2019版优化探究理数练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题含解析
第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题 (2)
(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个
交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的
焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
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第三课时 定点、定值、探索性问题 结束
解：(1)设 F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c2＝a2－b2.
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第三课时 定点、定值、探索性问题 结束
(2)证明：法一：由 AP·AQ＝0 知 AP⊥AQ，从而直线 AP 与坐标轴 不垂直，故可设直线 AP 的方程为 y＝kx＋1，直线 AQ 的方程为 y ＝－1kx＋1.
y＝kx＋1， 联立方程组x32＋y2＝1， 整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0， 解得 x＝0 或 x＝1－＋63kk2，故点 P 的坐标为1－＋63kk2，11－ ＋33kk22， 同理，点 Q 的坐标为k26＋k 3，kk22－ ＋33，
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第三课时 定点、定值、探索性问题 结束
解：(1)∵抛物线的焦点 F 满足FA＋FB＋FC ＝0， ∴ AF ＝FB＋FC ， 取 BC 边上的中点 M，连接 FM，则 AF ＝2FM ， 故点 F 在直线 l 上． 在 mx＋ny－m＝0 中，令 y＝0，得 x＝1， 得抛物线的焦点 F(1,0)，于是p2＝1，p＝2.
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第三课时 定点、定值、探索性问题 结束
∴直线 l 的斜率为kkk2226＋＋－k 333－－111－－＋＋6333kkkk222＝k24－k 1， ∴直线 l 的方程为 y＝k24－k 1x－k26＋k 3＋kk22－＋33， 即 y＝k24－k 1x－12. ∴直线 l 过定点0，－12.
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．直线 x ＋ 3y ＋ a ＝ 0(a 为实常数 )的倾斜角的大小是 ()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°分析：直线 x ＋ 3y ＋a ＝0(a 为实常数 )的斜率为－ 33 ，令其倾斜角为 θ，则 tan θ3＝－ 3 ，解得 θ＝ 150°，应选 D.答案： D2．假如 AB<0，且 BC<0，那么直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 不经过 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AC分析：直线 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 可化为 y ＝－ B x － B ，A C∵AB<0，BC<0，∴－ >0，－ >0.∴直线过第一、二、三象限，可是第四象限，故BB选 D.答案： D．直线2＋1)y ＋1＝0 的倾斜角的取值范围是 ( )3 x ＋(aπ 3πA ．[0，4]B ．[ 4 ，π)π π π π 3πC ．[0 ，4] ∪(2， π)D ．[4，2)∪[ 4 ，π)分析： 由直线方程可得该直线的斜率为－21，又－ 1≤－21<0，因此倾斜a ＋ 1a＋13π角的取值范围是 [ 4 ，π)．答案： B4．若方程 (2m 2＋ m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0 表示一条直线， 则参数 m 知足的条件是()。
2020年同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章第八节第三课时定点、定值、探索性问题Word版含解
课时作业A组一一基础对点练1已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x=- 2的距离小1，动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程；⑵若直线I : y= kx+ m(km<0)与曲线E相交于A, B两个不同点，且OA 0B= 5，证明：直线I经过一个定点.解析：(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x=- 1的距离,•••曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x=—1为准线的抛物线，设其方程为y2= 2px(p>0), • 2=1，• P = 2, •动点C的轨迹E的方程为/= 4x.(2)证明：设A(X1, y1), B(X2, y2),y= kx+ m, 2 2 22得k2x2+ (2km —4)x+ m2= 0,y = 4x，24 —2 km m--x1 + x2=k2, X1 X2=孑2T T 2 2 m2+ 4km•「OAOB = 5,「・x1x2 + y1y2 = (1 + k )x1x2+ km(x1 + X2)+ m= = 5,• m2+ 4km—5k2= 0,二m= k 或m=—5k.■/ km<0,「. m= k 舍去，• m=—5k,满足△= 16(1 —km)>0 ,•直线I的方程为y= k(x—5),•直线I必经过定点(5,0).2. (2018昆明市检测)已知点A, B的坐标分别为(一.2, 0), ( .2, 0)，直线AM , BM相交1于点M，且它们的斜率之积是一1点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；⑵过点F(1,0)作直线l交曲线E于P, Q两点，交y轴于R点，若RP=入PF, RQ= MF , 证明：入+ &为定值.解析：(1)设点M(x, y)，由已知得一y•-y= —T(x^ ± 2),x+# 2x—寸2 2' 八2化简得曲线E的方程：专+ y2= 1(X M 土. 2).⑵证明：设点P, Q, R的坐标分别为P(X1, %), Q(X2, y2), R(0, y o).由RP = A PF，得(X1, y1 —y°)= ^(1 —X1,—%),所以1+乃因为点P 在曲线E 上，所以*£)2+ (伞)2 = 1, 化简得艮+ 4入+ 2— 2y 0= 0①， 同理，由RQ =辺F ，可得x 2= L , Y 2= ~~ ,1+ 12 1+ ?2代入曲线E 的方程化简得 1 + 4 1+ 2 — 2y 2= 0②，由①②可知1, 1是方程x 2 + 4x + 2 — 2y 0= 0的两个实数根(少0), 所以1+1= — 4，即1+ 1为定值.3.