辽宁省2020届高考文科数学 模拟试卷(五)(word,含答案)
辽宁省实验中学2020届高三下五模考试(文数)-含答案
辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试数学文科试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．．．．．．．题目要求的．．．．．。
1．已知集合6{|1}2A x Z x =∈≥+，}4)21(41|{≤≤=x x B ，则=⋂B A （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．}2,1,0,1{-C ．}2,1,0,1,2{--D ． }2,1,0{2. 若复数289123...910z i i i i =+++++（i 是虚数单位），则在复平面内，z 的共轭复数z 对应的点在第（ ）象限。
A ．一B ．二C ．三D ． 四3. 已知a 为正数，则“1a >”是“21log 0a a a-+> ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。
在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作102)3()11(=，则二进制中的位共102)1111111111(转化为十进制的数为（ ）A ．1023B ．1024C ．2047D ． 20485. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则y x z 3-=的最大值为（ ）A ．-7B ．-6C ．1D ． 6 6. 用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（ ） A ．2.03 B ．3.05 C ．3.14 D ．3.24 7. 如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．168. 如图的框图中，若输入3231=x ，则输出的i 的值为（ ）开始输入xi=0x=2x-1i=i+1x=0否是输出i 开始A ．3B ．4C ．5D ． 69. 已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与y 轴交于点，在y 轴右边到y 轴最近的最高坐标为,212π⎛⎫⎪⎝⎭，则不等式()1f x >的解集是（ ） A ．5,66k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．5,126k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．,64k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈D ．,124k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 11. 己知函数()()*21x nf x n N x x -=∈++的最小值为n a ，最大值为n b ，若n n n c a b =，则数列{}n c 是（ ）A ．公差不为零的等差数列B ．公比不为1的等比数列C ．常数列D ．以上都不对12. 已知函数()4224xxxx f x k k --=+++，若对于任意的123,,[1,1]x x x ∈-，以123(),(),()f x f x f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（ ）A ．1(,)2+∞B ．1(,)3+∞C ．1(,)6+∞D ． 1(,)12+∞第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份) (解析版)
2020年高考数学内测模考试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2） B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．34．设平面向量a →=(2，1)，b →=(0，−2)，则与a →+2b →垂直的向量可以是（ ）A ．（4，﹣6）B ．（4，6）C ．（3，﹣2）D ．（3，2）5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝12，a 2＝5，则a 5＝（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．36．已知A 是△ABC 的内角，则“sin A =√32”是“tan A =√3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，m ∥α，n ⊥β，则下列正确的是（ ） A ．若α∥β，则m ⊥n B ．若α∥β，则m ∥βC ．若α⊥β，则n ∥αD ．若α⊥β，则m ⊥n8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D ．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，则（ ） A ．f （﹣log 23）＜f （log 32）＜f （0） B ．f （log 32）＜f （0）＜f （﹣log 23） C ．f （0）＜f （log 32）＜f （﹣log 23） D ．f （log 32）＜f （﹣log 23）＜f （0）10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．16311．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]12．已知函数f(x)={x 3−2x ，x ≤0−lnx ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣x ﹣a 有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2）B ．[0，1）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A ，B ，C 三位球迷赛前在一起聊天．A 说：“甲队一定获胜．”B 说：“甲队不可能输．”C 说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 14．函数y =lnxx 的图象在x ＝1处的切线方程是 ． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为 ．16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图： （1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx−ax−bx（a，b∈R）．（1）当b＝0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数g（x）=f(x)x在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e）上有两个零点，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ＝{x |x 2≤4，x ∈R}，B ＝{x |√x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，2}【分析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，找出A 与B 的交集即可． 解：由A 中不等式解得：﹣2≤x ≤2，即A ＝[﹣2，2]，由B 中不等式解得：0≤x ≤16，x ∈Z ，即B ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}， 则A ∩B ＝{0，1，2}， 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．复数z =2+4i1+i（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，1） B ．（﹣1，3） C ．（3，﹣1） D ．（2，4）【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解：z =(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=3+i ， ∴复数z 所对应点的坐标是（3，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z ＝x +2y 的最小值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣3D ．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得A （1，1），B （﹣2，﹣2），C （﹣5，1）， z ＝x +2y ，则y =−12x +12z ，当直线y=−12x+12z过点B（﹣2，﹣2）时z取到最小值，所以z＝x+2y的最小值是﹣2+2×（﹣2）＝﹣6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．4．设平面向量a→=(2，1)，b→=(0，−2)，则与a→+2b→垂直的向量可以是（）A．（4，﹣6）B．（4，6）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】根据向量a→，b→的坐标可求出a→+2b→的坐标，然后让a→+2b→与每个选项的向量进行数量积坐标运算，看哪一个为0，为0的便与a→+2b→垂直．解：a→+2b→=(2，1)+2(0，−2)=(2，−3)；（4，﹣6）•（2，﹣3）＝8+18≠0，（4，6）•（2，﹣3）＝8﹣18≠0，（3，﹣2）•（2，﹣3）＝6+6≠0，（3，2）•（2，﹣3）＝6﹣6＝0；∴(3，2)⊥(a→+2b→)．故选：D．【点评】考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件．5．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12=6(5+a5)2，解得a5═﹣1．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知A是△ABC的内角，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在三角形中，若sin A=√32，则A=π3或2π3，若tan A=√3，则A=π3，则“sin A=√32”是“tan A=√3”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的计算是解决本题的关键．