五点法:确定ϕ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 26.(1)23π;(2)单调递增区间为22,,34312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间为225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(3)⎡⎣. 【分析】 (1)由公式2T πω=求周期;(2)利用正弦函数的单调性求单调区间; (3)求出34x π+的范围,然后结合正弦函数的性质得值域.【详解】解:(1)由解析式得ω=3,则函数的最小周期223T ππω==. (2)由232242k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z ,所以2234312k k x ππππ-≤≤+,k ∈Z , 即函数的单调递增区间为22,34312k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z , 由3232242k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z , 得225312312k k x ππππ+≤≤+,k ∈Z , 即函数的单调递减区间为225,312312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (3)当x ∈[0,2π]时,73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则当3x +4π=2π时,函数f (x )取得最大值,此时f (x 2π=,当3x +342ππ=时,函数f (x )取得最小值,此时f (x 32π=即f (x )值域为[. 【点睛】关键点点睛:本题考查正弦型三角函数的性质.对于()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>,最小正周期为2T πω=,利用正弦函数sin y x =的性质,把x ωϕ+作为一个整体替换sin x 中的x ,可得()f x 的性质.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1.函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是( ) A .20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .2π,π32.设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则下列说法正确是( )A .()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭; B .()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减; C .()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭; D .将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象.3.设函数()2sin cos f x x x x +,给出下列结论: ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是( ). A .①④B .②④C .①②④D .①②③4.已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭,,018π⎛⎫⎪⎝⎭,则函数()f x 的单调增区间为( ) A .222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k Z ∈ B .242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭,k Z ∈ C .227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭,k Z ∈ D .272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭,k Z ∈5.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图,将()y f x =的图象向右平移π6个单位长得到函数y g x 的图象,则()g x 的单调增区间为( )A .()ππ2π,2π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B .()π5π2π,2π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C .()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D .()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 6.已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立,则a b +=( ) A .56B .23C .1D .27.函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为( ) A . B .C .D .8.:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是( ) A .02x π<<B .203x π<<C .32x ππ-<<D .566x ππ<<9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω,0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示,则()f x 的解析式是( )A .()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为( )A .B .C .D .11.如图,摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ,转盘直径为110m 设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min 后距离地面的高度为H m ,则在转动一周的过程中,高度H 关于时间t 的函数解析式是( )A .()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B .()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C .()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D .()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭12.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()f x 的图象( )A .向右平移3π个单位长度 B .向右平移4π个单位长度 C .向左平移3π个单位长度D .向左平移4π个单位长度二、填空题13.函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ,以下说法: (1)其中最小正周期为23π; (2)图象关于点(,0)4π对称;(3)由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ; (4)直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴. 其中正确命题的序号是__________.14.圆心角为2弧度的扇形的周长为3,则此扇形的面积为 _____ .15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,0,0ωϕπ><<)的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-,则对于下列判断: ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴;②函数()3y f x π=-为偶函数;③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________.(写出所有正确判断的序号)16.若函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且()1f x -为偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x =,则292f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.17.已知函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示,则ϕ=__________.18.已知函数()sin f x x =,若对任意的实数(,)46αππ∈--,都存在唯一的实数(0,)m β∈,使()()0f f αβ+=,则实数m 的最大值是____.19.给出下列4个命题:①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数;②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π,0)成中心对称; ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程;④存在实数α,使得3242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.20.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温为______℃.三、解答题21.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式; (2)当113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,试由实数m 的取值讨论函数()()2g x f x m =-的零点个数. 22.如图,在矩形OABC 中,22OA OC ==,将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转,得到矩形OA B C ''',记旋转的角度为θ,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.(1)求3S π⎛⎫⎪⎝⎭; (2)若()728S θ=,求sin θ. 23.函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求()f x 取最小值时的自变量x 的集合. 24.已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移4个单位长度,所得图象的函数为()g x ,若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 25.已知函数()23,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的单调递增区间和单调递减区间; (3)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求f (x )值域. 26.已知02ω<<,函数()sin()3f x x πω=+,且2()().3f x f x π=-(1)求()f x 的最小正周期及()f x 的对称中心; (2)若()f x 在[,]t t -上单调递增,求t 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】先求出函数的单调增区间,再给k 取值即得解.【详解】令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z ), 所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z ), 当1k =-时,5233ππx -<<- 当0k =时,433x ππ<<又∵[]0,x π∈, 故选:C 【点睛】方法点睛:求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间,一般利用复合函数的单调性原理解答:首先是对复合函数进行分解,接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性,最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.2.D解析:D 【分析】先根据对称轴及最小正周期,求得函数()f x 的解析式,再结合正弦函数的图象与性质,判断点是否在函数图象上可判断A ,求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ,由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==,则()()3sin 21f x x ϕ=++,()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得,6k k Z πϕπ=-+∈,因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,所以当0k =时, 6πϕ=-, 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 对于A,当0x =时,()3103sin11622f π=-+=-+=- ,所以错误;对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤, 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈,因为123ππ<,则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误;对于C ,773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心,所以错误; 对于D ,1212πϕ=,将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用,关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.3.C解析:C 【分析】根据题意,利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+,根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①;利用整体代入法求出()y f x =的对称轴,即可判断②;利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间,从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增,即可判断③;根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简,即可求出平移后函数,从而可判断④. 【详解】解:函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+, 即:()2sin(2)3f x x π=+,所以()f x 的最小正周期为222T πππω===,故①正确;令2,32πππ+=+∈x k k Z ,解得:,122k x k Z ππ=+∈, 当0k =时,则直线12x π=为()y f x =的对称轴,故②正确; 令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得:7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z , 所以()f x 的单调递减区间为:7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时,()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增,故③错误; 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度,得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象,故④正确. 所以所有正确结论的编号是:①②④. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法,以及三角函数的平移伸缩是解题的关键,还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用,考查学生化简运算能力.4.A解析:A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式,利用三角函数的性质,整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭,,018π⎛⎫⎪⎝⎭, 3A ∴=,0b =且124918T ππ=-,可得23T π=, 23Tπω∴==, 3sin(3)y x ϕ∴=+将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=, 可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈,且2πϕ<, 6πϕ∴=-,可得()3sin(3)6f x x π=-,令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,可得222+9393k x k ππππ-≤≤, 故选:A. 【点睛】方法点睛:根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式,根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ,根据横坐标可求出周期T ,进而求出ω.求该函数的单调区间时,用整体代换的思想,借助正弦函数的单调区间,用解不等式的方法求复合函数的单调区间.5.C解析:C 【分析】根据()f x 的图象,可求出()f x 的解析式,进而根据图象平移变换规律,可得到()g x 的解析式,然后求出单调增区间即可. 【详解】由()f x 的图象,可得1A =,311ππ4126T =-,即πT =,则2ππT ω==,所以2ω=,由π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭,所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ,则π2π6k ϕ=+()k ∈Z , 又π2ϕ<,所以π6ϕ=,故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移π6个单位长得到函数πππsin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+()k ∈Z ,解得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ,所以()g x 的单调增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质,考查三角函数图象的平移变换,考查三角函数的单调性,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.6.A解析:A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,0x a b --≤,当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,0x a b --≥,从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩,解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭, 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时,sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,, 故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,0x a b --≤时,当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时,0x a b --≥, 即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩,解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,所以56a b +=. 故选:A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立,考查了基本运算求解能力,属于中档题.7.A解析:A 【分析】求得函数()y f x =的定义域,分析函数()y f x =的奇偶性,结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项.【详解】 对于函数()3sin 22xf x x =-,20x -≠,得2x ≠±,所以,函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----,函数()y f x =为奇函数,图象关于原点对称,排除B 、D 选项; 又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π,排除C 选项. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.8.A解析:A 【分析】首先求解命题p 表示的集合,再根据集合关系表示充分不必要条件,判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭,即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,解得:522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈, 得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈,设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析,只有选项A 的集合是集合M 的真子集, 故选:A 【点睛】结论点睛:本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:(1)若p 是q 的必要不充分条件,则q 对应集合是p 对应集合的真子集; (2)p 是q 的充分不必要条件, 则p 对应集合是q 对应集合的真子集; (3)p 是q 的充分必要条件,则p 对应集合与q 对应集合相等;(4)p 是q 的既不充分又不必要条件, q 对的集合与p 对应集合互不包含.9.D解析:D 【分析】结合图象,依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =,2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭,所以()()2sin 2f x x ϕ=+,依题意0ϕπ≤≤,则2333πππϕ-≤-≤, 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选:D. 【点睛】方法点睛:根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法: (1)求A 、()()max min:2f x f x b A -=,()()max min2f x f x b +=;(2)求出函数的最小正周期T ,进而得出2Tπω=; (3)取特殊点代入函数可求得ϕ的值.10.D解析:D 【分析】先根据函数的奇偶性,可排除A ,C ,根据当01x <<时,()0f x <即可排除B .得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠,所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-,所以()f x 为奇函数,故排除A ,C .当01x <<时,sin 0x >,ln ||0x <,则()0f x <,故排除B , 故选:D .【点睛】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.11.B解析:B 【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约需要10min ,结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ,可得10t =时,120H =,再利用排除法可得答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要20min , 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约需要10min , 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m , 所以10t =时,120H =,对于A ,10t =时,55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭,不合题意;对于B ,10t =时,55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭,符合题意;对于C ,10t =时,355cos 106555cos65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭,不合题意; 对于D ,10t =时,355sin 106555sin65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭,不合题意; 故选:B. 【点睛】方法点睛:特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确性,这种方法主要适合下列题型: (1)求值问题(可将选项逐个验证);(2)求范围问题(可在选项中取特殊值,逐一排除);(3)图象问题(可以用函数性质及特殊点排除);(4)解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.12.B解析:B 【分析】首先根据图象求函数的解析式,再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭, 即22ππωω=⇒=,当6x π=-时,22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭, 解得:2,3k k Z πϕπ=+∈,2πϕ<,3πϕ∴=,()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭,22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭, ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选:B 【点睛】方法点睛:本题考查函数的图象变换,以及()sin y A ωx φ=+的性质,属于中档题型,()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长(或缩短)到原来的1ω倍,得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+,若sin y A x ω=向右(或左)平移ϕ(0ϕ>)个单位,得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、填空题13.(1)(2)(4)【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于(1)根据正弦型函数周期公式:可得:函数最小正周期为:故(1)正确;对于(解析:(1)(2)(4) 【分析】根据正弦型函数周期公式,正弦型函数对称中心坐标,正弦型函数对称轴等知识,逐项验证,即可求得答案. 【详解】对于(1),根据正弦型函数周期公式:2T ωπ=可得:函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为:2233T ππ==,故(1)正确; 对于(2),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-,解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈当0k =时,对称中心坐标为(,0)4π,故(2)正确;对于(3),将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得:392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ,故(3)错误; 对于(4),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈,正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-,解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时,512342x πππ=+=--, ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-,故(4)正确; 故答案为:(1)(2)(4).【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.【分析】根据扇形的周长求出扇形半径再根据扇形面积公式计算即可【详解】设该扇形的半径为r 根据题意有故答案为【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式弧长公式属于中档题解析:916【分析】根据扇形的周长求出扇形半径,再根据扇形面积公式计算即可. 【详解】设该扇形的半径为r ,根据题意,有2l r r α=+,322r r ∴=+,34r ∴=,211992221616S r α∴==⨯⨯=扇形.故答案为916. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,弧长公式,属于中档题.15.②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数(其中)的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则:所以进一步解解析:②③ 【分析】根据已知条件确定函数的解析式,进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程,对称中心及各个交点的特点,进一步确定答案. 【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >,0,0ωϕπ><<)的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭,, 则:2543124T πππ-== , 所以T π=: ,326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭().进一步解得:223A πωπ===, 由于()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >,0,0ωϕπ><<)的图象关于点M 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,,所以:5212k k Z πϕπ⋅+∈=(), 解得:5,6k k Z πϕπ-∈= ,由于0ϕπ<<, 所以:当1k = 时,6πϕ=.所以: ①当2x π=时,33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭().故错误. ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=. 则3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数,故正确. ③由于:351212x ππ-≤≤, 则:0266x ππ≤+≤,所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点. 根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、, 根据函数的图象所有交点的横标和为7π.故正确. 故答案为②③【点睛】本题考查的知识要点:正弦型函数的解析式的求法,主要确定A ,ω、φ的值,三角函数诱导公式的变换,及相关性质得应用,属于基础题型.16.