在平面直角坐标系中，已知点 A(— .3, 0), BC.3, 0)，直线MA ,MB 交于点M ，它们的斜率之积为常数 m(m z 0),且厶MAB 的面积最大值为.3,设动点M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程； (2)过曲线E 外一点Q 作E 的两条切线l i , 12，若它们的斜率之积为一1,那么QA QB是否为 定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 解析：(1)设M(x , y),则由已知得2 2即 X3—3m =1(x *± 3). (*)① 当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时△ MAB 面积不存在最大值(不符合); ② 当m =— 1时，方程(*)表示圆，此时△ MAB 的面积最大值为3(不符合);③ 当m<0且m z — 1时，方程(*)为椭圆，此时△ MAB 的面积最大值为〔3,所以m = — 1.32此时所求的方程为 x + y 2= 1(x z ± 3).⑵设Q (X 0, y °)，过点Q 的切线I 为y = k(x — X 0)+ y 0, y = k x — X 0 + y , 由x 22消去y 得3 + y =1,222(1 + 3k )x + 6k(y °— kx °)x + 3(y °— kx °) — 3= 0,则△= 36k 2(y 0— kx 。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析
x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析： 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)． 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)． 答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，
定点、定值、探索性问题
第三课时定点、定值、探索性问题A组基础巩固一、选择题1．(2021·北京延庆统测)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于Q，若|PF|＝3，则线段PQ的长为(C)A．2B．2C．22D．32[解析]抛物线的准线方程为x＝－1，由于|PF|＝3，根据抛物线的定义可知x P＝2，将x P＝2代入抛物线方程得y2P＝8，y P＝±22，所以|PQ|＝2 2.故选C．2．(2021·云南文山州质检)已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段AP的中点为E，直线QE交x轴于M(1,0)，则双曲线的离心率为(D)A．5B．5 3C．10D．10 3[解析]由已知得M为△APQ的重心，∴a＝3|OM|＝3，又b＝1，∴c＝a2＋b2＝10，即e＝ca＝103，故选D．3．(2021·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为(D)A．2B．3C．2D．52[解析]椭圆离心率e1＝ca＝32，∴e21＝1－b2a2＝34，即b2a2＝14，∴双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2＝52.故选D．4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝( A )A ．4B ．23C ．2D ．3[解析] 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，不妨设点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，所以在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos∠F 1PF 2，即4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，两边同除以c 2，得3e 21＋1e 22＝4.故选A ．5．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( A )A ．(－3,0)B ．(0，－3)C ．(3,0)D ．(0,3)[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．6．(2021·安徽皖江名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为P ，任意一条平行于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，总有P A ⊥PB ，则双曲线C 的离心率为( A )A ．2B ．3C ．62D ．233[解析] 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，则y 20＝b2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，又P (a,0)，P A →＝(x 0－a ，y 0)，PB →＝(－x 0－a ，y 0)，由已知P A ⊥PB ，则P A →·PB →＝－x 20＋a 2＋y 20＝0，即(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝0，对于x 0≥a 或x 0≤－a 恒成立，故a 2＝b 2，即a ＝b ，所以e ＝1＋b 2a2＝ 2.故选A ． 7．(2021·河南洛阳期中)已知F 1F 2是双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，则△ABF 2的内切圆的半径为( B )A ．23B ．33C ．223D ．233[解析] 由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 当x ＝－3时，y ＝±22， ∴|AB |＝2，∴|AF |＝|BF |＝522， ∴l △ABF ＝62，S △ABF ＝6，∴所求内切圆半径r ＝2S △ABF l △ABF＝33.故选B ．8．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在两点M 、N 关于直线2x －3y －1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( B )A ．13B ．33C ．23D ．