学案导学备课精选高中数学3.3计算导数同步练习(含解析)北师大版选修11
高中数学 第3章 计算导数同步练习 北师大版选修11
计算导数同步练习一,选择题:1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )A、5B、 25C、35D、02、设P点是曲线3233+-=xxy上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A、2[0,)[,)23πππ⋃ B、5[0,)[,)26πππ⋃ C、),32[ππ D、)65,2(ππ3、已知函数63)(23-+=xaxxf，若4)1('=-f，则实数a的值为（）（A）319（B）316（C）313（D）3104.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xfxfx)1()1(lim-+→= ( )A．2 B．1 C．21D．415．若曲线y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为2x－y+1=0，则（）（A）f’(x0)>0 （B）f’(x0)<0 （C）f’(x0)=0 （D）f’(x0)不存在6．设曲线2xy=在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）A．（3，9）B．（－3，9）C．（49,23）D．（49,23-）7．函数A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-38、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）A B C D9、设)(xf是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(limxfxxfxxfx则（）A．21B．－1 C．0 D．－210、已知曲线122+=xy在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（）A （1，3）B （-4，33）C （-1，3）D 不确定=-=-)(',2)1(2xfxxxf则11、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是（ ） A )(0x x f ∆+ B x x f ∆+)(0 C x x f ∆)(0 D )()(00x f x x f -∆+12、已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x ∆+2 D 2+2)(x ∆二,解答题:13. 已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1，0）处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积..14.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.答案:1.A2.A3.D4.B5.A6.C7.D8.D9.B 10.C 11.D 12.C13. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(- l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a 的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是： y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程， x 1+1=－x 2所以－ x 21=x 22+a.消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合.即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1,y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a .线段PQ 的中点为).21,21(a+--同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a+--所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.。
学案导学备课精选高中数学4.1.1导数与函数的单调性同步练习(含解析)北师大版选修11 (1)
§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙： f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪C ． 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．第四章 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性知识梳理1．f′(x)>0 减少作业设计1．A2．A3．B4．A5．C6．C7．(－1,11)解析 ∵f′(x)＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f′(x)<0，得－1<x<11，∴f(x)的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f′(x)＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a<0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<036＋12a≤0， ∴a≤－3.9．即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f′(x)<0.故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f′(x)＝3x 2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x 2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a≤0.又a ＝0时，f′(x)＝3x 2≥0，f(x)在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
高中数学 3.3 计算导数课时训练 北师大版选修11(1)
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.3 计算导数课时训练 北师大版选修1-1一、选择题1. 若f (x )＝log 3x ，则f ′(3)＝( )A.13 B ．ln 3 C.13ln 3 D.1ln 3【解析】 f ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(3)＝13ln 3. 【答案】 C2. 曲线y ＝1x 在点(3，13)处的切线的斜率为( ) A ．3 B.13 C.19 D ．－19 【解析】 y ′＝－1x 2，∴在点(3，13)处的切线斜率为k ＝－19. 【答案】 D3. 下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227，所以③正确．故选B.【答案】 B4. 设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 012(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，∴f 2 012(x )＝f 503×4(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A5. 已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝5，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5 【解析】 由f (x )＝x a 可得f ′(x )＝axa －1， ∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝5，∴a ＝5.【答案】 C二、填空题 6. 若f (x )＝e x ，则f ′(2)＝________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴f ′(2)＝e 2.【答案】 e 27. 已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是________． 【解析】 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x . ∵0<x <14， ∴0<f ′(x )<12，g ′(x )>1. ∴f ′(x )<g ′(x )．【答案】 f ′(x )<g ′(x )8. (2012·丹东高二检测)直线y ＝12x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________．【解析】 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln 2)，代入直线方程，得ln 2＝12×2＋b ，所以b ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－1三、解答题9. 求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 【解】 (1)∵c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵(x n )′＝n ·xn －1， ∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1＝34x －14＝344x. (3)∵(a x )′＝a x·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10.(4)∵(log a x )′＝1x ·ln a ， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ·ln 12＝－1x ·ln 2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .10. 已知函数y ＝f (x )＝a sin x ＋b 的图像过点A (0，0)、B (3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程．【解】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a ＋b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0， 即y ＝f (x )＝sin x ，∴f ′(0)＝1，∴切线方程为y ＝x .11. 当常数k 为何值时，直线y ＝x ＋k 才能与函数y ＝x 2的图像相切？并求出切点．【解】 设切点为A (x 0，x 20)，∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 0＋k ＝x 20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝－14. ∴当k ＝－14时，直线y ＝x －14与函数y ＝x 2的图像相切，且切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.。
