算法设计与分析,前六章复习PPT

• 算法的时间复杂度概念 – 频率计数：一条语句或一种运算在算法（或程序）体 中的执行次数。 – 计算时间的渐近表示
• 上界函数 • 下界函数 • 平均界函数
第一章 主要内容
• 计算时间的渐近表示：假设算法的计算时间为
f(n)，数量级限界函数为g(n)
– n是输入或输出规模的某种测度。 – f(n)表示算法“实际”执行时间—与机器及语言 有关。 – g(n)是形式简单的函数，如nm，logn，2n，n!等。 是事前分析中通过对计算时间或频率计数统计分 析所得的、与机器及语言无关的函数。
V1
V2
4 9 7 2 2 2 3
V3
6 5
V cost(4,9)=c(9,12)=45 V4
cost(4,10)=c(10,12)=2
6
cost(4,11)=c(11,12)=5
9
4 2 3
4
7
s
1
3
7
11 1 8 8 5
10
5 11 6
12
4 2
5 11
t
当 i=k-1 且 j∈Vk-1时，如果<j,t>∈E cost(i,j)=c(j,t) 如果<j,t> ∉ E cost(i,j)=∞
显然，满足约束条件的任一集合
一个可行解，使目标函数取最大值的可行解是最优解。
( x 1 , x 2 , x n )
是
第三章 贪心算法
• 背包问题贪心准则选取：用效益和容量的 比值作为量度标准(pi/wi)
Knapsack(ElemtypeW p[n], ElemtypeW C, int n) ElemtypeP w[n], float y[n], //p[n]和w[n]分别含有按p[i]／w[i]，p[i＋1]／w[i+1]排序的n件物品 的效益值和容量。M是背包的容量大小，而y[n]是解向量//
第四章 动态规划算法 • 最优性原理
– 在多阶段决策过程的每一阶段，都可能有多种可 供选择的决策，但必须从中选取一种决策。一旦 各个阶段的决策选定之后，就构成了解决这一问 题的一个决策序列，决策序列不同，所导致的问 题的结果也不同。动态规划的目标就是要在所有 容许选择的决策序列中选取一个会获得问题最优 解的决策序列，即最优决策序列。 – 最优性原理：过程的最优决策序列具有如下性质： 无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的 决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一 个最优决策序列。
• 分治法的求解流程
– – – –
• 分治法的适用条件
第二章主要内容
• 二分检索算法：递归形式的算法 int binarySearch( a, low, high, e) int mid ; if(low < high) { mid = (low + high)/2; if(a[mid] == e) return mid+1; else if (a[mid] < e) binarySearch(a,mid+1, high, e); else binarySearch(a,low, mid-1, e); } return -1;
算法设计与分析 复习课
考试题型
• • • • • 填空题 15分 判断题 10分 简答题 25分 计算题 20分 算法设计题 30分
第一章 主要内容
• 算法的概念
– 什么是算法？ – 算法的特征？ – 程序与算法的区别？
• 算法分析
– 算法的评价优劣 – 算法的时间复杂度分析
• 频率计数 • 计算时间的渐近表示：上界函数、下界函数、平均界函数
第一章 主要内容
• 上界函数
– 定义1 如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n≥n0，有
|f(n)| ≤ c|g(n)| 则记作f(n) = Ο (g(n))
– 含义：
• 如果算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时， 所用的时间总是小于|g(n)|的一个常数倍。所以g(n)是 计算时间f(n)的一个上界函数。 f(n) 数量级是g(n)。 • 试图求出最小的g(n)，使得f(n) = Ο (g(n))。
– 对于一个具体的问题，如何知道是否可用贪心 算法解决此问题，以及能否得到问题的最优解？ 这个问题很难给予肯定的回答。
– 但是，从许多可以用贪心算法求解的问题中看 到这类问题一般具有两个重要的性质：贪心选 择性质和最优子结构性质。
第三章 贪心算法
• 贪心选择性质
– 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选 择的性质，必须证明每一步所作的贪心选择最 终能够导致问题的最优解。
第四章 动态规划算法 • 动态规划算法的两种处理方法
（1）向前处理法：从最后阶段开始，以逐步 向前递推的方式列出求前一阶段决策值的 递推关系式，即根据xi+1,…,xn的那些最优 决策序列来列出求取xi决策值的关系式，即： xi=f(xi+1,xi+2,…,xn) （2）向后处理法：根据x1,…,xi-1的那些最 优决策序列列出求xi的递推关系式。即： xi=f(x1,x2,…,xi-1) .