223[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减可得 (x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵线段MN 中点的纵坐标为23，∴2x －3×23－1＝0，解得x ＝32，于是－32＝－b 2a 2·94，解得b 2a 2＝23，∴椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝33，故选B ． (或直接利用性质k MN ·k OP ＝－b 2a2，其中P 为线段MN 的中点)．9．(2021·福建莆田质检)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( A )A ．8B ．9C ．11D ．16[解析] 过A 作准线的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AH |， 又AF →＝FP →，∴|AH |＝12|AP |，∴k AP ＝33，又F ⎝⎛⎭⎫0，32， ∴AB 的方程为y ＝33x ＋32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋32x 2＝6y，得y 2－5y ＋94＝0，∴y A ＋y B ＝5， ∴|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝5＋3＝8，故选A ．10．(2021·山东青岛调研)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点F 1(－3，0)和F 2(3，0)连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝k (x －2)与E 交于A ，B两点，则下列结论中正确的个数为( B )①E 的方程为x 23－y 2＝1(x ≠±3)②E 的离心率为3③E 的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切 ④满足|AB |＝23的直线l 仅有1条 A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设点P (x ，y )，由已知得y x ＋3·y x －3＝13，整理得x 23－y 2＝1，所以点P 的轨迹为曲线E 的方程为x 23－y 2＝1(x ≠±3)，故①正确；又离心率e ＝23＝233，故②不正确；圆(x－2)2＋y 2＝1的圆心(2,0)到曲线E 的渐近线为y ＝±33x 的距离为d ＝212＋(±3)2＝1，又圆(x －2)2＋y 2＝1的半径为1，故③正确；∵(2,0)为双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，且x ＝2时，y ＝±33，∴过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为233，又两顶点间距离为23，∴满足|AB |＝23的直线有3条，故④错．故选B ．二、填空题11．(2021·华东师大附中期中)若点Q (4,1)是抛物线y 2＝8x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为__4x －y ＋15＝0__.[解析] 解法一：点差法，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝82＝4，所以直线AB 的方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y ＋15＝0.解法二：斜率法：设直线AB 的方程为y －1＝k (x －4)， 代入y 2＝8x ，得(kx )2－(8k 2－2k ＋8)x ＋(1－4k )2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (4,1)， 所以x 1＋x 2＝8k 2－2k ＋8k 2＝8，解得k ＝4，所以直线AB 的方程为4x －y ＋15＝0.12．(2021·山西重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为__3__.[解析] 由题意知，e ＝ca＝1＋b 2a2＝2⇒b 2＝3a 2， 则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )(x ≠±m )，则B (－m ，－n )， k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.13．(2021·河北石家庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△P AB 为等腰三角形，∠P AB ＝120°[解析] 如图所示：过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ．因为△P AB 为等腰三角形，所以|P A |＝|AB |＝2a ， 又因为∠P AB ＝120°，所以∠P AD ＝60°.|PD |＝|P A |·sin 60°＝3a ，|AD |＝|P A |·cos 60°＝a ，故P (－2a ，3a )． 因为点P (－2a ，3a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以4a 2a 2－3a 2b 2＝1，即a 2b2＝1.e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝ 2. 故答案为2 三、解答题14．(2021·河北唐山质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：x ＝ty＋1交E 于A ，B 两点；当t ＝0时，|AB |＝263. (1)求E 的方程；(2)设A 在直线x ＝3上的射影为D ，证明：直线BD 过定点，并求定点坐标． [解析] (1)由题意得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23， 整理得a 2＝3b 2， 由t ＝0时，|AB |＝263得1a 2＋23b 2＝1， 因此a ＝3，b ＝1.故E 的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (3，y 1)，将x ＝ty ＋1代入x 23＋y 2＝1得(t 2＋3)y 2＋2ty －2＝0，y 1＋y 2＝－2t t 2＋3，y 1·y 2＝－2t 2＋3，从而ty 1·y 2＝y 1＋y 2.①直线BD ：y ＝y 2－y 1x 2－3(x －3)＋y 1，设直线BD 与x 轴的交点为(x 0,0)， 则y 2－y 1x 2－3(x 0－3)＋y 1＝0， 所以x 0＝y 1(3－x 2)y 2－y 1＋3＝y 1(2－ty 2)y 2－y 1＋3＝2y 1－ty 1y 2y 2－y 1＋3，将①式代入上式可得x 0＝2， 故直线BD 过定点(2,0)．15．