7．已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）A．若α∥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥βC．若α⊥β，则n∥αD．若α⊥β，则m⊥n【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断命题的真假性即可．解：对于A，由α∥β，n⊥β，所以n⊥α；又m∥α，所以n⊥m，A正确；对于B，由m∥α，且α∥β，得出m∥β，或m⊂β，所以B错误；对于C，由n⊥β，且α⊥β时，得出n∥α或n⊂α，所以C错误；对于D，m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，也可能相交，也可能在β内；α⊥β，且n⊥β，则n∥α或n⊂α，所以m⊥n不一定成立，D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中的直线与平面位置关系的判定问题，熟练掌握相应的定理和性质定理是解题的关键．8．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多【分析】本题可根据两个图形的数据进行观察，比较，以及计算得出结果．解：由题意，可知：对于A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上；对于B：互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.56×0.396＝0.22176＞0.2，则包括80后、80前更大于总人数的20%；对于C：产品岗位90后人数占总人数的0.56×0.065＝0.0364＜0.05；对于D：从事运营岗位的90后人数占总人数的0.56×0.17＝0.0952＞0.03．故选：C．【点评】本题主要考查对统计图的观察分析能力，以及依据统计图中数据进行计算．本题属基础题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（）A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）【分析】由已知结合奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，从而可比较大小．解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴根据奇函数的对称性可知，f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，即f （x ）在R 上单调递减，∵﹣log 23＜0＜log 32，∴f （﹣log 23）＞f （0）＞f （log 32）， 故选：B ．【点评】本题主要考查了奇函数对称区间上单调性一致的性质及利用单调性比较函数值的大小，属于基础试题．10．圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则2a+6b 的最小值是（ ） A ．2√3B ．323C ．203D ．163【分析】由已知求得圆心坐标，代入直线方程，可得a 3+b =1，再由基本不等式求最值．解：由圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0，得圆心坐标为（﹣2，6）， 又圆x 2+y 2+4x ﹣12y +1＝0关于直线ax ﹣by +6＝0对称， ∴﹣2a ﹣6b ＝﹣6，即a +3b ＝3，得a3+b =1，又a ＞0，b ＞0，∴2a+6b=（2a+6b）（a3+b ）=203+2b a+2a b≥203+2√2b a⋅2a b=323．当且仅当a ＝b 时上式等号成立． ∴2a+6b 的最小值是323．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 11．已知函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ） A ．g （x ）在[π4，π2]上是增函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，画出其图象，则答案可求．解：∵f （x ）=√3sin ωx +cos ωx =2(√32sinωx +12cosωx)=2sin(ωx +π6)，由题意知T 2=π2，则T ＝π，∴ω=2πT=2ππ=2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g （x ）＝f （x +π6）＝2sin[2(x +π6)+π6]=2sin(2x +π2)=2cos2x ． 其图象如图：由图可知，函数在[π4，π2]上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为（−π4，0），B 错误； 函数为偶函数，C 错误； 2cos(2×π6)=1，2cos(2×2π3)=−1， ∴当x ∈[π6，23π]时，函数g （x ）的值域是[﹣2，1]，D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．12．已知函数f(x)={x3−2x，x≤0−lnx，x＞0，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，1）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1]【分析】由g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0得a＝f（x）﹣x，设h（x）＝f（x）﹣x，求函数的h（x）的导数，研究函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣x﹣a有3个零点得g（x）＝f（x）﹣x﹣a＝0，即a＝f（x）﹣x有3个根，设h（x）＝f（x）﹣x，当x≤0时，h（x）＝f（x）﹣x＝x3﹣3x，此时h′（x）＝3x2﹣3＝3（x2﹣1），由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜1，∵x≤0，∴﹣1＜x＜0，此时为减函数，即当x＝﹣1时，函数取得极大值为h（﹣1）＝﹣1+3＝2，当x＞0时，h（x）＝f（x）﹣x＝﹣lnx﹣x为减函数，作出函数h（x）的图象如图：要使a＝h（x）有三个不同的根，则a满足0≤a＜2，即实数a的取值范围是[0，2），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，求出函数的导数，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．甲、乙两支足球队进行一场比赛，A，B，C三位球迷赛前在一起聊天．A说：“甲队一定获胜．”B说：“甲队不可能输．”C说：“乙队一定获胜．”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是 甲胜 ．（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）【分析】根据条件分析可得若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意；若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意；若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 解：根据三人的说法可知：A ：甲胜；B ：甲胜或甲乙平局；C ：乙胜， 若甲胜，则A ，B 都正确，不合题意； 若乙胜，则C 正确，AB 错误，合题意； 若甲乙平局，则B 正确，AC 错误，也合题意， 故比赛结果可能是乙胜或甲乙平局， 故答案为：甲胜．【点评】本题考查学生的合情推理能力，属于基础题． 14．函数y =lnxx的图象在x ＝1处的切线方程是 x ﹣y ﹣1＝0 ． 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程． 解：函数y =lnxx 的导数为y ′=1−lnx 2， 可得图象在x ＝1处的切线斜率为k ＝1，切点为（1，0），则图象在x ＝1处的切线方程为y ＝x ﹣1， 即x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣y ﹣1＝0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 15．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若点F到直线AB 距离为5√1414b ，则该椭圆的离心率为23．【分析】求出左焦点坐标，AB 的方程，利用点到直线的距离公式求解即可． 解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的方程为：xa+y b =1，即：bx +ay ﹣ab ＝0点F 到直线AB 距离为5√1414b ，可得：√a 2+b 2=5√1414b ，可得14（a +c ）2＝25a 2+25b 2＝50a 2﹣25c 2．可得：39e 2+28e ﹣36＝0，e ∈（0，1），解得e =23，e =−1813（舍去）， 故答案为：23．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，tanA =cosA+cosCsinA+sinC，则角A 的取值范围是 (π6，π4) ． 【分析】先利用商数关系tanA =sinAcosA代替原等式中的tan A ，然后利用二倍角公式和余弦的两角和公式进行化简，可得2A ＝B ，因为A +B +C ＝π，所以C ＝π﹣3A ，由于△ABC 为锐角三角形，所以A 、B 、C 均为锐角，据此可以解出角A 的范围． 解：∵tanA =cosA+cosC sinA+sinC =sinAcosA，∴cos 2A +cos A cos C ＝sin 2A +sin A sin C ， ∴cos 2A ﹣sin 2A ＝﹣（cos A cos C ﹣sin A sin C ），即cos2A ＝﹣cos （A +C ）＝cos B ， ∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ∈(0，π2)，∴A ∈(0，π4)， 又A +B +C ＝π，∴3A +C ＝π，即C ＝π﹣3A ， ∵C ∈(0，π2)，∴π﹣3A ∈(0，π2)，∴A ∈(π6，π3)， 综上所述，角A 的取值范围是(π6，π4)． 