1.1.1 分类与分步计数原理课件

1.1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？ 给座位编号有两类方法： 分析： 第1类方法：用英文字母编号，有26种方法； 第2类方法：用阿拉伯数字编号，有10种方法。
所以，给教室里的座位编号，总共能够编出
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法?
北 A村 北
中
南 B村 南 C村
解: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
• 1.如果完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中有m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2种不同的方法，在第3类方案中 有m3种不同的方法.那么完成这件事有多少 m1+m2+m3 不同的方法？ • 2.如果完成一件事有n类不同方案，在每一 类中都有若干种不同的方法，那么应当如 何计数呢？ m1+m2+m3+…+mn
• [解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片 的方法分两类： • 第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片 有30种不同的取法； • 第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片 有20种不同的取法． • 根据分类加法计数原理，所以从口袋中任 取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20 ＝50(种).
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个阿 拉伯数字，以A1，A2，·，B1，B2，·的方 · · · · 式给教室里的座位编号，总共能编出多少 个不同的号码？
根据分类加法计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
探究
问题. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可
以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
解: 从甲地到乙地有3类方法, 第1类方法, 乘火车，有4种方法; 第2类方法, 乘汽车，有2种方法; 第3类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
例 4 要 从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出 2 幅分别挂在左、右两边 墙的指定位置问共 , 有多少种不同的挂法 ?
解 从 3 幅画中选取 2 幅分别挂在左、右两 边墙上,可以分两步完成 :
第 1 步, 从3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种 方法; 第 2 步, 从剩下的 2 幅画中选 1 幅画挂在右边墙 上,有 2 种方法.
第一章 计数原理
引入
2006年夏季在德国举行的第18届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小 组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的 程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还 决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比 赛？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．排列、组合是完成某项工作的方法种数的知 识.
在小学我们学了加法和 乘法 , 这是将若干个 " 小的" 数结合成" 较大" 数的最基本 技巧 .这种 技巧经过推广就成了本章将要学习的分 类加 法计数原理和分步乘法 计数原理 .这是解决计 数问题的两个最基本、 最重要的方法.应用这 两个计数原理 我们可以得到两类特殊 , 计数问 题的计算公式即排列数公式和组合数 , 公式, 应 用它们就可以方便地解 决一些计数问题.作为 计数 原理与计数公式的一个 应用, 本章我们还 学习在数学上有广泛应 用的二项式定理 .
图1.1 1是解决计数间题常用的树形 " 图".请你用树形图列出所有 可能号码 .
字 母
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9
我们还可以这样来思考 : 由于前6个英文字母的任意一个都能与9 个数 字中的任何一个组成一个号码, 而且它们各不 相同,因此共有6 9 54 个不同的号码.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
• 小结：分步乘法计数原理也称为分步计数 原理、乘法原理，应用分步乘法计数原理 解题时要注意以下三点： • (1)明确题目中所指的“完成一件事”是 什么事，单独用题目中所给的某种方法是 不能完成这件事的，也就是说必须要经过 几个步骤才能完成这件事． • (2)解决“分步”问题，用分步乘法计数 原理，需要将一件事分成若干个步骤，每 个步骤都完成了，才算完成了这件事，注 意各个步骤之间的连续性．
练习1.在所有的两位数中，个位数字大 于十位数字的两位数共有多少个？ [分析] 该问题与计数有关，可考虑选 用两个基本原理来计算，完成这件事， 只要两位数的个位、十位确定了，这 件事就算完成了，因此可考虑按十位 上的数字情况或按个位上的数字情况 进行分类．
• [解析]解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一 类中满足题目条件的两位数分别是8个，7 个，6个，5个，4个，3个，2个，1个． • 由分类加法计数原理知，符合题意的两位 数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝ 36(个)． • 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9 分成8类，在每一类中满足条件的两位数 分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个， 7个，8个，所以按分类加法计数原理共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
这个问题与前一个问题 不同.在前一 个问题中用26个英文字母中的任何 , 一个或10 个阿拉伯数字中的任何 一 个, 都可以给出一个座位号 .而在这 码 个问题中 号码必须由一个英文字 , 母 和一个作为下标的阿拉 伯数 字组成, 得到一个号码必须经过先确定一个 英文字母, 后确定一个阿拉伯数字 这 两个步骤.用图 .1 1的方法可以列出 1 所有可能的号码 .
分析： 选出一组参赛代表，可以分两个步骤。 第1步选男生，第2步选女生。 第2步，从24名女生中选出1人，有24种方法。 根据分步乘法计数原理，共有 32×24＝720种不同的选法。
解： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种方法；
探究
• 1.如果完成一件事需要三个步骤，做第1 步有m1种不同的方法，做第2步有m2种 不同的方法，做第3步有m3种不同的方法， 那么完成这件事有多少种不同的方法？ m1×m2×m3 • 2.如果完成一件事情需要n个步骤，做每 一步中都有若干种不同方法，那么应当 如何计数呢？ m1×m2×m3×…×mn
• 总结：分类加法计数原理也称为分类计数原理、 加法原理，应用分类加法计数原理解题时要注 意以下三点： • (1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什 么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算 是完成这件事． • (2)完成这件事的 n 类办法中的各种方法是互不 相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单 独完成这件事，而不需要再用到其他的方法． • (3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事” 进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法， 不同类办法的任意两种方法是不同的方法，也 就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”．
• (3)在每个题中，标准不同，分步也不同， 分步的基本要求：一是完成一件事，必须 且只需连续做完几步，即不漏步也不重步， 二是每个步骤的方法之间是无关的，不能 互相替代．
例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
根据分步乘法计数原理 不同挂法种数是 , N 3 2 6.
6种挂法可以表示如下 :
左边
甲
右边 乙
得到的挂法 左甲右乙 左甲右丙 左乙右甲
丙
甲
乙
丙 丙
甲
左乙右丙
左丙右甲
乙
左丙右乙
分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 回答的都是 有关做一件事的不同方法的 种数问题 .区别在于 : 分类加法 计数 原理 针对是 " 分类"问题, 其中各种方法相互独 立, 用其中任何一种方法都可以做完这件 事 ; 分步乘法计数原理针对的是 " 分步"问 题, 各个步骤中的方法互相依存, 只有各个 步骤都完成才算做完这件事.
• 练习2. 已知a∈{3,4,6}b∈{1,2,7,8}， r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可表示不同的圆的个数有多少个？ • [解析] 圆方程由三个量a，b，r确定，a， b ， r 分别有3种，4种，2种选法，由分步 乘法计数原理，表示不同的圆的个数为 3×4×2＝24(个)．
数的方法 计算自己拥有玩具的数 ;学校要 , 量 举行班际篮球比赛在确定赛制后体育组老 , , 师要算一算 共需要举行多少场比赛用红、 ;
黄、绿三面旗帜组成航 海信号, 颜色的不同 排列表示不同的信号共可以组成多少种不 , 同的信号 虽然用列举所有各种可 能性的方法即一个 , 一个去数 , 可以求出相应的数, 但当这个数 很大时 ,列举的方法很 难实施 .本章所关心 的是如何能不通过一个 一个地 数而确定出 这个数.
探究 你能说说这个问题的特 征吗?