不愤不启 不悱不发——从一道导数压轴题的解题教学谈起

为％轴，以底边的一个端点为坐标原点，建立直角坐标系，然后利用点到直线距离公式证明.2.课本106页习题2.1(3):T13—721点评：(1)做作业，可帮助学生巩固所学.作业布置分必做、选做两部分，由易到难循序渐进，让不同层次的学生在数学上获得不同的发展.(2)“坐标法”不是本节课的重点，故本节课没有处理课本上第104页的例3,而是将其改编为作业中选做题的第1题，为下一课时(习题课)做充分准备•此题要求一题多法，目的是培养学生思维的发散性，且通过方法二与方法三的比较，让学生切实体会建立坐标系是将“几何问题”转化为“代数问题”的基础，而合理建系可以减少运算量.3.总点评3.1优点(1)教学流程清晰有条理学生在教师的引导下，由浅入深，由特殊到一般，由具体到抽象，利用类比、归纳的方法，亲历“点到直线的距离公式”发生、发展、建构、运用的全过程,充分体现“以学生的发展为中心”的教育理念.(2)重视信息技术的使用借助PPT和展台的直观演示辅助教学，节省教师板书时间和学生抄题时间，提高了课堂容量和教学效率.(3)灵活地选用教材上的例题、习题能根据学情，灵活选用或改编教材上的例题、习题，做到“尊重教材，而不囿于教材”.(4)顺利突破教学难点点到直线的距离公式的推导是本节课的难点.该教师根据学情，化整为零，化难为易，设计问题串，而且每个问题都处在学生思维的最近发展区内，利于学生理解、领悟，顺利突破难点.3.2不足(1)教师对“当堂检测”情况点评后，没有留给学生足够的时间整理、记录易错题，这会导致学生再遇类似题目时，出现“课堂上听得懂，课后又不会做或老错误重犯”的现象.(2)对于回答错误的学生，教师没有给予必要的鼓舞，让这些学生多了挫败感.教学实践表明，当学生答错时，教师若说“你再细心一点，也许就能做对了”“没关系，坐下再想想”等，能让学生少些挫败感，多些成就感，增强自信心.从一道导数压轴题的解题教学谈起广州大学附属中学(510050)韩智明我国著名教育家孔子说：“不愤不启，不楼不发.”意思是不到他努力想弄明白而得不到的程度不要去开导他；不到他心里明白却不能完善表达出来的程度不要去启发他.我想我们的数学教学活动特别是解题活动也应该如此，正如孔子又说：“举一隅不以三隅反，则不复也•”意为：“如果他不能举一反三，就不要再反复给他举例了•”在大量的教学活动中，如果通过大量的变式练习还不能让学生掌握和理解，就应该反思和改进我们的教学方法和策略了.下面这道习题是一道高三复习备考导数压轴题,我在课堂习题讲解的过程中伴有曲折、疑惑和惊喜诸多情感成份，现与大家一起分享.试题已知函数/(%)=axe-(a+1)(2%-1).(1)若a=1,求函数/■(小的图像在点(0, /(0))处的切线方程；(2)当％>0时，函数/■(%)M0恒成立，求实数a的取值范围.参考答案是这样给的：解法1:(1)问略：(2)v当力>0时，函数/■(%)M0恒成立，:.f⑴M0,.，.a M—^―->0.e-1法①：由题意，得f(兀)二仇(光+1疋-2(。

