中考数学真题分类汇编第28讲概率
（分类）第28讲 概率知识点1 事件的分类与概率的意义知识点2 概率公式 知识点3 用频率估计概率 知识点4 用列表法或树状图求概率知识点1 事件的分类与概率的意义（2018南充）答案：A 3.下列说法正确的是（ ）A ．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查B ．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件C ．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨D ．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1（2018衡阳）答案：A5.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法错误．．的是（ ） A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次有50次正面朝上D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的（2018长沙）答案：C8、下面说法正确的是A 、任意掷一枚质地均匀的硬币10 次,一定有 5 次正面朝上B 、天气预报说”明天降水概率为 40% ”,表示明天有 40% 的时间在下雨C 、“篮球队员在罚球线上投筐一次,投中”为随机事件D 、“ a 是实数, a0 ”是不可能事件（2018宿迁）答案：116. 小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜。
若由小明先取，且小明获胜是必然事件，，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ▲ .（2018达州）5．下列说法正确的是（ ）A ．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件B ．天气预报“明天降水概率%50，是指明天有一半的时间会下雨”C ．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是20.3S =甲，20.4S =乙，则甲的成绩更稳定D ．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7（2018南通）答案：C5.下列说法中，正确的是（ ） A.—个游戏中奖的概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 B.为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D. 若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小（2018泰州）答案：C4.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )A.小亮明天的进球率为10%B.小亮明天每射球10次必进球1次C.小亮明天有可能进球D.小亮明天肯定进球（2018淄博）2. 下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）A ．水能载舟，亦能覆舟B ．只手遮天，偷天换日C ．瓜熟蒂落，水到渠成D ．心想事成，万事如意（2018德阳）答案：D（2018孝感）答案：D 5.下列说法正确的是（ ）A ．了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B ．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，22S S 甲乙，则甲的成绩比乙稳定C ．三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是13D ．“任意画一个三角形，其内角和是360”这一事件是不可能事件（2018襄阳）答案：D8．下列语句所描述的事件是随机事件的是( )A．任意画一个四边形，其内角和为180°B．经过任意两点画一条直线C．任意画一个菱形，是中心对称图形D．过平面内任意三点画一个圆（2018福建）答案：D（2018怀化）答案：A（2018齐齐哈尔）答案：A（2018沈阳）（2018烟台）答案：A（2018昆明）答案：D（2018包头）（2018广安）答案：D（2018徐州）知识点2 概率公式（2018·绵阳）答案：（2018成都）答案：612.在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为38，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是 ．（2018内江）答案：2514. 有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．（2018金华丽水）答案：B6.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°. 让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ▲ ） A ．61 B ．41 C．31 D ．127(2018柳州)答案：B（2018东营）答案：54 13. 有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 .（2018聊城）答案：B9.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）红 黄蓝A ．12 B ．13 C ．23 D ．16（2018宁波）答案：C4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．15（2018岳阳）13.在-2，1，4，-3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．（2016长沙）答案：1216、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有 1 到 6 的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率 为 ．（2018连云港）答案：D5．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是 A ．23B ．16C ．13D ．12（2018扬州）答案：4311.有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．（2018天津）答案：61115.不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．（2018杭州）答案：B7.一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别有数字1~6）朝上一面的数字。
任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（ ） A.61 B. 31C. 21D. 32（2018绍兴义乌）答案：A4.抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．56（2018温州）答案：D5.在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（） A.12B.13C.310D.15（2018湘潭）（2018株洲）答案：A6、从105,,1,0,2,3π---这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数．．．的．概率为．．． A ．27 B ．37 C ．47 D ．57（2018盐城）答案：4912.一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 ．（2018荆州）8.如图,将块菱形ABCD 硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上AE BC ⊥于E ,CF AD ⊥于F ,45sinD =.若随意投出一针命中了菱形纸片,则命中矩形区域的概率是（ ）A．15B．25C.35D．45（2018随州）答案：A（2018巴中）15. 从下列图形中任选一个恰好是轴对称图开的概率为 .（2018北京）答案：C14. 