高中一轮复习课件-第四章 4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

方法二 同方法一得 f(x)的周期 T＝23π，所以 f －π6＝f －π6＋23π＝f π2＝－32.
3.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则 y＝f x＋π6 取得最小值时 x 的集合为__x__x_＝__k_π_－__π3_，__k_∈__Z___.
4.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为 __y＝__1__0_si_n_π8_x_＋__3_4π__＋__2_0_，__x_∈__[6_,_1_4_]__.
解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期， 所以 A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20， 又12×2ωπ＝14－6，所以 ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以 φ＝34π， 所以 y＝10sinπ8x＋34π＋20，x∈[6,14].
方法二 同方法一知，T＝π，
又由图象可知当 x＝π3－π2＝－π6时，f(x)取最小值.
∴y＝f(x)取得最小值时 x 的集合为xx＝kπ－π6
k∈Z，
∴y＝f x＋π6取得最小值时 x 的集合为xx＝kπ－π3
k∈Z.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是 在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
对应的函数解析式为y＝sin
1 2x .(
×
)
1，所得图象 2
题组二 教材改编
2.为了得到函数y＝2sin2x－3π 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向_右___ π
平移__6__个单位长度.(答案不唯一)
3.函数 y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为__2_，__41_π_，__－__π3__.
思维升华
SI WEI SHENG HUA
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ ωx＋φ计算五点坐标. (2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
跟踪训练 1 (1)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图象，可以将函数 y＝
因为f (x＋m)－f (m－x)＝0，即f (x＋m)＝f (m－x)，
所以 x＝m 是函数的一条对称轴，当 k＝0 时，m 的最小正值为 m＝1π2.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是 π， 且当 x＝6π时，f(x)取得最大值 2. (1)求f (x)的解析式；
引申探究1
若将本例中函数f
(x)的图象向左平移
π 3
个单位长度，把所有点的横坐标伸长到
原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝_2_s_in__x_＋__56_π_ _.
解析 f (x)的图象向左平移π3个单位长度后得 y＝2sin2x＋π3＋π6＝2sin2x＋56π 的图象， 再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得 g(x)＝2sinx＋56π的图象， 即 g(x)＝2sinx＋56π.
解 因为 x∈[0，π]，所以 2x＋π6∈π6，136π. 列表如下：
2x＋6π
ππ 62
π
3π 2
2π
13π 6
x
0
π 6
5π 12
2π 3
11π 12
π
f (x) 1 2 0 －2 0
1
描点、连线得图象：
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 将 y＝sin x 的图象上的所有点向左平移6π个单位长度， 得到函数 y＝sinx＋6π的图象， 再将 y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)， 得到函数 y＝sin2x＋π6的图象， 再将 y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长 2 倍(横坐标不变)， 得到 f(x)＝2sin2x＋π6的图象.
高中数学一轮复习
大一轮复习讲义
§4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及应用
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)， x≥0
振幅 A
周期
2π T＝_ω__
频率
相位
f＝1＝ ω ωx＋φ T 2π
初相 φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个 特征点
解 因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当 x＝π6时，f(x)取得最大值 2. 所以A＝2， 同时 2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z， 因为－π2<φ<π2，所以 φ＝π6，所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
－π2
<φ<2π的部分图象如图所示，则 ω＝_2__，
φ＝_－__π3__.
解析 设f(x)的最小正周期为T， 由题中图象可知34T＝51π2－－π3得 T＝π， 则 ω＝2Tπ＝2ππ＝2，又图象过点51π2，2， 则 f 51π2＝2，即 2sin56π＋φ＝2，则 sin56π＋φ＝1. ∵－π2<φ<π2，∴π3<φ＋56π<43π， ∴56π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.
的图象向右平移
π 2
个单位长度得到.(
√
)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可以得到函数y＝
sin(ωx－φ)的图象.( × )
(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称
中心之间的距离为 T 2
.(
√
)
(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
结合选项，只有A符合，故选A.
(3)已知函数 f(x)＝sinωx＋6π(0<ω<2)满足条件 f －12＝0，为了得到函数 y＝f(x) 的图象，可将函数 g(x)＝cos ωx 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度，则 m 的
最小值为
√A.1
1 B.2
π
π
C.6 D.2
解析 由题意得 sin－21ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝kπ(k∈Z)， 则 ω＝π3－2kπ(k∈Z)，结合 0<ω<2，
6.(多选)将函数 f(x)＝sin2x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则
√A.g(x)在0，π2上的最小值为－
3 2
B.g(x)在0，π2上的最小值为－1
C.g(x)在0，π2上的最大值为
3 2
√D.g(x)在0，π2上的最大值为 1
解析 将函数 f(x)＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数 g(x)＝sin2x＋π3， ∵x∈0，π2，∴π3≤2x＋π3≤43π，
2cos 3x 的图象 A.向右平移4π个单位长度
√C.向右平移1π2个单位长度
B.向左平移4π个单位长度 D.向左平移1π2个单位长度
解析 因为 y＝sin 3x＋cos 3x＝ 2cos3x－π4＝ 2cos 3x－1π2， 所以将函数 y＝ 2cos 3x 的图象向右平移1π2个单位长度后， 可得到 y＝ 2cos3x－π4的图象，故选 C.
∴－ 23≤sin2x＋3π≤1.
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<2π 的部分图象如图所示，则使
π f (x＋m)－f (m－x)＝0成立的m的最小正值为__1_2__.
解析 由函数图象可知 A＝1，又T4＝71π2－π3＝π4，T＝π， 所以 ω＝2Tπ＝2，因为函数图象过点π3，0，代入解析式可知 sin23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<π2，所以23π＋φ＝π，φ＝π3，所以函数解析式为 f(x)＝sin2x＋3π， 由 2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，可得其对称轴 x＝k2π＋1π2，k∈Z.
(2)将函数 y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
再向左平移π6个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为
√A.x＝π2
B.x＝π8 C.x＝π9
D.x＝π
解析 将函数 y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变)时，得到函数 y＝cosx2－π3的图象； 再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后， 得到函数 y＝cos12x＋π6－π3＝cos2x－4π的图象， 该函数图象的对称轴满足2x－π4＝kπ(k∈Z)， 即 x＝2kπ＋π2(k∈Z).
x
0－φ
ω
ωx＋φ
0
y＝Asin(ωx＋φ)
0
π 2
－φ
ω
π 2
A
π－φ ω
π
0
32π－φ ω
3π 2
－A
2π－φ ω
2π
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径.