高中数学《双曲线》教案新人教A版选修1-1

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高中数学《双曲线》教案5新人教A版选修1-1

的轨迹为双曲线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程焦点
x2 y2 a 2 b2 1(a,b 0) (c,0), ( c,0) ，
y2 x2 a 2 b2 1(a, b 0) (0, c), (0, c)
性焦距
2c
范围质
| x | a, y R
顶点
(a,0), ( a,0)
对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称
a ba b
有
5．
5. （ 09 江西卷文）设
x2 F1 和 F2 为双曲线 a 2
y2 b2
1( a
0, b 0 ) 的两个焦点 , 若 F1， F2 ，
P (0,2 b) 是正三角形的三个顶点 , 则双曲线的离心率为（
）。
3
A．
2
B
．2
5
C
．
D ．3
2
【解析】由 tan
c
6 2b
3 有 3c2 4b2 4(c2 a2 ) , 则 e c 2 , 故选 B.
y2 1
x2
B．
y2
x2
1
9
C ．3
y2
x2
1
7
D ．7
y2 1
3
2
2
[ 解析 ] 由 | MF1 | | MF2 | 2 和 PF 1 PF 2 40得 | PF 1 PF 2 | 6 ，选 A
9 3. 两个正数 a、 b 的等差中项是 2 ，一个等比中项是 2 5 ，且 a
x2
b, 则双曲线 a 2
3. 双曲线
x2 a2
y2 b 2 ＝１的参数方程为：
x asec
（为参数）。

2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修11

2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修1-1一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计并加以研究.3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课 1．概念辨析以双曲线标准方程，为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得，当时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点.但y 轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长归纳：顶点：特殊点：实轴：长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异 4．渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为. （1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内a x a x ab y >-=,22与直线的位置关系;设是a x a x ab y >-=,22上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,Y x aba x ab y =≤-=≤220，∴在的下方. ∴22222222))((ax x a x x a x x a b a x a b x a b -+-+--⋅=-- ，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；（3）求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为. 2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上.例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；（2）与（a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①、与②、③、④、⑤之间的关系. （三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)与;(2) 与的区别?(1) 不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.问题: 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成.当时交点在x 轴，当时焦点在y 轴上.即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．3．例题分析1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件，分别求双曲线标准方程. （1）且实轴长为；（2）过点；（3）一个焦点坐标为. 解：（1）设双曲线方程为, 当时焦点在x 轴上，，双曲线方程; 当时焦点在y 轴上，，双曲线方程; （2）设双曲线方程为将代入得，双曲线方程（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为. 2、（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程. 解：（1）渐近线方程为，22)2(2122=-⋅+--=αtg ，;（2）当焦点在轴上时，方程为; 当焦点在轴上时，方程为.三、巩固练习1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 .2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成. 五、作业布置1、习题册P363，4，5，6，72、补充作业（1）求方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. （2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程. （3）求以为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程.七、教学设计说明1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.。

高中数学双曲线教案新人教A版选修1

2.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时）教学目标知识与技能使学生了解双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征。

过程与方法进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比、分析、归纳的能力。

情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。

教学重点及难点重点双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质。

难点有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用。

教学过程一、复习引入：1、复习椭圆的几何性质；2、复习双曲线的标准方程。

二、新授内容：（一）双曲线的几何性质：（以焦点在x 轴为例）1、范围由标准方程22221x y a b-=推导出,x a a y R ≤-≥∈或x2、对称性双曲线关于x 轴、y 轴及原点对称。

3、顶点双曲线与它的对称轴的交点即为双曲线的顶点。

双曲线仅有两个顶点：()()12,0,,0A a A a -4、轴线段12A A 叫做双曲线的实轴，实轴长是2a ，a 叫实半轴长。

()()120,,0,B b B b -，线段12B B 叫做双曲线的虚轴，虚轴长是2b ，b 叫虚半轴长。

实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。

5、渐近线直线00x y x ya b a b+=-=或叫做双曲线的渐近线。

特别地，当a b =时，双曲线的方程为222x y a -=，实轴长和虚轴长都等于2a ，双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程为y x y x ==-或，它们互相垂直。

6、离心率双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即c e a=，因为c ＞a ＞0，所以1e ＞。

又222c a b =+，所以c e a ==1、已知方程求其几何性质例1 （1）求双曲线22916144y x -=的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并作出草图。

高中数学双曲线1 学案(新人教A版选修1-1)

§2．2．1双曲线的标准方程学案【学习目标】学习要求：1、熟练掌握求曲线方程的方法；2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；3、能根据已知条件求双曲线的标准方程，根据标准方程求a、b、c焦点。

高考要求：理解掌握双曲线的定义及标准方程，熟练运用。

【学习重点】双曲线的定义、标准方程及推导过程，熟练根据已知条件求双曲线的标准方程。

【学习难点】双曲线标准方程的推导及结合实际条件求双曲线的标准方程。

【学习过程】(一)问题情境我们前面一起研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。

今天我们继续研究学习。

我们来看一个拉链实验，它体现了我们学习过的圆锥曲线____________的特征？它的定义是什么？用数学式子表达________________________________________,当2a=|F1F2|时它的轨迹是____________________________当2a>|F1F2|时它的轨迹是____________________________.(二)学生活动如何推导推导双曲线的标准方程呢？可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？请同学们自己尝试推导双曲线的标准方程类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程_____________________．阅读课本第34页完善自己的推导过程我们来观察一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么区别？在双曲线的标准方程中，根据__________________________________________确定其焦点在哪个坐标轴上。