【分析】利用已知条件得到函数的周期再利用奇偶性结合周期性将给定值转换到给定区间求得结果即可【详解】∵是定义域为的奇函数且为偶函数∴即∴则即函数是以4为周期的周期函数又∵当时∴故答案为:【点睛】本题主解析:14- 【分析】利用已知条件得到函数的周期,再利用奇偶性结合周期性将给定值转换到给定区间,求得结果即可. 【详解】∵()f x 是定义域为R 的奇函数,且()1f x -为偶函数, ∴()()()111f x f x f x -=--=-+,即()()2=-+f x f x , ∴()()2f x f x +=-,则()()()42f x f x f x +=-+=, 即函数()f x 是以4为周期的周期函数, 又∵当[]0,1x ∈时,()2f x x =,∴295112224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故答案为:14-. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用,涉及函数的周期性,求出函数的周期是解题的关键,属于中档题.17.【分析】结合函数图象由解得得到进而得到然后由函数图象过点求解【详解】由图可知:所以所以所以因为函数图象过点所以所以解得又因为解得故答案为:【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质还考查了数形结合的思 解析:9π10【分析】 结合函数图象由352244πππ=-=T ,解得52π=T ,得到45ω=,进而得到()45sin ϕ⎛⎫⎪=+⎝⎭f x x ,然后由函数图象过点()2,1π求解.【详解】由图可知:352244πππ=-=T , 所以52π=T , 所以245πω==T , 所以()45sin ϕ⎛⎫⎪=+⎝⎭f x x , 因为函数图象过点()2,1π, 所以sin 815πϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭+, 所以2825ππϕπ+=+k , 解得11210ϕππ=-k , 又因为π<ϕ,解得910πϕ=. 故答案为:9π10【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.18.【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解然后根据三角函数的性质和图像求解即可【详解】由则存在唯一的实数使即有且仅有一个解作函数图像与直线当两个图像只有一个交点时由图可知故实数的最大值是解析:34π【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()1,,22f k k β⎛=∈ ⎝⎭有且仅有一个解,然后根据三角函数的性质和图像求解即可. 【详解】由()sin f x x =,(,)46αππ∈--,则()21,22f α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,存在唯一的实数(0,)m β∈,使()()0f f αβ+=, 即()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解,作函数图像()y f β=与直线12,,22y k k ⎛=∈ ⎝⎭,当两个图像只有一个交点时,由图可知,344m ππ<≤, 故实数m 的最大值是34π. 故答案为:34π 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质,属于较为基础题.19.①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为:①③【点睛解析:①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析,由此确定正确命题的序号. 【详解】①,22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数,所以①正确.②,由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭,所以②错误.③,由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭,所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<,所以④错误. 故答案为:①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式,属于中档题.20.【分析】根据题意列出方程组求出求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系将代入求出10月份的平均气温值【详解】据题意得解得所以令得故答案为:205【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析 解析:20.5【分析】根据题意列出方程组,求出,A B ,求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系,将10x =代入求出10月份的平均气温值. 【详解】据题意得28A B =+,18A B =-+ 解得5A =,23B = 所以235cos[(6)]6y x π=+- 令10x =得2235cos[(106)]235cos20.563y ππ=+-=+=. 故答案为:20.5 【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式,根据解析式求函数值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21.(1)()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)答案见解析. 【分析】(1)结合“五点法”求函数解析式:最大值确定A ,由周期确定ω,由最高点坐标确定ϕ.(2)确定113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 的图象与性质,由2y m =与()y f x =的交点个数确定m 的范围. 【详解】解:(1)由图可知2A =.函数()f x 最小正周期1374833T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,则28πω=.4πω∴=.又772sin 2312f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则72122k ππϕπ+=+,Z k ∈. 212k πϕπ∴=-+,Z k ∈.又2πϕ<,12πϕ∴=-.∴函数()f x 的解析式为()2sin 412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由题意,()()2g x f x m =-在113,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点个数即函数()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时公共点的个数. 由(1),知()2sin 412f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭,113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,723f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1303f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 由图,知函数()f x 在区间17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在区间713,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. (i )当12m <-或1m 时, ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时没有公共点,(ii )当102m -≤<或1m =时, ()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有一个公共点;(iii )当01m ≤<时,()y f x =与2y m =的图象在113,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时恰有两个公共点.综上可知,当12m <-或1m 时,函数()g x 的零点个数为0; 当102m -≤<或1m =时,函数()g x 的零点个数为1; 当01m ≤<时,函数()g x 的零点个数为2.【点睛】关键点点睛:本题考查求三角函数的解析式,考查真分数零点个数问题.解题关键是转化,函数零点个数转化为函数图象与直线的交点个数,基本方法是利用函数的性质,确定函数图象与直线交点个数得出参数范围. 22.(1)33S π⎛⎫= ⎪⎝⎭;(2)1sin 3θ=. 【分析】(1)作出图形,可知公共部分区域为直角三角形,计算出两直角边的长,由此可求得该直角三角形的面积; (2)分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论,求出()S θ的表达式,结合()728S θ=可求得sin θ的值. 【详解】 (1)当3πθ=时,A '点在矩形OABC 外部,公共部分形状为三角形,设A O BC D '⋂=,则6COD π∠=,3tan6CD CO π==, 则1133132236S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭;(2)①当6πθ=时,点A '在线段BC 上,此时,223A C A O OC ''-=113136222S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯=⎪⎝⎭; ②当06πθ<<时,公共部分为四边形,A '点在矩形OABC 内部,过点A '作线段AB 的平行线,分别交线段AO 、BC 于点E 、F ,设A B BC G ''⋂=,则有如下长度:2cos OE θ=,22cos AE θ=-,2sin A E θ'=,12sin A F θ'=-,()12sin tan FG θθ=-,则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形, 即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=,由题知45sin 722cos θθ-=,两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=, 由22cos 1sin θθ=-,整理得2249sin 320sin 790θθ-+=,即()()3sin 183sin 790θθ--=,因为06πθ<<,所以1sin 2θ<,故1sin 3θ=; ③当62ππθ<<时,公共部分为三角形,且()13721362S S πθ⎛⎫<=⨯=< ⎪⎝⎭,不合题意; 综上所述,1sin 3θ=. 【点睛】关键点点睛:解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况,然后对θ的取值进行分类讨论,确定公共区域的形状,计算求出()S θ的表达式,结合已知条件求解sin θ的值. 23.(1)()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ,x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)先求出2A =,根据图形得出周期,可求出2ω=,再代入,06π⎛⎫⎪⎝⎭可求出ϕ;(2)令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出增区间,当2322,32x k k Z πππ+=+∈时可得最小值. 【详解】(1)由图可知,2A =, 46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,即T π=,22πωπ∴==, 则()()2sin 2f x x ϕ=+,2sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即,3k k Z πϕπ+=∈,则,3k k Z πϕπ=-∈,0πϕ<<,23πϕ∴=, ()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭; (2)令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,解得27,121ππππ-+≤≤-+∈k x k k Z , 故()f x 的单调递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ,当2322,32x k k Z πππ+=+∈,即25,1ππ=+∈x k k Z 时,()f x 取得最小值为2-, 此时x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛:根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法: (1)根据图象的最值可求出A ; (2)求出函数的周期,利用2T πω=求出ω;(3)取点代入函数可求得ϕ. 24.(1)()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2)[)2,+∞.【分析】(1)由图象得出函数()f x 的最小正周期,可求得ω的值,再将点()1,0的坐标代入函数()f x 的解析式,结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值,由此可得出函数()f x 的解析式;(2)利用三角函数图象变换求得()2cos 84g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭,由已知可得()max m g x ≥,利用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值,进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】(1)()f x 的周期为()2518T =⨯-=,所以284ππω==, 又因为函数()f x 的图象过点()1,0,则有2cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且函数()f x 在1x =附近单调递减, 所以()242k k Z ππϕπ+=+∈,所以()24k k Z πϕπ=+∈,又因为0ϕπ<<,所以4πϕ=,所以()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)将函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍,得函数2cos 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将2cos 84y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度, 得()()2cos 42cos 8484g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭, 不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立,即()max g x m ≤, 因为[]0,6x ∈,所以,8442x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 所以当084x ππ-=,即2x =时,()g x 取最大值,最大值为2,即2m ≥.综上可得,实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】方法点睛:根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法: (1)求A 、()()max min:2f x f x b A -=,()()max min2f x f x b +=;(2)求出函数的最小正周期T ,进而得出2Tπω=; (3)取特殊点代入函数可求得ϕ的值.25.(1)23π;(2)单调递增区间为22,,34312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间为225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(3)⎡⎣. 【分析】 (1)由公式2T πω=求周期;(2)利用正弦函数的单调性求单调区间; (3)求出34x π+的范围,然后结合正弦函数的性质得值域.【详解】解:(1)由解析式得ω=3, 则函数的最小周期223T ππω==. (2)由232242k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z ,所以2234312k k x ππππ-≤≤+,k ∈Z , 即函数的单调递增区间为22,34312k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z , 由3232242k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z , 得225312312k k x ππππ+≤≤+,k ∈Z , 即函数的单调递减区间为225,312312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (3)当x ∈[0,2π]时,73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则当3x +4π=2π时,函数f (x )取得最大值,此时f (x 2π=,当3x +342ππ=时,函数f (x )取得最小值,此时f (x 32π=即f (x )值域为[. 【点睛】关键点点睛:本题考查正弦型三角函数的性质.对于()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>,最小正周期为2T πω=,利用正弦函数sin y x =的性质,把x ωϕ+作为一个整体替换sin x 中的x ,可得()f x 的性质.26.(1)最小正周期为4π,对称中心22,0,3k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭;(2)3π 【分析】(1)由已知条件求出ω,再利用正弦函数的性质即可求解;(2)求出函数的单调递增区间,得到353t t t t ππ⎧≤⎪⎪⎪-≥-⎨⎪-<⎪⎪⎩即可求出.【详解】 (1)2()()3f x f x π=-,()f x ∴的图象关于3x π=对称,,332k k Z πππωπ∴⨯+=+∈,解得13,2k k Z ω=+∈, 02ω<<,12ω∴=,1()sin()23f x x π∴=+,则()f x 的最小正周期2412T ππ==, 令1,23x k k Z ππ+=∈,则22,3x k k Z ππ=-∈, ∴()f x 的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭;(2)令122,2232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈, 则可得()f x 的单调递增区间为54,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,若()f x 在[,]t t -上单调递增,则353t t t t ππ⎧≤⎪⎪⎪-≥-⎨⎪-<⎪⎪⎩,解得03t π<≤,∴t 的最大值为3π. 【点睛】关键点睛:本题考查正弦型函数的性质,解题的关键是根据2()()3f x f x π=-得出()f x 的图象关于3x π=对称,进而求出ω,即可结合正弦函数的性质求解.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1.函数()()sin cos y x =的部分图象大致为( )A .B .C .D .2.将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称,则sin 2ϕ=( )A .12-B .12C .3-D .323.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上,直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,则ϕ=( ) A .6πB .3πC .23π D .56π 4.如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8,则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-,(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”,则ω的取值范围是( ) A .4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .[8,9)5.已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则( )A .1ω=,6π=ϕ B .1ω=,6πϕ=-C .2ω=,6π=ϕ D .2ω=,6πϕ=-6.函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是( ) A .2[,]105k k ππππ-+(k Z ∈) B .2[,]510k k ππππ-+ (k Z ∈) C .3[,]510k k ππππ-- (k Z ∈) D .37[,]2020k k ππππ-+ (k Z ∈) 7.函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为( ) A . B .C .D .8.已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩,若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .3a >B 23a <<C .22a >D .92a >9.将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的13,再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象,若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,则θ的最小值为( )A .12πB .6π C .3π D .18π10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω,0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示,则()f x 的解析式是( )A .()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D .2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11.将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π,则以下说法正确的是( ) A .1ω=B .函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C .()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D .函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递增12.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象(如图所示),则下列有关函数()f x 的结论错误的是( )A .图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B .最小正周期是πC .在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D .在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13.若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是_________.①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-14.函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值,则ω的范围__________.15.已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ,对于下列说法:①要得到()5sin 2g x x =的图象,只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可;②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称:③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦;④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________(填入所有正确说法的序号). 16.已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是-2,则ω的最小值等于__________.17.函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ,以下说法:(1)其中最小正周期为23π; (2)图象关于点(,0)4π对称;(3)由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ; (4)直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴. 其中正确命题的序号是__________.18.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()24f π=,()0f π=,且()f x 在区间(,)43ππ上单调,则ω的值有_________个. 19.函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 20.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,且(2)3f -=,则(2020)f =________.三、解答题21.已知函数()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,若()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立.(1)求ω的最小值;(2)在(1)中ω值的条件下,若函数()()1(0)g x f kx k =+>的最小正周期为π,当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,方程()g x m =恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围. 22.函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)写出()f x 的解析式; (2)将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象,讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数.23.已知函数()326f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间; (2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数值的取值范围; (3)若将此图象向右平移()0θθ>个单位后图象关于y 轴对称,求θ的最小值.24.如图,一个水轮的半径为4米,水轮圆心O 距离水面2米,已知水轮每分钟逆时针转动1圈,当水轮上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计算时间.(1)将点P 距离水面的距离z (单位:米,在水面以下,则z 为负数)表示为时间t (单位:秒)的函数;(2)在水轮转动1圈内,有多长时间点P 位于水面上方? 25.已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈(1)若α为第三象限角,且3sin 5α=-,求()f α的值. (2)若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且21()2()1cos g x f x x =++,求函数()g x 的最小值,并求出此时对应的x 的值.26.函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.(1)求()f x 的表达式; (2)若[1,2]x ∈,求()f x 的值域;(3)将()f x 的图像向右平移112个单位后,再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】先确定奇偶性,再取特殊值确定函数值可能为负,排除三个选项后得出结论. 【详解】记()()sin cos f x x =,则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==,为偶函数,排除D , 当23x π=时,21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除B ,C . 故选:A . 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象,解题方法是排除法,可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项,再由特殊的函数值,函数值的正负,变化趋势等排除一些选项后得出正确结论.2.C解析:C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式,然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数,由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数,所以6k πϕπ+=,sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C . 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值,难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈,为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.3.B解析:B 【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上,直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ.【详解】 由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解. 综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法: (1)求A 通常用最大值或最小值; (2)求ω通常用周期;(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4.A解析:A【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解,根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=,则4149166ωω≤<,解不等式即可. 【详解】根据题意,函数()2sin()1f x x ωπ=-,(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8,即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解, ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈, 当0k =时,1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=,取第2个解56x ω=; 当1k =时,1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=,取第4个解176x ω=; 当3k =时,1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=,取第8个解416x ω=; 当4k =时,1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<,解得414966ω≤<. 