第1讲有理数的概念
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
第1讲有理数五大概念
第1讲有理数五大概念第一章有理数第1讲有理数五大概念知识导航1.正数和负数2.有理数3.数轴4.相反数5.绝对值方法技巧熟练掌握有理数的五大概念，依据定义解题【板块一】正数和负数题型一正数和负数的意义－－－－表示相反意义的量【例1】用正负数表示下列各题中具有相反意义的量：（1）足球比赛中，若输2个球记作－2，那么赢3个球记作；（2）若规定向东走3米记作＋3米，那么向西走5米记作米；（3）银行若存入3000元记作＋3000元，那么从中取出2000元记作；（4）负债100元也可以说成是拥有；题型二判断数的正负【例2】下列各数：0.6，－3，＋2，10%，0，－8，－1.2，＋，π，，。
（1）正数有；（2）负数有【例3】想一想:如果字母a表示一个有理数，那么“－a”是正数还是负数呢？题型三根据数的正负性求值或范围【例4】若a－1表示正数，2a－6表示负数，求整数a表示的数。
针对练习11.若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为，，鲨鱼比潜水艇高出米。
2.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度，已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（）A.甲地高出海平面100米B.丙地最低C.乙地比甲地低90米D.乙地比丙地高70米3.下列各数：＋5.9，，－7，0，，8中，正数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.大于－4且小于3的所有整数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个【板块二】有理数知识导航有理数：整数和分数统称有理数。
（可以化为两个整数的比的数）1.按定义分类2.按性质分类非负数：正数和0统称非负数；非正数：负数和0统称非正数；非负整数：正整数和0统称非负整数；非正整数：负整数和0统称非正整数。
第一讲 有理数的基本概念
【知识导航】
正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。
负数：像-1、-3.12、 、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。运算符号读作加减,性质符号读作正负.如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m
⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）
A．200米B．50米C．300米D．350米
⑸dd饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ ”字样，请问“ ”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 ，问抽查产品的容量是否合格？
问题4填空：（1）a-4的相反数是，3-x的相反数是。
（2） 是的相反数。（3）如果-a=-9,那么-a的相反数是。
问题5填空：
（1）若-（a-5）是负数，则a-50. (2)若 是负数，则x+y0.
问题6已知a、b在数轴上的位置如图所示。
（1）在数轴上作出它们的相反数；
（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
3.北京某一天记录的温度是：早晨－1℃，中午4℃，晚上－3℃，（0℃以上温度记为正数），其中温度最高是______(写度数),最低是________(写度数).
4．某班在班际篮球赛中，第一场赢4分，第二场输3分，第三场赢2分，第四场输2分，结果这个班是赢了还是输了？请用有理数表示各场的得分和最后的总分。
C组1．写出比O小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．
2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
第1讲 有理数的概念 --基础班
第1讲有理数中考内容中考要求A B C 有理数理解有理数的意义能比较有理数的大小数轴了解实数与数轴上的点一一对应能用数轴上的点表示有理数相反数和绝对值借助数轴理解相反数和绝对值的意义；了解a的意义能求实数的相反数与绝对值中考大纲知识网络图1.1正数与负数知识概述一．正数与负数1.正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数．正数都大于0．2.负数：像3-这样在正数前加上符号“-”（负）号的数叫做负数．-， 2.7负数都小于0．3.符号：一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号．+表示是同一个正数．正数前面的“+”号可以省略，注意3与3负数前面的“-”号不可以省略．4.用正数和负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．-．比如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．二．“0”的特殊性1．0既不是正数，也不是负数；2．0是正数与负数的分界；3．0是自然数；4．0的意义：（1）0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；（2）0有时是一个数，比如0℃是一个确定的温度；（3）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度．三．常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；小试牛刀【例1】（2018•福田区一模）如果“收入10元”记作+10元，那么支出20元记作（）A．+20元B．﹣20元C．+10元D．