五年级奥数第八讲(公因数公倍数)
苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义
公因数和公倍数【知识要点】1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。
几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（，）。
两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。
举例：3×5=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15和5，[15，5]=15，（15，5）=5素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
举例：[3，7]=21，（3，7）=1一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，（5，8）=1相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，（9，8）=1特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
【例题讲解】例1、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米能截多少正方形?要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。
?（36、60）＝12?（60÷12）×（36÷12）＝15个???例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
(完整版)五年级下册数学《因数和倍数》公因数和公倍数--知识点整理.docx
公因数和公倍数一、本节学习指导本非常重要，同学一定要掌握用短除法求最小公倍数和最大公因数的方法，在后面通分中是必用的知。
本同学要多做。
二、知识要点1、公因数、最大公因数（1）、几个数公有的因数叫些数的公因数。
其中最大的那个就叫它的最大公因数。
例： 6 的因数有： 1,6,2,3；8的因数有：1,8,2,4，所以6和8个公因数有1、2。
其中 2 就是 6 个8 的最大公因数。
（2）、用短除法求两个数或三个数的最大公因数例：求 24 和 18 的最大公因数（除到互止，把所有的除数乘起来）注：①几个数的公因数只有1，就几个数互。
② 如果两数是倍数关系，那么小的数就是它的最大公因数。
③如果两数互，那么 1 就是它的最大公因数。
2、公倍数、最小公倍数（1）、几个数公有的倍数叫些数的公倍数。
其中最小的那个就叫它的最小公倍数。
例：求3 和 6 的最小公倍数分析： 3 的倍数有： 3×1=1,3 ×2=6,3 × 3=9⋯⋯； 6 的倍数有： 6× 1=6,6 × 2=12⋯⋯由此， 3 和 6 的倍数中第一个公共出的是6，所以 6 是它的最小公倍数。
（2）、用短除法求两个数的最小公倍数（除到互止，把所有的除数和商乘起来）如果两数是倍数关系，那么大的数就是它的最小公倍数。
如果两数互，那么它的就是它的最小公倍数。
例：求 24 和 18 的最小公倍数分析：先用短除法除到互止，然后把所有的除数和商乘起来，即：2× 3× 4× 3＝ 72，所以 24 和 18 的最小公倍数是72。
3、求最大公因数和最小公倍数方法用 12 和 16 来例（1）、求法一：（列求同法）最大公因数的求法：12 的因数有： 1、 12、 2、6、 3、 416 的因数有： 1、 16、 2、8、 4 最大公因数是 4最小公倍数的求法：12的倍数有： 12、 24、 36、 48、⋯16 的倍数有： 16、 32、 48、⋯最小公倍数是48（2）、求法二：（分解因数法）12=2×2×316=2×2×2×2最大公因数是：2× 2=4（相同乘）最小公倍数是：2× 2× 3× 2×2= 48（相同乘×不同乘）三、经验之谈：在理解最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别与联系。
(完整word版)五年级奥数-最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。
包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。
如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。
【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第八讲 最小公倍数(二) 人教版(含答案)
第八讲最小公倍数（二）第一部分：趣味数学今天老师给同学们带来了一个分糖果的问题，题目是这样的：老师分糖果，每人分3个余1个，每人分4个余2个，每人分5个余3个，每人分6个余4个，问最少需要几个？题目一出可愁坏了同学们，小红说：“”我自己认为是求最小公倍数的题，就是做不出来”。
经过一番激烈的讨论，小机灵鬼明明说：“可以这样想：这个数比3的倍数少2；比4的倍数少2；比5的倍数少2；比6的倍数少2。
所以是3,4,5,6的最小公倍数少2，就是58。
题目表达有点问题，应该是：一堆糖果，3个3个的拿，还剩1个；4个4个的拿还剩2个；5个5个的拿，还剩3个；6个6个的拿，还剩4个，问最少有几个？”同学们一听恍然大悟，老师也直夸小明聪明。
第二部分：奥数小练例题1 有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？思路导航：根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
[10，7，4]=140140－3=137即：这个自然数最小是137。
练习一1.学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。
六年级最少多少人？2.一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。
这个数最小是多少？3.一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。
这袋糖至少有多少块？例题2有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共。
五年级奥数第八讲(公因数公倍数)
