第六讲方差分析
第六讲方差分析
第六讲⽅差分析第五章⽅差分析第⼀节概述前⾯介绍了两样本均数⽐较的t 检验，但在实际研究中经常需要多组均数的⽐较。
如：例5.1 患有某种肿瘤的⼤⽩⿏接受不同实验处理后(对照未服药；服抗癌A 药；服抗癌B 药；服抗癌C 药)，2周后体内存活的肿瘤细胞数如表5.1所⽰，⽐较不同实验处理后的平均存活肿瘤细胞数是否有差异。
表5.1 不同实验处理后存活肿瘤细胞数（有丝分裂细胞／10个⾼倍镜视野）对照服抗癌A 药服抗癌B 药服抗癌C 药合计48 45 23 5 50 51 20 6 46 47 22 0 52 48 19 2 48 47 21 250 4 N5 6 5 6 22 x48.80 48.00 21.00 3.17 33.45 s2.282.191.582.2320.14本例中共有4种实验处理，在实验设计中称为⼀个因素中的4个⽔平：第⼀个⽔平为对照处理；第⼆个⽔平为服⽤A 药处理；第三个⽔平为服⽤B 药处理；第四个⽔平为服⽤C 药处理。
根据本例的研究问题，相应的假设检验为H 0:µ1=µ2=µ3=µ4 vs H 1:µ1，µ2，µ3，µ4不全相同●不能⽤t 检验进⾏两两⽐较，第⼀类错误会增⼤。
由于本例共有4组的均数需要⽐较。
如果⽤t 检验进⾏两两⽐较，共要进⾏246C =次t 检验。
如果每次t 检验犯第⼀类错误的概率为0.05，则不犯第⼀类错误的概率为0.95，6次都不犯第⼀类错误的概率为60.950.7351=，因此在6次t 检验中⾄少有⼀次犯第⼀类错误的概率为610.950.26490.05-=>>。
由此可见⽤t 检验进⾏多组均数的⽐较会增⼤犯第⼀类错误的概率。
●要⽤⽅差分析或多组的秩和检验(Kruskal Wallis test)的⽅法进⾏多组⽐较：⽅差分析的英⽂全称为Analysis of Variance ，缩写简称为ANOVA 。
统计学 第六章方差分析 PPT
方差的比较
▪ 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没
有影响，那么在组间方差中只包含有 随机误差，而没有系统误差。这时， 组间方差与组内方差就应该很接近， 两个方差的比值就会接近1
方差的比较
• 如果不同的水平对结果有影响，在组间 方差中除了包含随机误差外，还会包含 有系统误差，这时组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就 会大于1。
▪ 当这个比值大到某种程度时，就可以说
不同水平之间存在着显著差异。
基本假定
每个总体都应服从正态分布
–对于因素的每一个水平，其观察
值是来自服从正态分布总体的简 单随机样本
–比如，每种颜色饮料的销售量必
基本假定
各个总体的方差必须相同
–对于各组观察数据，是从具有相同方差
的总体中抽取的。
–比如，四种颜色饮料的销售量的方差都
第六章 方差分析
第一节 方差分析的一般问题 第二节 单因素方差分析
第一节 方差分析的一般问题
一、方差分析的含义 二、方差分析的类型 三、方差分析的基本思想
• 方差分析（analysis of variance，通常简记为 ANOVA）是著名统计学家R.Fisher在二十世 纪二十年代前后提出并系统阐述的，早期在 农业、生物领域获得应用，后来逐渐推广到 医学、教学、心理、社会等众多学科领域， 目前它已经成为数理统计中应用最广泛的几 个研究方向之一，也是人文社科与自然科学 研究及实践中分析调查或实验数据的重要工 具之一。
相同。 观察值是独立的。
–比如，每个超市的销售量都与其他超市
的销售量独立。
方差分析的原理
在上述假定条件下，判断颜色对销售量 是否有显著影响，实际上也就是检验具 有同方差的四个正态总体的均值是否相 等的问题。 如果四个总体的均值相等，可以期望四 个样本的均值也会很接近。
教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
方差分析F检验PPT课件
医学统计学
2019/12/ 3 16
三、方差分析的条件
1、被比较的资料要有可比性。 2、被比较的资料要有实际意义。 3、被比较的资料要呈正态分布。 4、被比较的资料各组方差齐同。
医学统计学
2019/12/ 4 16
四、方差分析的基本思想
[例 1] 某医院用三种不同疗法治疗同种疾病，以体温降至正常所 需要的天数为指标，15例患者体温降至正常所需要的天数资料如 下：
160 240 160 264 165
178 253 176 306 172
156 262 158 258 158
164 272 164 284 164
172 265 172 290 174
168 277 168 286 170
165 282 168 290 168
170 290 172 300 168
第六节 方差分析（F检验）
医学统计学
2019/12/ 1 16
一、方差分析的概念
方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验， 其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同， 检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