﹣10元【练习1】（2018•龙华区二模）如果赚120万元记作+120万元，那么亏100万元记作（）A．+100万元B．﹣100万元C．±100万元D．±10万元再接再厉【例2】（2018•海珠区一模）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（）范围内保存最合适．A．17℃～20℃B．20℃～23℃C．17℃～23℃D．17℃～24℃【巩固】（2017秋•平阳县期末）下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.2有理数一．有理数1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合． 2. 分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数． 3. 有理数：整数和分数统称为有理数． 4. 有理数的分类：（1）()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数（2）()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数【例1】（2017秋•遂宁期末）下列说法正确的是（ ） A ．一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数 B ．零既是正数也是负数C ．若a 是正数，则﹣a 不一定是负数D ．零既不是正数也不是负数【练习1】（2017秋•卫辉市期末）最小的正有理数是（ ） 知识概述小试牛刀A．0B．1C．﹣1D．不存在再接再厉【例2】（2017秋•遂宁期末）在下列各数：﹣，+1，6.7，﹣（﹣3），0，，﹣5，25% 中，属于整数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习2】（2017秋•抚州期末）下列说法正确的个数有（）①负分数一定是负有理数②自然数一定是正数③﹣π是负分数④a一定是正数⑤0是整数A．1个B．2个C．3个D．4个总述归纳：有趣的“”①是自然数；②是偶数；③是整数；④是有理数；⑤是非正数；⑥是非负数；⑦既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界；⑧有时表示没有，有时是一个确定的数，有时也作为基准．1.3数轴一． 数轴数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： 1. 原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．2. 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．3. 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1-，2-，3-，…． 4. 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 二． 数轴的画法1. 画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；2. 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：3. 确定向右的方向为正方向，用箭头表示；4. 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．三． 有理数与数轴的关系1. 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．2. 数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数．3. 正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边． 四． 利用数轴比较有理数的大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．知识概述【例1】（2018•晋城三模）若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【练习1】（2018•长春模拟）如图，在数轴上点M表示的数可能是（）A．1.5B．﹣1.5C．﹣2.4D．2.4【例2】（2017秋•双城市期末）下列数轴画正确的是（）A．B．C．D．【巩固】（2017秋•浉河区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“1cm”和“9cm”分别对应数轴上的﹣3和x，那么x的值为．小试牛刀再接再厉1.4相反数知识概述一．相反数1．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．（1）一般地，a与a（2）特别地，0的相反数是0．（3）相反数是成对出现的．2．相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．3．求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．二．多重符号的化简1.一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；2.一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；3.一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号4.口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号小试牛刀【例1】（2018•商河县一模）的相反数是（）A．B．C．D．【练习1】（2018•连山区一模）2018的相反数是（）A．8102B．﹣2018C．D．2018再接再厉【巩固】（2018•东莞市模拟）下列各数中，其相反数等于本身的是（）A．﹣1B．0C．1D．20181.5绝对值一． 