五年级第八讲 最大公因数数和最小公倍数我与知识手拉手★知识提要★求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法可以用短除法、分解质因数法或辗转相除法。
辗转相除法还可以判断两个数是否成互质关系.★ 知识一、分数有关知识是公因数和公倍数的应用1、（ ）的分数,叫做最简分数，把一个分数约分应用分子、分母的（ ）分子、分母。
2、一个最简分数,它的分子和分母的积是24，这个分数是（ ）或（ ）3、分母是8的所有最简真分数的和是（ ）．4、一个最简分数,把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍，是 ，原分数是（ ），它的分数单位是( ）．5、5738 的分子、分母的最大公因数是（ )，约成最简分数是（ )． 6、通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（ ）．★ 知识点二、学习分解质因数及利用分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数例1 甲、乙两个数的最大公因数是12,最小公倍数是144，已知甲数是36，求乙数.例2 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是252，求甲、乙两个数分别是多少?（甲比乙小）例3 已知A 、B 两个自然数的和为50,它们的最大公因数是5，求这两个自然数分别是多少？例4 甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。
如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面,那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日?例5 做衬衣需要三道工序，第一道工序每人每小时可完成15件,第二道工序,每人E每小时可完成9件，第三道工序每人每小时可以完成12件，现在要均衡生产，三道工序至少各配多少名工人？1、两个自然数的最大公因数是7，最小公倍是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。
2、A 、B 两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数商是12。
A 、B 两数差为18，求A 、B 两个数各是多少？3、用一个数分别去除31、61、76，所得的商都余1，这个数最大是多少？4、一个数被8除余6,被7除余5，被6除余4，这个数最小是多少?5、一个数减去1后是2的倍数，减去2后是3的倍数，减去3后是4的倍数，减去4后是5的倍数，减去5后是6的倍数,减去6后是7的倍数.这个数最小是多少?★★★★ 四星擂台★★1、有一个电子钟表，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整时，既响铃又亮灯，问下次既响铃又亮灯是几点钟?2、幼儿园的老师要给小朋友们分水果,如果只分给小班，则每个小朋友可分8个；如果只分给中班,则每个小朋友可得15个；如果只分给大班,则每个小朋友可得18个。
五年级数学最大公因数与最小公倍数
练习
有一堆桔子，按每4个一堆分少1
个，按每5个一堆分也少1个，按 每6个一堆分还是少1个。这堆桔 子至少有多少个？
练习
一块砖底面长22厘米,宽是10
厘米,要铺成一个正方形地面 (不要折断,只能铺整砖)至少要 多少块砖?
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走 一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。 三人同时从起点出发，最少需多长时间才 能再次在起点相会？
家庭作业
4.四个连续奇数的最小公倍
数是6435，求这四个数。
用短除法求最大公因数
2
2 3
所以（144，180，240）
=2×2×3=12，即每60元的茶叶 分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
练习
1.幼儿园的大班有36个小朋友，
中班有48个小朋友，小班有54个 小朋友。按班分组，三个班的各 组人数一样多，问每组最多有 （ ）个小朋友。
练习
插一排红旗共26面。原来每 两面之间的距离是4米，现在 改为5米。如果起点一面不移 动，还可以有几面不移动？
1.两个自然数的最大公因数是6， 最小公倍数是120，已知其中一个 数为24，求另一个数。 2.已知两个自然数的和为165，它 们的最大公因数为15，求这两个数。家庭作业家庭作业 Nhomakorabea练习
2.有三根钢管，分别长200厘米、
240厘米、360厘米。现要把这三 根钢管截成尽可能长而且相等的 小段，一共能截成多少段？
例2 用自然数a去除498，450，414，得 到相同的余数，a最大是多少？
分析与解：因为498，450，414除
以a所得的余数相同，所以它们两两 之差的公因数应能被a整除。 498-450=48，450-414=36， 498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。
五年级数学知识点《公倍数和公因数》
五年级数学知识点《公倍数和公因数》
一个素数和一个合数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，(5，8)=1
相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，(9，8)=1
特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1)，比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
(详见课本31页内容)
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公因数和公倍数的讲解
公因数和公倍数的讲解公因数和公倍数，听起来挺复杂的，其实没那么神秘，咱们就来轻松聊聊这两位数学小伙伴。
公因数就像是朋友之间的共同点，比如说，咱们有时候一起去看电影，一起吃火锅，都是因为咱们喜欢这些活动。
公因数就是这么一回事，简单来说，它是能同时整除两个或多个数字的数。
比如说，6和9，咱们来找找看，能整除这俩数字的数，哎呀，3就是公因数，真是个好朋友，是吧？再说说公倍数，想象一下你和你的朋友都爱打篮球，你们决定一起比赛，结果你们发现，队伍总是需要的球员数量得是大家的共同倍数。