故答案为：(π6，π4)．【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，△PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面MDB ； （2）求三棱锥A ﹣BDM 的体积．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OM，推导出OM∥PA，由此能证明PA∥平面MDB．（2）三棱锥A﹣BDM的体积V A﹣BDM＝V M﹣ABD，由此能求出结果．解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连结OM，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点M为PC的中点．∴OM∥PA，∵OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面MDB．（2）解：取AD中点N，连结PN，∵四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点，∴PN⊥平面ABCD，PN=√4−1=√3，M到平面ABD的距离d=PN2=√32，S△ABD=12×2×2×sin60°=√3，∴三棱锥A﹣BDM的体积为：V A﹣BDM＝V M﹣ABD=13×S△ABD×d=13×√3×√32=12．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是220+2402=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为1125+15+10+5=1 5，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×15=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1S n}的前n项和，求满足T n＞1522的最小的n值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求T n，求解不等式得答案．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，{10a1+10×92d=1204d2=d(2a1+d)，解得：a1＝3，d＝2．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）得，S n=3n+n(n−1)×22=n(n+2)，则1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2) =12(32−1n+1−1n+2)．由T n＞1522，得3n2﹣35n﹣60＞0，解得：n＜35−√19456（舍）或n＞35+√19456．∵n∈一、选择题*，∴n的最小值为14．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为1 2，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则△F1AB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程． 解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1，即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S△F 1AB=12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4， 令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t 3t 2+1+123t+1t 令f(t)=3t +1t，则f′(t)=3−1t 2， 当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3， 此时直线l 的方程为x ＝1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数f （x ）=lnx−ax−bx （a ，b ∈R ）． （1）当b ＝0时，讨论函数f （x ）的单调性； （2）若函数g （x ）=f(x)x在x =√e （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数g （x ）在（0，e ）上有两个零点，求实数b 的取值范围． 【分析】（1）b ＝0时，f （x ）=lnx−ax ，x ∈（0，+∞）．f ′（x ）=1−(lnx−a)x 2=−[lnx−(a+1)]x 2，即可得出单调性． （2）g （x ）=f(x)x =lnx−a x 2−b ，x ∈（0，+∞）．g ′（x ）=x−2x(lnx−a)x 4=1−2lnx+2ax 3．根据函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，可得g′(√e)=0，解得a＝0．g（x）=lnx2−b，再利用导数已经其单调性极值及其函数零点存在大量即可得出．解：（1）b＝0时，f（x）=lnx−ax，x∈（0，+∞）．f′（x）=1−(lnx−a)x2=−[lnx−(a+1)]x2，可得函数f（x）在（0，e a+1）上单调递增，在（e a+1，+∞）上单调递减．（2）g（x）=f(x)x=lnx−ax2−b，x∈（0，+∞）．g′（x）=x−2x(lnx−a)x4=1−2lnx+2ax3．∵函数g（x）在x=√e（e为自然对数的底）时取得极值，∴g′(√e)=1−1+2a(√e)3=0，解得a＝0．∴g（x）=lnx2−b，g′（x）=−2(lnx−12)x3．可得x=√e（e为自然对数的底）时取得极大值，∵函数g（x）在（0，e）上有两个零点，∴g（√e）=12e−b＞0，g（e）=1e2−b＜0，解得1e2＜b＜12e．∴实数b的取值范围是(1e2，12e)．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡，上把所选题目对应题号的方框涂黑.22．在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{x=12+ty=√3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3ρ=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）由代入消元法，消去t可得C1的普通方程；由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；（2）判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．解：（1）由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t （t 为参数），消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ＝3，由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2＝3，即x 2+2y 23=1．（2）因为M(1，√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t （t 为参数）， 代入3x 2+2y 2＝3，化简可得3t 2+8t +2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△＝64﹣4×3×2＞0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 23．设f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|． （1）求f （x ）≤x +2的解集； （2）若不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|，对任意实数a ≠0恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； （2）求出||a+1|−|2a−1||a||的最小值，问题转化为|x ﹣1|+|x +1|≥3，解出即可． 解：（1）由f （x ）≤x +2有 {x +2≥0x ≤−11−x −x −1≤x +2或{x +2≥0−1＜x ＜11−x +x +1≤x +2或{x +2≥0x ≥1x −1+x +1≤x +2⋯ 解得0≤x ≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）||a+1|−|2a−1||a||=||1+1a|−|2−1a||≤|1+1a+2−1a|=3⋯当且仅当(1+1a)(2−1a)≤0时取等号，由不等式f(x)≥|a+1|−|2a−1||a|对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得x≤−32或x≥32⋯【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2020年辽宁省高考数学(文科)模拟试卷(5)