从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐（填“A”“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．（2018深圳）答案：1 214.一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：．（2018黔东南、黔西南、黔南）14.若100个产品中有98个正品，2个次品，从中随机抽取一个，抽到次品的概率是 ．（2018宜昌）答案：B5.在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉子，这个字是“绿”的概率为( ) A ．310 B ．110 C.19 D ．18（2018仙桃潜江天门江汉油田）11．在“Wish you success ”中，任选一个字母，这个字母为“s ”的概率为 ．（2018张家界）答案：1011.在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为107,则袋子内共有乒乓球的个数为 .（2018贵阳）8. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个 棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ A ） A ．112 B ．110 C.16 D ．25（2018海南）答案：A（2018上海）（2018哈尔滨）答案：13（2018怀化）答案：3 5（2018乌鲁木齐）答案：5 8（2018龙东地区）答案：1 6（2018通辽）答案：1 13（2018铜仁）（2018资阳）（2018苏州）答案：C知识点3 用频率估计概率（2018永州）15.在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是．（2018呼和浩特）答案：D（2018武汉）答案：0.912．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况（2018郴州）14.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）（2018淮安）答案：0.9011．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：该射手击中靶心的概率的估计值是（精确到0.01）．（2018玉林）知识点4 用列表法或树状图求概率 （2018·滨州）答案：1316.若从-1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是 ．（2018自贡）10.从1236--、、、这四个数中任取两数，分别记为m n 、，那么点()m,n 在函数6y x=图象的概率是 （ ）A.12 B.13 C.14 D.18（2018衢州）答案：B6．某班共有42名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（ ） A ．0B ．121C ．142D ．1（2018嘉兴舟山）答案：14不公平 13.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面、那么你赢;如果两次是一正一反.则我赢.”小红赢的概率是 .据此判断该游戏 .（填“公平”或“不公平”）.（2018聊城）答案：2514.某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 ．（2018白银武威张掖）23.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.23.解：（1）米粒落在阴影部分的概率为31 93 =；（2）列表：共有30种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有10种，故图案是轴对称图形的概率为101 303=；（2018广州）答案：C6.甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2，从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（）A. 12B.13C.14D.16（2018娄底）答案：1 615.从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科日参加等级考试.学生A 已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科日中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为 .（2018连云港） 21．（本题满分10分）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比．．．赛必须全部打完．．．．．．．，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同． （1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是；（2）现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（2018南京）22.甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.（1）求摸出的2个球都是白球的概率. （2）下列事件中，概率最大的是（ ）. A ．摸出的2个球颜色相同B ．摸出的2个球颜色不相同C ．摸出的2个球中至少有1个红球D ．摸出的2个球中至少有1个白球解：（1）将甲口袋中2个白球、1个红球分别记为1白、2白、1红，将乙口袋中1个白球、1个红球分别记为3白、2红，分别从每个口袋中随机摸出1个球，所有可能出现的结果有：()13白白,、()12白红,、()23白白,、()22白红,、()13红白,、()12红红,，共有6种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“摸出的2个球都是白球”（记为事件A ）的结果有2种，即()13白白,、()23白白,，所以()2163P A ==. （2）D.（2018无锡）23、某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队。
甘肃省2022年中考数学总复习课件：第八章第28讲 概率
稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝
p(0≤p≤1)
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第八章
第28讲
概率
几何概型
一般是用几何图形的长度(面积)比来求概率，计算公式
事件发生的长度（面积）
为P(A)＝
总长度（面积）
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第28讲
概率
重难点突破
重难点
概率的计算
【例】小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转
球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球(第一次摸后不放回)，把
甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，
如果甲摸出的两个球都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分，如
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第八章
第28讲
概率
果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则乙得 0 分，得分高的获得
入场券，如果得分相同，游戏重来．
的试验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者
掷币
德·
摩根
6140
蒲丰
费勒
皮尔逊
4040
10000
36000
罗曼诺
夫斯基
80640
次数
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第八章
第28讲
概率
3109
2048
4979
18031
39699
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492
出现“正面
朝上”的次数
左右，∴估计摸到红球的概率为 0.75.