计算导数教案1北师大版选修11
§导数的计算 几个常用函数的导数教学目标：1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用. 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式. 教学过程： 一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数 根据导数的定义：几何意义：0y '=y c =上每一点处的切线的斜率都为物理意义：若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为 ,即物体一直处 于 状态.2.函数()y f x x ==的导数 根据导数的定义：几何意义：1y '=y x =上每一点处的切线的斜率都为物理意义：若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的 运动. 3.函数2()y f x x ==的导数 根据导数的定义：几何意义：2y x '=2y x =上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.物理意义：若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数 根据导数的定义：5.函数()y f x ==根据导数的定义：推广: 若()n y f x x ==,则 注:这里n 可以是全体实数测评第五页⒈―――⒌基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(第一课时)教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;2.掌握导数的四则运算法则;3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一、创设情景五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式及应用二、新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表(二)推论: []'()cf x =(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 二、典例分析例1根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1)323y x x =-+(2)y =(3)sin ln y x x x =⋅⋅(4)4x x y =(5)1ln 1ln xy x-=+分析:根据导数运算法则，师生共同完成(1)'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-'232y x =-。
高中数学《计算导数》导学案 北师大版选修11
高中数学《计算导数》导学案北师大版选修111.能根据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.3.运用y=c,y=x,y=x2,y=等的导数公式解决问题.4.熟记基本初等函数的导数公式.根据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=的导数.对于f(x)=x,f'(x)== =1,即f'(x)=x'=1.对于f(x)=x2,f'(x)==== ,即f'(x)=(x2)'= .对于f(x)=,f'(x)=====.即f'(x)=()'=-.问题2:(1)导函数的概念:如果一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f'(x),f'(x)=,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称导数.(2)几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)=c f'(x)=f(x)=x f'(x)=f(x)=x2f'(x)=f'(x)=f(x)=f(x)=f'(x)=问题3:基本初等函数的导数公式.(1)c'= (c∈R);(2)(x n)'= (n∈Q);(3)(sin x)'= ,(cos x)'= ;(4)(e x)'= ,(a x)'= ;(5)(ln x)'= ,(log a x)'= =.问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由定义的,所以函数求导总是要归结为求,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁迅速.1.下列结论不正确的是( ).A.若y=0,则y'=0B.若y=5x,则y'=5C.若y=x-1,则y'=-x-2D.若y=,则y'=2.若函数f(x)=,则f'(1)等于( ).A.0B.-C.1D.3.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为.4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.直接用导数公式求函数的导数(1)求下列函数的导数:①y=x12;②y=;③y=.(2)设f(x)=10x,则f'(1)= .导数的综合应用若曲线y=在点(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( ).A.64B.32C.16D.8f'(a)和[f(a)]'含义要搞清已知f(x)=sin x,求f'(a)和[f(a)]'.求下列函数的导数:(1)y=x13;(2)y=;(3)y=;(4)y=log3x;(5)y=sin x;(6)y=.求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).(1)若函数f(x)=x3,则[f(2)]'等于().A.8B.12C.1D.0(2)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)= .1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,则α的值等于( ).A.2B.-2C.3D.-32.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为( ).A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-,-)3.曲线y=在点Q(16,8)处的切线的斜率是.4.求下列函数的导数:(1)y=log4x3-log4x2;(2)y=-2x;(3)y=-2sin(2sin2-1).(2012年·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A.1B.3C.-4D.-8考题变式(我来改编):第3课时计算导数知识体系梳理问题1:2x 2x -问题2:(2)012x -问题3:(1)0(2)nx n-1(3)cos x -sin x (4)e x a x·ln a (5)·log a e问题4:极限极限基础学习交流1.D当y=时, y'=()'=,D不正确,故应选D.2.D f'(x)=()'=,所以f'(1)==,故应选D.3.某物体作瞬时速度为1的匀速运动由导数的物理意义可知:y'=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.4.解:点P(2,16)在曲线上,k=f'(2)=32,切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.重点难点探究探究一:【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11;②y'=()'=(x-4)'=-4x-5=-;③y'=()'=()'==.(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10x ln 10,∴f'(1)=10ln 10.【答案】(2)10ln 10【小结】根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,熟记基本初等函数的求导公式可以快速解题.探究二:【解析】y'=-,∴k=-,切线方程是y-=-(x-a).令x=0得y=,令y=0得x=3a,∴三角形的面积是S=×3a×=18,解得a=64.故选A.【答案】A【小结】利用导数求切线方程时,明确函数在x=x0的导数就是切线的斜率.探究三:【解析】f'(a)=[f(a)]'=f'(x)[问题]f'(a)与[f(a)]'的含义相同吗?[结论] f'(a)与[f(a)]'的含义不同.上面的解法是将f'(a)与[f(a)]'混为一谈.于是,正确解答为:由于f'(x)=(sin x)'=cos x,而f'(a)表示导数f'(x)在x=a处的值,故f'(a)=cos a;[f(a)]'表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sin a(常数)的导数,因此[f(a)]'=0.【小结】学好数学只需要六个字:“理解、记忆、运算”,熟记基本初等函数的求导公式是正确解题的前提.思维拓展应用应用一:(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.(2)y'=()'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4.(3)y'=()'=()'==.(4)y'=(log3x)'=·log3e=.(5)y'=(sin x)'=cos x.(6)y'=()=()'=-=-.应用二:因为xy=a2,所以y=,所以y'=()'=-,函数y=在图像上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-,y0=,所以切线方程是y-y0=k(x-x0),即y-=-(x-x0),令x=0,得y=,令y=0,得x=2x0,所以S=|x|·|y|=||·|2x0|=2a2,为常数.