离均差平方和又称为变异数。
(x x)2
方差的概念：方差即为标准差的平方，又称为 平均离均差平方和，简称“均方”。
医学统计学
2019/12/ 1
16
6
完全随机设计多个样本均数比较的方差分析公式
变异来源
SS
F
总 2 C
ij
（ xij )2
j
组间
I
ni
C
SS总 SS组间
医组学内统计学
MS
N—1
第六章方差分析详解演示文稿
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
校正系数：
第十四页，共67页。
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
药剂
苗高观察值
A
18 21 20 13
B
20 24 26 22
C
10 15 17 14
D
28 27 29 32
总和Ti 72 92 56
116
平均 xi
18 23 14 29
经方差分析得下表：
变异来源
DF SS
MS
F
显著F值
药剂处理间
3
504
168.00 20.56** F 0.05(3,12)=3.49
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到
总均方、处理间均方和处理内均方， 分别记为
MST（或 ）、SMT2St（或 ）和MSSt2 e（或
Se2
即
MST ST2 SST / dfT
MS t
S
2 t
SSt
/ df t
MS e
S
2 e
SS e
/ df e
D
28 27 29 32
116
平均 xi
18 23 14 29
第六章 方差分析 《统计学》PPT课件
若因素 A 和 B 的每个水平组合只有一个观测值，即 k 1，则上式可简化为：
xij x i j ij
（ i =1，2，…，r； j =1，2，…， s ）
二、只考虑主效应的双因素方差分析
二、只考虑主效应的双因素方差分析
如果影响因素的不同水平对因变量产生了显著影响，那么，它和随 机因素共同作用必然会使观测值有显著变动；反之，如果影响因素 的不同水平没有对因变量产生显著影响，那么，观测值的变动可以 归结为随机变量的影响所致。
二、方差分析的基本思想
总变异
组间变异
组内变异
i
二、方差分析的基本思想
总变异 SST
组间变异 SSA （不同促销方式引起，包含随机误差） 组内变异 SSE （随机误差）
F SSA (r 1) SSE (n r)
r
SSA ni (xi x)2 i1
r ni
SSE （xij xi )2 i1 j1
r ni
SST SSA SSE （xij x)2 i1 j1
式中：n 为总样本量，r 为因素 A 的水平数，ni 为第 i 水平下的样本数，r -1和 n - r 分别为 SSA 和 SSE 的自由度。 F 统计量服从（ r -1， n - r ）个自由度的 F 分布。
自变量对因变量影响效应的大小通过因变量的误差有多少是由于自变量造成的来体现。 因此，方差分析是通过对数据误差的分析来检验影响效应是否显著。
一、方差分析基本概念
待分析的指标一般称为“因变量”或“响应变量”（dependent variable，通常用x或y表示），即调查类数据中我们所获得的现象 数量表现或实验类数据的实验结果。
统计学第6章方差分析精品PPT课件
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
第6讲-列联分析与方差分析
P值 = P ( χ 2 ≥ 0.22) ≈ 0.6379
数据、模型与决策
（二）、列联表检验的原理
作出判断 若取显著性水平为0.05，检验的结论是？
由于P值大于0.05，故不应拒绝原假设，即认为凶手肤 色与是否被判死刑独立，也即说不存在种族歧视。
真相是这样吗？我们是否遗漏了什么？
数据、模型与决策
（二）、列联表检验的原理
判死刑的比例比黑人凶手高。
像例子中，由于有“被害人”的混淆产生了偏差的情况，我 们称之为有偏比较，将“被害人的肤色”这种混在其中的特征 称为混杂因素。
数据、模型与决策 在实际分析中，一定要注意全面分析，避免有偏比较！
（四）、结果的解读 例2： 书越薄越贵？
页数 350以下 350－450 450以上 总计 价格（元） 30以下 20 40 20 80 30-50 30 10 10 50 50以上 10 5 10 25 总计 60 55 40 155
25.00 % 100.00%
从行百分比看，书越薄越贵。
真相是这样吗？我们是否遗漏了什么？
数据、模型与决策
（四）、结果的解读
例2： 书越薄越贵？
价格（元） 30以下 30-50 50以上 16.67% 9.09 % 33.33 % 50.00 % 72.73 % 18.18 %
精装本
页数 350以下 350－450 450以上
小计 160 166 326
黑人 小计
166
36
290
χ2
(19 − 17.7) 2 (149 − 147.7) 2 度量样本与原假 ++ ≈ 0.22 设情况的差异 17.7 147.7 期望频 数据、模型与决策