设白球有 x 个，
第8章 第28讲 概 率-中考数学一轮考点复习课件（共45张）
解：(1)该班的总人数为12÷24%＝50(人)． 选修足球科目人数为50×14%＝7(人)． 补全图形如下图：
(2)设排球为A，羽毛球为B，乒乓球为C．画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的结果共有4种， ∴P(恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球)＝142＝13.
A．116 B．112 C．18 D．16
10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出了某一结果出现的频率折线图， 则符合这一结果的试验可能是( D )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
1．事件的分类 下列事件属于必然事件的是( C ) A．打开电视，正在播放新闻 B．明天会下雨 C．实数a＜0，则2a＜0 D．掷一枚硬币，正面朝上
概率及其计算
1．概率
(1)概念：表示一个事件发生可能性大小的数值叫做概率．通常用字母P表示．
(2)必然事件的概率P＝ 1 ，不可能事件的概率P＝ 0 ，随机事件的概率P满
11．(2020·广西北部湾)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔 路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( C )
A．16 B．14 C．13 D．12
12. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机 2
掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率为 3 ．
2. 用列表法或画树状图求概率：涉及抛两枚硬币或两个骰子、双转盘等需要两步 或两步以上才能完成的问题，用列表法或画树状图列出各种可能出现的结果n，再找出 符合要求的结果m，用公式P＝mn 求概率．
2024年中考数学一轮复习基础知识过关课件+第28讲 概 率
稳定
B.某奖券的中奖率为
,买 100 张奖券,一定会中奖 1 次
C.要了解神舟飞船零件质量情况,适合采用抽样调查
D.x=3 是不等式 2(x-1)>3 的解,这是一个必然事件
2.(2023 成都)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件
邻的概率是( C )
Hale Waihona Puke A.C.
B.
D.
频率与概率
[例4] 如图所示显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.
下面有三个推断:①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是
308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;②随着试验次数的增加,“钉尖向上”
的频率总在 0.618 附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”
白球的概率为 ,则盒子中原有白球的个数为
20
.
设盒子中原有白球的个数为x,利用概率公式求出x
即可.
一般地,如果一个试验有 n 个等可能的结果,而事件 A 包含其中 m 个结果,
则事件 A 发生的概率 P(A)= .
[变式 3] (2022 乐山)一个布袋中放着 6 个黑球和 18 个红球,除了颜色以
是
-
.
B.明天太阳从东方升起
C.经过红绿灯路口,遇到红灯
D.玩“石头、剪刀、布”游戏时,对方出“剪刀”
根据随机事件、必然事件的概念即可作答.
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不
会发生的事件称为不可能事件.在一定条件下,可能发生也可能不发生
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题28：概率统计综合
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题28：概率统计综合一、选择题1.（2012江苏淮安3分）下列说法正确的是【】A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定。
B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生CD【答案】【考点】【分析】ABCD故选C。
2. （ABCD【答案】【考点】【分析】根据概率的意义，随机事件，调查方法的选择，概率公式对各选项作出判断：A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误；B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B选项的说法正确；C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C选项的说法正确；D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是16，所以D选项的说法正确。
故选A。
3. （2012湖北十堰3分）下列说法正确的是【】A．要了解全市居民对环境的保护意识，采用全面调查的方式B．若甲组数据的方差S2甲 =0.1，乙组数据的方差S2乙 =0.2，则甲组数据比乙组稳定C．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上D．若某彩票“中奖概率为1%”，则购买100张彩票就一定会中奖一次【答案】B。
【考点】调查方式的选择，方差的意义，随机事件，概率的意义。
【分析】根据调查方式的选择，方差的意义，随机事件，概率的意义进行逐一判断即可得到答案A、了解全市居民的环保意识，范围比较大，因此采用抽样调查的方法比较合适，本答案错误；B、甲组的方差小于乙组的方差，故甲组稳定正确；C、随机抛一枚硬币，落地后可能正面朝上也可能反面朝上，故本答案错误；D、买100张彩票不一定中奖一次，故本答案错误。
故选B。
4. （2012湖南岳阳3分）下列说法正确的是【】A．随机事件发生的可能性是50% B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定【答案】D。
2024年云南省中考数学一轮复习 第28讲 概 率课件
B.