绝对值1． 绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ．2． 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 3． 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =； （3）如果0a <，那么a a =-．可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 4． 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：||0a ≥二． 有理数的比较大小1． 两个负数，绝对值大的反而小．2． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．3． 利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．【例1】（2018•禹城市一模）﹣的绝对值是（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣2 D ．2【练习】（2018•通州区二模）﹣2的绝对值是（ ） A ．﹣2 B ． C ．±2 D ．2知识概述小试牛刀【巩固】（2018•岐山县二模）|﹣3|的值是（）A．3B．C．﹣3D．﹣再接再厉【例2】（2017秋•沂水县期末）如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C 表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣2【练习2】（2018•天桥区一模）计算：|﹣5+3|的结果是．总述归纳：大家一起说说——绝对值．①绝对值等于它本身的数是；②绝对值大于它本身的数是；③绝对值等于它的相反数的数是；④绝对值最小的有理数是；⑤绝对值最小的正整数是；⑥绝对值最小的负整数是．2018暑期领跑班·初一数学11。
第一章《有理数》
第一章有理数一、有理数的有关概念1、正数和负数大于0的数是正数(为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
)，在正数前面加上“－”的数叫做负数(负数前面的“－”号不能省略)。
0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。
习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
【例1】（1）下降5.5 m记作＋5.5 m，则上升10米记作_____m.（2）在食品的包装袋上，标明食品的净质量是80±5 g，这个“80±5”表示的最少是______________.（3）若将50计为0，则可以将49计为__________，+2为__________.【例2】如果向东为正，那么 -50m表示的意义是………………………（）A．向东行进50m B．向南行进50m C．向北行进50m D．向西行进50m2、有理数的分类正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。
【例3】把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-112，227，2613．正数集合{ …}，负数集合{ …}，整数集合{ …}，分数集合{ …}，非负整数集合{ …}3、数轴1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
1.2.1 有理数(教师版)
1.2 有理数1.2.1有理数知识点1：有理数的概念1.概念：有理数也叫可比数，是指能够写成两个整数比的比例数。
因而，整数和分数统称有理数.2.整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
自然数：正整数和零。
3.分数：正分数和负分数统称为分数。
⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
例：0.333……可以化为.知识点2：有理数的分类知识点3：四非数①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点梳理·新认知考点1 有理数的辨别例1在-,π,0,-0.74四个数中,有理数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】-,0,-0.74是有理数,而π是无限不循环小数,不是有理数,故选C.总结：1.整数和分数统称为有理数.凡是能写成（p,q为整数，且q≠0）形式的数，都是有理数.2.有限小数与无限循环小数都能表示成分数形式，无限不循环小数不是有理数，如π不是有理数．考点2 有理数的分类例2把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．【解析】解：在所给的所有数中，①自然数集合为{0，10…}；②整数集合为{-7，0，10…}；③负数集合为{-7，-3.14，－314…}；④正分数集合为{3.5，1713，0.03%…}；⑤正有理数集合为{0.03%，1713，3.5，10…}．总结:对有理数进行分类，首先要理解以下数的概念：1.正数：像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数．正数的前面可以加上正号（即加号）“+”来表示2.负数：在正数前加上“-”的数叫做负数；3.整数：像-2，-1，0，1，2这样的数叫做整数；4.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．考点3 带非字的数例3﹣5，0，﹣3.14，，﹣12，0.1010010001…,+1．99，﹣（1）非负数集合：{ …}（2）非负整数数集合：{ …}（3）非正数集合：{ …}（4）非正整数数集合：{ …}【解析】解：在所给的所有数中，（1）非负数集合：{ 0，，0.1010010001…,+1．