第二章主要内容
• 二分检索算法时间复杂度分析
–成功/不成功检索的最好情况 –成功/不成功检索的最坏情况 –成功/不成功检索的平均情况
总结 成功检索 不成功检索 最好 平均 最坏 最好 平均 最坏 Θ(1) Θ(logn) Θ(logn) Θ(logn) Θ(logn) Θ(logn)
第二章 主要内容：找最大最小元素
第一章 主要内容
• 平均界函数
– 定义3 如果存在正常数c1，c2和n0，对于所有的 n≥n0，有 c1|g(n)| ≤|f(n)| ≤ c2|g(n)| 则记作 f ( n ) ( g ( n )) – 含义：算法在最好和最坏情况下的计算时间就一个常数 因子范围内而言是相同的。有f(n)=Ω(g(n))，又有 f(n)=Ο(g(n))
1 for i←1 to n 量度标准 2 do y[i]←0; //将解向量初始化为0； 3 cu ← C; //cu是背包中剩余的空间； 4 for i←1 to n 5 do{ //依次考察下一个物品是否可以放入背包； 6 if w[i] > cu break ;//物品i无法全部放入背包, 退出for循环； 7 then y[i]←1; 8 cu ←cu - w[i]; 9 } 10 if i≤n 11 then y[i] ← cu/w[i]; //不能完全装入的物品的部分装入量
合并求解
第二章 主要内容：找最大最小元素 时间复杂度 n=1 T(n) = n=2 T( n/2 ) T( n/2 ) 2 n>2 • n是2的幂时(n=2k),化简上式 T(n)=2T(n/2) +2
与直接算法比较次数 2(n-1)相比，比较次 数减少了25%。
0 1
=2(2T(n/4) + 2) + 2 =… i k-1T(2) + 2 =2 1 i k 1 =2k-1+2k-2 =3n/2-2
第二章主要内容
• 分治法的基本思想
– 在问题输入规模很大时，无法直接求解，则将整个问 题分成若干个小问题后分而治之。 分解：将原问题分析为若干个相互独立，与原问题形 式相同的子问题。 求解：若子问题易解，则直接求解；否则继续分解， 直至子问题易解。 合并：合并已求解的子问题的解，得到原问题的解。 原问题可以分解为若干个子问题，子问题与原问题结 构相似，由子问题的解能够快速求出原问题的解
Procedure MAXMIN(i,j,fmax,fmin) 容易求解的 integer i,j;global n,A(1:n) 子问题 if (i==j) fmaxfminA(i) else if(i==j-1) { if A(i)<A(j) fmaxA(j);fminA(i) else fmaxA(i);fminA(j) } 递归调用 else mid[(i+j)/2] call MAXMIN(i,mid,gmax,gmin) call MAXMIN(mid+1,j,hmax,hmin) fmaxmax(gmax,hmax) fminmin(gmin,hmin) endcase End MAXMIN
第四章 动态规划算法
• 动态规划算法的一般步骤
（1）分析最优解的性质，找出最优子结构特征， 如果所求解问题的最优性原理成立，则说明用 动态规划方法有可能解决该问题。 （2） 而解决问题的关键在于获取各阶段间的 递推关系式------递归地定义最优值。 （3）以自底向上的方式逐步计算最优值。每 个子问题的最优值保存在分级决策表中，便于 在下一步进行更大子问题决策时引用，最后得 到最优决策序列。
第四章 动态规划算法 • 动态规划算法的适用条件 • 动态规划算法的一般步骤 • 动态规划算法的应用：多段图问题
第四章 动态规划算法 • 动态规划算法的适用条件
– 对于一个多阶段过程问题，应用动态规划算法 的前提 – 最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子 问题的最优解。 – 子问题重叠性质：每次产生的子问题并不总是 新问题，有些子问题被反复计算多次。
第一章 主要内容
• 给定f(n)= amnm+…+a1n+a0，求f(n)的上界 函数、下界函数、平均界函数 • 给定f(n)=logn2,求f(n)的上界函数、下界函数、 平均界函数
第二章主要内容
• 分治法的基本思想、求解流程、适用条件 • 二分检索算法，时间复杂度分析 • 找最大最小值算法，时间复杂度分析
பைடு நூலகம்
• 最优子结构性质
– 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时， 称此问题具有最优子结构性质。
第三章 贪心算法
背包问题形式描述如下： 约束条件： w
1 i n i