故选:A5.D解析:D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出ω,通过函数经过的最大值点求出ϕ值,即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭,22T πω∴==. 当3x π=,函数取得最大值1,所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,2232k k Z ππϕπ+=+∈,, ||,02k πϕ<∴=,6πϕ∴=-,故选:D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式,通过周期求ω的值,通过最值点求ϕ的值是解题的关键,属于基础题.6.C解析:C 【分析】利用三角恒等变换的公式,化简得由函数cos(2)5y x π=+,再根据余弦型函数的性质,即可求解函数的单调递增区间,得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+, 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈,整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈, 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈,故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简,以及三角函数的性质的应用,其中解答中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,再利用三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7.A解析:A 【分析】求得函数()y f x =的定义域,分析函数()y f x =的奇偶性,结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数()3sin 22xf x x =-,20x -≠,得2x ≠±,所以,函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----,函数()y f x =为奇函数,图象关于原点对称,排除B 、D 选项;又02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,排除C 选项. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.8.D解析:D 【分析】这是一个复合函数的问题,通过换元()t f x = ,可知新元的范围,然后分离参数,转为求函数的最大值问题,进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时,有[]()11,2f x x =+∈, 当4](1,x ∈时,0sin14xπ≤≤,即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以当[]0,4x ∈时,1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,令()t f x =,则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, 即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,由2y t t =+,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->, 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数,122t t <<<,()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<, 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数, 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增,而2t t +在12t =时有最大值为92,所以92a >. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题,运用到分离参数法求参数范围,还结合双勾函数的单调性求出最值, 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.9.D解析:D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,要满足题意,则332ππθ+≥,即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--,再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=,,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,则332ππθ+≥,即18πθ≥,则θ的最小值为18π. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质,解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再根据正弦函数的性质求解.10.D解析:D 【分析】结合图象,依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =,2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭,所以()()2sin 2f x x ϕ=+,依题意0ϕπ≤≤,则2333πππϕ-≤-≤, 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选:D. 【点睛】方法点睛:根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法: (1)求A 、()()max min:2f x f x b A -=,()()max min2f x f x b +=;(2)求出函数的最小正周期T ,进而得出2Tπω=; (3)取特殊点代入函数可求得ϕ的值.11.C解析:C【分析】由周期求出ω,然后由正弦函数的性质判断. 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π,所以22πωπ==,A 错; 12x π=时,206x π-=,12x π=不是对称轴,B 错;3x π=时,226x ππ-=,即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值,因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确,C 正确; 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调,D 错; 故选:C . 【点睛】方法点睛:本题考查三角函数的性质,对函数()sin()f x A x ωϕ=+,掌握五点法是解题关键.解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围,然后结合正弦函数性质判断.12.C解析:C 【分析】首先根据题中所给的函数图象,从最值、周期和特殊点着手将解析式确定,之后结合函数的性质对选项逐一分析,得到结果. 【详解】根据图象得到:2A =,311341264T πππ=-=,所以T π=, 所以2ππω=,解得2ω=,所以()()2sin 2f x x ϕ=+.将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入,得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()232k k Z ππϕπ+=+∈,得()26k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,所以6π=ϕ, 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 对于A ,20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭,则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,故A 正确; 对于B ,函数的周期22T ππ==,故B 正确;对于C ,当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,此时函数()f x 为增函数,故C 错误; 对于D ,当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦,2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭,故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确. 故选:C . 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题,涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式,正弦型函数的相关性质,属于简单题目.二、填空题13.①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确;当时时故在上有增有减选项B 错误;故不是图象的一条对称轴选项C 正确;当时且当即解析:①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ,结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项,得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()g x 的最小正周期为π,选项A 正确;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时,故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减,选项B 错误;012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴,选项C 正确;当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,且当2233x ππ+=,即6x π=时,()g x 取最小值12-,D 正确. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于一般题目.14.【分析】根据函数在区间上有50个最大值由第50个和第51个最大值满足求解【详解】因为函数在区间上有50个最大值第一个最大值为:第二个最大值为:第三个最大值为:…第50个最大值为:第51个最大值为:所解析:589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值,由第50个和第51个最大值满足49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯求解.【详解】因为函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值, 第一个最大值为: 32x ππω+=,第二个最大值为: 232x ππωπ+=+, 第三个最大值为: 432x ππωπ+=+,…第50个最大值为: 49232x ππωπ+=+⨯, 第51个最大值为: 50232x ππωπ+=+⨯, 所以 49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯,解得49512010120πππωπ+≤<+, 综上:ω的范围是589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】易错点点睛:本题容易忽视第50个和第51个最大值要满足49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯.15.②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误;②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确;③令解得因为所以在定义域内的单解析:②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象,应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度,所以①错误;②令ππ2π42x k -=+,k ∈Z ,解得3ππ82k x =+,k ∈Z ,所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴,故②正确;③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+,k ∈Z ,解得3π7πππ88k x k +≤≤+,k ∈Z ,因为[]π,πx ∈-,所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,所以③错误;④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数,所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换,考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握,属于中档题.16.【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为:【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析:32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围,进而可得到32ωππ--或342ωππ,求出ω的范围得到答案. 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-, 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-,当22x k πωπ=-+,k Z ∈时,函数有最小值2-,32ωππ∴--,或342ωππ,k Z ∈, ∴32ω≥,或6ω,k Z ∈, 0ω>,ω∴的最小值等于32.故答案为:32. 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用.考查基础知识的运用能力.三角函数式高考的重要考点,一定要强化复习.17.(1)(2)(4)【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于(1)根据正弦型函数周期公式:可得:函数最小正周期为:故(1)正确;对于(解析:(1)(2)(4) 【分析】根据正弦型函数周期公式,正弦型函数对称中心坐标,正弦型函数对称轴等知识,逐项验证,即可求得答案. 【详解】对于(1),根据正弦型函数周期公式:2T ωπ=可得:函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为:2233T ππ==,故(1)正确; 对于(2),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-,解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈ 当0k =时,对称中心坐标为(,0)4π,故(2)正确;对于(3),将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得:392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ,故(3)错误; 对于(4),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈,正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-,解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时,512342x πππ=+=--, ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-,故(4)正确;故答案为:(1)(2)(4). 【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18.9【分析】由在区间上单调可得故进一步求出范围即可【详解】由知故;又在区间上单调故即18符合条件的的值有9个故答案为:9【点睛】本题考查三角函数的图象与性质考查转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能解析:9 【分析】 由()f x 在区间(,)43ππ上单调,可得342T ππ-,故6T π,进一步求出ω范围即可. 【详解】由()24f π=,()0f π=知,34244T kT πππ+=-=,k ∈N , 故312T k π=+,2(12)3k ω+=,k ∈N ; 又()f x 在区间(,)43ππ上单调,∴342T ππ-,故6T π, ∴212T πω=,即2(12)123k +, ∴172k,k ∈N ,0k ∴=,1,2⋯,8符合条件的ω的值有9个. 故答案为:9. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,属中档题.19.【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时;因为当时所以当时取到最小值所以故答案为:【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关解析:52【分析】可拆分理解,构造251616()5x x g x x x x -+==+-,由对勾函数可得4x =时取得最小值,又当4x =时,12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值,即可求解 【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-,由对勾函数性质可知当4x =时,min ()3g x =;因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,当4x =时,121sin 2362x ππ⎛⎫--=-⎪⎝⎭,所以当4x =时,()f x 取到最小值,5(4)2f =,所以min 5()2f x =. 故答案为:52【点睛】本题考查函数最值的求解,拆分构造函数是解题关键,属于中档题20.3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为:3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析:3 【分析】由已知可得,3是函数()f x 的一个周期,所以(2020)(1)f f =,再由(2)3f -=, 可求得()13f =,可得答案. 【详解】由已知可得,3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3是函数()f x 的一个周期,所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=, 又(2)3f -=,所以()()123f f =-=, 所以(2020)3f =, 故答案为:3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用,准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21.(1)23ω=;(2)[1m ∈+. 【分析】(1)根据条件得到4f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值,结合函数的最值求出ω即可. (2)根据条件求出()g x 的解析式,在同一坐标系中,作出函数()y g x =和y m =的图象,利用数形结合求解. 【详解】 (1)若()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数的最大值, 则2,46k k ππωπ-=∈Z ,得2,46k k ππωπ=+∈Z ,即28,3k k ω=+∈Z , ∵0>ω,∴当0k =时,ω取得最小值,最小值为23ω=;(2)在(1)中ω值的条件下23ω=,则2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭,∵()g x 的最小正周期为π,∴223k ππ=,即3k =,则()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 作出函数()03y g x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭和y m =的图象如图:03x π≤≤,则2662x πππ-≤-≤,所以0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭,则()13g x ≤≤,且()02cos 1316g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 由图象知:要使()g x m =恰有两个不同的解,则[13,3)m ∈+. 【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 22.(1)()cos(2)6f x x π=+;(2)见解析.【分析】(1)根据图象求出周期,再根据最低点可求ϕ,从而得到函数解析式. (2)求出()g x 的解析式,故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭,可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】(1)由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭,故22πωπ==, 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭, 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈,因为02πϕ<<,故6π=ϕ,所以()cos(2)6f x x π=+. (2)()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=, 故()3()cos(2)3cos 26f xg x m x x m π-⋅-=+--cos 2cossin 2sin3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数,cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示,由图象可得: 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时,方程有2个不同的解; 当31m -<-≤31m ≤<时,方程有4个不同的解; 当33m <-≤33m ≤<时,方程有3个不同的解; 【点睛】 方法点睛:(1)平移变换有“左加右减”(水平方向的平移),注意是对自变量x 做加减.(2)与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论,一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论. 23.(1)06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3;(2)3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(3)3π. 【分析】 (1)令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,求得x 的范围再与[]0,π求交集即可;(2)先由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出26x π+的范围,再结合正弦函数的性质求出sin 26x 的范围即可求解;(3)先求出()f x 图象向右平移()0θθ>个单位后的解析式为()3sin 226f x x πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再利用其为偶函数即可求解.【详解】 (1)令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,解得:()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,令0k =可得36x ππ-≤≤,令1k =可得2736x ππ≤≤, 因为[]0,x π∈,所以06x π≤≤或2ππ3x, 所以函数()f x 在[]0,π上的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3; (2)因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以52666x πππ-≤+≤, 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,33sin 2326x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,所以当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数值的取值范围为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (3)将()326f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移()0θθ>个单位后可得 ()()323sin 2266f x sin x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,因为其图象关于y 轴对称, 所以()262k k Z ππθπ-=+∈,解得()62k k Z ππθ=--∈, 所以1k =-时,θ最小为623πππ-+=,【点睛】结论点睛:三角函数的奇偶性 ①对于()y Asin x ωϕ=+,若为奇函数,则()k k Z ϕπ=∈,若为偶函数,则()2k k Z πϕπ=+∈;②对于函数()cos y A x ωϕ=+ 若为奇函数,则()2k k Z πϕπ=+∈,若为偶函数,则()k k Z ϕπ=∈;③对于函数()tan y A x ωϕ=+, 若为奇函数,则()2k k Z πϕ=∈. 24.(1)()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭;(2)40秒. 【分析】(1)以圆心为原点建立平面直角坐标系,根据O 距离水面的高度计算出0P 坐标,再利用三角函数表示出P 点坐标,将P 的纵坐标加2即可得到z 关于t 的函数;(2)根据条件可知0z >,解对应的不等式求解出t 的范围,由此确定出有多长时间点P 位于水面上方. 【详解】(1)建立如图所示平面直角坐标系,由题意可知:()023,2P -,则3tan ϕ=6π=ϕ,因为水轮每分钟逆时针转动1圈,所以t 秒可转动的角度为26030tt ππ=, 所以P 的坐标为4cos ,4sin 306306t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且P 的纵坐标加上2即为P 到水面的距离, 所以()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭; (2)因为[]110,60,,30666t t ππππ⎛⎫⎡⎤∈-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,令4sin 20306t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以1sin 3062t ππ⎛⎫->-⎪⎝⎭,所以763066t ππππ-<-<,所以040t <<, 所以在水轮转动1圈内,有40秒时间点P 位于水面上方 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z 关于t 的函数,其中着重去分析P 点的纵坐标值得注意. 25.(1) 34- (2) 函数()g x 的最小值为1,此时4x π= 【分析】(1)先化简函数解析式得()tan f x x =-,则由条件可得3tan 4α=,得出答案.(2)由条件可得()2tan 2tan 2g x x x =-+,则由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦,根据二次函数()222211y t t t =-+=-+即可得出答案. 【详解】 由已知有sin(3)sin(3)sin ()tan cos cos cos x x xf x x x x xππ---===-=-(1)若α为第三象限角,且3sin 5α=-,则4cos 5α=-,则3tan 4α= ()3tan 4f αα=-=-(2)()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x +=++=-+,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦ 即()222211y t t t =-+=-+,当1t =,即4x π= 时,有最小值1所以当4x π=时,函数()g x 有最小值1.【点睛】关键点睛:本题考查根据三角函数求值和将函数化为tan α的二次式求最值,解答本题的关键是由()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x +=++=-+将函数化为二次式,根据tan α⎡⎤⎣⎦∈求最小值,属于中档题.26.(1)()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3)154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭,得ωπ=,又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. (2)当[1,2]x ∈时,52444x πππππ≤+≤+,由余弦函数图像可得答案. (3)先根据图象变换求出()g x 的解析式,再根据余弦型函数的单调减区间求解即可.【详解】(1)由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭,得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+,又当1534424x +==时,314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则324k k Z πφππ+=+∈, 所以124k k Z φππ=+∈,, 所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)当[1,2]x ∈时,52444x πππππ≤+≤+cos 14x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时,()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)将()f x 的图像向右平移112个单位后可得:cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到:()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为:154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛:本题考查根据三角函数的图象求解析式以及根据解析式求值域和解决图象平移问题,解答本题的关键是读懂三角函数的图象,得到251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭和314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而求出解析式,在根据图象左右平移求解析式时,要注意将()f x 的图像向右平移112个单位后可得:1cos 124y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,属于中档题.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习:第一章 三角函数 测评

-
1
∪(0,1)∪
���2���,3
( ) C.