99，…}（2）非负整数数集合：{ 0 …}（3）非正数集合：{﹣5，﹣3.14，﹣12，﹣…}（4）非正整数数集合：{ ﹣5，﹣12，…}总结：1.有理数分为正数、0和负数三类，正数和0统称非负数；负数和0统称非正数．2.一个数不是0，则它可能是正数或负数；若一个数不是正数，则它可能是负数或者0；若一个数不是负数，则它可能是正数或者0.基础训练1．下列各数：-1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 【解析】解：在-1，2π ，4.112134，0，227 ，3.14中不是有理数是2π：故选B ．2. 在下列数， ，2.010010001…，25%，3.1415926，0， …中，属于分数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：属于分数的有25%，3.1415926，-0.222…， 故选B ． 3. 下列表述中，正确的是（ ）A ．有理数有最大的数，也有最小的数B ．有理数有最大的数，但没有最小的数C ．有理数有最小的数，但没有最大的数D ．有理数既没有最大的数，也没有最小的数 【解析】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数． 故选D ． 4. 下列说法正确的是（ ）A ．一个有理数不是整数就是分数B ．正整数和负整数统称为整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D ．0不是有理数【解析】解：A 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确； B 、正整数和负整数和0统称为整数，故本选项错误； C 、正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故本选项错误； D 、0是有理数，故本选项错误；故选A ．5.下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-7既是负数也是整数，但不是自然数；③0既不是正数也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-7既是负数也是整数，但不是自然数，，正确；③0既不是正数也不是负数，正确；④0是非负数，正确， 则正确的个数是4，故选D ．6. 把下列各数填在相应的大括号内:5，7-8，-10，0，2.4，+3，227，-3.01.正数集合{…};非负数集合{…};整数集合{…};负分数集合{…}.【解析】正数集合,.,,,…;非负数集合,,.,,,…; 整数集合{5,-10,0,+3,…};负分数集合-,-.,….能力晋升1．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、ba、b的形式，则b的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．2【解析】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且ba，b中有一个为1，当a=0时，则ba没有意义，不成立；∴b=1．故选C．2.下列判断正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正数就是负数④一个分数不是正数就是负数⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①一个有理数不是整数就是分数，正确；②一个有理数不是正数就是负数，错误，也可能是0；③一个整数不是正数就是负数，错误，也可能是0；④一个分数不是正数就是负数，正确；⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数，错误，也可能是0；故选B．3. 在有理数集合中，最小的正整数是，最大的负整数是．【解析】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是-1．故答案为1；-1．4. 在-2，1.5，+，0，27，100，-2.1，18，-，-30中,是非负整数的是.【解析】0，27，100，18.5. 在-2，5，-，0.63，0，7，-0.05，-6，9，，，1中,正分数有个,负分数有个,自然数有个,整数有个.【解析】正分数是0.63，，，有3个;负分数是-，-0.05，有2个;自然数是5，0，7，9，1，有5个;整数是-2，5，0，7，-6，9，1，有7个.6.把下列各数分别填入相应的集合内：-2，-3.14，0.3，0，，，-0.1212212221…．（1）正数集合：{ }；（2）负数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）有理数集合：{ }．【解析】解：（1）正数集合：{0.3，，}；（2）负数集合：{ -2，-3.14，-0.1212212221…}；（3）分数集合：{ -3.14，0.3，}；（4）有理数集合：{ -2，-3.14，0.3，0，}．同步检测·新导向1．（2019•武汉模拟）下列各数中，属于正有理数的是（）A．π B．0 C．-1 D．2【解析】解：由题意得：π是无理数，故选项A错误；0是有理数，但不是正数，故选项B错误；-1是负有理数，故选项C错误；2是正有理数，故选项D正确；故选D．2.（2019•沙坪坝区校级模拟）下列四个数中，是正整数的是（）A．-2 B．-1 C．1 D．1 2【解析】解：A、-2是负整数，故选项错误；B、-1是负整数，故选项错误；C、1是正整数，故选项正确；D、12是非正整数，故选项错误．故选C．3．（2019•渝中区校级模拟）下列各数中是负整数的是（）A．-2 B．5 C．12D．2-5【解析】解：A、-2为负整数，故选项正确；B、5为正整数，故选项错误；C、12为正分数，故选项错误；D、2-5为负分数，故选项错误．故选A．4．（2018秋•沈河区期末）在-4，227，0，2，3.14159，1.3，0.1010010001…有理数的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：2，0.1010010001…不是有理数，故选D ．