江西省南昌市高三数学第二次模拟考试试题 文

乙甲963502499872641130江西省南昌市2017届高三数学第二次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{320}A x N x =∈->，2{4}B x x =≤, 则A B =I （ ）A. {21}x x -≤<B. {2}x x ≤C. {0,1}D. {1,2} 2．若i (12i)i a t +=+⋅（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2 3．某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 14．命题“1x ∀>,11()22x <”的否定是（ ）A. 1x ∀>,11()22x ≥B. 1x ∀≤,11()22x ≥C. 01x ∃>,011()22x ≥D. 01x ∃≤，011()22x ≥5．执行如右图程序框图，输出的S 为（ ）A.17 B. 27 C. 47 D. 676．已知函数()sin f x x x =-，则不等式(2)(12)0f x f x ++-<的解集是（ ）A. 1(,)3-∞-B. 1(,)3-+∞ C. (3,)+∞ D. (,3)-∞7．已知等腰梯形ABCD 中AB //CD ，24,60AB CD BAD ==∠=︒， 双曲线以,A B 为焦点，且经过,C D 两点，则该双曲线的离心率 等于（ ）1DC B A8．已知直线,m n 与平面,,αβγ满足,,,m n n αβαβαγ⊥=⊥⊂I ，则下列判断一定正确的是（ ）A. //,m γαγ⊥B. //,n βαγ⊥C. //,βγαγ⊥D.,m n αγ⊥⊥9．《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间．．两节容量和是（ ） A. 61166升 B. 2升 C. 3222升 D. 3升 10．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）11．函数22sin 33([,0)(0,])1441x y x xππ=∈-+U 的图像大致是（ ）A. B. C. D.12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4a ≤-B. 46a -≤≤C. 4a ≤-或6a ≥D. 6a ≥第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量(3,4)a =r ，(,1)b x =r ，若()a b a -⊥r r r，则实数x 等于 ．14．已知sin 2cos 0θθ+=，则21sin 2cos θθ+= ． 15．等比数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，满足765430S S S -+=，则4S = ．16．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式，已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()cos sin f x x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）ABC ∆的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3()2f A =，2AD ==，求cos C ．18．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（Ⅰ）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；F E D CAS（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排4名参与调查的70后员工参加．70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，现采用随机抽样方法从报名的员工中选4人，求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率． 参考数据：（参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上， 且SF SCλ=，SA //平面BEF ． （Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点A 且斜率为12的直线与y 点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点P 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 不与 ,A B 重合），若6PAM PBN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)xf x e x x a =-+（其中a R ∈，a 为常数，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =在(,())a f a 处的切线为l ，当[1,3]a ∈时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||||OA OB ⋅．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|23||21|f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C A D D D C B A D 13．7 14． 1． 15．40 16．37.5三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17．【解析】（Ⅰ）2()3cos sin f x x x x =+3111sin 2cos 2sin(2)22262x x x π=-+=-+ …………3分 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈； …………6分（Ⅱ）3()sin(2)126f A A π=⇒-= ，得到22,623A k A k k Z πππππ-=+⇒=+∈， 由02A π<<得到3A π=，所以6BAD π∠= (8)分由正弦定理得2sin sin sin BD AD B BAD B =⇒=∠4B π=或34B π= （舍去） (10)分所以62cos cos()sin sincoscos3434C A B ππππ-=-+=-=…………12分18．【解析】（Ⅰ）222()100(20204020)400400100()()()()604060405760000n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯⨯⨯===++++⨯⨯⨯ 2.778 2.706≈>所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．………5分（Ⅱ）设70后员工中报名参加活动有愿意被外派的3人为123,,Y Y Y ，不愿意被外派的3人为123,, N N N ，现从中选4人，如图表所示，用⨯表示没有被选到，GSBCD E F(可以以不同形式列举出15种情况) (9)分则“愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数”即“愿意被外派人数为2人或3人”…10分共12种情况，则其概率124155P ==． …………12分 19．【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，则平面SAC I 平面EFB FG =， SA Q //平面EFB ，SA ∴//FG ， ……2分 GEA ∆Q ∽GBC ∆，12AG AE GC BC ∴==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=．……6分（Ⅱ）,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=Q ，又2,60,AB AD BAD BE ==∠=︒∴=Q222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥， ……8分SE ∴⊥平面ABCD ， ……9分所以211122sin 60233339F BCE S EBC S ABCD V V V ---===⨯⨯⨯︒⨯=． (12)分20．【解析】（Ⅰ）当12k =时，1BF x ⊥轴，得到点2(,)b B c a --， (2)分所以2222221()21a a bb a ac c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩，所以椭圆C 的方程是22143x y +=． …………5分（Ⅱ）因为1sin 262111sin 2PAM PBNPA PM APMS PM S PN PB PN BPN ∆∆⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠，3PM PN ⇒=所以3PM PN =-u u u u r u u u r．设1122(,),(,)M x y N x y ，则1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+u u u u r u u u r，有123x x =- (6)分①当MN 斜率不存在，MN 的方程为0x =，2PM PN ==或2PM PN ==，(不合条件,舍去) …………7分②当MN 斜率存在，由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程为1y kx =-，联立方程221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=． (8)分由韦达定理可得122122843843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入可得2222282438343k x k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即222483()4343k k k -=++．所以232k k =⇒=． …………11分所以直线2l的方程为12y x =-或12y x =--． …………12分21．【解析】（Ⅰ）22'()(2)(22)(2)xxxf x e x x a e x e x a =-++-=+-， (2)分当2a ≥时，'()0f x ≥恒成立，函数()f x 的递增区间是R ； …………4分当2a <时，2'()02f x x a x ≥⇔≥-⇔≤或x ≥， (6)分函数()f x的递增区间是(,)-∞+∞，递减区间是(；（Ⅱ）2()()a f a e a a =-，2'()(2)af a e a a =+-，所以直线l 的方程为：22()(2)()a a y e a a e a a x a --=+--， …………8分令0x =得到：截距3()ab e a a =-+，记3()()ag a e a a =-+，32'()(31)a g a e a a a =--++，记32()31h a a a a =--++ (9)分2'()3610(13)h a a a a ⇒=--+<≤≤Q ,所以()h a 递减∴()(1)20h a h ≤=-<，'()0g a ∴<，即()g a 在区间[1,3]上单调递减， (11)分(3)()(1)g g a g ∴≤≤，即截距的取值范围是：3[24,0]e -． …………12分22．【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程是1)y x =-即y = (2)分 曲线C的直角坐标方程是22440x y x +--+=即22(2)(3x y -+= (5)分（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得：2540ρρ-+=，所以||||||4A B OA OB ρρ⋅==． …………10分23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩ ，解得32x <-或302x -≤<， 所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞； (5)11 分（Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=Q ，max ()4f x ∴=， …………7分|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-． …………10分。