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第五章 方差分析第一节 概述前面介绍了两样本均数比较的t 检验，但在实际研究中经常需要多组均数的比较。
如：例5.1 患有某种肿瘤的大白鼠接受不同实验处理后(对照未服药；服抗癌A 药；服抗癌B 药；服抗癌C 药)，2周后体内存活的肿瘤细胞数如表5.1所示，比较不同实验处理后的平均存活肿瘤细胞数是否有差异。
表5.1 不同实验处理后存活肿瘤细胞数（有丝分裂细胞／10个高倍镜视野） 对照 服抗癌A 药服抗癌B 药服抗癌C 药合计48 45 23 5 50 51 20 6 46 47 22 0 52 48 19 2 48 47 21 250 4 N5 6 5 6 22 x48.80 48.00 21.00 3.17 33.45 s2.282.191.582.2320.14本例中共有4种实验处理，在实验设计中称为一个因素中的4个水平：第一个水平为对照处理；第二个水平为服用A 药处理；第三个水平为服用B 药处理；第四个水平为服用C 药处理。
根据本例的研究问题，相应的假设检验为H 0:μ1=μ2=μ3=μ4 vs H 1:μ1，μ2，μ3，μ4不全相同 ● 不能用t 检验进行两两比较，第一类错误会增大。
由于本例共有4组的均数需要比较。
如果用t 检验进行两两比较，共要进行246C =次t 检验。
如果每次t 检验犯第一类错误的概率为0.05，则不犯第一类错误的概率为0.95，6次都不犯第一类错误的概率为60.950.7351=，因此在6次t 检验中至少有一次犯第一类错误的概率为610.950.26490.05-=>>。
由此可见用t 检验进行多组均数的比较会增大犯第一类错误的概率。
● 要用方差分析或多组的秩和检验(Kruskal Wallis test)的方法进行多组比较：方差分析的英文全称为Analysis of Variance ，缩写简称为ANOVA 。
● 统计分析策略⏹ 如果每一组资料服从正态分布(或大样本)，并且方差齐性，则可以用方差分析的方法进行比较。
⏹ 如果方差不齐或小样本而非正态分布，则用Kruskal Wallis 进行检验。
第二节 完全随机设计资料的方差分析一、完全随机设计表5.1 不同实验处理后存活肿瘤细胞数（有丝分裂细胞／10个高倍镜视野） 对照(i=1) 服抗癌A 药(I=2) 服抗癌B 药(I=3) 服抗癌C 药(I=4) 合计48 45 23 550 51 20 6 46 47 22 0 52 48 19 2 48 47 21 2 50 4 n 5 6 5 6 22x 48.8048.00 21.00 3.17 33.45 s 2.28 2.19 1.58 2.23 20.14例5.1就是完全随机设计的资料。
该例中的处理因素是不同的实验处理（即服用不同药物情况），共有4个水平，对照未服药、服抗癌A 药、服抗癌B 药和服抗癌C 药，观察指标是大白鼠体内存活肿瘤细胞数，观察结果及部分描述统计量见表5.1。
二、变异的分解(以本例为例)组间变异11223344()()()()SS n X X n X X n X X n X X =-+-+-+-组间其中1234,,,X X X X 为第1组，第2组，第3组和第4组的样本均数，X 为所有数据的平均数。
自由度v=4－1＝3组内变异222211223344(1)(1)(1)(1)SS n S n S n S n S =-+-+-+-组内1234,,,S S S S 为各组的样本标准差。
自由度v=22－4=18 可以证明：⏹ H 0:μ1=μ2=μ3=μ4成立时，SS 组间较小 ⏹ H 0:μ1=μ2=μ3=μ4不成立时，SS 组间较大⏹ H 0:μ1=μ2=μ3=μ4是否成立与组内变异SS 组内无关。
⏹ SS 总＝SS 组间＋SS 组内，其中()()()()()()ij j i SS x X x X x X x X x X x X ==-+-++-+-++-=-∑∑222221121511264421总其中X 表示所有资料的平均数，用N 表示总样本量(本例N=5+6+5+6=22)。
资料X i j 越离散，SS 越大，反之亦然。
SS 还与样本的自由度（degree of freedom ）=N －1有关(N 为总样本量)，自由度增大，SS 增大。
组内变异自由度为k N -=组内ν由于组间变异和组内变异与自由度有关，所以不能直接比较离均差平方和。
将各部分的离均差平方和除以各自的自由度，得到相应的平均变异指标：均方（mean square ，记为MS ）。
组间变异和组内变异的均方可通过公式5.7和公式5.8计算得到。
组间组间组间νSS MS =(5.7)组内组内组内νSS MS =(5.8)均方消除了自由度的影响，因而可以进行比较。
将组间均方除以组内均方，就得到方差分析的检验统计量F 。
组内组间MS MS F =(5.9)可以证明，当H 0成立时，则 F 服从自由度为k -1和N -k 的F 分布；若H 0不成立，则F 不服从F 分布，且大多数情况下，F 远大于1。
因此，可通过F 的大小判断H 0的成立与否。