C.
D.
B )
2.(2023苏州)如图所示,转盘中四个扇形的面积都相等,任意转动这个
转盘1次,当转盘停止转动时,指针落在灰色区域的概率是(
A.
B.
C.
D.
C )
3.(2023成都)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文
件精神,某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽
“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每
门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
(2023云南)甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践
活动,各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种,
记种植辣椒为A,种植茄子为B,种植西红柿为C.假设这两名同学选择种
P的值.
解:(2)记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A,B,C,列
表,得
甲家庭
乙家庭
A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两个家庭选择到上述三个
城市中的同一个城市旅游的结果有3种,
∴甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率
个城市旅游.假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响,
中考数学第一轮复习 第8章第28讲 概率初步(共24张PPT)
2．在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次 函数y＝(x－m)2＋n的顶点在坐标轴上的概率为( A )
3．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的 三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上 数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两数，与7组成“中 高数”的概率是( C )
(2)该年级足球测试成绩为D等的人数为700× ＝56(人)． 故答案为：56.
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个 班的情况占2种， 所以恰好选到甲、乙两个班的概率是
技法点拨►解答这类问题，通过列表法或树状图法展示所有可能的 结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概 率公式求事件A或B的概率．
变式运用►6.由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都 想去，两人商量采取转转盘(如图，转盘盘面被分为面积相等，且 标有数字1，2，3，4的4个扇形区域)的游戏方式决定谁胜谁去观 看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘指针停止，如两次 指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；如两次指针对应盘面数 字都是偶数，则小张胜；如两次指针对应盘面数字是一奇一偶， 视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．如果小王 和小张按上述规则各转动转盘一次，则 (1)小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率 是多少？ (2)该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
考点 3 概率的求法
较简单问题情境 下的概率
在一次试验中，有n种等可能的结果， 事件E包含其中的m种结果，则事件E发 生的概率P(E)＝
两步或两步以上的事件常用的方法有：列表法、①__树状图__ 的概率计算方法 法等
人教版初中数学中考复习课件 第28章 概率(共29张PPT
热点剖析
【例1】（2014•广东）一个不透明的布袋里装有7 个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球， 从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概 率是（ B ） A.4/7 B.3/7 C.3/4 D.1/3
1.（2011•广东）在一个不透明的口袋中，装有5
个红球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任
么点（a，b）在函数y=12/x的图象上的概率是
（D）
A.1/2 B.1/3
C.1/4 D.1/6
二、解答题
11.从分别标有数-3，-2，-1，0，1，2，3的七张
卡片中随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值
小于2的概率是
3/7
.
12.一个不透明的袋子中装有3个黑球，2个白球，
这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜
4.（1）∵共10个球，有2个黄球， ∴P（摸出黄球）=2/10=1/5. （2）设后来放入袋中x个红球.根据题意，得 5+x/10+x=2/3. 解得x=5. 故后来放入袋中的红球有5个.
【例3】（2010•广东）分别把带有指针的圆形转 盘A，B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一 个小区域内标上数字（如图-2所示）.欢欢、乐乐 两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个 转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字 之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数 字之积为偶数，则乐乐胜；若指针落在分割线上 ，则无效，需重新转动转盘. （1）试用列表或画树状图的方法求欢欢获胜的概 率； （2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗 ？试说明理由.
色外无其他差别.在看不到球的条件下，随机从袋 中摸出1个球，则摸出白球的概率是 2/5 .
13.在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数， 则这个两位数能被3整除的概率是 1/3 .
