2016年石景山高考一模数学(文科)试题带答案

2016北京市石景山区高三第一次模拟考试试卷高三数学（文）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x = 3．设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D A B C →→→沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中DE CD ⋅的最大值是( )A ．0B ．12C ．1D ．1-5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．62C ．10D ．826．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是( )A ．23π-，B ．26π-，C ．46π-，D ．43π，7．已知抛物线24y x =的动弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．128．将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是( )A ．4748，B ．4749，C ．4950，D ．5049， 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_______．11．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，20，则输出的a ＝______．AB1243665552313612．设13sin 2cos 222a =+ ，212sin 13b ︒=-，32c =，则a b c ，，的大小关系是________．(从小到大排列)13．已知函数221()log 1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点，则实数m 的取值范围是____________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 得分 甲 × × √ × × √ × √ 5 乙 × √ × × √ × √ × 5 丙 √ × √ √ √ × × × 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题共13分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3cos b A a B =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a ，c 的值．17．（本小题共13分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，其范围为[]010，，分别有五个级别：[)02T ∈，畅通；[)24T ∈，基本畅通；[)46T ∈，轻度拥堵；[)68T ∈，中度拥堵；[]810T ∈，严重拥堵．晚高峰时段(2T ≥)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；（Ⅱ）用分层抽样的方法从交通指数在[)46，，[)68，，[]810，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少1个路段为轻度拥堵的概率．频率组距交通拥堵指数如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，BD BC =，BD AC ⊥，点M 是棱1BB 上一点． （Ⅰ）求证：11B D ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求证：MD AC ⊥； （Ⅲ）试确定点M 的位置，使得 平面1DMC ⊥平面11CC D D ．已知函数()2x f x e x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x >时，2x e x >；（Ⅲ）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，求k 的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点()30-，，()30，的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点()10E -，且与曲线C 交于A B ，两点． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时△AOB 的面积；若不存在，说明理由．石景山区2015—2016学年第一次模拟考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACABA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(第9题第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解:（Ⅰ）设公比为q ，则2a q =，23a q =，…………1分∵2a 是1a 和31a -的等差中项，∴2132(1)a a a =+-，221(1)q q =+-，……………3分 解得2q =或0q =（舍），……………5分 ∴12n n a -=．.……………6分 （Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+，则12[13(21)](122)21n n n S n n -=++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅=+-．.……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ） sin 3cos b A a B =，由正弦定理得sin sin 3sin cos B A A B =，.……………2分在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan 3B =，(0,)B π∈……………4分πB ∴=．.……………6分 题号 9 101112 13 14答案23，22y x =±10 2 c a b << [){}20+∞ ，6（Ⅱ） sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，.……………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos3πa a a a =+-⋅⋅， .……………10分解得3a =，∴223c a ==．.……………13分 17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由直方图可知：(0.10.2)1206+⨯⨯=，(0.250.2)1209+⨯⨯=，(0.10.05)1203+⨯⨯=．所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个． .……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知拥堵路段共有69318++=个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1．.……………8分（Ⅲ）记（Ⅱ）中选取的2个轻度拥堵路段为12A A ，，选取的3个中度拥堵路段为123B B B ，，，选取的1个严重拥堵路段为C ，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ，，22()A B ，，23()A B ，，2()A C ，，12()B B ，，13()B B ，，1()B C ，，23()B B ，，2()B C ，，3()B C ，共15种可能， 其中至少有1个轻度拥堵的有：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ，，22()A B ，，23()A B ，，2()A C ，共9种可能. ∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为93155=．.……………13分18．（本小题共14分）解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱1111ABCD A BC D -， 得1BB ∥1DD ，11BB DD =，∴11BB D D 是平行四边形，∴11B D ∥BD ..……………2分 ∵BD ⊂平面1A BD ，11B D ⊄平面1A BD ，∴11B D ∥平面1A BD ..……………4分（Ⅱ）证明：∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 又∵BD AC ⊥，且1BD BB B = ，∴AC ⊥平面11BB D D ..……………7分∵MD ⊂平面11BB D D ，∴MD AC ⊥..……………9分（Ⅲ）当点M 为棱1BB 的中点时，平面1DMC ⊥平面11CC D D .……………10分 证明如下：取DC 的中点N ，11D C 的中点1N ，连接1NN 交1DC 于O ，连接OM ，如图所示． ∵N 是DC 的中点，BD BC =，∴BN DC ⊥.又∵DC 是平面ABCD 与平面11DCC D 的交线，平面ABCD ⊥平面11DCC D ，∴BN ⊥平面11DCC D ..……………12分由题意可得O 是1NN 的中点，∴BM ∥ON 且BM ON =，即四边形BMON 是平行四边形．∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面11DCC D .∵OM ⊂平面1DMC ，∴平面1DMC ⊥平面11CC D D .……………14分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2x f x e '=-，令()0f x '=解得ln 2x =，易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增， 故当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =-...……………4分（Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2x g x e x '=-，...……………5分 由（Ⅰ）知()2()22ln 20x g x e x f x '=-=≥->，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增，所以()(0)10g x g >=>，所以2x e x >...………8分（Ⅲ）方程2()22x f x e x kx x =-=-，整理得2x e kx =，当0x >时，2xe k x=....……………9分 令2()xe h x x=， 则2432(2)()x x x e x e x e x h x x x ⋅-⋅-'==，...……………10分 令()0h x '=，解得2x =，易得()h x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，所以2x =时，()x ϕ有最小值2(2)4e ϕ=，...……………12分 而当x 越来越靠近0时，()x ϕ的值越来越大，又当0x >，方程2()2f x kx x =-无解， 所以24e k <....……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以点()30-，，()30，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C 的方程为2214x y +=....……………3分 （Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值．...……………4分 因为直线l 过点()1,0E -，所以可设直线l 的方程为1x my =-或0y =(舍)．由条件得22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>.设1122()()A x y B x y ，，，，其中12y y >. 解得12224my y m +=+，12234y y m -=+，...……………7分 则2212434m y y m +-=+， 则221222123212433AOB m S OE y y m m m ∆+=-==++++...……………10分 设23t m =+，则1()3g t t t t =+≥，，则()g t 在区间)3⎡+∞⎣，上为增函数，所以43()3g t ≥. 所以32AOB S ∆≤，当且仅当0m =时等号成立，即max 3()2AOB S ∆=.所以AOB S ∆的最大值为32.....……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。