-
3,
-
������ 2
∪(0,1)∪(1,3)
D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)
答案 B
������
5������
11.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ=( )
������
∵0<φ<π,∴φ=4.
答案 A
������������
12.
导学号 93774040 已知函数 f(x)= 3sin ������ 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小
值点恰好在圆 x2+y2=k2 上,则 f(x)的最小正周期是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
( ) ( ) ������
-cos3=sin6-cos3
=
1‒
2
1
2=0.
答案 0
14.在扇形中,已知半径为 8,弧长为 12,则圆心角是 弧度,扇形面积是 .
12 = 3
1
解析设圆心角为 θ,则有 θ= 8 2弧度;扇形面积 S=2×12×8=48.
3
答案2 48
( ) [ ] 15.函数
y=sin
������ + ������
������
������
������
2x-4 =cos 2 x-8 .要想得到函数 g(x)=cos 2x 的图像,只要把 f(x)解析式中的 x 换成 x+8即可,因
������
此只需把函数 f(x)的图像向左平移8个单位长度即可.故选 A.
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测题(含答案解析)(5)

一、选择题1.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,若方程()35f x =的解为1x ,2x (120x x π<<<),则()12sin x x -=( )A .35B .45-C .D .2.已知函数f (x )=2sinxsin (x+3φ)是奇函数,其中(0,)2πϕ∈ ,则函数g (x )=cos (2x-φ)的图象( ) A .关于点(,0)12π对称 B .关于轴512x π=-对称 C .可由函数f (x )的图象向右平移6π个单位得到 D .可由函数f (x )的图象向左平移3π个单位得到 3.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上,直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调,则ϕ=( )A .6π B .3π C .23π D .56π4.设函数()2sin cos f x x x x +,给出下列结论: ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度,可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是( ). A .①④B .②④C .①②④D .①②③5.已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π,且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭,则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为( )A .76π B .56π C .2πD .3π 6.已知函数y =f (x )的部分图象如图所示,则其解析式可能是( )A .()sin 2f x x x =B .()||sin 2f x x x =C .()cos 2f x x x =D .()||cos2f x x x =7.已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,则( )A .()f x 是奇函数B .π2π33f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()f x 的一个周期是πD .()f x 的最小值小于08.有以下四种变换方式: ①向左平移12π个单位长度,再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍;②向左平移6π个单位长度,再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍; ③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移6π个单位长度; ④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移6π个单位长度; 其中能将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象变为函数sin y x =图象的是( ) A .①③B .②③C .①④D .②④9.:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是( ) A .02x π<<B .203x π<<C .32x ππ-<<D .566x ππ<<10.设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立,且1108f π⎛⎫=⎪⎝⎭,()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调,则( )A .23ω=,12πϕ=B .23ω=,1112πϕ=- C .13ω=,1124πϕ=-D .13ω=,724πϕ= 11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象(如图所示),则下列有关函数()f x 的结论错误的是( )A .图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B .最小正周期是πC .在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D .在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦312.已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点,其图象关于点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14x =-对称,给出下列结论:①1222f ⎛⎫=⎪⎝⎭;②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点;③函数()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增;④函数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题13.若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π,则常数ω的一个取值可以为__________.14.函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值,则ω的范围__________.15.如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形,则阴影部分面积的最大值是___________.16.sin 75=______.17.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(00)2A πωϕ>><,,的部分图象如图所示,则f (0)的值为___________.18.若函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且()1f x -为偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x =,则292f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.19.已知函数2()cos ()1(0,0,0)2πf x A ωx φA ωφ=++>><<的最大值为3,()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则(1)(2)f f +=_____.20.实数x ,y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则cos 24x y +的值为________.三、解答题21.已知函数231()cos(2)sin ()(02)2632f x x x ππωωω=+++-<<,且()04f π=.(1)求()f x 的解析式;(2)先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度,再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到函数()y g x =的图象.若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有且只有一个0x ,使得0()g x 取得最大值,求α的取值范围.22.已知函数21()sin 3sin cos 2f x x x x =++. (1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域; (2)若关于x 的方程()2()1()0f x m f x m -++=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有三个不同的实根,求实数m 的取值范围. 23.已知函数π()3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)用“五点法”画出函数()y f x =在一个周期内的简图;(2)说明函数()y f x =的图像可以通过sin y x =的图像经过怎样的变换得到?(3)若003()[2π3π]2f x x =∈,,,写出0x 的值. 24.如图,某公园摩天轮的半径为40m ,圆心O 距地面的高度为50m ,摩天轮做匀速转动,每3min 转一圈,摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处.(1)已知在(min)t 时点P 距离地面的高度为()sin()0,0,||2f t A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>>≤ ⎪⎝⎭,求2020t =时,点P 距离地面的高度;(2)当离地面(50203)m +以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌.25.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >,0>ω,02πϕ<<)的部分图象如图所示,其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭,5,012π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式;(2)设M ,N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧),且3MN π=,求t 的值.26.已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. (1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,证明:当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22()()10g x g x --≤.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴,然后由正弦函数性质得1223x x π+=,这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭,而已知条件为23sin(2)65x π-=,再由正弦函数性质确定226x π-的范围,从而由平方关系求得结论.【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足:()262x k k Z πππ-=+∈,即()23k x k Z ππ=+∈,令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=,结合三角函数的对称性可知1223x x π+=,则:1223x x π=-,()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由题意:0πx <<,则112666x πππ-<-<,23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,120x x π<<<,则2226x πππ<-<,由同角三角函数基本关系可知:24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查正弦函数的性质,考查平方关系.解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴,从而得出两个变量12,x x 的关系,可化双变量为单变量,再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围,从而求得结论.注意其中诱导公式的应用,目的是把求值式与已知条件中的角化为一致.2.B解析:B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ,再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 【详解】函数f (x )=2sinxsin (x+3φ)是奇函数,其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴y=2sinxsin (x+3φ)是奇函数,∴3φ=2π,φ=6π,则函数g (x )=cos (2x ﹣φ)=cos (2x ﹣6π). 当12x π=时,206x π-=,112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称,选项A 错误; 当512x π=-时,26x ππ-=-,则函数关于直线512x π=-对称,选项B 正确;函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭, 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 选项C 错误; 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 选项D 错误; 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性,函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.函数()sin y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)的性质:(1)奇偶性:=k ϕπ ,k Z ∈时,函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数;=2k πϕπ+,k Z ∈时,函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.;(2)周期性:()sin y A x ωϕ=+存在周期性,其最小正周期为T =2πω;(3)单调性:根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究,由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间;由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间;(4)对称性:利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解,令()x k k ωϕπ+=∈Z ,求得x ;利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解,令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ,得其对称轴.3.B解析:B 【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上,直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ. 【详解】 由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤ 所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法: (1)求A 通常用最大值或最小值; (2)求ω通常用周期;(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4.C解析:C 【分析】根据题意,利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+,根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①;利用整体代入法求出()y f x =的对称轴,即可判断②;利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间,从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增,即可判断③;根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简,即可求出平移后函数,从而可判断④. 【详解】解:函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+, 即:()2sin(2)3f x x π=+,所以()f x 的最小正周期为222T πππω===,故①正确; 令2,32πππ+=+∈x k k Z ,解得:,122k x k Z ππ=+∈, 当0k =时,则直线12x π=为()y f x =的对称轴,故②正确;令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得:7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ,所以()f x 的单调递减区间为:7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时,()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增,故③错误; 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度,得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象,故④正确. 所以所有正确结论的编号是:①②④. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法,以及三角函数的平移伸缩是解题的关键,还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用,考查学生化简运算能力.5.A解析:A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值,再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值,再根据条件将方程变形,先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后即可求解出方程的根,由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π,所以22πωπ==,又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以2,3k k Z ϕππ+=∈,又因为02πϕ<<,所以3πϕ=且此时1k =,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭, 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为[]0,x π∈,所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时,23x ππ+=或223x ππ+=,解得3x π=或56x π=, 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选:A. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭,此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的情况.6.B解析:B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项,再由奇偶性排除一个后可得正确选项. 【详解】由图象知()0f π=,经验证只有AB 满足,C 中()cos 2f ππππ==,D 中()f ππ=,排除CD ,A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数,B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数,而图象关于原点对称,函数为奇函数,排除A ,选B . 故选:B . 【点睛】思路点睛:由函数图象选择解析式可从以下方面入手:(1)从图象的左右位置,观察函数的定义域;从图象的上下位置,观察函数的值域; (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性; (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性; (4)从图象的特殊点,排除不合要求的解析式..7.D解析:D 【分析】利用奇函数的性质判断A ,分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小,取特殊值验证的方法判断C ,分区间计算一个周期内的最小值,判断选项D 。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》检测题(答案解析)(3)

一、选择题1.函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象,则下列说法正确的是( )A .函数()g x 为奇函数B .函数()g x 的最小正周期为2πC .函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD .函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2.已知角α顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()3,4P -,将α的终边逆时针旋转180︒,这时终边所对应的角是β,则cos β=( ) A .45-B .35C .35D .453.函数()()sin cos y x =的部分图象大致为( )A .B .C .D .4.如图,一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点,沿逆时针方向旋转,每2s 转一圈,由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A .2sin()3y t ππ=+ B .2sin()3y t ππ=- C .2sin()3y t ππ=-D .2sin()3y t ππ=+5.已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合,则ϕ的值为( )A .56πB .56π-C .6π D .6π-6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+(0>ω,0πϕ-<<)的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称,且其相邻对称轴间的距离为23π,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数()g x 的图象,则下列说法中正确的是( )A .()f x 的最小正周期23T π= B .58πϕ=-C .()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.设()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,若函数()y f x a =-恰好有三个不同的零点,分别为1x 、2x 、()3123x x x x <<,则1232x x x ++的值为( ) A .πB .34πC .32π D .74π8.下列函数中,既是偶函数,又在(),0-∞上是增函数的是( ) A .()22xxf x -=- B .()23f x x =-C .()2ln =-f x xD .()cos3=f x x x9.将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的13,再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象,若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,则θ的最小值为( )A .12πB .6πC .3π D .18π 10.设函数()tan 3f x x π=-,()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是( ) A .4B .5C .12D .1311.函数22y cos x sinx =- 的最大值与最小值分别为( ) A .3,-1 B .3,-2 C .2,-1D .2,-212.已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点,其图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭和直线14x =-对称,给出下列结论:①122f ⎛⎫=⎪⎝⎭;②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点;③函数()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增;④函数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题13.若函数()sin (0)4f x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭取得最值的点到y 轴的最近距离小于6π,且()f x 在711,2020ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,则ω的取值范围为_________. 14.某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律,因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画,其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈,例如1n =表示1月份,n 和k 是正整数,0>ω,()0,πϕ∈.统计发现,该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律:①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度; ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度,随后逐月递增直到7月份达到最高;③每年相同的月份,该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息,得到()G n 的表达式是______. 15.已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是-2,则ω的最小值等于__________.16.函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ,以下说法: (1)其中最小正周期为23π; (2)图象关于点(,0)4π对称;(3)由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ; (4)直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴. 其中正确命题的序号是__________.17.如图,从气球A 上测得正前方的B ,C 两点的俯角分别为75︒,30,此时气球的高是60m ,则BC 的距离等于__________m .18.将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度,若所得图象关于原点对称,则a 的值为_________.19.函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数,例如,[]3.54-=-,[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-,有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1;②()f x 是1为周期的周期函数;③()f x 是偶函数;④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中,正确的命题序号为___________.20.如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++,则这段曲线的函数解析式为______________.三、解答题21.现给出以下三个条件:①()f x 的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π; ②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭; ③()01f =.请从上述三个条件中任选两个,补充到下面试题中的横线上,并解答该试题. 已知函数()()2sin 05,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭,满足________,________. (1)根据你所选的条件,求()f x 的解析式; (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度,得到()g x 的图象求函数()()1y f x g x =-的单调递增区间.22.如图,某公园摩天轮的半径为40m ,圆心O 距地面的高度为50m ,摩天轮做匀速转动,每3min 转一圈,摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处.(1)已知在(min)t 时点P 距离地面的高度为()sin()0,0,||2f t A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>>≤ ⎪⎝⎭,求2020t =时,点P 距离地面的高度;(2)当离地面(503)m +以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌.23.已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,证明:当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22()()10g x g x --≤.24.已知()sin()(0,0)f x x ωϕϕπω=+<<>为偶函数,且()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到()y g x =的图像,求()g x 的单调递减区间. 25.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式;(2)将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 26.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 水深5.0006.2507.1657.5007.1656.250()这个港口的水深与时间的关系可用函数(,)近似描述,试求出这个函数解析式;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为5米,安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离),利用(1)中的函数计算,该船何时能进入港口?在港口最多能呆多久?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象,可得()y g x =解析式,分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性,对选项中的结论判断,从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =,33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T , ∴2ω=,则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中, 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭, ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈, 即2,Z 3k k πϕπ=-∈;||2ϕπ<, ∴3πϕ=-,∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象, ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数, 故A 错误;∴()g x 的最小正周期22T ππ==, 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ,解得,122k x k Z ππ=+∈, 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误; 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ,可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ,∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确; 故选:D. 【点睛】关键点睛:本题主要考查三角函数的图象与性质,熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2.B解析:B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值,然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】因为3cos 5α==,且180βα=+︒, 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-, 故选:B. 【点睛】结论点睛:三角函数定义有如下推广:设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合,r OP =,则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 3.A解析:A 【分析】先确定奇偶性,再取特殊值确定函数值可能为负,排除三个选项后得出结论. 【详解】记()()sin cos f x x =,则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==,为偶函数,排除D , 当23x π=时,21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除B ,C . 故选:A . 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象,解题方法是排除法,可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项,再由特殊的函数值,函数值的正负,变化趋势等排除一些选项后得出正确结论.4.A解析:A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+,再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=(弧度/秒) 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+, 又三角函数的定义可知,点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题的关键是理解三角函数的定义,并正确表示点23POx t ππ∠=+,即可表示函数的解析式.5.A解析:A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后,再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-,然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-,依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ,所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤,所以0k =,56πϕ=. 故选:A. 【点睛】关键点点睛;经过平移变换后,利用诱导公式化为同名函数是解题关键,属于中档题.6.D解析:D 【分析】首先根据三角函数的性质,可知相邻对称轴间的距离是半个周期,判断A ;再求函数的解析式,判断B ;根据平移规律得到函数()g x ,判断C ;最后根据函数()g x 的解析式,利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期,所以周期是43π,故A 不正确; 243T ππω==,解得:32ω=,()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称,3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈,解得:5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-,故B 不正确; ()311cos 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确; 当02x π≤≤时,3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时,函数单调递减,即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故D 正确. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式,第四个选项是关键,需根据整体代入的方法,先求33216x π-的范围,再确定函数的单调递减区间. 7.C解析:C 【分析】根据三角函数的对称性,先求出函数的对称轴,结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题,利用数形结合进行求解即可. 【详解】 由()242x k k Z πππ+=+∈,得对称轴()28k x k ππ=+∈Z , 90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由90288k πππ≤+≤,解得124k -≤≤,当0k =时,对称轴8x π=,1k =时,对称轴58x π=. 由()0f x a -=得()f x a =,若函数()y f x a =-恰好有三个不同的零点,等价于函数()y f x =与y a =的图象有三个交点,作出函数()f x 的图象如图,得()0f =1a ≤<,由图象可知,点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线8x π=对称,则124x x π+=, 点()()22,x f x 、()()33,x f x 关于直线58x π=对称,则2354x x π+=, 因此,1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=. 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解,解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴,结合对称性求解.8.C解析:C 【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性,判断AD 错误,结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误,C 正确即可. 【详解】选项A 中,()22xxf x -=-,定义域R ,()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-,则()f x 是奇函数,不符合题意;选项D 中,()cos3=f x x x ,定义域R ,()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-,则()f x 是奇函数,不符合题意;选项B 中,()23f x x =-,定义域R ,()()()2233x x f x f x -=--=-=,则()f x 是偶函数,但二次函数()23f x x =-在在(),0-∞上是减函数,在()0,∞+上是增函数,故不符合题意;选项C 中,()2ln =-f x x ,定义域为(),0-∞()0,+∞,()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=,则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时,()2ln f x x =-是减函数,所以由偶函数图象关于y 轴对称可知,()f x 在(),0-∞上是增函数,故符合题意. 故选:C. 【点睛】 方法点睛:定义法判断函数()f x 奇偶性的方法: (1)确定定义域关于原点对称; (2)计算()f x -;(3)判断()f x -与()f x 的关系,若()()f x f x -=,则()f x 是偶函数;若()()f x f x -=-,则()f x 是奇函数;若两者均不成立,则()f x 是非奇非偶函数.9.D解析:D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,要满足题意,则332ππθ+≥,即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--,再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=,,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,则332ππθ+≥,即18πθ≥,则θ的最小值为18π. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质,解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再根据正弦函数的性质求解.10.A解析:A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数,作出两个函数图象,数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =,所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象,由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点,所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4, 故选:A 【点睛】方法点睛:判断函数零点个数的方法(1)直接法:令()0f x =,如果能求出解,那么有几个不同的解就有几个零点; (2)利用函数的零点存在性定理:利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线,并且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质,(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)图象法:画出函数()f x 的图象,函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数;将函数()f x 拆成两个函数,()h x 和()g x 的形式,根据()()()0f x h x g x =⇔=,则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数;(4)利用函数的性质:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到,若所考查的函数是周期函数,则需要求出在一个周期内的零点个数,根据周期性则可以得出函数的零点个数.11.D解析:D 【解析】分析:将2cos x 化为21sin x -,令()sin 11x t t =-≤≤,可得关于t 的二次函数,根据t 的取值范围,求二次函数的最值即可.详解:利用同角三角函数关系化简,22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤,则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤,根据二次函数性质当1t =-时,y 取最大值2,当1t =时,y 取最小值2-. 故选D.点睛:本题考查三角函数有关的最值问题,此类问题一般分为两类,一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式,用换元法求解;另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式,根据角的范围求解.12.B解析:B 【分析】由三角函数的图象与性质可得()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,代入即可判断①;令03,42()x k k Z ππππ+∈+=,化简即可判断②;令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+,化简即可判断③;由最小正周期的公式即可判断④. 【详解】∵函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称,∴111,4k k Z ωϕπ+=∈,又函数()f x 的图象关于直线14x =-对称,∴221,42k k Z ππωϕ-+=+∈,∴()1221k k ωπ=--⎡⎤⎣⎦,即(21),n n Z ωπ=∈-, ∵函数()sin()f x x ωϕ=+在[]1,2上有且仅有3个零点, ∴24,)201(ππωωω<>≤-,即24πωπ≤<,所以3ωπ=,()()sin 3f x x πϕ=+,∵104f ⎛⎫=⎪⎝⎭,∴3,4k k Z πϕπ+=∈, 又||2πϕ≤,∴4πϕ=,∴()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭;对于①,3sin 24122f ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫==-⎪⎭⎝⎭,故①错误; 对于②,令03,42()x k k Z ππππ+∈+=,则01,31(2)Z k x k =+∈, 令101312k ≤+≤,则可取0,1,2k =, ∴0112x =,512,34,即函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点,故②正确; 对于③,令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+,则1212,43123k x k Z k -+≤≤∈+,当2k =-时,195,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个递增区间, 而35195,,24124⎛⎫⎡⎤--⊆-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,故③正确; 对于④,∵()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴函数的最小正周期2233T ππ==,故④错误. 综上所述,其中正确的结论的个数为2个. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用,考查了运算求解能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】根据题意可得为的一个零点且且上有且只有一个最值点从而可得再由在单调递增可得解不等式组即可求解【详解】依题意为的一个零点且所以在上有且只有一个最值点可得化简得又则所以解得当时可得又所以故答案为解析:65,53⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据题意可得,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点,且45T π≥,且,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个最值点,从而可得665ω<<,再由()f x 在711,2020ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,可得221032210k k ππωπππωπ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,解不等式组即可求解. 【详解】 依题意,04π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点且117420205T πππ≥-=,所以在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个最值点, 可得46446T ππππ-<<+,化简得665ω<<, 又711,2020x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则3,41010x πωπωπω⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221032210k k ππωπππωπ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,解得5520203k k ω-+≤≤+,k Z ∈,当0k =时,可得553ω-≤≤,又665ω<<,所以6553ω<≤. 故答案为:65,53⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛:本题考查了三角函数的性质,解题的关键是根据三角函数的最值得665ω<<,以及函数的单调递增区间可得5520203k k ω-+≤≤+,k Z ∈,考查了分析、计算能力.14.是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得:解得:当时得:所以的表达式是是正整数且故答案为:是正整数且【点睛】方法点睛:形如一解析:()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,n 是正整数且[]1,12n ∈【分析】根据最值列出等式求,A k ,再根据最高点和最低点对应的月份求周期,并求ω,以及利用最高点求ϕ. 【详解】 由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩,解得:1518A k =⎧⎨=⎩,12712πω-=⋅,解得:6π=ω,当7x =时,72,6k k Z πϕπ⨯+=∈,得:726k ϕππ=-+()0,ϕπ∈,56ϕπ∴=,所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭,n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为:()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭,n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】方法点睛:形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>,一般根据最值求,A k ,利用最值,零点对应的自变量的距离求周期和ω,以及“五点法”中的一个点求ϕ.15.【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为:【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析:32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围,进而可得到32ωππ--或342ωππ,求出ω的范围得到答案. 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-, 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-,当22x k πωπ=-+,k Z ∈时,函数有最小值2-,32ωππ∴--,或342ωππ,k Z ∈, ∴32ω≥,或6ω,k Z ∈, 0ω>,ω∴的最小值等于32.故答案为:32. 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用.考查基础知识的运用能力.三角函数式高考的重要考点,一定要强化复习.16.(1)(2)(4)【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于(1)根据正弦型函数周期公式:可得:函数最小正周期为:故(1)正确;对于(解析:(1)(2)(4) 【分析】根据正弦型函数周期公式,正弦型函数对称中心坐标,正弦型函数对称轴等知识,逐项验证,即可求得答案. 【详解】对于(1),根据正弦型函数周期公式:2T ωπ=可得:函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为:2233T ππ==,故(1)正确; 对于(2),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-,解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈ 当0k =时,对称中心坐标为(,0)4π,故(2)正确;对于(3),将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得:392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ,故(3)错误; 对于(4),根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈,正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-,解得51,32k k x Z ππ=+∈当2k =-时,512342x πππ=+=--, ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-,故(4)正确; 故答案为:(1)(2)(4).【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17.【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为:【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析:1)【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15︒的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度,作差后可得答案.【详解】由图可知,15DAB ∠=︒ ()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中,60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中,60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为:1) 【点睛】本题给出实际应用问题,求河流在,B C 两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.18.【分析】求出平移后的函数解析式由新函数图象过原点得出【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得解析式为它的图象关于原点对称则即故答案为:【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换考查三角函数的对称性注意性解析:【分析】求出平移后的函数解析式,由新函数图象过原点得出a ,【详解】将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度,得解析式为()sin 23cos 266g x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,它的图象关于原点对称,则(0)0g =,即sin3cos033a ππ+=,a =故答案为:. 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换,考查三角函数的对称性,注意性质:函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点是其对称中心,它的对称中心在函数图象上.19.①②④【分析】当时即可判断①④;计算即可判断②也可以作图;计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确;当时则故②正确;所以③错误故答案为:①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析:①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时,()f x x n =-,即可判断①④;计算(1)f x +,()f x 即可判断②,也可以作图;计算12()33f -=,11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时,[]x n =,()||f x x n x n =-=-,所以()[0,1)f x ∈,故①④正确; 当[,1)x n n ∈+时,则1[1,2)x n n +∈++,[1]1x n +=+,(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=,故②正确;1112()|[]|3333f -=---=,1111()|[]|3333f =-=,所以③错误.故答案为:①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质,涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域,是一道中档题.20.【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析:310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得max min 2y y A -=,max min2y y b +=,结合图象求得该函数的最小正周期T ,可得出2Tπω=,再将点()10,20代入函数解析式,求出ϕ的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,max 30y =,min 10y =,max min 102y y A -∴==,max min202y y b +==, 从题图中可以看出,从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期,则()214616T =⨯-=,28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,得()324k k Z πϕπ=+∈,取34πϕ=, 所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭,[]6,14x ∈. 