5．（2018秋•卢龙县期末）下列说法正确的是（ ） A ．0是最小的有理数 B ．一个有理数不是正数就是负数 C ．分数不是有理数 D ．没有最大的负数【解析】解：A 、没有最小的有理数，故本选项错误；B 、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误；C 、分数是有理数，故本选项错误；D 、没有最大的负数，故本选项正确； 故选D ．6.（2018秋•门头沟区期末）在有理数-0.2，-3，0，132，-5，1中，非负整数有 ． 【解析】解：非负整数有0，1， 故答案为：0，1．7．（2018秋•仪征市期中）有三个有理数，分别是-1、a 、a +b ，或者写成0、-b a、b ，那么数b 的值是 ．【解析】解：由题意可知：a +b ，a 中有一个为0，且-b a ，b 中有一个为-1，当a =0时，则-b a没有意义，不成立；∴b =-1． 故答案为：-1． 8. （2018秋•武邑县校级月考）在数1-13，20%，227，0.3，0，-1.7，21，-2，1.0101001…，+6，π中，分数有 个． 【解析】解：分数有1-13，20%，227，0.3，-1.7， 故答案为：5。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
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第1讲 有理数的意义一、知识梳理1．有理数的分类：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），在画数轴时三者缺一不可．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．3．相反数的意义及其与倒数的区别：相反数的代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别地，0的相反数是0。
相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
（0是惟一的相反数等于自身的数）在一个有理数a 的前面加上“－”号，就表示这个数的相反数，即“－a ”与“a ”互为相反数。
相反数与倒数的区别：（1）两个互为相反数的数，它们符号相反；两个互为倒数的数，它们符号相同．（2）两个互为相反数的数，其绝对值相等；两个互为倒数的数，除±1外，其绝对值不等．（3）零的相反数是零，而零没有倒数．（4）两个互为相反数的数和为零；两个互为倒数的数积为1．4．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
对于任意一个数a , a 的绝对值用||a 表示。
||a 是数轴上表示a 的点到原点的距离，即||a 代表的是一个长度，所以||a 表示的一定是一个非负数。
||a 和a 的关系如下：||a ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 。
5．比较两个有理数的大小：（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数．（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．二、典例剖析专题一：负数的引入例1：填空：1、如果温度上升6℃记作6℃，那么下降3℃记作________。
2、如果向南走8米，记作―8米，那么向北走15米应记作_____；那么向北走―6米表示向____走____米。
【变式】最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；最大的非正整数是_______。
专题二：有理数的分类例2：把下列各数填在相应的集合中：5；―2；―0.3；41；0；―722；5.57；―161；π；102；―78；―104。
属于正数集合的有：_________________；属于整数集合的有：____________________；属于分数集合的有：_________________；属于负数集合的有：________________；属于正整数集合的有：_______________；属于非正整数集合的有：________________；属于有理数集合的有：_______________；既不是正数，又不是负数的有：____________。
【变式】把下列各数填入相应的大括号内716，2，53-， 3.1415，-20，0， 0.38，115- ，2004，-0.25，-9 正数集合｛ …｝负数集合｛ …｝分数集合｛ …｝非正数集合｛ …｝负整数集合｛ …｝非负整数集合｛ …｝专题三：数轴例3：在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用“＜”号把它们连接起来。
例4：填空：1、 比―4大的负整数有__________________；2、 大于―3.5而不大于3的整数有______个；3、 比较下列数的大小（用“＜”“＞”“＝”填空）―5_____0 ；54______65 ； ―1111______0.001 －21______－31 ； ―0.67_____―32 ； ―π_____―3.14专题四：相反数例5：填空1、 简化（1）+（―5.2）=______； (2) ―[―(+5)] =______；(3)―{―[―(+2.7)]}=_______； (4)|―[―(―2.3)]|=______。
2、_______的相反数是它本身。
________的倒数等于它本身。
3、如果x -=7,那么x =____。
4、如果a 是负数，那么―a _____0；如果―a 是负数，那么a ____0。
例6：数a 、b【变式】填空：(1) －1.6是______的相反数，______的相反数是－0.2；(2) 13与 互为相反数，13与 互为倒数； (3) a b -的相反数是 ，a b +的相反数是 ，a b c -+-的相反数是 ；（4）（2013年广州市）实数a 在数轴上的位置如图所示，则 2.5a -=（）A 、 2.5a -B 、2.5a -C 、 2.5a +D 、 2.5a --专题五：绝对值例7：填空：1、 已知|a |=2,则a =______；如果|－x |=5，则x =_______。
