2017-2018学年高中数学选修2-3教学案(人教A版) 2.2.2 事件的相互独立性 Word版 含答案

2．2．2 事件的相互独立性
预习课本P54～55，思考并完成以下问题
1．事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？
2．相互独立事件与互斥事件的区别？
[新知初探] 事件的相互独立性
(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．
(2)性质：A 与B 是相互独立事件，则⎩⎪⎨⎪
⎧
A 与
B A 与B
A 与
B 也相互独立．
[点睛] 相互独立事件与互斥事件的区别
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )
(4)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0．8和0．7．那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
答案：0．56
3．一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________．
答案：(1－a )(1－b )
4．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝2
3，则P (A B )＝________，P (AB )
＝________．
答案：16 1
6
事件独立性的判断
[典例] 判断下列事件是否为相互独立事件．
(1)甲组3名男生， 2名女生； 乙组2名男生， 3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从
剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4
7；若前一事件没有发生，则后
一事件发生的概率为5
7，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二
者不是相互独立事件．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．
(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．
[活学活用]
把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？
(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；
(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；
(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
解：(1)∵P(A)＝1
2，P(B)＝
1
2，P(AB)＝0，
∴A与B不是相互独立事件．
(2)∵P(A)＝1
2，P(B)＝
1
3，P(AB)＝
1
6，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴A与B是相互独立事件．
(3)∵P(A)＝1
2，P(B)＝
1
2，P(AB)＝
1
6，
∴P(AB)≠P(A)·P(B)，
∴A与B不是相互独立事件．
[
为0．6, 购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
[解]记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A 与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0．5，P(B)＝0．6．
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0．5×0．6＝0．3．
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则D＝A B，所以P(D)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0．5)×0．6＝0．3．
[一题多变]
1．[变设问]本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解：法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括A B，A B，AB，且它们彼此为互斥事件．
所以P(E)＝P(A B＋A B＋AB)＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)
＝0．5×0．6＋0．5×0．4＋0．5×0．6＝0．8．
法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．
所以P (E )＝1－P (AB )＝1－(1－0．5)×(1－0．6)＝0．8．
2．[变条件，变设问]某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0．8,0．7,0．6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0．8，P (A 2)＝0．7，P (A 3)＝0．6．
(1)这名同学得300分的概率 P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)
＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)
＝0．8×0．3×0．6＋0．2×0．7×0．6＝0．228．
(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0．228＋0．8×0．7×0．6＝0．564．
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
[典例] 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，3
4，将它们中的某两个元件
并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝1
2，P (A 2)
＝34，P (A 3)＝34
． 不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1， ∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)A 1] ＝P (A 2∪A 3)·P (A 1)
＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝⎝⎛⎭⎫1－14×14×12＝15
32
．
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[活学活用]
某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内
(称为合格)的概率分别是25，34，1
3，如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次
检测．
(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？
解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，
显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，所以P (A )＝1－25＝3
5，P (B )
＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝2
3
．
设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率为
P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110
．
三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －
)＝P (A )P (B )P (C )＝35×14×23＝1
10
．。