（三）数学应用例1：请判断下列方程哪些表示双曲线？若是，请求出 a 、b 、c 和它的焦点坐标。

（1）22132x y -= （2）22144x y -=- （3）22169144x y -= （4）22431x y --=-（5）22221(0)1x y m m m -=≠+变式运用：已知11122=-++ky k x 表示双曲线，求k 的取值范围。

高中数学选修1,1《双曲线》教案

高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。

双曲线及标准方程教案新人教A版选修1-1.doc

双曲线及标准方程教案新人教A版选修1-1教学目标：1•通过教学，使学生熟记双1山线的定义及其标准方稈，理解双曲线的定义，体会双Illi线标准方稈的探索推导过程.2.使学生在学会知识的过稈屮，进一步熟练用坐标法建立Illi线方稈，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是木课的重点.定义屮“差的绝对值”、&与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具:CAT课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？（学生口述椭圆的定义，教师利川CAI课件把椭圆的定义和图象放出來.）师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件I PFJ + I PF2 I二2a（常数）（2a> I FE I ）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件I PFJ + I PF2 I二2a（常数）的动点P的轨迹是椭圆,那双曲线应该是点P满足什么儿何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验屮寻找答案：I PF. I - I PF2 I 二2a 或I PF2 I - I PFi I =2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下血我们来验证一下.（播放双曲线flash生成动画，验证几何条件）师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果I PR I > I PF2丨，则得到曲线的右支,如果I PF2 | > I PF】|则得到曲线的左支,能否用一个等式将两儿何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在I PFd - I PF： I二2a左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值2a与I F：F； I大小关系怎样？（结合图象，学生分析：应该有2a〈IFF I ）（在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）三、方程推导师：平面解析儿何的基木思想是利用代数的方法来研究儿何问题，借助于曲线的方稈来揭示曲线的性质•下面我们来探究双曲线的方稈.首先请回忆椭圆的标准方稈是什么？（学生口述教师板书椭闘的标准方程）师：椭圆的标准方稈我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方稈.（学生在草稿纸上试着完成，教师板书方稈的推导过稈）建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P（x、y）, I F I F2 I =2c,并设F I（-C,0）,F2（C,0）.由两点间距离公式，得I PF1 I 二J（x + c）2 +y2 , I PF2 | 二J（x-c）2 + y2由双曲线定义，得I PFi I - I PF2 I =±2a 即J(x + c)2 + - J(x — c)2 + 二±2a化简方程Jo + c)2 + y2 二土2a+ yj(x-c)2 + y2两边平方，得(x+c) 3+y2=4a2±4a^/(x-c)2+ y2 +(x-c)?+y?化简得：cx-a2=±yl(x-c)2 + y2两边再平方，鏗理得(c2~a?) x2-a?y2=a? (c2~a?)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c~2a>0,即c>a,所以c2-a2>0设c2-a2=b2 (b>0),代入上式，得b?x2-a2y2=a2b2也就是x?/a2-y7b2=l师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双Illi线的有关性质•这一简化的方稈称为双1111线的标准方程.结合图形再一次理解方程屮a>0, b>0的条件是不可缺少的.b的选取不仅使方稈得到了简化、和谐，也冇特殊的几何意义.具有c2=a2+b2,区别其与椭圆中『二於+J的不同之处.师：与桶圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标進方程形式又怎样呢？(引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：yVa-xVb^l此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程)师：如何记忆这两个标准方程？(师生共析：双Illi线的方稈右边为1,左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴•用一句话概括“以正负定焦点”)四、巩固内化例：已知两定点存(-5,0),坊(5,0),求到这两点的距离Z差的绝对值为8的点的轨迹方程。

[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.7双曲线第二定义优质课教案

2.2.7双曲线第二定义教案新人教A 版选修1-1教学重点：双曲线的第二定义教学难点：双曲线的第二定义及应用. 教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义）教学过程：1 一、复习引入： 1、（1）、双曲线的定义：平面上到两定点21F F 、距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.定点21F F 、叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(2)、双曲线的标准方程：焦点在x 轴：12222=-by a x )0,0(>>b a 焦点在y 轴：22221y x a b -= )0,0(>>b a 其中222c b a =+ 2、对于焦点在x 轴上的双曲线的有关性质：（1）、焦点：F 1(-c,0),F 2(c,0)；(2)、渐近线:x ab y ±=；（3）、离心率：ac e =>13、今节课我们来学习双曲线的另一定义。

（板书课题：双曲线第二定义）二、新课教学：1、引例(课本P 64例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x =的距离之比是常数54,求点M 的轨迹方程. 分析：利用求轨迹方程的方法。

解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,P={M|||54MF d =}, 即54= 221169x y -=化简得所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。

由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线16:5l x =为2a x c=,常数为离心率ac e =>1.[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:a l x c=的距离之比是常数1c e a =>,求点M 的轨迹方程。

解：设d 是点M 到直线l 的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|||54MF d =}, 即c a = 化简得22222222()()c a x a y a c a --=-两边同时除以222()a c a -得22221x y a b -=(0,0)a b >>其中 2、小结：双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数1c e a =>时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。

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双曲线及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
1.掌握双曲线定义、标准方程；
2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；
3.认识双曲线的变化规律.
(二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
(三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
二、教材分析
1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
2．难点：双曲线的标准方程的推导．
(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)
3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？
(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)
三、活动设计
教学方法启发引导式
教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．
四、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；
(3)常数2a＞|F1F2|．
2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)练习与例题
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)小结
1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形(见图2-25)：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．
作业答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1 六、板书设计。