2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（5）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}3．（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l 00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（ ）A ．72.5B ．75C ．77.5D ．804．（5分）函数f （x ）＝sin （ωx +π3）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ） A ．关于直线x =π4对称 B ．关于直线x =π3对称 C ．关于点（π4，0）对称D ．关于点（π3，0）对称5．（5分）若向量a →=（2，﹣1），b →=（﹣1，1），则a →•b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．36．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√627．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5788．（5分）函数y ＝2x +2x−1（x ＞1）的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ，则cos2α＝（ ） A ．34B ．−34C ．12D ．−1210．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x ，则（ ） A ．f(−√2)＜f （e ）＜f （√5） B ．f （e ）＜f(−√2)＜f （√5）C ．f （√5）＜f （e ）＜f(−√2)D ．f(−√2)＜f （√5）＜f （e ）11．（5分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则下列选项中，能使异面直线BC 1与A 1C 相互垂直的条件为（ ） A ．∠A 1CA ＝45°B ．∠ABC ＝45°C ．四边形ABB 1A 1为正方形D ．四边形BCC 1B 1为正方形12．（5分）已知斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （2，1），则直线l 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣3＝0B ．2x ﹣y ﹣5＝0C ．x ﹣2y ＝0D ．x ﹣y ﹣l ＝0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在△ABC 中，a =√2b ，sin C =√3sin B ，则cos B ＝ ．14．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，且BA ＝AC ＝AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为 ．15．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．16．（5分）已知函数f （x ）＝2x ﹣1﹣lnx ，对定义域内任意x 都有f （x ）≥kx ﹣2，则实数k 的取值范围是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1=√6，AB ⊥B 1C ．（1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的正弦值．18．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP 总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升．将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ；y 表示全国GDP 总量，表中z i ＝lny i （i ＝1，2，3，4，5），z =15∑ 5i=1z i ．tyz∑ 5i=1（t i −t ）2 ∑ 5i=1（t i −t ）（y i −y ）∑ 5i=1（t i −t ）（z i −z ） 326.4741.90310 209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断y ^=bt +a 与y ^=ce dt （其中e ＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程；（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量．线性回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．参考数据：n 4 5 6 7 8 e n 的近似值551484031097298119．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2−n ，{b n }为等比数列，且b 1＝a 1+1，b 2＝a 2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =1(a n +2)⋅log 2b n+2，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx +m （x ﹣1）2．（1）若函数f （x ）在[2，4]上单调递减，求实数m 的取值范围． （2）讨论函数f （x ）的单调性． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，圆O ：x 2+y 2＝c 2与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线y ＝2与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于P ，Q 两点，点R 的坐标为（−52，0），证明：RP →•RQ →为定值．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosφ−4sinφy =125cosφ+95sinφ（φ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=√3． （1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，M （2，0），求|MP |+|MQ |的值． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．2020年辽宁省高考数学（文科）模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=2+3ii=(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴z=3+2i．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：A＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．3．（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5B．75C．77.5D．80【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.5．故选：A ．4．（5分）函数f （x ）＝sin （ωx +π3）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ） A ．关于直线x =π4对称 B ．关于直线x =π3对称 C ．关于点（π4，0）对称D ．关于点（π3，0）对称【解答】解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +π3）（ω＞0）的最小正周期为2πω=π，∴ω＝2，f （x ）＝sin （2x +π3），当x =π3时，f （x ）＝0，故该函数图象关于点（π3，0）对称， 故选：D ．5．（5分）若向量a →=（2，﹣1），b →=（﹣1，1），则a →•b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．3【解答】解：因为向量a →=（2，﹣1），b →=（﹣1，1）， 所以a →•b →=2×（﹣1）+（﹣1）×1＝﹣3； 故选：A ．6．（5分）已知点（1，2）在双曲线y 2a 2−x 2b 2=1的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．√5C ．√52D ．√62【解答】解：点（1，2）在双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线上，可得ab =2，所以a 2＝4b 2＝4c 2﹣4a 2，4c 2＝5a 2，所以双曲线的离心率为：e =√52．故选：C ．7．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．578【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，478合适 则满足条件的5个编号为436，535，577，348，522， 则第5个编号为522， 故选：A ． 8．（5分）函数y ＝2x +2x−1（x ＞1）的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：因为y ＝2x +2x−1（x ＞1）， ＝2（x ﹣1）+2x−1+2≥2√2(x −1)⋅2x−1+2=6， 当且仅当2（x ﹣1）=2x−1即x ＝2时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．9．（5分）已知sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ，则cos2α＝（ ） A ．34B ．−34C ．12D ．−12【解答】解：∵sin2α＝cos α，α≠kπ2，k ∈Z ， ∴2sin αcos α＝cos α，cos α≠0， ∴sin α=12，∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（12）2=12．故选：C ．10．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x ，则（ ）A ．f(−√2)＜f （e ）＜f （√5）B ．f （e ）＜f(−√2)＜f （√5）C ．f （√5）＜f （e ）＜f(−√2)D ．f(−√2)＜f （√5）＜f （e ）【解答】解：根据题意，f （x ）＝e x +e ﹣x ，其定义域为R ，且f （﹣x ）＝e ﹣x +e x ＝e x +e ﹣x ＝f （x ），即函数为偶函数，则有f （−√2）＝f （√2）；又由f ′（x ）＝e x ﹣e ﹣x ，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，即函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，又由√2＜√5＜e ，则f （−√2）＝f （√2）＜f （√5）＜f （e ）； 故选：D ．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1⊥平面A1B1C1，则下列选项中，能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为（）A．∠A1CA＝45°B．∠ABC＝45°C．四边形ABB1A1为正方形D．四边形BCC1B1为正方形【解答】解：如图，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面CC1A1，因为A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C．