三、方差分析的步骤1.建立假设并确定检验水准 根据例5.1的题意，可作如下假设：H 0：不同实验组大白鼠体内存活的肿瘤细胞数的总体均数相同，即4321μμμμ===； H 1：不同实验组大白鼠体内存活的肿瘤细胞数的总体均数不全相同。
检验水准：05.0=α2、计算检验统计量 根据表5.3的计算公式，可计算各变异部分的离均差平方和、自由度、均方和检验统计量F 值。
表5.3 完全随机设计资料方差分析的计算公式(k 个样本)变异来源 离均差平方和（SS ） 自由度（υ） 均方（MS ） F 值组间变异 .()j jj n xX -∑2 1-k组间组间νSS 组内组间MS MS组内变异 .()ijj jixx -∑∑2k N - 组内组内νSS总变异()ij ijx X -∑∑21-N本例计算为用Stata 软件计算如下由于本例样本量较少，正态性检验有些困难。
可以采用各组资料减去相应的样本均数，然后再检验。
因此先计算各组的样本均数，Stata 命令 tab group,su(x)gen d=0replace d=x-48.8 if group==1replace d=x-48 if group==2replace d=x-21 if group==3replace d=x-3.166667 if group==4d称为残差。
进行正态性检验sktest dSkewness/Kurtosis tests for Normality------- joint ------ Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------- d | 0.853 0.181 2.03 0.3633 没有证据认为资料偏态分布。
Stata命令：oneway 观察变量分组变量，t本例命令： oneway x group,t蓝色处为方差齐性检验。
P ＝0.898>0.1，所以不能认为方差不齐。
均数的比较的P 值<0.0001，因此拒绝H 0：4321μμμμ===，并可以认为各组均数不全相等。
因此需用进一步组间两两比较，以确定那些组之间确有差异。
两两比较有许多方法，此处近介绍两种方法：lsd 方法和Bonferroni 方法 lsd 称为最小差异检验，适用于探索性研究。
命令如下：. lsd x groupLSD 方法进行 两两均数比较输入效应变量分组变量mean1-mean2= 0.800000 P-value=0.537814mean1-mean3= 27.800000 P-value=0.000000mean1-mean4= 45.633333 P-value=0.000000mean2-mean3= 27.000000 P-value=0.000000mean2-mean4= 44.833333 P-value=0.000000mean3-mean4= 17.833333 P-value=0.000000因此第1组和第2组之间的差异没有统计学意义(no significant)，第1组和第2组的平均存活肿瘤细胞数分别高于第3组和第4组，第3组的平均存活肿瘤细胞数也高于第4组，差别有统计学意义。
（the differences are statistically significant）。
Bonferroni 是一种比较保守的两两比较方法，通常用于比较慎重的研究结果。
命令如下：红色处为P值。
本例结果与LSD相同。
Bonferroni方法计算的P值＝min(LSD的P值×比较次数，1)本例的比较次数为3，所以Bonferroni方法计算的P值＝LSD的P值×3但是，第一组与第二组比较的LSD的P值×3>1,所以Bonferroni方法计算的P值＝1。
单因素多组资料的秩和检验成组设计多组计量资料的处理效应的比较，如果资料不满足完全随机设计的方差分析的应用条件，可用Kruskal-Wallis H检验（Kruskal-Wallis H test）。
Kruskal-Wallis H检验用于推断计量资料或等级资料的多个独立样本所来自的多个总体的分布是否相同。
统计检验方法、步骤和基本思想见例8.4。
（一）计量资料的多个样本比较例8.4 研究单味中药对小鼠细胞免疫机能的影响，把40只小鼠随机分为4组，每组10只，雌雄各半，用药15天后，测定E-玫瑰结形成率（X：%），结果见表8.4第(1)、(3)、(5)、(7)栏。
问：单味中药对E-玫瑰结形成率有无影响？表8.4 四组E-玫瑰结形成率（X：%）比较对照组党参组黄芪组淫羊霍组X X X X(1) (2) (3) (4)14 21 24 3510 24 20 2712 18 22 3316 17 18 2913 22 17 3114 19 21 40 12 18 18 35 10 23 22 30 13 20 19 28 i本例为百分率资料，不符合正态分布，现用Kruskal-Wallis H 检验。
统计分析步骤如下：（1）检验假设：0H ：四组E-玫瑰结形成率的总体分布相同1H ：四组E-玫瑰结形成率的总体分布不全相同0.05α=（2）编秩：把四个样本数据混合从小到大编秩次， （3）求秩和并确定检验统计量：分组求秩和，按下式求检验统计量H 值。