【精品】2017年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣22．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q3．（5分）已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）4．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣25．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．27．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）9．（5分）双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（）A．4 B．C．2 D．410．（5分）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．212．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的条件14．（5分）已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是．15．（5分）给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（10分）根据下列条件，求曲线的标准方程（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．18．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．19．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C 的中点，AD=AA1，AB=2AD（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．20．（12分）已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，（1）求直线l的方程（2）求直线l被椭圆截得的弦长．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角B﹣DC﹣B 1的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p；∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x≤2 B．∃x0∈R，x0＜2 C．∀x∈R，x≤﹣2 D．∃x0∈R，x0＜﹣2【解答】解：命题是全称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，x0＜2，故选：B．2．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．3．（5分）已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（）A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣）C．（0，3）（0，﹣3）D．（3，0），（﹣3，0）【解答】解：根据题意，椭圆标准方程x2+=1，则其焦点在y轴上，且c==3，则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），故选：C．4．（5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2【解答】解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），，∴，∴x2﹣4x﹣12=0∴x=6，x=﹣2故选：D．5．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【解答】解：∵若命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．命题p是假命题，则¬p是真命题，说明方程x2+ax+a≥0恒成立，∴△=a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，故选：A．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由得b=2a，，．故选：A．7．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）【解答】解：设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，∴，取x=1，解得y=﹣2，z=2．∴=（1，﹣2，2）．故选：C．9．（5分）双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（）A．4 B．C．2 D．4【解答】解：由题意，抛物线的y2=8x的焦点是（2，0），所以a=2∵双曲线离心率等于2，∴c=4∴双曲线E的虚轴长2b=2=4．故选：C．10．（5分）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，∵=2x+3y+3z，=﹣，∴2x=1，3y=1，3z=﹣1，∴x=，y=，z=，∴x+y+z=，故选：D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选：C．12．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|=2a，|MF1|﹣|MF2|=2a1，所以|MF1|=a+a1，|MF2|=a﹣a1．因为∠F1MF2=90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q为真命题，q⇒p为假命题，故┐p⇒┐q为假命题，┐q⇒┐p为真命题故┐p是┐q的必要不充分条件故答案为：必要不充分14．（5分）已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是1．【解答】解：∵直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），l⊥m，∴=﹣1+t=0，解得t=1．故答案为：1．15．（5分）给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（10分）根据下列条件，求曲线的标准方程（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，a=2，c=4，b=2，∴双曲线的标准方程是﹣=1；（2）当对称轴为x轴，则焦点坐标为（2，0），即p=4．故抛物线方程为y2=8x．当对称轴为y轴，则焦点坐标为（0，﹣3），即p=6．故抛物线方程为x2=﹣12y．综上，所求抛物线的方程为y2=8x或x2=﹣12y．18．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．19．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C 的中点，AD=AA1，AB=2AD（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．∵DC⊥平面ADD1A1，∴=（0，2，0），就是平面ADD1A1的一个法向量．，∴，∴=0，∴，∴．（2）设平面DMN的一个法向量为．∴，∴．取=．∴s inθ==．所以直线DA与平面ADD1A1，所成角的正弦位值是．20．（12分）已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，（1）求直线l的方程（2）求直线l被椭圆截得的弦长．【解答】解：（1）设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣4），交点A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8k（2﹣4k）x+4（2﹣4k）2﹣36=0．（*）∴x1+x2==8，解得k=﹣∴直线l的方程为：x+2y﹣8=0．（2）把k=﹣代入方程（*）可得：x2﹣8x+14=0，∴x1+x2=8，x1x2=14．∴|AB|===．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角B﹣DC﹣B 1的余弦值．【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），D．∵，∴，即AC⊥BC1．（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），，∴，即DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（3）解：=，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．取平面CDB的一个法向量为，则===．由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．【解答】（Ⅰ）解：由题意得⇒a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为：；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．，由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∵=，∴，即．∴，即2m2﹣4k2=3．∵==．又O点到直线y=kx+m的距离d=，∴===为定值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。