故答案为:310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭,[]6,14x ∈. 【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.三、解答题21.答案见解析. 【分析】(1)选择①②:由①可得2ω=,再将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得6π=ϕ;选择①③:由①可得2ω=,又()02sin 1f ϕ==,所以6π=ϕ;选择②③:由()02sin 1f ϕ==,所以6π=ϕ,再将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得2ω=;所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2)根据平移可得函数()2cos2g x x =,故2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据三角函数图象性质可得函数的单调递增区间. 【详解】解:(1)选择①②:由已知得222T πππω==⋅=,所以2ω=,从而()2sin(2)f x x ϕ=+,将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得,42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 解得26k πϕπ=+,k Z ∈,又02πϕ<<,所以6π=ϕ,所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭; 选择①③:由已知得222T πππω==⨯=,所以2ω=,从而()2sin(2)f x x ϕ=+, 又()02sin 1f ϕ==, 因为02πϕ<<,所以6π=ϕ. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭; 选择②③:由()02sin 1f ϕ==,又02πϕ<<,所以6π=ϕ, 将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得,22sin 236ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,解得23k ω=+,k Z ∈, 又05ω<<,所以2ω=, 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭; (2)由已知得()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 故()()1y f x g x =-4sin 2cos 216x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22cos 22cos 21x x x =+-4cos 4x x =+2sin 46x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令242262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,得62122k k x ππππ-+≤≤+,k Z ∈,所以函数()()1y f x g x =-的单调递增区间为,62122k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 【点睛】求三角函数的解析式时,由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ,否则需要代入点的坐标,利用一些已知点的坐标代入解析式,再结合函数的性质解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 22.(1)70m ;(2)0.5min . 【分析】(1)根据题意,确定()sin()f t A t h ωϕ=++的表达式,代入2020t =运算即可;(2)要求()50f t >+2cos 32t π<,解不等式即可. 【详解】(1)依题意,40A =,50h =,3T =, 由23πω=得23πω=,所以2()40sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 因为(0)10f =,所以sin 1ϕ=-,又||2πϕ≤,所以2πϕ=-.所以2()40sin 50(0)32f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭, 所以2(2020)40sin 2020507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭.即2020t =时点P 距离地面的高度为70m .(2)由(1)知22()40sin 505040cos (0)323f t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭.令()50f t >+2cos 32t π<-, 从而()*52722N 636k t k k πππππ+<<+∈, ∴()*5733N 44k t k k +<<+∈. ∵()*751330.5N 442k k k ⎛⎫+-+==∈ ⎪⎝⎭, ∴转一圈中在点P 处有0.5min 的时间可以看到公园的全貌. 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题,解答本题的关键是能根据题目条件,得出相应的函数模型,作出正确的示意图,然后再由三角函数中的相关知识进行求解,解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件,是中档题. 23.(1),(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;(2)证明见解析.【分析】 (1)根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ,则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案;(2)根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,进而可得结论.【详解】(1)由题意知:sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数 所以()6k k Z πϕπ-=∈,(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<,所以0k =,6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈,解得:,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈, 所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦; (2)由题知:将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍, 得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则2()10g x +≥且()10g x -≤,所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛:函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法:,把x ωϕ+看作是一个整体,由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间;2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24.(1)()cos 2f x x =;(2)42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】(1)根据函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数求出ϕ,根据()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离求出ω,则可得()f x 的解析式;(2)根据图象变换规律求出()g x ,再根据余弦函数的递减区间列式可解得结果. 【详解】(1)由于函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数,则,2k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<,则2ϕπ=.又函数()f x 图象的两相邻对称中心点间的距离为2π,从而22T T ππ=⇒=,故22Tπω==. 故()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. (2)函数()y f x =图象向右平移6π个单位得()cos 2cos 2663h x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;再由伸缩变换可得:()cos 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由223k x k ππππ-+.得4223k x k πππ≤≤+,k Z ∈, 故()g x 的单调递减区间为:42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】关键点点睛:掌握三角函数的图象变换规律以及余弦函数的递减区间是解题关键.25.(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭;(2)1116. 【分析】(1)由顶点及周期可得1A =,2ω=,再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得6π=ϕ,从而得解;(2)根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】(1)由图可知1A =, 由311341264T πππ=-=,得2T ππω==,所以2ω=, 所以()()sin 2f x x ϕ=+, 因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈,则2,6k k Z πϕπ=+∈, 因为2πϕ<,所以6π=ϕ, ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,(2)由题意,()sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,由()14g θ=,得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛:确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤:(1)求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则2M mA ,2M mB +=; (2)求ω,确定函数的周期T ,则2Tπω=; (3)求ϕ,常用方法有以下2种方法:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入;②五点法:确定ϕ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 26.(1) 2.5sin()56y x π=+;(2)该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港,在港口最多能呆4个小时.【分析】(1)由表格中数据可得, 2.5,5,12A B T ===,26T ππω==,取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈,则解析式可得;(2)由(1)得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解:(1)由表格中数据可得, 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω,所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值,所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+(2)因为货船的吃水深度为5米,安全间隙至少要有1.25米, 所以2.5sin()5 6.256x π+≥, 即1sin()562x π+≥, 所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈,解得112512,m x m m N +≤≤+∈.取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答:该船1:00至5:00和13:00至17:00期间可以进港,在港口最多能呆4个小时. 【点睛】已知f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.。
数学北师大版高中必修4单元练习--三角函数

单元练习--三角函数一、选择题1.设,函数.的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是( )A .B .C .D . 3【答案】C2.已知函数()sin f x x x =,设()7a f π=,()6b f π=,()3c f π=,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c << B .c a b << C .b a c << D .b c a <<【答案】B3. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>,,02πωϕ><,)的图象(部分)如图所示,则()x f 的解析式是( )A .()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RB .()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC .()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RD .()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A4. 已知tan()34πα-=, 则1sin cos αα=( )A .52B .75C .52-D .75-【答案】C5.()()f x 2sin x m =ω+ϕ+,对任意实数t 都有f t f t ,f 3,888πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且则实数m 的值等于( ) A .—1 B .±5 C .—5或—1D .5或1【答案】C6.已知ABC ∆中,12cot 5A =-, 则cos A =( ) A .1213B .513C .513-D . 1213-【答案】D7.函数的图象以得到的图象经过适当变换可x 2cos y x 2sin y ==,则这种变换可以是( )A .个单位轴向右平移沿4x πB . 个单位轴向左平移沿4x πC .个单位轴向左平移沿2x πD . 个单位轴向右平移沿2x π【答案】B8.在地面上某处测得山峰的仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m 后,测得仰角为2θ,继续前进后又测得仰角为4θ,则山的高度为( )m . A .200 B .300C .400D .500【答案】B9. 在ABC ∆中, 3π=∠B ,三边长a ,b ,c 成等差数列,且6=ac ,则b 的值是( )A .2B .3C .6D . 【答案】C10.已知点的终边在在第三象限,则角a a a P )cos ,(tan ( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B11.为得到函数x y sin =的图象,只需将sin()6y x π=+函数的图像( )A .向左平移6π个长度单位 B .向右平移6π个长度单位 C .向左平移65π个长度单位D .向右平移65π个长度单位【答案】B12.要得到y =sin(2x -π3)的图象,只要将y =sin2x 的图象 ( )A .向左平移π3个单位B .向右平移π3个单位C . 向右平移π6个单位D . 向左平移π6个单位【答案】CII 卷二、填空题13.已知tan θ=2,则sin θsin 3θ-cos 3θ=________. 【答案】10714. 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若22a b -=,sin C B =,则A=__________________ 【答案】03015.海上有A 、B 两个小岛相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60视角,从B 望C 岛和A 岛成75视角,则B 、C 间的距离是 . 【答案】65海里16.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是c b a ,,,73tan =C ,4715=∆ABC S , 9=+b a ,则=c ______ _____. 【答案】6 三、解答题17.在锐角..ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足C b B c a cos cos )2(=-.A .求角B 的大小及角A 的取值范围;B .设A)2cos (3,n (sinA,1),m ==,试求n m ⋅的最大值. 【答案】(1)由正弦定理得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-, 所以C B C B B A sin cos cos sin cos sin 2+=, 即A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=, 因为,0sin ≠A 所以21cos =B . 因为B 为锐角,所以60=B又因ABC ∆是锐角三角形,所以30<A<90. (2)1sin 3sin 22cos sin 32++-=+=⋅A A A A n m=-2(817)43sin 2+-A , 因为︒<<9030A ,所以1sin 21<<A , 所以n m ⋅的最大值为817. 18.解下列各题:(1)计算:429tan )329cos(629sinπππ--+; (2)求证:xxx x sin cos 1cos 1sin -=+. 【答案】(1)原式=)456tan()310cos()654sin(ππππππ+-+-++ .0121214tan216sin )4tan(21)6sin(45tan 3cos 65sin=-+=-+=+-+-=-+=πππππππππ (2)证法一:右边左边=-=-=--=+=x xxx x x x x x x sin cos 1sin )cos 1(sin cos 1)cos 1(sin cos 1sin 22 , ∴等式成立.证法二:x x 22cos 1sin -= ,即)cos 1)(cos 1(sin sin x x x x -+=⋅,又0cos 10sin ≠+≠x x ,, .)cos 1(sin )cos 1)(cos 1()cos 1(sin sin sin x x x x x x x x +-+=+⋅∴即x xx x sin cos 1cos 1sin -=+∴等式成立.证法三:x x x x x x x x x sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin sin cos 1cos 1sin 2+-+-=--+ .0sin )cos 1(sin sin sin )cos 1()cos 1(sin 2222=+-=+--=x x x x x x x x19.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2A B =,sin 3B =.(Ⅰ)求cos A 及sinC 的值;(Ⅱ)若2b =,求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)因为2A B =, 所以2cos cos 212sin A B B ==-.因为sin B =, 所以11cos 1233A =-?. 由题意可知,(0,)2B πÎ.所以cos B =因为sin sin 22sin cos A B B B ===所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. (Ⅱ)因为sin sin b aB A=,2b =,3=.所以a =.所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 20.锐角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为c b a ,,,设向量),(),,(c b a a b a c +=--=,且.//n m(1)求角B 的大小;(2)若1=b ,求c a +的取值范围。
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1.已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+,ω,ϕ是常数,0A >,0>ω,0)2πϕ<<的部分图象如图所示.为了得到函数()f x 的图象,可以将函数2sin y x =的图象( )A .先向右平移6π个单位长度,再将所得图象的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变 B .先向左平移6π个单位长度,再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 C .先向左平移3π个单位长度,再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 D .先向左平移3π个单位长度,再将所得图象的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变2.设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度,得到函数()g x 的图象,若()g x 为偶函数,则ϕ的最小值是( ) A .6πB .3π C .23π D .56π 3.如图,一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点,沿逆时针方向旋转,每2s 转一圈,由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A .2sin()3y t ππ=+ B .2sin()3y t ππ=- C .2sin()3y t ππ=-D .2sin()3y t ππ=+4.已知函数()()cos f x x ωϕ=+(0>ω,0πϕ-<<)的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称,且其相邻对称轴间的距离为23π,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数()g x 的图象,则下列说法中正确的是( )A .()f x 的最小正周期23T π= B .58πϕ=-C .()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.如图,一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动,已知筒车圆心O 距离水面2.4m ,筒车每60s 转动一圈,如果当筒车上点P 从水中浮现时(图中点0P )开始计时,则( )A .点P 第一次到达最高点需要10sB .点P 距离水面的高度h (单位:m )与时间t (单位:s )的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C .在筒车转动的一圈内,点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D .当筒车转动50s 时,点P 在水面下方,距离水面1.2m 6.设函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下列结论错误的是( ) A .()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B .()f x 的图象关于直线116x π=对称 C .()f x π+的一个零点为12x π=D .()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 7.下列结论正确的是( ) A .sin1cos1< B .2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()()tan 52tan 47->-D .sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),然后向左平移3π个单位,所得函数记为()g x .若1x ,20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12x x ≠,且()()12g x g x =,则()12g x x +=( )A .12-B .C .12D .29.已知曲线1C :sin y x =,2C :cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( ) A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位长度,得到曲线2C 10.当5,2,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若αβ>,则以下不正确的是( ) A .sin sin tan tan αββα->- B .cos tan cos tan αββα+<+ C .sin tan sin tan αββα> D .tan sin tan sin αββα<11.已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭,点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心,且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减,则ϕ=( ) A .6π B .6π-C .3π D .3π-12.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()f x 的图象( )A .向右平移3π个单位长度 B .向右平移4π个单位长度 C .向左平移3π个单位长度D .向左平移4π个单位长度 二、填空题13.已知3()tan 1f x a x x =+(a ,b 为实数),且3(lg log 10)5f =,则(lglg3)f =____________.14.将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象,若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,则实数ω的取值范围是__________. 15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=,且当(]0,1x ∈时,()21log f x x=,若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点,则实数m 的取值范围是__________. 16.sin 75=______.17.设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称,它的周期为π,则下列说法正确是________(填写序号) ①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭;②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭; ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象.18.已知函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示,则ϕ=__________.19.实数x ,y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则cos 24x y +的值为________.20.已知函数()y f x =是R 上的偶函数,当0x ≥时,()4242,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=≤ ⎪⎝⎭,关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根,若α是四个根中的最大根,则sin()2πα+=____.三、解答题21.已知函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式;(2)若将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,然后再向左平移12π个单位长度,得到()g x 的图象,求函数()g x 的单调递增区间. 22.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,28M π⎛⎫ ⎪⎝⎭、5,28N π⎛⎫- ⎪⎝⎭分别为其图象上相邻的最高点、最低点. (1)求函数()f x 的解析式; (2)求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间和值域. 23.已知2sin ()cos(2)tan()(),sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=+⋅-+ (1)化简()f α; (2)若1(),8f α=且,42ππα<<求cos sin αα-的值; (3)求满足1()4f α≥的α的取值集合. 