2、 如果a ＞0，则|2a |=_____；如果a ＜0,则|2a |=_____；|x |=－x ，则x 是 数。
3、 绝对值不大于3的整数有____________________。
例8：分类讨论aa -||的值的情况；例9：有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||||c b a c b c -+---【变式1】填空。
1、______7.3=-；______0=；______75.0=+-．2、______31=+；______45=--；______32=-+． 3、______510=-+-；______5.55.6=---． 4、7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ．5、如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ．【变式2】绝对值不大于11.1的整数有（ ）A 、11个B 、12个C 、22个D 、23个【变式3】已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2||m b a +－cd +|m |的值。
c a三、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）1、用表示实心圆，用〇表示空心圆，现有若干实心圆与空心圆按一定规律排列如下，●〇●●〇●●●〇●●●●〇…问前2005个圆中有______个空心圆。
2、计算：()()()122013111-+-+- =_________。
3、已知0||=--a a ，则a 是______数；已知()01||<-=b ab ab ，那么 a 是______数。
4、（2013培优）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是 ． 5、（2013咸宁）在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B（表示整数b ）在原点的右侧．若|a b -|=2013，且AO=2BO ，则a b +的值为 ．6、（2013菏泽）如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是,,a b c ，其中AB=BC ，如果|a |＞|b |＞|c |，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A 、点A 的左边B 、点A 与点B 之间C 、点B 与点C 之间D 、点B 与点C 之间或点C 的右边9、小明、小华、小丽的家都与超市在同一条东西向的公路边,一辆货车从超市出发,向东走了3 km 到达小华家,继续走了1.5 km 到达小明家,然后向西走9.5 km ,到达小丽家,最后回到超市.(1) 以超市为原点, 以向东的方向为正方向, 用1个单位长度表示1km ,你能在数轴上表示出小丽家、小明家、小华家的位置吗?(2) 从小丽家到小华家顺公路走有多远?(3) 货车一共行驶了多少km ?(4) 若货车行驶每千米耗油0.3升，则从出发到结束共耗油多少升？10、（竞赛）已知,,m n p 满足2||0,||,||1m m n n p p +===，化简|||||||21|n m p n p n n ---+---+1-6151-110A -4-2015653-6-5-4-3-2-11-11111111家庭作业校区： 学号： 姓名：______ 作业等级：______一、选择题1、既不是正数又不是分数的有理数是（ ）A 、负整数B 、负整数和0C 、自然数D 、正分数和02、“老张比老李大-8岁”表示的意义是（ ）A 、老张比老李大8岁B 、老张比老李小8岁C 、老李比老张大-8岁D 、老李比老张小8岁3、满足｜x ｜= -x 的数有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、无数个4、如果a 是有理数，那么下列说法正确的是（ ）A 、a 不是正有理数，就是负有理数B 、a 不是整数，就是分数C 、a 的绝对值是正数D 、a 的倒数是a 1 二、填空：5、－21的倒数的绝对值等于_______；绝对值不大于10的所有整数的和等于_______。
6、在数3- ，0，－8-，－5.2 ，53，－7.1中，负数有_________个。
7、某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（5±0.1）厘米，表示这种正方体的边长标准尺寸是________厘米，要求边长最大不超过标准尺寸__________厘米，符合要求的正方体边长最小是______厘米。
8、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，c 是最大的负整数，则233||()3a c b mn+++= 。
9、使等式｜-5 +m ｜= ｜-5｜+｜m ｜成立的m 的取值为____________.﹡10、已知数轴上有Ａ、Ｂ两点，Ａ、Ｂ之间的距离为１，点Ａ与原点的距离为３，那么所有满足条件的点Ｂ与原点的距离之和等于_____________。
﹡11、有一串数，-2003，-1999，-1995，-1991，…，按照一定的规律排列，那么这串数中前_________个数的和最小.﹡12、有依次排列的3个数：3，9，8.对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数,所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8.这称为第一次操做；做同样的操做可产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8.继续这样依次操做下去，从数串3，9，8开始操做一百次后所产生的那个新数串的所有数之和为_________.。