中考数学总复习 第一篇 考点聚焦 第八章 统计与概率 第28讲 概率课件
3．(2016·百色)在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的 5 个 小球，其中红球 3 个，白球 2 个，随机抽取一个小球是红球的概率是( C )
113 2 A.3 B.2 C.5 D.5 4．(2016·贺州)从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3 的七张没 有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片 上的数的绝对值不小于 2 的概率是( D )
数学
广西专用
第28讲 概 率
1．事件的分类
2.概率 一般地，表示一个随机事件A发生的可能性大小的_数__值___，叫做这个 随机事件A发生的概率．
1．列举法求概率的一般步骤 (1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画 树状图法适合于两步及两步以上求概率； (2)不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发 生的可能性是否相等； (3)确定所有可能出现的结果数 n 及所求事件 A 出现的结果数 m； (4)用公式 P(A)＝mn 求事件 A 发生的概率．
_6___．
【例1】 (2016·沈阳)“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件 是( D )
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 【点评】 事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又 分为必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下，一定发生的事 件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形(每一个白色的小正方形涂黑
的可能性相同)，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 3
__1_3_．
【例 3】 (1)(2016·河池)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬 1
2020年中考数学真题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析
解直角三角形一.选择题1.（2018•江苏苏州•3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．2.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．3. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A ．B．2 C．5 D．10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．4.（2018•贵州贵阳•3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC的值为（ B ）（A）1（B）1 （C）23（D）33【解】图解2.二.填空题1.（2018•江苏无锡•2分）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于15或10．【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD.BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB.AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD===，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB.AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD﹣CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．2.（2018•江苏苏州•3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′= ．【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，求出B′M、CM，根据勾股定理求出B′C，根据三角形面积公式求出AN，解直角三角形求出即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==5，过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，∵根据旋转得出AB′=AB=2，∠B′AB=90°，即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，∴CM=AB=2，AM=BC=，∴B′M=2﹣=，在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C===5，∴S△AB′C==，∴5×AN=2×2，解得：AN=4，∴sin∠ACB′==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．3.（2018•山东济宁市•3分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km 的A，B 两个观测站，B 站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．【解答】解：过点C作C D⊥AB 于点D，根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在R t△CBD 中，CD=BC•sin60°=2×= （km）．故答案为：．3. （2018•广西南宁•3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°==，解得：CD=40（m），故答案为：40．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．4. （2018·黑龙江齐齐哈尔·3分）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17 ．【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD=，∴=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在Rt△AHD中，HD==5，∴BD=BH+HD=21，∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠CBH，∴=，又BC=10，∴BG=6，CG=8，∴DG=BD﹣BG=15，∴CD==17，故答案为：17．【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．5.（2018•贵州铜仁•4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D.E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB= 4 ．【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE.∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠ACB=30°，∴∠A=60°，∴AB===4．故答案为：4．三.解答题1. （2018·湖北随州·8分）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE=×6=3．答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AH⊥BC于H，如图2，∵BD=DE=3，∴AB=3BD=5×3=15，在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15，在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．2. （2018·湖南郴州·8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD.BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD.BD=AD是解题的关键．3.（2018•江苏宿迁•10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，）【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ的高度约为15.8m.【分析】 (1）根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC 中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt△PBC中，∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x，BC=x，又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，由（1）知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x，∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∵∠A=45°，∴AC=PC，即3x=10+x，解得：x=，∴PQ=2x=≈15.8（m），答：树PQ的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.4.（2018•江苏淮安•8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l 的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．