当异面直线BC1与A1C相互垂直时，由AB∩BC1＝B，可得A1C⊥平面ABC1，因为AC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥AC1，所以四边形ACC1A1为正方形，所以∠A1CA＝45°，反之亦然，即当∠A1CA＝45°时，可得BC1⊥A1C，故选：A．12．（5分）已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，线段AB的中点为M（2，1），则直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x﹣y﹣5＝0C．x﹣2y＝0D．x﹣y﹣l＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得y1+y2＝2×1＝2，将点代入抛物线：{y12=4x1y22=4x2，两式相减：y12﹣y22＝4（x1﹣x2），所以k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=42=2，所以直线的方程为：y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0；故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在△ABC中，a=√2b，sin C=√3sin B，则cos B＝√63．【解答】解：∵a=√2b，sin C=√3sin B，∴由正弦定理可得c=√3b，∴由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =√2b)2√3b)222×2b×3b=√63． 故答案为：√63． 14．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，且BA ＝AC ＝AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为32π3．【解答】解：设该三棱柱外接球的半径为R ，则（2R ）2＝22×2，可得R ＝2． ∴该三棱柱外接球的体积=4π3×23=32π3． 故答案为：32π3．15．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为23．【解答】解：从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，基本事件总数n =C 32=3，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数m =C 21C 11=2，则选中的恰好是一男一女的概率为p =m n =23． 故答案为：23．16．（5分）已知函数f （x ）＝2x ﹣1﹣lnx ，对定义域内任意x 都有f （x ）≥kx ﹣2，则实数k 的取值范围是 （﹣∞，1−1e 2] ． 【解答】解：f （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，若对定义域内任意x 都有f （x ）≥kx ﹣2， 则k ≤1+1x−lnxx 对x ∈（0，+∞）恒成立， 令g （x ）＝1+1x −lnxx ，则g ′（x ）=lnx−2x 2， 令g ′（x ）＞0，解得：x ＞e 2， 令g ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜e 2，故g （x ）在（0，e 2）递减，在（e 2，+∞）递增， 故g （x ）的最小值是g （e 2）＝1−1e 2， 故k ≤1−1e 2， 故选：（﹣∞，1−1e 2]．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1=√6，AB ⊥B 1C ． （1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的正弦值．【解答】解：（1）证明：四边形BB 1C 1C 是菱形，∴B 1C ⊥BC 1， ∵AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1； ∴B 1C ⊥AO ，∵AB ＝AC 1，O 是BC 1的中点，∴AO ⊥BC 1， 又∵B 1C ∩BC 1＝O ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ； （2）由（1）可得AO ⊥平面BB 1C 1C ， 则BO 是AB 在平面BB 1C 1C 上的射影，∴∠ABO 是直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，即∠ABO ＝45°， 在Rt △ABO 中，AO ＝BO =√3， 又∵∠B 1BC ＝60°，且BC ＝BB 1， ∴△BB 1C 是正三角形，BC ＝BB 1＝2；以O 为原点，分别以OB 、OB 1、OA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则A （0，0，√3），B （√3，0，0），B 1（0，1，0），C 1（−√3，0，0）， 所以A 1B 1→=AB →=（√3，0，−√3），B 1C 1→=（−√3，﹣1，0）； 设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n 1→=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅A 1B 1→=√3x −√3z =0n →⋅B 1C 1→=−√3x −y =0， 可得n 1→=（1，−√3，1）；取平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2→=（0，0，1）；则cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→|×|n 2→|=15=√55， 所以二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的正弦值为1−(55)2=2√55．18．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP 总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升．将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ；y 表示全国GDP 总量，表中z i ＝lny i （i ＝1，2，3，4，5），z =15∑ 5i=1z i ．tyz∑ 5i=1（t i −t ）2 ∑ 5i=1（t i −t ）（y i −y ）∑ 5i=1（t i −t ）（z i −z ） 326.4741.90310 209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断y ^=bt +a 与y ^=ce dt （其中e ＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程；（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量．线性回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．参考数据：n 4 5 6 7 8 e n 的近似值5514840310972981【解答】解：（1）根据数据及图表可以判断，y ＝ce dt 更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程，对y ＝ce dt 两边取自然对数得lny ＝lnc +dt ，令z ＝lny ，a ＝lnc ，b ＝d ， 得z ＝a +bt ． 因为b ^=∑ 5i=1(t i −t)(z i−z )∑ 5i=1(t i −t)2=14.0510=1.405，所以a =z −b ^t =1.903−1.405×3=−2.312， 所以z 关于t 的线性回归方程为z ^=1.405t −2.312，所以y 关于t 的回归方程为y ^=e 1.405t−2.312=(e −2.312)e 1.405t ． （2）将t ＝5.2代入y ^=e 1.405t−2.312，其中1.405×5.2﹣2.312＝4.994， 于是2020年的全国GDP 总量约为：y ^=e 4.994≈e 5=148万亿元．19．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2−n ，{b n }为等比数列，且b 1＝a 1+1，b 2＝a 2．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =1(a n +2)⋅log 2b n+2，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由题意，当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2−n)−((n −1)2−(n −1))=2n −2， ∵此式对n ＝1也成立． ∴a n =2n −2(n ∈N ∗)． 从而b 1＝a 1+1＝1，b 2＝a 2＝2． 又∵{b n }为等比数列， ∴公比q =a2a 1=2．∴b n =b 1⋅q n−1=1⋅2n−1=2n−1．（2）由（1）可知，c n=1(a n+2)⋅log2b n+2=12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴T n=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=12(1−1n+1)=n2(n+1)．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+m（x﹣1）2．（1）若函数f（x）在[2，4]上单调递减，求实数m的取值范围．