即在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.应用三:(1)D(2)-2(1)因为f(2)是常数,所以[f(2)]'=0.注意区分[f(2)]'与f'(2).(2)由题意,得f'(x)=2x+3f'(2),∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.基础智能检测1.A f'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入验证得α=2.2.C设点P的坐标为(x0,y0),∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'=2x0=2,∴x0=1,∴y0==1,即P(1,1),故应选C.3.∵y=,∴y'=,∴y'|x=16=.4.解:(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,∴y'=(log4x)'=.(2)∵y=-2x==,∴y'=()'=-.(3)∵y=-2sin(2sin2-1)=2sin(1-2sin2)=2sin cos=sin x,∴y'=(sin x)'=cos x.全新视角拓展C可确定点P,Q的坐标为P(4,8),Q(-2,2),又因为y'=x,所以过点P,Q的切线的斜率分别为k P=4,k Q=-2,所以两条切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程可得A(1,-4),故点A 的纵坐标为-4.。
学案导学备课精选高中数学4.2导数在实际问题中的应用同步练习(含解析)北师大版选修11
§2 导数在实际问题中的应用 课时目标 1.理解实际问题中导数的意义.2.区分极值和最值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．中学物理中，速度可以看作______________的导数，线密度是__________________的导数，功率是________________的导数．2．函数的最大值点：函数y ＝f (x )在区间上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．3．函数的最值函数的最大值和最小值统称为________．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在上有极大值，则极大值一定是上的最大值B ．若f (x )在上有极小值，则极小值一定是上的最小值C ．若f (x )在上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在上连续，则f (x )在上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝xe x 在上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－32题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为____________． 9．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体，如果最初有500克氡气，那么七天后氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t ，则A ′(7)约为________，它表示____．三、解答题10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈．11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)能力提升12．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值、最小值问题．§2 导数在实际问题中的应用知识梳理1．路程关于时间 质量关于长度 功关于时间3．最值作业设计1．D 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值．]2．D3．A4．A5．B 时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c＝4.]6．C 上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.即12≤f (x )≤122e π. 9．－25.5 氡气在第7天时，以25.5克/天的速度减少10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32， 又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在内恒大于0，∴f (x )在上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在上的最小值为－12，最大值为2.11．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)， f ′(x )＝48－10 800x2， 令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．13．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84.因为当0<q<84时，L′>0；当84<q<200时，L′<0，所以当q＝84时，L取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．章末总结。
高中数学 33课后练习同步导学 北师大版选修11
高中数学 33课后练习同步导学 北师大版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列各式中正确的是( ) A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln10xC ．(3x)′＝3x D ．(3x )′＝3xln3答案： D2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 解析： y ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.答案： B3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析： 因为y ′＝2ax ， 所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 又由题设条件知切线的斜率为2， 即2a ＝2，即a ＝1，故选A. 答案： A4．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析： y ′＝3x 2－2，则当x ＝1时，切线的斜率k ＝1.设切线的倾斜角为θ，由tan θ＝1，且0≤θ<180°，得θ＝45°，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________．解析： ∵y ′＝(sin x )′＝cos x ＝12，∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝π3或53π.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－326．曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1xy ＝x 2联立交点为(1,1)，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为：－1和2， ∴切线方程为：y －1＝－(x －1)． 及y －1＝2(x －1)；令y ＝0得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34.答案： 34三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的导数： (1)y ＝log 2x 2－log 2x ； (2)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．解析： (1)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln2(2)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)＝2sin x2(2cos 2x4－1)＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .8．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解析： 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知曲线方程为y ＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解析： 设切点P 的坐标为(x 0，x 02)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∴切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式得5－x 02＝2x 0(3－x 0)， 即5－x 02＝6x 0－2x 02.∴x 02－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0. ∴x 0＝1或x 0＝5.∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．∴所求切线方程为y －1＝2×(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.。
高中数学 32.1、2课后练习同步导学 北师大版选修11