【解答】解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴CD=tan30°•AD，即DB=CD=tan30°•AD=x=（200+x），解得：x≈273.2，∴CD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．5.（2018•江苏徐州•5分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732【分析】利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽．【解答】解：在Rt△CDE中，∴DE=sin30°×DC=×14=7（m），∵sin∠C=，cos∠C=，CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12，∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴DE=AF=7m，∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．题目难度不大，求BF的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数．6.（2018•江苏无锡•8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE=，AE==，那么AF=AE﹣EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==6．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，∴∠C=180°﹣∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10．在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，∴BE=AB•cos∠ABE=，∴AE==，∴AF=AE﹣EF=﹣10=．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，∵cos∠ABC=，∴sin∠ADF=cos∠ABC=．在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，∴AD===6．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sin∠ADF=是解题的关键．7.（2018•江苏宿迁•10分）如图，AB.AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O 的切线与OD的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5.【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．试题解析：（1）、连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）、∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，∴BF=OF﹣OB=5．【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形9.（2018•山东烟台市•8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B 两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【分析】先求得AC=PCtan∠APC=87.BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．【解答】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．10.（2018•山东济宁市•8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊•胜一筹!”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段AB，BD 分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC=150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图2．求保温板AC 的长是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）【分析】作CE⊥BD.AF⊥CE，设AF=x，可得AC=2x、CF=x，在Rt△ABD中由AB=EF=2知BD=，DE=BD﹣BE=﹣x，CE=EF+CF=2+x，根据tan∠CDE=列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，则四边形ABEF是矩形，∴AB=EF、AF=BE，设AF=x，∵∠BAC=150°、∠BAF=90°，∴∠CAF=60°，则AC==2x、CF=AFtan∠CAF=x，在Rt△ABD中，∵AB=EF=2，∠ADB=9°，∴BD==，则DE=BD﹣BE=﹣x，CE=EF+CF=2+x，在Rt△CDE中，∵tan∠CDE=，∴tan15.6°=，解得：x≈0.7，即保温板AC的长是0.7米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．11.（2018•山东东营市•8分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A 是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD 得到AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，∴sin2A=，∴sinA=或，∵∠A为锐角，∴sinA=；（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，∴﹣（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2≤0，又∵（k﹣2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=．∴△ABC的周长为；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴A D=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．12.（2018•上海•10分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．13. （2018•达州•6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x 的方程，解之可得．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=x米，∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=x米，∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，∴tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．14. （2018•遂宁•10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE.EC即可解决问题；【解答】解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF=1：，AD=200米，∴tan∠DAF=，∴∠DAF=30°，∴DF=AD=×200=100，∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC=BF=100（米），∵∠BAC=45°，BC⊥AC，∴∠ABC=45°，∵∠BDE=60°，DE⊥BC，∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE=，∴BE=BD•sin∠BDE=200×=100，∴BC=BE+EC=100+100（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15. （2018•资阳•9分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E 处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．【分析】（1）在Rt△ACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt△BEF中求得AD=BE==18+x，由cos∠CAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsin∠CAD求得CD从而得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18.∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）×=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三角形间的关联．16. （2018•乌鲁木齐•10分）如图，小强想测量楼CD的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD 的高度（结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计）．