24.已知函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>.(1)若点5(,0)8π是函数()f x 图像的一个对称中心,且(0,1)ω∈,求函数()f x 在3[0,]4π上的值域; (2)若函数()f x 在(,)33π2π上单调递增,求实数ω的取值范围.25.已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈(1)若α为第三象限角,且3sin 5α=-,求()f α的值.(2)若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,且21()2()1cos g x f x x =++,求函数()g x 的最小值,并求出此时对应的x 的值.26.已知函数()3,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的单调递增区间和单调递减区间; (3)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求f (x )值域.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先根据函数图象求出函数()f x 的解析式,由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】 由图可知,1741234A T πππ==-=,, 所以T π=,即2ππω=,解得2ω=.当712x π=时,73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3k k Z πϕπ=+∈又2πϕ<,所以3πϕ=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将y x =的图象先向左平移3π个单位长度,得到)3y x π=+,.再将所得图象的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到())3f x x π=+. 故选:D 【点睛】易错点点睛:图象变换的两种方法的区别,由sin y x =的图象,利用图象变换作函数()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是ϕω个单位. 2.A解析:A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-,若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈,结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解:由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数,则52()62k k Z πππϕ-=+∈,即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>,所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选:A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;(2)求解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组),从而得到()f x 的解析式;(3)求函数解析式中参数的值:利用待定系数法求解,根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值; (4)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3.A解析:A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+,再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=(弧度/秒)那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+, 又三角函数的定义可知,点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭, 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选:A 【点睛】关键点点睛:本题的关键是理解三角函数的定义,并正确表示点23POx t ππ∠=+,即可表示函数的解析式.4.D解析:D 【分析】首先根据三角函数的性质,可知相邻对称轴间的距离是半个周期,判断A ;再求函数的解析式,判断B ;根据平移规律得到函数()g x ,判断C ;最后根据函数()g x 的解析式,利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期,所以周期是43π,故A 不正确; 243T ππω==,解得:32ω=,()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称,3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈,解得:5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-,故B 不正确; ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确; 当02x π≤≤时,3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时,函数单调递减,即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故D 正确. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式,第四个选项是关键,需根据整体代入的方法,先求33216x π-的范围,再确定函数的单调递减区间. 5.B解析:B 【分析】先建立坐标系,从点0P 开始计时,建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++,通过题中条件求出参数0,,,A b ωϕ,再利用函数解析式对选项依次判断正误即可. 【详解】以水面所在直线为t 轴,过O 作OO t '⊥轴,建立坐标系如图:设点P 距离水面的高度h (单位:m )与时间t (单位:s )的函数解析式为()0sin h A t b ωϕ=++.依题意可知, 2.4OO '=, 2.41sin 4.82OPO '∠==,6OPO π'∠=. 高度h 最大值为2.4 4.87.2+=,最小值为2.4 4.8 2.4-=-,故()()7.2 2.47.2 2.44.8, 2.422A b --+-====, 周期60T =s ,则230T ππω==, 0t =时,06πϕ=-,故函数解析式为 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,故B 正确;点P 到达最高点时 4.8sin 2.47.2306h t ππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭,即sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故2,3062t k k Z ππππ-=+∈,即2060,t k k Z =+∈,又0t ≥,故第一次到达最高点时,0,20k t ==s ,故A 错误;在筒车转动的一圈内,点P 距离水面的高度不低于4.8m ,即4.8sin 2.4 4.8306h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭,得1sin 3062t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故563066t ππππ≤-≤,解得1030t ≤≤,故共有20 s 时间,C 错误;当筒车转动50s 时,即50t =代入 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得,34.8sin 50 2.4 4.8sin 2.4 2.43062h πππ⎛⎫=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭,故点P 在水面下方,距离水面2.4m ,故D 错误. 故选:B. 【点睛】 关键点点睛:本题解题关键在于按照题意,建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++,并解出解析式,才能解决选项中的实际问题,突破难点.6.D解析:D 【分析】选项A 由()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈可判断;选项B ()f x 的对称轴满足:2,3x k k Z πππ+=+∈可判断;选项C 令12x π=,求得()cos02f x π==,可判断;选项D 由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈可判断.【详解】由函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 选项A. ()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈则1,212x k k Z ππ=+∈,当1k =-时,512x π=-,所以5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心,故A 正确; 选项B :()f x 的对称轴满足:2,3x k k Z πππ+=+∈即11,23x k k Z ππ=+∈,当3k =时,116x π=,故B 正确;选项C : ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭令12x π=,得ππcos 0122f π⎛⎫+== ⎪⎝⎭,故C 正确; 选项D :由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈, 当1k =时,536x ππ≤≤,所以()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,故D 错误, 故选:D . 【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题,解答本题的关键是将23x π+看成一个整体,令2,32x k k Z πππ+=+∈;2,3x k k Z πππ+=+∈和222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈,得出答案,属于中档题.7.D解析:D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误;利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误;利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项,因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 且01122ππ<-<<,则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭,A 选项错误; 对于B 选项,因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数,23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 3045πππ<<<,则3cos cos 54ππ<,即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,B 选项错误; 对于C 选项,当900x -<<时,正切函数tan y x =单调递增, 因为9052470-<-<-<,所以,()()tan 52tan 47-<-,C 选项错误;对于D 选项,因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,因为021018πππ-<-<-<,所以,sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,D 选项正确. 故选:D. 【点睛】思路点睛:解答比较函数值大小问题,常见的思路有两个: (1)判断各个数值所在的区间;(2)利用函数的单调性直接解答.8.D解析:D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式,再利用正弦函数的图像的对称性,求得12x x +的值,可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象;再向左平移3π个单位,所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若1x ,20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12x x ≠,则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, ()()12g x g x =,12223322x x πππ+++∴=,126x x π∴+=,则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律,正弦函数的对称性,属于中档题.9.C解析:C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律,得出结论. 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭,2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度,得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,故选C .【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律,属于基础题.10.D解析:D 【分析】对A ,由()sin tan f x x x =+在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断;对B ,由()cos tan f x x x =-在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断;对C ,由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断;对D ,由tan ()sin x f x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断. 【详解】A .设()sin tan f x x x =+,则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因为αβ>,所以()()f αf β>,所以sin tan sin tan ααββ+>+,所以sin sin tan tan αββα->-,所以A 对,不符合题意;B .设()cos tan f x x x =-,则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 因为αβ>,所以()()f f αβ<,所以cos tan cos tan ααββ-<-, 所以cos tan cos tan αββα+<+,所以B 对,不符合题意; C .设()sin tan f x x x =,因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数,且都单调递增, 所以()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因为αβ>,所以()()f αf β>, 所以sin tan sin tan ααββ>,所以sin tan sin tan αββα>,所以C 对,不符合题意; D .设tan ()sin x f x x =,则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 因为αβ>,所以()()f αf β>,所以tan tan sin sin αβαβ>, 所以tan sin tan sin αββα>,所以D 错,符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小,解题的关键是恰当构造函数,判断函数的单调性,利用单调性判断大小.11.A解析:A 【分析】由正切函数的图象性质,得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,可求出T ,然后由T πω=求出ω,然后再代点讨论满足题意的ϕ,即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ,得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=,即得1ω=±. 由2πϕ<,且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减,则可得1ω=-, ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈,因2πϕ<,可得6π=ϕ或3π-,当3πϕ=-时,()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈,得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈, 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭, 令1k =,由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄,得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减, 所以3πϕ=-不满足题意;当6π=ϕ时,()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈,得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈, 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭, 令1k =,由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭,得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以6π=ϕ满足题意;综上可得:6π=ϕ满足题意. 故选:A.【点睛】关键点睛:正切型函数的对称中心和单调性的问题,通常采用代入检验法,注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭,. 12.B解析:B 【分析】首先根据图象求函数的解析式,再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭, 即22ππωω=⇒=,当6x π=-时,22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭, 解得:2,3k k Z πϕπ=+∈,2πϕ<,3πϕ∴=,()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭, 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭, ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选:B 【点睛】方法点睛:本题考查函数的图象变换,以及()sin y A ωx φ=+的性质,属于中档题型,()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长(或缩短)到原来的1ω倍,得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+,若sin y A x ω=向右(或左)平移ϕ(0ϕ>)个单位,得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、填空题13.【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为:【点睛】关键点点睛:首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析:3-【分析】令tan ()a x g x =+,可知()g x 为奇函数,根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+,,2x k k Z ππ≠+∈,定义域关于原点对称,且()tan ()g x a x g x -=--=-, 所以()g x 为奇函数, 则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=, 所以(lg lg3)514g -=-=, 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-, 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-, 故答案为:3- 【点睛】关键点点睛:首先要观察出()f x中的部分tan ()a x g x =+为奇函数,其次要能利用换底公式,对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数,借助奇函数的性质求解.14.【分析】先求出由可求出利用单调性可得结合即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数因为所以因为函数在区间上是单调递增函数所以解得:因为所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是解析:60,5⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先求出()sin 12g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,利用单调性可得1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,结合0>ω即可求解.【详解】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()sin 12g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,因为02x π≤≤,所以5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭, 因为函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,所以1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得:665ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,因为0>ω,所以605ω<≤,故答案为:60,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是由x 的范围求出12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围,将12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间,即可得其满足的条件.15.【分析】根据条件易得函数是关于对称以2为周期的奇函数再根据时在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】因为是奇函数且所以即函数是关于对称以2为周期的奇函数又时在同一坐标系中作出函数的图象解析:742⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【分析】根据条件,易得函数()f x 是关于()1,0对称,以2为周期的奇函数,再根据(]0,1x ∈时,()21log f x x=,在同一坐标系中作出函数()y f x =,()sin y x π=的图象,利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 是奇函数,且()()20f x f x -+=,所以()()2f x f x -=-,即函数()f x 是关于()1,0对称,以2为周期的奇函数, 又(]0,1x ∈时,()21log f x x=, 在同一坐标系中作出函数()y f x =,()sin y x π=的图象如图所示:因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点, 所以函数()y f x =,()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点,由图知:实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭,, 故答案为:742⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【点睛】方法点睛:函数零点求参数范围问题:若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则构造两个函数,将问题转化为两个函数图象的交点问题求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.16.【解析】试题分析:将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点:两角和的正弦 解析:【解析】 试题分析:232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30222︒︒︒︒︒︒︒+=+=+==将非特殊角化为特殊角的和与差,是求三角函数值的一个有效方法. 考点:两角和的正弦17.③【分析】先根据对称轴及最小正周期求得函数的解析式再结合正弦函数的图象与性质判断点是否在函数图象上求得函数的单调区间及对称中心判断选项由平移变换求得变化后的解析式并对比即可【详解】函数的最小正周期是解析:③ 【分析】先根据对称轴及最小正周期,求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质,判断点是否在函数图象上,求得函数的单调区间及对称中心判断选项,由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.【详解】函数()()2sin 0,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π,所以22πωπ==,则()()2sin 2f x x ϕ=+,又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称, 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈,解得5,6k k Z πϕπ=-+∈, 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当1k =时, 6π=ϕ,则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于①,当0x =时,()02sin 16f π==,()f x 的图象不过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭,所以①不正确;对于②,()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 当0k =时,263x ππ≤≤,又因为126ππ<,则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以②错误;对于③,()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈,解得,122k x k Z ππ=-+∈,当1k =时,512x π=,所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心,所以③正确;对于④,将()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度,可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以不能得到2sin 2y x =的图象,所以④错误.综上可知,正确的为③. 故答案为: ③. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题. 18.【分析】结合函数图象由解得得到进而得到然后由函数图象过点求解【详解】由图可知:所以所以所以因为函数图象过点所以所以解得又因为解得故答案为:【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质还考查了数形结合的思 解析:9π10【分析】 结合函数图象由352244πππ=-=T ,解得52π=T ,得到45ω=,进而得到()45sin ϕ⎛⎫⎪=+⎝⎭f x x ,然后由函数图象过点()2,1π求解.【详解】 由图可知:352244πππ=-=T , 所以52π=T , 所以245πω==T , 所以()45sin ϕ⎛⎫⎪=+⎝⎭f x x , 因为函数图象过点()2,1π,所以sin 815πϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭+, 所以2825ππϕπ+=+k , 解得11210ϕππ=-k , 又因为π<ϕ,解得910πϕ=. 故答案为:9π10【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.19.