巧用变式训练 激活学生思维

巧用变式训练激活学生思维
湖北省潜江市高石碑镇第一初级中学黄群梅所谓数学变式训练,是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变。

也就是所谓“万变不离其宗”。

变式教学可以让学生在“变”的过程中感悟知识真谛,扩充思维结构,增强对知识相互联系的再认识,从而更好形成自己的思想和能力,达到举一反三,融会贯通的效果。

下面结合课堂教学实践谈谈在数学课堂中如何运用变式训练，激活数学思维。

一、概念定义的变式
数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。

当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。

如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练：
例：16的平方根是。

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。

但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是，16的负的平方根是。

通过这个变式1和例题的对比学生可以很清晰的理解几个概念的联系和区别，加深对概念的内化理解。

在平方根这节课的教学时，还介绍了平方根、正的平方根、负的平方根
的符号表达式，但在应用时学生对符号式和文字表达理解不够深刻，往往到九年级复习时还会出现理解错误，因此在变式1的基础上我又出示了变式2，变式2：16的正的平方根是。

学生在解决变式2时出错率很高，他们把此题错误的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多数为4”，这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现。

在学生出错的基础上讲解，此题要经过两次运算，先算16等于4，再算4的正的平方根等于2。

学生听完讲解恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解。

接下来，为了锻炼学生对概念的灵活掌握和应用，培养学生逆向思维的能力我又设置了下面的变式，
变式3：已知a的平方根是5.0 ，则a= 。

通过这个变式训练学生对平方根的概念掌握更加灵活，同时也培养了数学思维能力。

二、公式、法则、定理等的变式训练
数学基础知识、基本概念(定义、定理、性质、公式、法则)是解决数学问题并产生新问题的起点。

在复习公式、定理的教学中，不要直接呈现现成的结论，而应充分利用特例、实验等手段，设计系列问题变式。

利用问题变式来明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围、注意事项等关键之处，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确的演算能力。

从而引发学生遐思绵绵，培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性。

例如：“求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

”
一般学生解决这个问题是不困难的，顺题深入还可以提出以下问题。

变式1：顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形?
变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形? 变式5：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形?
变式6：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形?
通过这样一系列变式，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，沟通了不同知识间的内在联系，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。

三、 题目形式的变式训练
题目形式的变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联，而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想加深领会，达到触类旁通的效果。

1、多题一解，培养学生举一反三，触类旁通的能力
例如：k 取何值时，方程-2x 2+(4k+1)x-2k 2+1=0没有实数根？
因为当根的判别式小于零时，一元二次方程没有实数根，所以令△﹤0，
即△=（4k+1）2-4×(-2) ×(-2k 2+1)﹤0,得k ﹤-98
解完此题后可引导学生反思，在你所解过的题目中与此题解法相同，但不是一元二次方程的题目有吗？请举几个例子，学生举出了如下例子;
(1) k 取何值时，二次三项式 -2x 2+(4k+1)x-2k 2+1 的值总是负数？
（2）k 取何值时, 不等式-2x 2+(4k+1)x-2k 2+1﹤0 恒成立？
（3）k取何值时，二次函数y=-2x2+(4k+1)x-2k2+1的图象始终在x轴的下方？（4）k取何值时，二次函数y=-2x2+(4k+1)x-2k2+1的图象与x轴没有交点？
2、一题多变，培养思维的灵活性
一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等。

例如：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。

（引导学生分析，完成此例题）
图1
变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F 三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？
变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？
变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？
变式4:如图2：在平行四边形ABCD中，H、G、E、F分别为线段BO、DO、AO、CO的中点，问四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？若结论成立，那
么直线EG 、FH 有什么位置关系？
图2 图3
变式5:如图3在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个点；G 、H 是对角线BD 上的两点。

已知AE=CF ，DG=BH ，上述结论仍旧成立吗？
这组变式题在“变”的过程中在逐步加深，让学生深刻理解平行四边形的判定定理的应用，同时极大地锻炼了学生的思维深度、广度，提高了数学解题能力和探究能力。

四、解题方法的变式训练
解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”类训练。

在教学中老师要善于设置“一题多解”类变式训练，引导学生能否从另外的角度或途径去分析、思考，从而寻找最佳解题方案，使学生从单一的思维模式中解放出来,达到以创新方式来解答问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

例：二次函数的图象过点（-1，0），（3，0），（1，5）三点，求其解析式。

解法1：设其解析式为y= ax 2+bx+c (一般式)，因图象过已知的三点，所以有
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-50
390c b a c b a c b a 解得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==-=4152545c b a 所求的解析式为y= - 54 x 2+52 x+154
解法2：完成后，让学生反思还有没有另外的解法，学生通过观察、分析、讨论发现（-1，0），（3，0）这两个点在x轴上，即二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点，这样可设交点式。

设其解析式为y=a（x+1）(x-3) ，
因图象还过已知点（1，5），所以，有5=a(1+1)(1-3) ，得a= - 5 4
所求的解析式为y= - 5
4(x+1)(x-3)
解法3：还有些学生发现（-1，0），（3，0）是该抛物线与x轴的交点，
所以它们一定是一对对称点，从而对称轴为x= 1
2(-1+3)=1 ，即直线x=1，
而第三点（1，5）又在对称轴直线x=1上，所以（1，5）是此抛物线的顶点，
于是可设顶点式解析式为y=a(x-1)2 +5，再将（3，0）代入。

求得a= - 5
4，
所以所求的解析式为y= - 5
4(x-1)
2 +5
通过这三种方法的思考和比较，既让学生对问题有更深层次的理解，又开阔了学生的思路，激活了思维。

以上我介绍了几种基本的数学变式训练，其实数学变式训练不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习的需要，遵循学生的认知规律而设计，其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用----理解----形成技能----培养能力”的认知过程。

因此，在数学课堂中我们要善于利用变式训练，引导、激发学生思维活动，提高课堂教学有效性!
参考文献：
1、余峥嵘解题后反思什么《中小学数学》初中版中学教育学会主办2004年1—2期
2、赵晓楚周爱东如何在数学课堂中实施变式教学
中小学教学研究2007年第5期
3、徐勇彪变式训练在初中数学中的应用与思考新课程研究(教师教育)
4、冯克诚《中学数学课堂教学方法》内蒙古大学出版社。