(2021·山西运城调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长是6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过椭圆的右焦点F 2且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆C 的焦距为2c (c >0)， 由椭圆的定义知△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ， 所以2a ＋2c ＝6，①又因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，②联立①②解得a ＝2，c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝3， 所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)若存在满足条件的点Q (t,0)．当直线l 的斜率k 存在时，设y ＝k (x －1)， 联立x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∵k QM ＋k QN ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝2kx 1x 2－k (1＋t )(x 1＋x 2)＋2ktx 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝k ·8k 2－243＋4k 2－8k 2(1＋t )3＋4k 2＋2t4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2t ＋t 2＝k ·8k 2－24－8k 2(1＋t )＋2t (3＋4k 2)4k 2－12－8k 2t ＋t 2(3＋4k 2)＝6k (t －4)4(t －1)2k 2＋3t 2－12∴要使对任意实数k ，k QM ＋k QN 为定值，则只有t ＝4，此时，k QM ＋k QN ＝0. 当直线l 与x 轴垂直时，若t ＝4，也有k QM ＋k QN ＝0.故在x 轴上存在点Q (4,0)，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.B 组能力提升1．(2021·吉林长春模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2,1)，则双曲线E 的离心率为( B )A ．2B ．3C ．2D ．5[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入双曲线方程作差有(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，有b 2a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2，所以c 2a2＝3，e ＝3，故选B ． 2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( A )A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1[解析] 椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选A ．事实上，设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，解得e ＝5＋12. 3．(2021·陕西省渭南市模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( B )A ．12B ．22C ．32D ．233[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝－1，A (－1,0)，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连接P A ，|PF ||P A |＝|PN ||P A |最小⇔∠NAP 最小⇔∠P AF 最大⇔P A 与抛物线y 2＝4x 相切． 设P A 的方程为：y ＝k (x ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x，解得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1， 所以∠NP A ＝45°，|PF ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B ． 4．(2021·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是__(9,0)__．[解析] 设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)． 5．(2021·山东质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点F 1，F 2为等腰直角三角形的三个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点．若直线P A 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点．[解析] (1)由题意4a 2＋1b 2＝1，b ＝c ，结合a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3， ∴椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明：①当直线l 斜率不存在时， 设直线l ：x ＝m ，A (m ，y m )，B (m ，－y m )，k P A ·k PB ＝y m －1m －2·－y m －1m －2＝1，解得m ＝2(舍)或m ＝6(舍)，故不满足． ②当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋t ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t x 26＋y 23＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－6＝0. Δ＝8(6k 2－t 2＋3)>0，x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2t 2－62k 2＋1.①则k P A ·k PB ＝y 1－1x 1－2·y 2－1x 2－2＝y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝1， ∴(k 2－1)x 1x 2＋(tk －k ＋2)(x 1＋x 2)＋t 2－2t －3＝0， 将①代入上式可得12k 2＋8kt ＋t 2＋2t －3＝0， ∴(2k ＋t －1)·(6k ＋t ＋3)＝0， 若2k ＋t －1＝0，t ＝1－2k ， 直线l 经过P 点与已知矛盾， 若6k ＋t ＋3＝0，t ＝－3－6k ，Δ＝－48(5k 2＋6k ＋1)存在k 使得Δ>0成立． ∴直线l 的方程为y ＝k (x －6)－3， 故直线l 过定点(6，－3)．