【分析】由实数满足可得从而求出结果【详解】实数xy 满足且故答案为:【点睛】本题考查函数与方程的关系属于基础题解析:54【分析】由实数满足121log sin 303yx ⎛⎫+-=⎪⎝⎭可得sin 1,1x y ==-,从而求出结果【详解】实数x ,y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,且120sin 1,log sin 0x x <≤∴≥,121log sin 0,303yx ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭∴sin 1,1x y ==-,cos 0x ∴=,0cos 1421524414x y -=++=+= 故答案为:54【点睛】本题考查函数与方程的关系,属于基础题20.【分析】作出函数的图像结合图像可得即从而可得四个不同的实数根进而可得代入即可求解【详解】当时函数在区间和上是增函数在区间上是减函数的极大值为极小值为作出函数当时的图像如图函数函数是R 上的偶函数当时的 解析:2-【分析】作出函数()y f x =的图像,结合图像可得1m =,即1y =,从而可得四个不同的实数根,进而可得34πα=,代入即可求解. 【详解】当0x ≥时,函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数,在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数,()f x 的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π, 作出函数当0x ≥时的图像如图, 函数函数()y f x =是R 上的偶函数,∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称,故函数x ∈R 的图像如图所示,将()()f x m m R =∈进行平移,可得当1m =时, 两图像有且仅有四个不同的实数根, 令1y =,可得12,44x x ππ=-=,334x π=-,434x π=, 所以34πα=,3sin()cos cos 242ππαα∴+===-故答案为:2- 【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值,考查了数形结合的思想,属于中档题.三、解答题21.(1)1()sin(2)26f x x π=-;(2),,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)由有图像,根据最大值求A ,利用周期求ω,利用最高点的坐标求φ; (2)根据图像变换求出()g x 的解析式,然后求正弦型函数的单调区间. 【详解】(1)根据函数的图象得:1,42312A T πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故=2ω, 将1,32π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数的关系式,整理得22()32k k Z ππϕπ+=+∈, 由于0||2πϕ<<,所以6πϕ=-.故1()sin(2)26f x x π=-.(2)1()sin(2)26f x x π=-,将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半得 1sin(4)26y x π=-,再向左平移12π个单位长度,得到1()sin 4()2126g x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦1()sin(4)26g x x π=+.令242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈,整理得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数的单调递增区间为:,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】(1)求三角函数解析式的方法:①求A 通常用最大值或最小值;②求ω通常用周期;③求φ通常利用函数上的点带入即可求解;(2)关于三角函数图像平移伸缩变换:先平移的话,如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ;而先伸缩势必会改变ω大小,这时再平移要使相位改变值仍为ωa ,那么平移长度不等于a .(3)求y =Asin (ωx +φ)+B 的单调区间通常用“同增异减”. 22.(1)()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()f x 值域为⎡⎤⎣⎦. 【分析】(1)利用最高点与最低点坐标可求出A 和周期T ,由2T πω=可求得ω的值,再将点,28M π⎛⎫⎪⎝⎭代入即可求得ϕ的值,进而可得函数()f x 的解析式; (2)解不等式222242k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈,可得()f x 的单调的增区间,再与0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求交集即可得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间,利用单调性求出最值即得值域. 【详解】(1)因为()f x 图象上相邻两个最高点和最低点分别为,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭所以2A =,52882T πππ=-=,则T π=,又2||T πω=,0>ω,所以2ω=,()2sin(2)f x x ϕ=+, 又图象过点,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以22sin 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以242k ππϕπ+=+,k Z ∈,即24k πϕπ=+,k Z ∈.又||2ϕπ<,所以4πϕ=,所以()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (2)由222242k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈,得388k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈, 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x 的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 同理()f x 的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又(0)2sin 4f π==28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 值域为⎡⎤⎣⎦. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是由五点法作图的特点得出相邻两个最高点和最低点横坐标之差的绝对值为半个周期,纵坐标为振幅,利用峰点或谷点坐标求ϕ,利用整体代入法求()f x 的单调区间,利用单调性求最值.23.(1)()sin cos f ααα=;(2);(3)5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】(1)利用诱导公式化简,即可求出()f α; (2)结合(1)得1()sin cos 8f ααα==,利用同角三角函数的关系,结合α的范围,即可得答案;(3)由题意可得1sin 22α≥,利用三角函数的图像与性质,即可求得α的范围. 【详解】(1)2sin cos tan ()sin cos (sin )(tan )f αααααααα⋅⋅==--;(2)由(1)可得1()sin cos 8f ααα==,则23(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=, ,sin cos 42ππααα<<∴>,即cos sin 0αα-<cos sin αα∴-=; (3)由题意得11()sin cos sin 224f αααα==≥,1sin 22α∴≥, 5222,66k k k Z πππαπ∴+≤≤+∈,即5,1212k k k Z πππαπ+≤≤+∈, 所以α的取值集合为5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的关系、三角函数的图像与性质,考查分析理解,求值化简的能力,考查学生对基础知识的掌握程度,属基础题. 24.(1)[1,2]-; (2)1(0,]4. 【分析】 (1)由5·,46k k Z ππωπ+=∈,可得4156k ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,k Z ∈,结合()0,1ω∈,得23ω=,所以()42sin 22sin 636f x x x ππω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,利用正弦定理的单调性可得函数()f x 在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域;(2)令222,262k x k k Z ππππωπ-+≤+≤+∈,解得36k k x ππππωωωω-≤≤+,由函数()f x 在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,可得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,列不等式求解即可. 【详解】(1)由题意得:5·,46k k Z ππωπ+=∈,∴4156k ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,k Z ∈,∵()0,1ω∈,∴23ω=,∴()42sin 22sin 636f x x x ππω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴47,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,∴41sin ,1362x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 故函数()f x 在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.(2)令222,262k x k k Z ππππωπ-+≤+≤+∈,解得36k k x ππππωωωω-≤≤+,∵函数()f x 在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,∴002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0k Z ∈,∴0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩,即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩,又212·3322πππω-≤,∴302ω<≤,∴01566k -<≤,∴00k =, ∴104ω<≤,即ω的取值范围为10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象对称性,属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法:(1) 代换法:①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体,由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间,2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间;②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正,再利用①的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解;(2) 图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间. 25.(1) 34- (2) 函数()g x 的最小值为1,此时4x π= 【分析】(1)先化简函数解析式得()tan f x x =-,则由条件可得3tan 4α=,得出答案. (2)由条件可得()2tan 2tan 2g x x x =-+,则由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦,根据二次函数()222211y t t t =-+=-+即可得出答案. 【详解】 由已知有sin(3)sin(3)sin ()tan cos cos cos x x xf x x x x xππ---===-=-(1)若α为第三象限角,且3sin 5α=-,则4cos 5α=-,则3tan 4α= ()3tan 4f αα=-=-(2)()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x +=++=-+,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦ 即()222211y t t t =-+=-+,当1t =,即4x π= 时,有最小值1所以当4x π=时,函数()g x 有最小值1.【点睛】关键点睛:本题考查根据三角函数求值和将函数化为tan α的二次式求最值,解答本题的关键是由()()2222cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x +=++=-+将函数化为二次式,根据tan α⎡⎤⎣⎦∈求最小值,属于中档题.26.(1)23π;(2)单调递增区间为22,,34312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间为225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(3)⎡⎣. 【分析】 (1)由公式2T πω=求周期;(2)利用正弦函数的单调性求单调区间; (3)求出34x π+的范围,然后结合正弦函数的性质得值域.【详解】解:(1)由解析式得ω=3, 则函数的最小周期223T ππω==. (2)由232242k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z ,所以2234312k k x ππππ-≤≤+,k ∈Z , 即函数的单调递增区间为22,34312k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z , 由3232242k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z , 得225312312k k x ππππ+≤≤+,k ∈Z ,即函数的单调递减区间为225,312312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . (3)当x ∈[0,2π]时,73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则当3x +4π=2π时,函数f (x )取得最大值,此时f (x 2π=,当3x +342ππ=时,函数f (x )取得最小值,此时f (x 32π=即f (x )值域为[. 【点睛】关键点点睛:本题考查正弦型三角函数的性质.对于()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>,最小正周期为2T πω=,利用正弦函数sin y x =的性质,把x ωϕ+作为一个整体替换sin x 中的x ,可得()f x 的性质.。
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(新课标)2017-2018学年北师大版高中数学必修四第一章三角函数单元测试一、选择题.(每小题5分,共50分)1. 的值等于() A. B. C. D.2. 下列角中终边与 330° 相同的角是()A. 30°B. - 30°C. 630°D. - 630° 3. 函数y =++的值域是() A. {1}B. {1,3}C. {- 1}D. {- 1,3} 4. 如果= - 5,那么tan α的值为() A.-2 B. 2 C. D.- 5. 如果 sin α + cos α =,那么 sin 3α – cos 3α 的值为() A.B. -C. 或-D. 以上全错6. 若a 为常数,且a >1,0≤x ≤2π,则函数f (x )= cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为()A.B. C. D.7. 函数y = sin 的单调增区间是() A. ,k ∈Z B. ,k ∈Z C. ,k ∈Z D. ,k ∈Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 2121-2323-||x x sin sin x x cos cos ||||x x tan tan α α α α cos 5sin 3cos 2sin +-1623162343231282523128252312825231282512+a 12-a 12--a 2a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8π3π 8π3πk k ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++8π5π 8ππk k ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83ππ 8ππk k ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ,8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍;再将整个图象沿x 轴向左平移个单位;沿y 轴向下平移1个单位,得到函数y =sin x 的图象;则函数y = f (x )是() A. y = B. y = C. y = D. y =9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ),φ<的图象,那么()A. ω= ,φ =B. ω= ,φ = -C. ω= 2,φ =D. ω= 2,φ = - 10. 如果函数f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x <3时,函数f (x )的图象如图所示,那么不等式f (x )cos x <0的解集是()2π2112π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 12π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 14π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 14π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π11106π10116π6π6πA.∪(0,1)∪B.∪(0,1)∪C.(- 3,- 1)∪(0,1)∪(1,3)D.∪(0,1)∪(1,3)二、填空题. (每小题5分,共30分)11. 若,那么的值为.12. 若扇形的半径为R ,所对圆心角为,扇形的周长为定值c ,则这个扇形的最大面积为___.13. 若 sin θ =,cos θ =,则m =___. 14. 若 cos(75° + α)=,其中α为第三象限角,则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= ___. 15. 函数y = lg (sin x ) +的定义域为.16. 关于函数f (x )= 4 sin (x ∈R),有下列命题: ①函数y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x - π6); ②函数y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数;③函数y = f (x )的图象关于点对称; ④函数y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称. 其中正确的是___.三、解答题.(共70分)17. (12分)已知角α是第三象限角,2π 3⎪⎭⎫ ⎝⎛--, 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛, 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--, 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛, 2π 3⎪⎭⎫ ⎝⎛--,(cos )cos3f x x =(sin30)f ︒α53+-m m 524+-m m 31216x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π,求:(1)角是第几象限的角;(2)角2α终边的位置.18.(16分)(1)已知角α的终边经过点P (4,- 3),求2sin α + cos α的值;(2)已知角α的终边经过点P (4a ,- 3a )(a ≠0),求 2sin α + cos α的值;(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 : 4,求2sin α+ cos α的值.2α19. (12分)已知tan α,是关于x 的方程x 2 - kx + k 2 - 3 = 0的两实根, 且3π<α<π,求cos(3π+ α)- sin(π+ α)的值.20. (14分)已知0≤x ≤,求函数y = cos 2x - 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ). tan 1272π21. (16分)某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元.(1)试分别建立出厂价格、销售价格的模型,并分别求出函数解析式;(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,试写出该商品的月利润函数;(3) 求该商店月利润的最大值.参考答案一、选择题.1. A【解析】=. 2. B【解析】与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°,k ∈Z}. 当 k = - 1时,α = - 30°.3. D【解析】将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论,可知值域为{- 1,3}.4. D【解析】∵ sin α- 2cos α= - 5(3sin α+ 5cos α),∴ 16sin α = - 23cos α,∴ tan α= -. 5. C【解析】由已知易得 sin α cos α= -. ∴ |sin 3α- cos 3α| = |(sin α- cos α)(sin 2α+ cos 2α + sin α cos α)|= ∙ |1+ sin α cos α|= . ∴ sin 3α- cos 3α= ±. 6. B【解析】f (x )= 1 - sin 2x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x .令sin x = t ,∴t ∈[-1,1].∴f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2,t ∈[-1,1].∴当t = 1时,函数f (t )取最大值为2a - 1. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin 216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-1623327ααcos sin 21-128232512823257. D【解析】∵y = sin(- 2x )= - sin(2x -),∴+ 2k π ≤ 2x -≤+ 2k π, ∴+ k π ≤ x ≤+ k π. 8. B9. C10. B二、填空题.11. -1【解析】=12. . 【解析】设扇形面积为S ,弧长为l .∴S =lR = (c -2R )· R = -R 2 +cR .∴ 0<R <. 当R = 时,S max =. 13. 0或8;【解析】sin 2θ+cos 2θ= 1,∴ (m - 3)2 +(4 - 2m )2 =(m + 5)2,m = 0,或m = 8.14. . 【解析】cos(105º - α)+ sin(α- 105º)4π4π2π4π23π83π87π(sin30)f ︒()1180cos 603cos 60cos -==⨯= f 162c 212121 c - 2R >0, R >0,∵2c 4c 162c 3122-= - cos(75º + α)- sin(α + 75º).∵ 180º<α<270º,∴ 255º<α + 75º<345º.又 cos(α + 75º)=,∴ sin(α + 75º)= -. ∴原式 =. 15. [- 4,- π)∪(0,π).【解析】由已知得∴x ∈[- 4,- π)∪(0,π).16. ①③.【解析】①f (x )= 4sin = 4cos = 4cos = 4cos . ②T == π,最小正周期为π. ③∵ 2x += k π,当 k = 0时,x =, ∴函数f (x )关于点对称. ④ 2x += k π +,当x = -时,k =,与k ∈Z 矛盾. ∴①③正确.三、解答题.17.【解】(1)由2k π+ π<α<2k π+π,k ∈Z , 31232312223231-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x 22π3π6π-⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π,3π2π6π21-23 sin x >0 2k π<x <2k π + π, 16 - x 2≥0, -4≤x ≤4.∴得k π+<<k π+π,k ∈Z. 将整数k 分奇数和偶数进行讨论,易得角为第二象限或第四象限的角. (2)由2k π+ π<α<2k π+π,k ∈Z , 得4k π+ 2π<2α<4k π+ 3π,k ∈Z.∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.【解】(1)∵= 5,∴ sin α =,cos α =, ∴ 2sin α+ cos α=. (2)∵,∴当α>0时,∴r = 5a ,sin α=,cos α= ∴ 2sin α+ cos α=; 当a <0时,∴r = -5a ,sin α=,cos α= -, ∴ 2sin α+ cos α=. (3)当点P 在第一象限时, sin α=,cos α=,2sin α+ cos α= 2; 当点P 在第二象限时, sin α=,cos α=,2sin α+ cos α=; 当点P 在第三象限时,sin α=,cos α=,2sin α+ cos α= - 2; 当点P 在第四象限时,sin α=,cos α=,2sin α+ cos α=. 19.【解】由已知得 tan α= k 2 - 3=1, ∴k =±2.又∵ 3π<α<π,∴ tan α>0,>0. 2π2α432α2322y x r +=53-=r y 54=r x 525456-=+-a y x r 522=+=5353-=-a a 5452-5353=--a a 545253545354-5253-54-53-5452-αtan 127αtan 1∴ tan α+= k = 2>0 (k = -2舍去), ∴ tan α== 1, ∴ sin α= cos α= -, ∴ cos(3π +α)- sin(π +α)= sin α- cos α= 0.20.【解】y = cos 2x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2, 令 cos x = t ,∵ 0≤x ≤, ∴t ∈[0,1].∴原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2,t ∈[0,1].①当a <0 时,M (a ) = f (1) = 1 – 2a ,m (a ) = f (0) = 0. ②当 0≤a <时,M (a ) = f (1) = 1 – 2a ,m (a ) = f (a ) = –a 2. ③当≤a ≤1 时,M (a ) = f (0) = 0,m (a ) = f (a ) = –a 2. ④当a >1 时,M (a ) = f (0) = 0,m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 【解】分别令厂价格、销售价格的函数解析式为厂价格函数:,销售价格函数:, 由题意得:;,; ;; ∴; αtan 1αtan 1222π2121()11111sin b x A y ++=ϕω()22222sin b x A y ++=ϕω22281=-=A 226102=-=A 61=b 82=b ()83721=-⨯=T ()85922=-⨯=T 482221111πππϖϖπ===⇒=T T 482222222πππϖϖπ===⇒=T T 64sin 211+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 84sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y把x=3,y=8代入得 把x=5,y=10代入得 ∴; (2)、 = (3)、当时y 取到最大值, 64sin 211+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 41πϕ-=84sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y 432πϕ-=644sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y 8434sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-=m x m m x m m y y y 644sin 28434sin 212ππππm x m 244sin 4+⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ144sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-ππx ()m m m y 6214max =+-⨯-=。