公倍数就像这个比赛队伍的人数，能够被所有参与者的人数整除。
比如说，4和6的公倍数，咱们找找，12就是个好例子。
12能被4整除，也能被6整除，真是个聪明的数字，大家都喜欢它！咱们不妨用点小例子来解释一下。
想象一下，你有12颗糖，给了朋友6颗，剩下6颗，你心里想着，我能不能再分给别的朋友？这时候就要用到公因数了，你可以把这些糖分成几份，3颗一份，4颗一份，都能整齐分完。
这就是公因数在生活中的体现。
能分的就是朋友，不然你分不出去，就显得有些小气了。
再举个生活中的例子。
比如你和几个小伙伴在一起，计划一起去旅行，结果发现人数不够，想找个合适的车。
车子的座位数必须是大家的公倍数，比如你们是4个人，另一个朋友带了3个朋友，这时候你们就要找一辆能坐7个人的车，结果发现，一辆8个人的车恰好能满足大家的需求，真是太棒了！说到这些，很多人会觉得数学和生活距离遥远，其实不然，公因数和公倍数无处不在。
它们就像是你生活中的调解者，帮助你和朋友之间的关系更融洽。
你们一起分享、一起合作，最终实现了美好的结果。
就像是一道和谐美味的菜肴，配料得当，味道才会丰富。
生活中，有了这些小数字，大家更容易沟通，也能更好地合作。
咱们再总结一下。
公因数是能够同时整除的数字，就像朋友之间的共同爱好，拉近了彼此的距离。
公倍数则是能够被所有参与者整除的数，帮助大家找到最佳的解决方案。
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五年级第八讲最大公因数数和最小公倍数我与知识手拉手
★知识提要★
求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法可以用短除法、分解质因数法或辗转相除法。
辗转相除法还可以判断两个数是否成互质关系。
★知识一、分数有关知识是公因数和公倍数的应用
1、（）的分数，叫做最简分数，把一个分数约分应用分子、分母的（）分子、分母。
2、一个最简分数，它的分子和分母的积是24，这个分数是（）或（）
3、分母是8的所有最简真分数的和是（）．
4、一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍，是，原分数是（），它的
分数单位是（）．
5、
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38
的分子、分母的最大公因数是（），约成最简分数是（）．
6、通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（）．
★知识点二、学习分解质因数及利用分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数例1 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，已知甲数是36，求乙数。
例2 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是252，求甲、乙两个数分别是多少？（甲比乙小）
例3 已知A、B两个自然数的和为50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数分别是多少？
例4 甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。
如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，
那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？
E
例5 做衬衣需要三道工序，第一道工序每人每小时可完成15件，第二道工序，每
人每小时可完成9件，第三道工序每人每小时可以完成12件，现在要均衡生产，三道工序至少各配多少名工人？
1、两个自然数的最大公因数是7，最小公倍是210，已知这两个数的和为77，求这
两个数。
2、A 、B 两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数商是12。
A 、B 两数差为18，求
A 、
B 两个数各是多少？
3、用一个数分别去除31、61、76，所得的商都余1，这个数最大是多少？
4、一个数被8除余6，被7除余5，被6除余4，这个数最小是多少？
5、一个数减去1后是2的倍数，减去2后是3的倍数，减去3后是4的倍数，减去
4后是5的倍数，减去5后是6的倍数，减去6后是7的倍数。
这个数最小是多少？
★★
★★ 四星擂台
1、有一个电子钟表，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整时，既响铃又亮灯，问下次既响铃又亮灯是几点钟？
2、幼儿园的老师要给小朋友们分水果，如果只分给小班，则每个小朋友可分8个；
如果只分给中班，则每个小朋友可得15个；如果只分给大班，则每个小朋友
可得18个。
求幼儿园里最少有多少个小朋友？
3、有一根长240厘米的绳子，从一端开始，每4厘米做一个记号，每6厘米也做
一个记号，然后从有标记的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？
4、爷爷对孙子说：“我现在的年龄是你的7倍，再过几年是你的6倍。
再过若干年
就分别是5倍、4倍、3倍。
”求爷爷和孙子现在各是多少岁？
5、李大妈有3个儿子，老大每隔4天来看望她一次，老二每隔6天来看望她一次，
老三每隔10天来看望她一次。
去年大年初一是1月22日，他们都来了，那么
下次他们弟兄三个聚在一起时是几月几日？
★ ★★ ★★
五星擂台
综合练习：
1、甲、乙两汽车从A、B两地同时相对开出。
甲车每小时行80千米，乙车每小时
行90千米，4小时后相遇，AB两地相距多少千米？
2、周末，刘洋全家去公园游玩。
票价成人4元，儿童2元，买票一共花了14元。
刘洋家可能有几个大人，几个小孩？
3、下雪后，小明和爸爸共同步测一个圆形花池的周长，他俩的起点和走的方向完全相
同，小明每步长出54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后，雪地上只留下60全脚印，花池的周长是多少米？
4、“六一”儿童节期间，六年级50名同学到公园划船。
大船每条坐6人，租金为每
小时10元；小船每条坐4人，租金为每小时8元。
请你设计一个租船方案，并
找出最佳方案。
5、用一个数分别去除4
6、61、76，所得的商都余1，这个数最大是多少？
6、一筐苹果，2个2个地拿就余1个，3个3个地拿就余2个，4个4个地拿就余3个，
5个5个地拿就余4个，这筐苹果最少应有（）。