6．(2021·广东汕头模拟)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，F (0,1)，N (t ，－1)(t ∈R )，已知△MFN 是以FN 为底边，且边MN 平行于y 轴的等腰三角形．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知直线l 交x 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB ∥y 轴，点P 关于点B 的对称点为点Q ，试判断点A 、Q 、O 三点是否共线，并说明理由．[解析] (1)设动点M (x ，y )，因为MN ∥y 轴， 所以MN 与直线y ＝－1垂直，则|MN |＝|y ＋1|， ∵△MFN 是以FN 为底边的等腰直角三角形， 故|MN |＝|MF |，即x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，即x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简得x 2＝4y .因为当点M 为坐标原点时，M 、F 、N 三点共线，无法构成三角形，第 11 页 共 11 页 因此，动点M 的轨迹C 的方程为x 2＝4y (y ≠0)；(2)A 、Q 、O 三点共线，理由如下：因为直线l 与曲线C 相切，所以直线l 的斜率必存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx ＋m ，消y 得x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m ＝0，得m ＝－k 2. 所以，直线l 的方程为y ＝kx －k 2，令y ＝0，得x ＝k ，则点P ()k ，0，∴B ⎝⎛⎭⎫k ，k 24，故Q ⎝⎛⎭⎫k ，k 22， 又由x 2－4kx ＋4k 2＝0，得x ＝2k ，则点A (2k ，k 2)，∵k AO ＝k 22k ＝k 2，k OQ ＝k 22k ＝k 2，∴k AO ＝k OQ ， 因此，A 、Q 、O 三点共线．。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第九节 第二课时 最值、范围、证明问题
课时作业 A 组——基础对点练1、已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值、 解析：(1)由题意，得⎩⎨⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立、 所以，h 的最小值为1.2、已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点、 (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程、解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上、 (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值、解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知， y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x＝y 14，从而有4y 2－x ＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程、(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20，从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4，令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )， 当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增， 当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334.4、(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围、 解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ， 则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点、 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1、(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值、解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p ， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由y ＝x 24，得y ′＝x2.所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)、所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1，当且仅当k ＝0时取等号、所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)、 (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围、解析：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)、 由已知得：a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)、整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)、3、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围、解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )、 由已知，有(kck 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )、 由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y＝t(x＋1)，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23(x＋1)2>2，解得－32<x<－1，或－1<x<0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－2 3.