【分析】设CD=xm，根据AC=BC﹣AB，构建方程即可解决问题；【解答】解：设CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC=BC=AB，∴﹣=30，解得x=52.3，答：楼CD的高度为52.3米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17. （2018•嘉兴•10分）如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面,为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为,为中点, ,. ,.当点位于初始位置时,点与重合（图2）.根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.（1）上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为（图3）,为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离? （结果精确到）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4）,为使遮阳效果最佳,点在（1）的基础上还需上调多少距离? （结果精确到）（参考数据：，，，，）【答案】（1）点需从上调；（2）点在（1）的基础上还需上调【解析】【分析】（1）如图2，当点位于初始位置时，. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为，点上调至处，.,为等腰直角三角形，，即可求出点需从上调的距离.（2）中午12:00时，太阳光线与，地面都垂直，点上调至处，过点作于点，，，根据即可求解.【解答】（1）如图2，当点位于初始位置时，.如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为，点上调至处，，，∴，∴.∵，∴.∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即点需从上调.（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与，地面都垂直，点上调至处，∴.∵，∴.∵，∴.∵，得为等腰三角形，∴.过点作于点，∴，∴，∴，即点在（1）的基础上还需上调.【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.18. （2018•贵州安顺•10分）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参考数据：，）【答案】该建筑物需要拆除.【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB.DB的长，结合图形求出DH，比较即可．详解：由题意得，米，米，在中，，∴，在中，，∴，∴（米），∵米米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．19. （2018•广西桂林•8分）如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，，结果精确到0.1小时）【答案】1.0小时.【解析】分析：延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D，通过解直角三角形BDC和ADC，求出BD.CD和AD的长，继而求出AB的长，从而可以解决问题.详解：如图，因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D．∵∠BCD=45°，BD⊥CD，∴BD=CD．在Rt△BDC中，∵cos∠BCD=，BC=60海里，即cos45°=，解得CD=海里，∴BD=CD=海里．在Rt△ADC中，∵tan∠ACD=即 tan60°==，解得AD=海里，∵AB=AD－BD，∴AB=－=30（）海里．∵海监船A的航行速度为30海里/小时，则渔船在B处需要等待的时间为==≈2.45－1.41=1.04≈1.0小时，∴渔船在B处需要等待约1.0小时．点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．20. （2018·黑龙江大庆·6分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．【解答】解：作PC⊥AB于C点，∴∠APC=30°，∠BPC=45° AP=80（海里）．在Rt△APC中，cos∠APC=，∴PC=PA•cos∠APC=40（海里）．在Rt△PCB中，cos∠BPC=，∴PB===40≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．21．（2018·湖北省恩施·8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）【分析】先根据题目给出的方向角．求出三角形各个内角的度数，过点B作BE⊥AC构造直角三角形．利用三角函数求出AE.BE，再求和即可．【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠C=45°过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△AEB中，∵∠BAC=60°，AB=100米∴AE=cos∠BAC×AB=×100=50（米）BE=sin∠BAC×AB=×100=50（米）在Rt△CEB中，∵∠C=45°，BE=50（米）∴CE=BE=50=86.5（米）∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）≈137米答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．【点评】本题考查了方向角和解直角三角形．题目难度不大，过点B作AC的垂线构造直角三角形是解决本题的关键．22.（2018•贵州铜仁•10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45°，距点C的10米D处测得A的仰角为60°，且C.D.B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，≈1.732）【分析】根据AB和∠ADB.AB和∠ACB可以求得DB.CB的长度，根据CD=CB﹣DB可以求出AB的长度，即可解题．【解答】解：在Rt△ADB中，DB==AB，Rt△ACB中，CB==AB，∵CD=CB﹣DB，∴AB=≈23.7（米）答：电视塔AB的高度约23.7米．23.（2018•海南•8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A.B.C三点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈14，≈1.7）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米．在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=7米．（2）作HJ⊥CG于G．则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．在Rt△BCG中，tan60°=，∴=，∴x=+．∴CG=CF+FG=×1.7+3.5+1.5=11.3米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24.（2018•贵州遵义•8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4 m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．25．（2018年湖南省娄底市）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．。
中考数学总复习统计与概率第28课时概率考点突破省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
强化训练
考点二：用列举法求概率 例2（·连云港）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之 间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完， 赢得三局及以上队获胜．假如甲、乙两队每局获胜机会相同． （1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜概率是； （2）现甲队在前两局比赛中已取得2：0领先，那么甲队最终获胜概率是 多少？
事件.
2.概率概念
普件A发生概率.
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考点聚焦
考点二 频率与概率
1.概率计算
(1)较简单问题情景下概率
在一次试验中，有n种等可能结果，事件A包含其中m种结果，则事件A
发生概率P(A)=
.
(2)两步或两步以上试验事件概率计算方法
第八单元 统计与概率
第28课时 概 率
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考点聚焦
考点一 事件分类
1.事件分类
（1）确定事件：在一定条件下，有些事件发生是否是能够事先 确定 ，这么 事件叫做确定事件，其中 一定会发生事件叫做必定事件， 一定不发会生事件
叫做
不事可件能.
（2）随机事件：在一定条件下，可能 发生 也可能 不发生 事件，称为随机
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强化训练
考点二：用列举法求概率
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归纳拓展
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强化训练
考点三：用频率预计概率
例3（·武汉）下表统计了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n
400 1500 3500 7000 9000 1400
0
成活数m
325 1336 3203 6335 8073 1262
8
由•此预成（计活准这种频 确幼树率 到在此0条.0件1下）移0植.38成1活概0率.18约9是__0_._59_1_____0_.5（90准确到 0.708.91）.