二元一次方程概念及其解法(含解析)

二元一次方程概念及其解法（含解析）【例1】 下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①37x +=；②0a b +=；③349a t +=；④10xy -=； ⑤4x y z ++=；⑥262x y x +-=.【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【例3】 已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.【例4】 判断下列数值是否是二元一次方程3224t s +=的解.(1)29t s =⎧⎨=⎩ (2)21t s =⎧⎨=⎩ (3)89t s =⎧⎨=⎩ (4)46t s =⎧⎨=⎩【例5】 如果将满足方程的一对x ，y 值叫做方程的一组解，那么34x y +=的解的组数是( ).A. 1组B. 2组C. 无数组D. 没有解【例6】 ⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【例7】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩B.54x y =⎧⎨=⎩C.1345y xx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩H.423531x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩【例8】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是：( )A. 3251x y x +=⎧⎨=⎩B. 267x y x y -=⎧⎨+=⎩C. 1019x x y =⎧⎨-=⎩D. 153x xy =⎧⎨=⎩【例9】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？(1)1325x y x y +=⎧⎨+=⎩10x y =⎧⎨=⎩； ⑵264344x y y x =-⎧⎨=-⎩82x y =⎧⎨=⎩； ⑶2783108x y x y -=⎧⎨-=⎩ 6545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例10】 若关于x y ，的方程组2x y m x my n-=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则||m n -为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．2【例11】 请以12x y =⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【例12】 把方程2()3()3x y y x +--=改写成用含x 的代数式表示y 的形式，则（ ）A.53y x =-B.3y x =--C.53y x =+D. 53y x =--【例13】用代入消元法求解下列二元一次方程组(1)25342x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，⑵52253415x yx y+=⎧⎨+=⎩①②【例14】用代入法解下列方程组(1)23724x yx y-=⎧⎨+=⎩，⑵2360y xx xy=-⎧⎨--=⎩，(3)231052x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，⑷1232(1)11xyx y+⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【例15】用加减消元法、解下列方程(1)251x yx y-=⎧⎨+=⎩①②⑵4311213x yx y-=⎧⎨+=⎩①②【例16】用加减消元法、解下列方程(1)235324x yx y+=⎧⎨+=⎩；⑵54310x yx y-=⎧⎨+=⎩；⑶358223x yx y+=⎧⎨-=⎩；⑷267322x yx y-=⎧⎨+=⎩【例17】解方程组199519975989 199719955987x yx y+=⎧⎨+=⎩①②【例18】 在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例19】 已知关于x 、y 的方程组227x y kx y k -=-⎧⎨+=⎩，则:________x y =【例20】 若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩ 的解是 8.31.2a b =⎧⎨=⎩ 则方程组2(2)3(13(2)5(1)30.9xy x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B.8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C.10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D.10.30.2x y =⎧⎨=⎩【例21】 方程组43235x y kx y -=⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值相等，则k 等于________【例22】 若联立方程式31023x ay x y +=⎧⎨-=⎩的解x 与y 之和是3，试求出此联立方程的解与a 的值【例23】若方程组322543x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩的解之和5x y+=-，求k的值【例24】已知方程组3247x ymx ny-=⎧⎨+=⎩与231953mx nyy x-=⎧⎨-=⎩有相同的解，求m、n的值【例25】已知方程组5354x yax y+=⎧⎨+=⎩与2551x yx by-=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b，的值．【例26】小明与小强同解x、y的方程组3315ax yx by-=⎧⎨+=⎩①②，小明除了看错①中a之外，无其他错误，求得解为16xy=⎧⎨=⎩；小强除了看错②式中的b之外，无其他错误，求得解为21xy=⎧⎨=⎩，试求出a、b之值与方程组的解【例27】 已知方程组278ax by mx y +=⎧⎨-=⎩的解应为32x y =⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m 看错后，解方程组得22x y =-⎧⎨=⎩，则a b m ⋅⋅的值是 ． 二元一次方程组与一次函数【例28】 解方程组157x y x y +=⎧⎨-=⎩解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．•【例29】 已知直线y ＝x －3与y ＝2x ＋2的交点为（－5，－8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________． 【例30】 如图一次函数b ax y +=1和d cx y +=2在同一坐标系内的图象，则⎩⎨⎧+=+=d cx y b ax y 的解⎩⎨⎧==n y mx 中（ ） A ．m>0，n>0 B ．m>0，n<0 C ． m<0，n>0 D ．m<0，n<0【例31】 右图中的两条直线1l 、2l 的交点坐标是 ，可以看作方程组: 的解。

【例32】 有两条直线y=ax+b 和y=cx+5，学生甲求得它们的交点坐标为（3，-2），学生乙因抄错c 而解得它们的交点为（4，5），求这两条直线的解析式．【例33】 解下列方程组(1)3423126x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ ①②③ ⑵224104x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩①②③【例34】 解方程组:(1)4422825x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩(2) 3248234855622x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【例35】 若1235x y z ++=，3217x y z ++=，求111x y z++的值．【例36】 解方程组： (1) 2345238 x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩①　②　(2):3:2 :5:4 66x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩ ①②③二元一次方程组解的讨论（选讲）二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩⑴若1122a b a b ≠，则该方程组有唯一解 ⑵若111222a b c a b c =≠，则该方程组无解 ⑶若111222a b c a b c ==，则该方程组有无数组解 【例37】 k 、b 满足什么条件时，方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩⑴ 有唯一一组解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷组解【变式1】 如果方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，则a 为( )A.6B.－6C.9D.－9【变式2】 选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【变式3】 当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩⑴无解；⑵惟一解；⑶有无穷多解．二元一次方程概念及其解法（教师版）知识点一. 二元一次方程（组）的基本概念☞等式的概念：1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠) 【例38】 下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①37x +=；②0a b +=；③349a t +=；④10xy -=； ⑤4x y z ++=；⑥262x y x +-=.答案：②③【变式1】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 解析：由定义知：321m -=，11n -=， 答案： 1m =，2n =.【变式2】 已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 解析：根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -= 答案：2n =，0m =.☞二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.【例39】 判断下列数值是否是二元一次方程3224t s +=的解.(1)29t s =⎧⎨=⎩ (2)21t s =⎧⎨=⎩ (3)89t s =⎧⎨=⎩ (4)46t s =⎧⎨=⎩答案：(1)，(4)【变式1】 如果将满足方程的一对x ，y 值叫做方程的一组解，那么34x y +=的解的组数是( ).A. 1组B. 2组C. 无数组D. 没有解答案：C【变式2】 ⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解答案：⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，135x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩☞二元一次方程组：1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组.【例40】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩B.54x y =⎧⎨=⎩C.1345y xx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩H.423531x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩解析：区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含2个未知数；②最高次项为1次；整式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。