高中数学 32.1、2课后练习同步导学 北师大版选修11(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数在某一点的导数是( )A ．该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案： A2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析： f ′(2)＝Δt →0lim 142＋Δx 2－14×4Δx ＝Δt →0lim ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1，∴过点(2,1)的切线方程为：y －1＝1·(x －2)，即x －y －1＝0.故选A. 答案： A3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析： ∵Δs Δt ＝s3＋Δt －s 3Δt＝1－3＋Δt ＋3＋Δt 2－1－3＋32Δt＝Δt 2＋5Δt Δt＝Δt ＋5∴s ′(3)＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (Δt ＋5)＝5. 答案： B4．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B.22C.322D. 2解析： 因为抛物线过点(1,2)，所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. 所以所求的切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y ＝2x 2＋4x ＋1，则y ′|x ＝－1＝________，y ′|x ＝3＝________. 解析： 当x ＝－1时， Δy Δx＝2－1＋Δx2＋4－1＋Δx ＋1－[2×－12＋4－1＋1]Δx＝2Δx当Δx →0时，ΔyΔx →0，当x ＝3时，ΔyΔx ＝16＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →16.答案： 0 166．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析： y ′1x ＝1＝lim Δt →0 31＋Δx2－41＋Δx ＋2－1Δx＝lim Δt →0(2＋3Δx )＝2. 所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0 答案： 2x －y ＋4＝0三、解答题(每小题10分，共20分) 7．利用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数． 解析： 方法一：Δy ＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·1＋1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋Δx 1＋1＋Δx. 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－12.∴f ′(1)＝－12.方法二：Δy ＝1x ＋Δx －1x＝x －x ＋Δxx 2＋x ·Δx＝－Δxx 2＋Δx ·x x ＋x ＋Δx，∴Δy Δx ＝－1x 2＋Δx ·x x ＋x ＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－x 2x 2.∴f ′(x )＝－x2x 2，∴f ′(1)＝－12.8．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解析： 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)． 由y ′|x ＝x 0＝lim Δt →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝lim Δt →0 －ΔxΔx ·x 0＋Δx ·x 0 ＝lim Δt →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 02.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 02(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 02y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ，即x 2－x －6＝0.∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝lim Δt →0x ＋Δx2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δt →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δt →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处切线的斜率为－4，在点(3,13)处切线的斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0，在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.。
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§3 计算导数 课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．
1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：
(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)
(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝0＋Δ－
0Δx
(3)当Δx 趋于0时，得到导数：
f′(x 0)＝0
lim x ∆→0－Δ－
0Δx 2．导函数
一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)，则f′(x)＝______________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．
3．导数公式表
函数 导函数 函数 导函数
y ＝c (c 是常数)
y′＝0 y ＝sin x y′＝cos x y ＝x α (α为实数)
y′＝αx α－1 y ＝cos x y′＝－sin x y ＝a x
(a>0，a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x )＝e x
y ＝tan x y′＝1cos 2x y ＝log a x (a>0，a≠1) y′＝1x ln a
特别地(ln x)′＝1x y ＝cot x y′＝－1sin 2x
一、选择题
1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－
33 B ．0 C .33
D . 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝
⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0
C ．x －4y ＝0
D ．2x －4y －4＝0
3．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )
A ．3
B ．7
C ．8
D ．1
4．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4
的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)
C .⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116
D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14
5．函数y ＝(x －1)2的导数是( )
A ．(x －1)2
B ．2(x －1)
C ．2(1－x)
D ．－2
6．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )
A .3
2 B ．－ 32 C ．－1
2 D .1
2
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．
8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________．
9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．
三、解答题
10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．
11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f′(2)．
能力提升
12．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π
3′＝cos π
3；
③若y ＝1x 2，则y′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝1
2x x .
其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13．已知f′(x)是一次函数，x 2
f′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x 0)是其导数y ＝f′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．
2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．
§3 计算导数
知识梳理
2．f′(x)=
lim x ∆→＋Δ－Δx 导函数 作业设计
1．B
2．A
3．C
4．D
5．B
6．C
7．5
8．(1,4)
9．1
解析 y′＝1x
，∴f′(1)＝1. 10．解 f′(1)=
0lim x ∆→＋Δ－Δx
=0
lim
x ∆→＋Δ2＋＋Δ－1－4Δx =0
lim x ∆→Δ2＋ΔΔx ＝6. f′(2)=
0lim
x ∆→＋Δ－Δx =0lim x ∆→＋Δ
2＋＋Δ－22－4×2Δx
＝8.
11．解 ∵f′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2
， ∴f′(2)＝1ln 2
. 12．B
13．解 由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋
bx ＋c)＝1，
即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0
要使方程对任意x 恒成立，
则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，
解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，
所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。