（2）讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意，f′(x)=2m(x−1)+1 x，因为函数f（x）在[2，4]上单调递减，所以f'（x）≤0在[2，4]上恒成立，故2m≤(1−x2+x)min，而1−x2+x =1−(x−12)2+14，故当x∈[2，4]时，1−x2+x∈[−12，−112]，故2m≤−12，解得m≤−14，即实数m的取值范围为(−∞，−14 ]；（2）由（1）可得，f′(x)=2mx2−2mx+1x，x∈(0，+∞)，①若m＝0，则f′(x)=1x＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若m≠0，则函数y＝2mx2﹣2mx+1的△＝4m2﹣8m＝4m（m﹣2），若m＜0或m＞2，则△＞0，令2mx2﹣2mx+1＝0，解得x=m±√m(m−2)2m，记x1=m−√m(m−2)2m，x2=m+√m(m−2)2m，其中x1+x2=1，x1x2=12m，②若0＜m≤2，则△≤0，故当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③若m＜0，则x1+x2＝1，x1x2＜0，其中x1＞0＞x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；④若m＞2，则x1+x2＝1，x1x2＞0，其中0＜x1＜x2，故当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当0≤m≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，函数f（x ）在(0，m−√m(m−2)2m )上单调递增，在(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递减；当m ＞2时，函数f （x ）在(0，m−√m(m−2)2m )，(m−√m(m−2)2m，+∞)上单调递增，在(m−√m(m−2)2m ，m+√m(m−2)2m)上单调递减．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，圆O ：x 2+y 2＝c 2与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线y ＝2与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于P ，Q 两点，点R 的坐标为（−52，0），证明：RP →•RQ →为定值．【解答】解：（1）根据条件可知b ＝c ＝2，则a 2＝b 2+c 2＝8， 所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1；（2）由（1）知F （﹣2，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当直线斜率不存在时，即直线为x ＝﹣2，此时P （﹣2，2√2）Q （﹣2，﹣2√2），则RP →•RQ →=（﹣2+52，2√2）（﹣2+52，﹣2√2）=−74； 当直线斜率存在且不为0时，设直线y ＝k （x +2）， 代入椭圆C 得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣8＝0， 则x 1+x 2=−8k21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k2，y 1y 2＝k 2[x 1x 2+2（x 1+x 2）+4]=−4k21+2k2所以RP →•RQ →=（x 1+52，y 1）（x 2+52，y 2）＝x 1x 2+52（x 1+x 2）+254+y 1y 2=8k 2−81+2k 2+52（−8k21+2k 2）+254−4k 21+2k2=−8+254=−74， 综上RP →•RQ →=−74为定值． 四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosφ−4sinφy =125cosφ+95sinφ（φ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=√3．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，M （2，0），求|MP |+|MQ |的值． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程{x =3cosφ−4sinφy =125cosφ+95sinφ消去参数φ得，曲线C 的普通方程为x 225+y 29=1．∵ρsin(θ+π3)=√3，∴√3ρcosθ+ρsinθ−2√3=0，∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y −2√3=0．………………………………（5分） （2）设直线l 的参数方程为{x =2−12t y =√32t（t 为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得7t 2﹣6t ﹣63＝0，∴t 1+t 2=67，t 1t 2=−9． ∵点M （2，0）在直线l 上， ∴|MP|+|MQ|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3649+36=30√27．………………………………（10分） 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |． （1）求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |，f （x ）≤2， ∴当x ≤0时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）+2x ＝x +3， 由f （x ）≥2，得x +3≥2，解得x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0 当0＜x ＜3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（3﹣x ）﹣2x ＝3﹣3x ， 由f （x ）≥2，得3﹣3x ≥2，解得x ≤13，此时0＜x ≤13； 当x ≥3时，f （x ）＝|x ﹣3|﹣2|x |＝（x ﹣3）﹣2x ＝﹣x ﹣3≤﹣6， 此时不等式f （x ）≥2无解，综上，不等式f （x ）≥2的解集为[−1，13]．（2）由（1）可知，f(x)={x +3，x ≤03−3x ，0＜x ＜3−x −3，x ≥3．当x ≤0时，f （x ）＝x +3≤3；当0＜x＜3时，f（x）＝3﹣3x∈（﹣6，3）；当x≥3时，f（x）＝﹣x﹣3≤﹣6．∴函数y＝f（x）的最大值为m＝3，则a+b+c＝3．由柯西不等式可得（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，即3（a2+b2+c2）≥32，即a2+b2+c2≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．因此a2+b2+c2≥3．。
辽宁省2020年高考文科数学预测题及答案
辽宁省2020年高考文科数学预测题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A B=（ ）A. {}3,1--B. {}1,3C. {}3,1,0--D. {}0,1,32. 已知函数1()()xxf x e e=-，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数3. 已知数列{}n a ，则123a a a <<是数列{}n a 是递增数列的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.7035ˆ.x y=+，则表中m 的值为（ ）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.55. 将函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. 5sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6. 若x 、y 满足约束条件30200x y x y y +-<⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则43z x y =-的最小值为（ ）A. 0B. -1C. -2D. -37. 函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A. (,1)-∞-B. 3(,)2-∞-C. 3(,)2+∞D. (4,)+∞8. 函数x x x f ln )1()(-=的图象可能为 ( )9. 若函数()sin cos (f x a x x a =+为常数，a R ∈）的图象关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图象（ ）A. 关于直线3x π=-对称B. 关于直线6x π=对称C. 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D. 关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10. 三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，若3SA AB BC AC ====，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 18π B.221πC. 21πD. 42π11.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.B.C. D.12.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。
2020年辽宁省高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)
2020年辽宁省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(文科)试卷(含答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（文科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(πD ．Z k k ∈),0,4(π 8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中“物不知数”问题叙述如下:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”，即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，设计如图所示的程序框图，则框图中的“◇”处应填入（ ）A ．Z t ∈-212B ．Z t ∈-152C ．Z t ∈-72D ．Z t ∈-32 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．已知直线l 和m 是两条不同的直线，它们都在平面α外，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，121+=+n n a S 则n S = .16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以2PF 为底的等腰三角形，42=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知m =（2cosx ，sinx ），n =（cosx ，32cosx ）， 且)(x f =m ·n ．（1）求)(x f 在]2,0[π上的值域；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若3)2(=Af ，且a=2， b+c=4，求△ABC的面积.。