+ 1)•令f(兌)二人(兌)，则F(%)=a(x+2)e x在光〉0时恒为正数,函数肛兀)即几光)在(0,+oo)±单调递增.而/(0) = -2 -a < 0/(1) = 2ea - 2a-2 存在唯一根％ e (0,1],且函数/(«)在(0,宓)上单调递减，在(力0, + 8 )上单调递 增，函数/(%)的极小值也是最小值为/Oo)=(a + 1)(2% - 1),故只需 /(%0) M0 即可.由7(^o) =0 得 a(x 0 + l)e x ° - 2(a + 1) = 0,产：：、,代入上式可得/(%o)=a(x 0 + 1)(° + 1)(_2处 +% +1)....% 丘(0」打.._2怎 +ax o e x °即e x °%0 + 1%0 + 1 M (),.•./■(%) M0恒成立.即a 的取值范围为当老师们看到第(2)问这种解法后，感到方法巧妙地同时又有点蒙的感觉，学生看到后更是百思不得其解,共同的疑惑是为什么要取值1,而不是其 它的数，而且代入1正好是参数a 的取值范围，这其实就是证明不等式恒成立时所运用的一种证明方法，即必要性探路法•纵观各种教辅资料关于运用必 要性探路法证明不等式恒成立问题的时候，从来都 没有把证明过程说清楚，代什么数？为什么代某个数正好得到参数范围？都是给出答案的人在幕后操作， 很少走向前台，有些老师少于研究不知个中缘由，更 不要说接受教育的学生了.于是见到这种方法解题,多数老师直接避开或寻找其它的解题方法了，甚至 教育学生不要用这种不好解释的方法解题，放任学生的一片迷茫•我当然也是一样，准备转战其它“战场”寻找更通俗易懂的方法去解决，然而几个平时 数学基础较好的学生在下面则要求弄懂为什么？生1：题目答案中先取特殊值1的依据是什么？ 由当x >0时，函数/(%) N 0恒成立严取2时得到/(2) NO,即>0,为什么不是这个结果呢？，这时有几个同学也在附和，期待老师的解释.(我原本准备放弃此解法，不过也很庆幸在看到此 题解法之前认真研究过必要性探路解题方法，看样子是必须给学生交待有关这种解法的思路了)师：既然同学们对这 种解法感兴趣，我们就一起来探个明白！首先我们 观察所证不等式的特征， 由 /(%) = axe x - (a +1)(2% - 1) M 0 在(0,+ 8 )上恒成立转化为图1Sx ； = 一-—… /1厂axe x -2(a + l)%+a + l MO 在(0, + 8)恒成立.即 axe 2(a + 1)% - a - 1.我们先假设 g(%)二axe 和双曲线人(兌)=2(a + 1)% - a - 1有公切线，找到它们的临界直线，设切线的切点为则由 g ‘(光)=a{x + l)e x ,h\x) = 2(a + 1)得到r ax o e x ° = 2(a + l)x 0 - a -】，解得「° -l-a(%0 + l)e x ° = 2(a + 1), [a = ^~~y-这时我们画出两函数图像如图1可知，当％取1时显然是两条曲线的临界点，如果％取其它值得到的a 的取值范围则是当力取1时得到a 的取值范围 的子集，故在本题中力应该取1,只是出题人隐去了 这一思维步骤，这种方法叫做必要性探路法，即在进行一个数学问题转化的时候主要特别注意问题的等 价性，也就是需要同时考虑充分性和必要性•但很多时候，为了寻找突破口(尤其是突然有个猜想)时， 往往需要先利用必要条件(或充分条件)探路，然后验证其充分性(或必要性)，这种方法主要用在证明恒成立问题当中.同学们听了只这种解释，脸上有赞叹，有惊喜但更多地是茫然.生2:那今后我们是不是遇到恒成立问题，首先 想到用这种方法处理呢？师：我觉得这种方法不是通解通法，在解题时最好慎用！其实根据这种解法，先用必要性探路找a 的 取值范围时，做题之前是要做很多铺垫的工作，当确定a 的范围后，第二步就只要证明其充分性满足就 可以了，其本质是切线放缩和寻找切点的问题，下面 我给出证明充分性的第二种证法.法②：由/'(%) = axe x - (a + 1) (2x - 1)得/'(%)=a (xe - 2x + 1) - 2x + 1.令 M(x) =-2x + 1,则 M'(x) = (x + l)e"-2 在(0, + 8 )上单调递增.••• M ，(0) = 1 - 2 =-1 < O,M ，(1) = 2e - 2 > 0,据零点定理知存在％。