①当x∈(－32，－1)时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝2x2－23，得m∈(23，233)、②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0.因此m<0，于是m＝－2x2－2 3，得m∈(－∞，－233)、综上，直线OP的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)、4、已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A 作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上、(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于另一点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论、解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)， 记AM 的中点为D ，则D (0，y2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)、 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0， 所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)，所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)、 (2)⊙B 与直线MN 相切、证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12.联立，得⎩⎨⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0，由Δ＝0，可得k ＝2y 2，所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22.【北师大版】2019版同步优化探究理数练习11 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切、。
2019版优化探究文数练习：第八章第八节第三课时定点、定值、探索性问题含解析
→ → (2)若点 M，N 为 C 上的两个动点，求常数 m，使OM·ON＝m 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，求这个定值． c2＝a2－b2， 解析：(1)依题意知 bc＝ 3， c 1 ＝ ， a 2 解得 a＝2， b＝ 3，
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 3 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＋y1y2＝m， 当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋n，则点 O 到直线 MN 的距离 d＝ 联立，得 3x2＋4y2＝12， y＝kx＋n， 消去 y， |n| k ＋1
∴x1＋x2＝
4－2km m2 ，x1·x2＝ 2 . 2 k k
m2＋4km → → ∵OA·OB＝5，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ ＝5， k2 ∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k 或 m＝－5k. ∵km<0，∴m＝k 舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－5)， ∴直线 l 必经过定点(5,0)． 2．(2018·昆明市检测)已知点 A，B 的坐标分别为(－ 2，0)，( 2，0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜 1 率之积是－ ，点 M 的轨迹为曲线 E. 2 (1)求曲线 E 的方程； → → → → (2)过点 F(1,0)作直线 l 交曲线 E 于 P，Q 两点，交 y 轴于 R 点，若RP＝λ1PF，RQ＝λ2QF，证明：λ1＋λ2 为定值． y y 1 解析：(1)设点 M(x，y)，由已知得 · ＝－ (x≠± 2)， 2 x＋ 2 x－ 2 x2 化简得曲线 E 的方程： ＋y2＝1(x≠± 2)． 2 (2)证明：设点 P，Q，R 的坐标分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)． → → 由RP＝λ1PF，得(x1，y1－y0)＝λ1(1－x1，－y1)， 所以 x1＝ λ1 y0 ，y1＝ ， 1＋λ1 1＋λ1
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 Word版含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程． (2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334. 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1. (2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2 12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎨⎧ Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )． 由|FM |＝ (c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x＋1)2＝6，又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0， 因此m >0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0.因此m <0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)． 综上，直线OP 的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)． 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y 2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)． 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)， 所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0， 由Δ＝0，可得k ＝2y 2， 所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22. 联立，得⎩⎨⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。