2020年辽宁省渤大附中高考数学五模试卷(文科) (含解析)
2020年辽宁省渤大附中高考数学五模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数a−2i1+i(a∈R)为纯虚数，则|3−ai|=()A. √13B. 13C. 10D. √102.已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x∈Z|x2<4}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1}D. {−2,−1,0，1，2}3.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,+∞)内单调递减，则()A. f(−log23)<f(log32)<f(0)B. f(log32)<f(0)<f(−log23)C. f(0)<f(log32)<f(−log23)D. f(log32)<f(−log23)<f(0)5.已知sin(π3+α)=13，则cos(5π6+α)=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√236.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为()A. √63B. 2√55C. √155D. √1057.执行如图所示的程序框图，若输出的S=120，则判断框内应填入的条件是()A. k>4B. k>5C. k>6D. k >78. 设双曲线x 2a2−y 2b=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =12x 2+2相切，则该双曲线的离心率为( )A. √52B. √5C. √3D. √69. 变量x ，y 满足约束条件{x +y −2⩾0x −y −2⩽0y ⩽1，则目标函数z =x +3y 的最小值为( )A. 2B. 4C. 5D. 610. 将函数f(x)=2sin(x +π6)+1的图象向右平移π3个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得函数y =g(x)的图象，则g(x)图象的一个对称中心为( )A. (π6,0)B. (π12,0)C. (π6,1)D. (π12,1)11. 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为( )A. a(1+r)17B. ar [(1+r)17−(1+r)] C. a(1+r)18D. ar [(1+r)18−(1+r)]12. 已知函数f (x )=e x ，g (x )=ln x2+12的图象分别与直线y =m (m >0)交于A,B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 2+ln2C.D. 2e −ln 32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则λ=________ 14. 在数字1，2，3，4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为____Ｗ．15.已知P是椭圆x218+y29=1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2的面积为3√3，则|PF1|⋅|PF2|的值为____．16.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N，分别是AB，PC的中点；(1)求证：MN//平面PAD；(2)求四棱锥P−ABCD的体积．18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生．(1)完成下列2×2列联表：(2)能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．附：(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2+n，n∈N∗(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1(n+1)a n}的前n项和．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且过点(1,√32)．(1)求E 的方程；(2)是否存在直线l:y =kx +m 与E 相交于P,Q 两点，且满足：①OP 与OQ(O 为坐标原点)的斜率之和为2；②直线l 与圆x 2+y 2=1相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x(1+lnx)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)设F(x)=ax 2+f′(x)(a ∈R)，讨论函数F(x)的单调性；(Ⅲ)若斜率为k 的直线与曲线y =f′(x)交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，其中x 1<x 2，求证：x 1<1k<x 2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(−1,2)，直线l与曲线C相交于AB两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．解：由a−2i1+i =(a−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=(a−2)+(−a−2)i2=a−22−a+22i．因为复数a−2i1+i (a∈R)为纯虚数，所以{a−22=0a+22≠0，解得a=2．所以|3−ai|=|3−2i|=√32+(−2)2=√13．故选A．2.答案：C解析：解：A={x|−1≤x<3}，B={x∈Z|x2<4}={−1,0，1}，则A∩B={−1,0，1}，故选：C．求出B中的元素，从而求出A、B的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．3.答案：C解析：解：若“mn<0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为x 21 m +y21n=1，若“mn<0”，1m 、1n异号，方程x21m+y21n=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为x 21 m +y21n=1，此时有1m 、1n异号，则必有mn<0，故“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选：C．先证明充分性，把方程化为x21m+y21n=1，由“mn<0”，可得1m、1n异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为x2 1 m +y21n=1，由双曲线方程的形式可得1m、1n异号，进而可得mn<0，由此可得“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx2+ny2=1表示双曲线条件．4.答案：B解析：本题考查奇函数对称区间上单调性一致的性质及利用单调性比较函数值的大小，属于基础题．由已知结合奇函数的对称性可知，f(x)在(−∞,0)内单调递减，即f(x)在R上单调递减，从而可比较大小．解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,+∞)内单调递减，∴根据奇函数的对称性可知，f(x)在(−∞,0)内单调递减，即f(x)在R上单调递减，∵−log23<0<log32，∴f(−log23)>f(0)>f(log32)，故选B．5.答案：B解析：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．利用诱导公式可得，利用条件求得结果．解：cos(5π6+α)=cos[π2+(π3+α)]=−sin(π3+α)=−13，故选B．6.答案：C解析：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得OC1⊥B1D1，由长方体的性质可证OC1⊥BB1，由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成角，在Rt△BOC1中，根据余弦定义从而可求．本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的余弦值的求法，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即OC1⊥B1D1，由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1,∴OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成角，在Rt△BOC1中，OC1=√2,BC1=√5，OB=√3，∴cos∠OBC1=OBBC1=√3√5=√155，故选：C．7.答案：B解析：解：第一次执行循环后，k=1，S=1，不满足输出的S=120，第二次执行循环后，k=2，S=4，不满足输出的S=120，第三次执行循环后，k=3，S=11，不满足输出的S=120，第四次执行循环后，k=4，S=26，不满足输出的S=120，。
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数学试卷(文科)
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|y =ln(x 一1)}，B={x|y =√4一x 2}， 则A ∩B= A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
2.已知复数z 满足z(1+i)=2i ，则复数z 的虚部是 A.1 B.一1 C.i D.−i
3.已知向量a=(4，一3) ， b=(一1，2) ， a ，b 的夹角为θ， 则sin θ= A.1
2
B.√55
C.1
3
D.