e (0,1)使得 M ，(%) = 0,即仏。

+ 1)『。

-2 = 0,，易知 4/(力)爲=M(%) = x o e x ° - 2x 0 +° 1 -(2% +1)(% - 1)一 Z%0 + 1 二兀0+ 1(0,1) , M(x 0) > 0,即 M(x) = xe x 一2% + 1 > 0.所以/(兀)=a(xe x -2x + 1) -2兀 + 1 M —- (%e x - 2a ; + 1) -2x + 1 =册"-笔 + e. e - 1 e - 1令 TV (光)二 xe 一 2ex + e,*. N r (x) = (% + 1 )『-2在(0, + 8 )上单调递增.由M(l) = 0易知 N 仏)強=MO =0,所以/(%) NO.即a 的取值范围为[右’+8)・师：第二种解法主要是证明a 的系数为正数，然 后根据a 的范围进行放缩得到证明.(这时候学生思 维气氛较活跃)是不是我们看到这种解法，此题就没有其它的解法呢？这种方法虽然巧妙但是操作性 不强，其实在解决有关恒成立问题时还是有很多方 法的，当运用某种方法处理数学问题思维受阻时，要勤于思考，尝试改变思维方式.生3：我直接构造函数处理，发现求导后非常复 杂，看到上面第二种解法后受到启发，直接把有关a 的系数分离,运用参变分离法处理也是可以的.师：很好!参变分离法是解决恒成立问题常用的 方法，于是得到解法2.解法2：(1)问略：(2)由解法1中的法②可知/(%) = a(xe x -2x+ 1) -2% + 1中的xe x -2x + l > 0,可以采取参变分离法得到a N 严；1 恒成立，即证a Nxe - 2% + 1—L 成立•令 g&)=/"「I [，则 g'(*)=xe - 2x + 12(尤h _2光 + 1) _[(% + ])/ _2](2光_]) _(xe x 一 2兀 + 1) $(一 2a ? + 兀 + 1)e% _ _ (2光 + 1)(兀 _ ])e 拧(xe x 一 2兀 + 1)$ (xe x - 2x + 1 )2> 0,易知g(E 在(0,1)单调递增，在(1,+ 8 )单调递减.g (%)喚=g(l)=三T a N占.即a 的取值范围为[右，+00).生4：我刚才也是这么想的，但是看到分母太复 杂，计算量挺大，没有信心计算下去，原来还是可以 的.师：既然生4感慨生3的解法计算量太复杂，那 我们再思考一下，有没有可以简化计算的方法呢？生5：由前面解法中得到a 的范围是正数，如果 能先证明出a 是正数的话，分参就可以重新组合就可以简化计算.师：是个很好的思路，继续看看是否有其它方 法.生6：我们可以通过通过取力的某些值使得当aWO 不恒成立，来限定a 的取值范围.师：精彩!这样的话我们就我们就可以把不等式 中的与参数a 有关的整体通过重新组合完全分理出来，这样一来所构造的函数就会显得简单，便于计算，下面看解法3.解法3：(1)问略：(2)由题设条件知，当％ > 0时，函数/(%) M0恒成立，即axe x M (a + 1) (2x - 1)对任意％ > 0恒成立.① 当a = 0时，取％ = 1,不等式不成立，故aM0;② 当a <0时，取％ =*，不等式不成立，故a <0 不符题意a > 0.由 = axe x - (a + l)(2%-1) M 0可化为M 皱J ，即证Ma + 1 xe a + 1(2% ~ 1)-令 g(%)= 2" ： 1,则 g'{x)='兀* ' maxXe一 (2兀 一 1)(% + l)e" _ _(2兀 + 1)(兀_1)(%e x )2 x 2 e x ，可知g (光)在(0,1)单调递增，在(1, + 00 )单调递减•所以=丄，则由£工丄，解得a 工e a + 1 e看到这种解法，课堂上气氛高涨,很多同学觉得这种解法避开复杂的计算，使问题显得简单、操作性强且容易接受.生7：既然是把参数重新组合，我也可以把宀a + 1工氓丄组合成色土丄(2%-1)再对2%-1的xe a符号进行分类讨论，从而运用参变分离处理.生8：这种解法的本质与解法3的处理策略是一 样的，不过也不失为一种好方法.师：非常好！生7的解法也属于化繁为简的参变分离思想，也同样易操作、容易被大家接受和学习！(这时响起热烈的掌声！我想这掌声不只是为某位学生或是某种解法，而应是为这种通过思考和启发 唤醒大家思维的模式.)生7的解法如下.解法4：(1)问略：(2)由解法3可知a > 0.由代x) = axe x - (a +1)(2% - 1) NO 可化为色土丄(2% - 1) Wa分类讨论：①当％=*，即2%-1=0时，此时不等式恒成立，故a>0；②当0<%<£，即2x-l<0时，则色土丄M2a产r恒成立，即证—Lx-Y a令g(x)力e"M，/x_仏+1)(2%-l)e"-2%e"_ 2—1，如g(G-(2—1)2_⑺可知g&)在(0,y)上单调递减，所以当力—0+时,g(力)喚―°,故年丄》0,又因为a>0,故。