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得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0， 由Δ>0 得 4k2－n2＋3>0，则 x1＋x2＝ －8kn 4n2－12 x ， ， 1x2＝ 4k2＋3 4k2＋3
所以 x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m， 整理得 m4k2＋3 7n2 12 . ＝ ＋ k2＋1 k2＋1 n2 为常数，则 m＝0，d＝ k2＋1 12 2 21 ＝ ， 7 7
课时作业 A 组——基础对点练 1．已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x＝－2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E. (1)求曲线 E 的方程； → → (2)若直线 l：y＝kx＋m(km<0)与曲线 E 相交于 A，B 两个不同点，且OA·OB＝5，证明：直线 l 经过一个定点． 解析：(1)由题意可得动点 C 到点 F(1,0)的距离等于到直线 x＝－1 的距离， ∴曲线 E 是以点(1,0)为焦点，直线 x＝－1 为准线的抛物线， p 设其方程为 y2＝2px(p>0)，∴ ＝1，∴p＝2， 2 ∴动点 C 的轨迹 E 的方程为 y2＝4x. (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y＝kx＋m， y2＝4x， 得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 3 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＋y1y2＝m， 当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ kx ＋ n ，则点 O 到直线 MN 的距离 d ＝ n2 ， k2＋1 联立，得 3x2＋4y2＝12， y＝kx＋n， 消去 y， |n | ＝ k2＋1
1－y2 0 2 ＝－1，则 x2 0＋y0＝4(x0≠± 3)， 3－x2 0
→ → 1 → → 所以|OQ|＝2，于是QA·QB＝ [(2QO)2－AB2]＝1. 4 x2 y2 1 4．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的焦点为 F1，F2，离心率为 ，点 P 为其上一动点，且三角形 a b 2 PF1F2 的面积最大值为 3，O 为坐标原点． (1)求椭圆 C 的方程； → → (2)若点 M，N 为 C 上的两个动点，求常数 m，使OM·ON＝m 时，点 O 到直线 MN 的距离为定 值，求这个定值． c2＝a2－b2， 解析：(1)依题意知 bc＝ 3， c 1 ＝ ， a 2 解得 a＝2， b＝ 3，
2 化简得λ2 1＋4λ1＋2－2y0＝0
①，
λ2 y0 → → 同理，由RQ＝λ2QF，可得 x2＝ ，y2＝ ， 1＋λ2 1＋λ2
2 代入曲线 E 的方程化简得λ2 2＋4λ2＋2－2y0＝0
②，
由①②可知λ1，λ2 是方程 x2＋4x＋2－2y2 0＝0 的两个实数根(Δ>0)， 所以λ1＋λ2＝－4，即λ1＋λ2 为定值． 3．在平面直角坐标系中，已知点 A(－ 3，0)，B( 3，0)，直线 MA，MB 交于点 M，它们的斜 率之积为常数 m(m≠0)，且△MAB 的面积最大值为 3，设动点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； → → (2)过曲线 E 外一点 Q 作 E 的两条切线 l1， l2， 若它们的斜率之积为－1， 那么QA·QB是否为定值？ 若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 解析：(1)设 M(x，y)，则由已知得 y y · ＝m，即 y2＝m(x2－3)， x＋ 3 x－ 3 x2 y2 即 － ＝1(x≠± 3)．(*) 3 3m ①当 m>0 时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB 面积不存在最大值(不符合)； ②当 m＝－1 时，方程(*)表示圆，此时△MAB 的面积最大值为 3(不符合)； 1 ③当 m<0 且 m≠－1 时，方程(*)为椭圆，此时△MAB 的面积最大值为 3，所以 m＝－ . 3 x2 此时所求的方程为 ＋y2＝1(x≠± 3)． 3 (2)设 Q(x0，y0)，过点 Q 的切线 l 为 y＝k(x－x0)＋y0， y＝kx－x0＋y0， 由 x2＋y2＝1， 3 消去 y 得
∴x1＋x2＝
4－2km m2 ， x . 1·x2＝ k2 k2
m2＋4km → → ∵OA·OB＝5，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝ ＝5， k2 ∴m2＋4km－5k2＝0，∴m＝k 或 m＝－5k. ∵km<0，∴m＝k 舍去，∴m＝－5k，满足Δ＝16(1－km)>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－5)， ∴直线 l 必经过定点(5,0)． 2．(2018·昆明市检测)已知点 A，B 的坐标分别为(－ 2，0)，( 2，0)，直线 AM，BM 相交于点 1 M，且它们的斜率之积是－ ，点 M 的轨迹为曲线 E. 2 (1)求曲线 E 的方程； → → → → (2)过点 F(1,0)作直线 l 交曲线 E 于 P，Q 两点，交 y 轴于 R 点，若RP＝λ1PF，RQ＝λ2QF，证明： λ1＋λ2 为定值． 解析：(1)设点 M(x，y)，由已知得 y y 1 · ＝－ (x≠± 2)， 2 x＋ 2 x－ 2
x2 化简得曲线 E 的方程： ＋y2＝1(x≠± 2)． 2 (2)证明：设点 P，Q，R 的坐标分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)．
→ → 由RP＝λ1PF，得(x1，y1－y0)＝λ1(1－x1，－y1)， 所以 x1＝ λ1 y0 ，y1＝ ， 1＋λ1 1＋λ1
y0 2 1 λ1 2 因为点 P 在曲线 E 上，所以 ( ) ＋( ) ＝1， 2 1＋λ1 1＋λ1
(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0， 则Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k)2·3[(y－kx0)2－1]＝0，
2 2 化简(3－x2 0)k ＋2x0y0k＋1－y0＝0，
于是 k1·k2＝ 则
1－y2 0 ，由已知斜率之积为－1， 3－x2 0