2√55
4.若各项均为正数的等比数列{a n }满足a 3=3a 1+2a 2，则公比q= A.1 B.2 C.3 D.4
5.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为
A.6.25%
B.7.5%
C.10.25%
D.31.25% 6.已知a=(1
3)25
， b=25−1
3
， c=log 21
3
，则
A.a <b <c
B.c <b <a
C.b <c <a
D.c <a <b
7.若x ，y 满足约束条件{x −y ≤0，
x +y ≤2，x +1≥0，
则z=4x 十y 的最大值为
A.−5
B.−1
C.5
D.6
8.已知函数f(x) =—asin3x 十a 十b(a >0，x ∈R) 的值域为[一5， 3] ， 函数g(x) =b −cos ax ， 则g(x)的图象的对称中心为
A.(k π
4，−5)(k ∈Z ) B.(k π
4+π
8，−5)(k ∈Z )
C.(
k π5，−4)(k ∈Z ) D.(k π5+π
10
，−4)(k ∈Z ) 9.过双曲线C ：x 2
a 2−
y 2b 2
=1(a >0，b >0)的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA ⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =0，
若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为
A.√2
B.√3
C.2
D.√5
10.在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，D 为线段BC 上的动点。
若PC 与底面ABC 所成角为30°， 则PD 与底面ABC 所成角的正切值的最大值为 A.
√19
3
B.√19
C.√2
D.√3
11.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(一x)，且在[0，十∞)上是增函数，不等式f(ax+2)≤f(一1)对于x ∈[1，2]恒成立，则a 的取值范围是
A.[−3
2，−1] B. [−1，−1
2] C. [−1
2，0] D. [0，1]
12.已知函数f(x)=e x
x −t (lnx +x +2
x )恰有一个极值点为1， 则实数t 的取值范围是
A.(−∞，1
3]∪{e
3} B. (−∞，1
3] C. (−∞，1
2]∪{e
3} D. (−∞，1
2]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5+S 7=2，S 9=18，则a 6= 。
14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》中称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数。
现从1~5这5个数中随机抽取3个不同的数，则这三个数为勾股数的概率为 。
15.如图， 圆锥VO 的母线长为l ， 轴截面V AB 的顶角∠A VB=150°，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD ， 则△VCD 面积的最大值是 ，此时∠VCD= 。
(本题第一空3分，第二空2分)
16.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，当|PF |
|PK |取得最小值时，点P 的坐标为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c cosB −b sinC=0，cosA=cos2A 。
(1)求C ；
(2) 若a=2，求△ABC 的面积S △ABC 。
18.(12分)
《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李洪
岩等17位担任专业评审。
从2019年10月26日起，每周六20：00在中央电视台综合频道播出。
某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查。
下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”。
(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；
(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”。
试完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关。
19.(12分)
如图1，在等腰梯形A BF1F2中，两腰AF2=BF1=2，底边AB=6，F1F 2=4，D，C是AB的三等分点，E是F1F2的中点。
分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体。
在图2中，M，N分别为CD，EF的中点。
(1) 证明：MN⊥平面ABCD。
(2) 求几何体ABF-DCE的体积。
20.(12分)
已知函数f(x) =bx2+alnx的图象在点(1，f(1) )处的切线的斜率为a+2。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0<a≤e
2时，证明：f(x)<x2+2
x
e x−2。
21.(12分)
已知F1，F2分别为椭圆C：x2
4+y2
3
=1的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动
弦，直线m：x=4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B。
(1)证明：点B 恒在椭圆C 上。
(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在 定点T ，使得∠PTQ=π
2恒成立?若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是{x =1
4+1
2cos α，
y =√3
4
+12
sin α
(α是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转π
3，交曲线C 于点N ，求|OM |∙|ON |
的最大值。
23.[选修4一5：不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x +2|+|x 一3|。
(1)解不等式f(x)≤3x 一2；
(2)若函数f(x)最小值为M ，且2a+3b=M(a >0，b >0)，求12a+1
+
3
b+1
的最小值。