实际问题与二次函数(1)
26.3实际问题与二次函数(1)
= − 20 x + 100 x + 6000 (0≤x≤20)
2
当x = −
1 所以降价时,定价为 所以降价时 定价为 57 2 6125元. 元
b 5 5 5 = 时， y 最大 = − 20 × + 100 × + 6000 = 6125 2a 2 2 2
2
元，利润最大，最大利润为 利润最大，
S＝－ 2 +30l ＝－l ＝－ 因此， 因此，当 l = −
( 0 < l < 30 )
b 30 时 =− = 15 ， 2a 2× (−1)
4ac − b2 − 302 = = 225， S有最大值 有最大值 4a 4×(−1)
也就是说， 最大（ ＝ 也就是说， 当l是15m时，场地的面积 最大（S＝ 是 时 场地的面积S最大 225m2）.
6 4 2 0
x 2
-4 -2
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边 用总长为 的篱笆围成矩形场地 的变化而变化， 是多少时，场地的面积S最大 最大？ 长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积 最大？
分析： 的函数关系式， 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为 ， 矩形场地的周长是 ，一边长为l， 60 则另一边长为 − l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) ＝ － 即 S＝－ +30l ＝－l ＝－
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ ）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些量之间的关系？ ）题目涉及到哪些量之间的关系？ (3)哪一个量是自变量？哪些量随之发生 哪一个量是自变量？ 哪一个量是自变量 了变化？ 了变化？
实际问题与二次函数(1)
D
C B A
25m
实际问题与二次函数（1）
探究1：面积问题
例题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？针对训练（一）
用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？针对训练（二）
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究（二）利润问题
例题：已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
针对训练（一）
商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。
每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
针对训练（二）
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？。
22.3实际问题与二次函数(一)
22.3实际问题与二次函数（一）一、课前导学1．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（ _, ）2．一般地：(1)如果抛物线c bx ax y ++=2中a>0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；(2)如果抛物线c bx ax y ++=2中a<0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。
3．分别用配方法和公式法，求当x 取何值时，y 有最值。
（1）223y x x =+- （2）21252y x x =-+-二、自主探究，合作交流问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系为2305(06)h t t t =-≤≤.小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究：借助函数图象解决这个问题，画出2305(06)h t t t =-≤≤函数图象如图 可以看出这个函数图象是一条抛物线的 一部分，这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点，也就是说，当t 取顶点横坐标时这个函数之最大. 因此，当2b t a =-=时，h 有最大值244ac b a -=.也就是说小球运动 秒时，小球运动最大高度 米.三、自主探究，交流展示☆探究1：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S 随一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地面积S 最大？☆应用举例：1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？2.如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？H G F E DC BA☆练检巩固：1. 用长为20cm 的铁丝作两个正方形，两个正方形的边长分别为多少时，面积和最大？是多少？2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？3. 如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4.一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？D C BAF E DC BA☆能力提升：1. 如图，点E,F,G,H 分别在菱形ABCD 的四条边上，BE=BF=DG=DH ，连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(1)设AB=a ，∠A=60°，当BE 为何值时，矩形EFGH 面积最大？BAC2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？。
26.3_实际问题与二次函数_第1课时
1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x
之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少 只获得的利润最大？其最大利润为多少？
【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有: 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50. 答：一次至少买50只，才能以最低价购买 (2)
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
a 0.5
a 0.5
2 a 2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言在数学中，二次函数是一种常见的函数类型。
它的图像呈现出抛物线的形状，具有许多有趣的性质和应用。
在现实生活中，我们常常遇到一些实际问题，其中涉及到二次函数的概念和计算。
本文将从多个角度深入探讨实际问题与二次函数之间的关系。
二次函数的定义二次函数的一般形式可以写作f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，并且a 不等于零。
二次函数的图像通常是一个向上或向下开口的抛物线。
其中，二次项a 决定了抛物线的开口方向和形状，一次项b则影响了抛物线的位置，常数项c则表示了抛物线的纵坐标偏移量。
实际问题中的二次函数在现实生活中，我们可以用二次函数来描述许多实际问题。
以下是一些常见的实际问题，其中涉及到了二次函数的概念和计算。
问题1：自由落体假设一个物体从高空自由落体，忽略空气阻力。
我们可以用二次函数来描述其下落的高度与时间的关系。
假设物体从高度ℎ0开始下落，加速度为g，则其高度ℎ与时间t的关系可以表示为ℎ(t)=ℎ0−12gt2。
这是一个典型的二次函数，其中a=−12g，b=0，c=ℎ0。
通过解这个二次方程，我们可以计算出物体在任意时间下落的高度。
问题2：抛体运动抛体运动是另一个常见的实际问题，其中涉及到了二次函数。
假设一个物体以初速度v0和发射角度θ被抛出，忽略空气阻力。
我们可以用二次函数来描述其水平方向上的位移x与时间t的关系。
假设物体的水平位移与时间的关系可以表示为x(t)=v0cosθ⋅t，其中v0cosθ是物体在水平方向上的速度。
这是一个一次函数，其中a= 0，b=v0cosθ，c=0。
问题3：成本与利润在经济学中，成本和利润也可以用二次函数来描述。
假设一个公司的总成本是由固定成本和可变成本构成的，其中可变成本与产量成正比。
我们可以用二次函数来描述总成本C与产量x的关系。
一般来说，总成本可以表示为C(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是常数。
类似地，我们可以用二次函数来描述利润P与产量x的关系。
实际问题和二次函数(一)
y
400 300 200 100 100 0 200 300 400 500 700 600
x
总结反思,拓展升华 总结反思 拓展升华
【总结】本节所学的数学知识是如何利用二次函数的最大 总结】 值来解决实际问题. (小)值来解决实际问题.
【反思】(1)解决实际问题需注意什么? 反思】(1)解决实际问题需注意什么 解决实际问题需注意什么? (2)利用二次函数还可以解决哪些实际问题 利用二次函数还可以解决哪些实际问题, (2)利用二次函数还可以解决哪些实际问题,请 大家注意收集,分类,看它们各自有何特点. 大家注意收集,分类,看它们各自有何特点.
合作交流,解读探究 合作交流 解读探究
【探究】某商品现在的售价为每件60元,每星 探究】某商品现在的售价为每件60 60元 期可卖出300件 市场调查反映:如果调整价格, 卖出300 期可卖出300件,市场调查反映:如果调整价格, 涨价1 每星期要少卖出10件 少卖出10 降价1 每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元, 每星期可多卖出20件 已知商品的进价为每件 多卖出20 每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件 40元 如何定价才能使利润最大 利润最大? 40元,如何定价才能使利润最大?
练习3 某宾馆有50个房间供游客居住 练习3：某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定 50个房间供游客居住, 价为每天180元 每天180 房间会全部住满, 价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的 定价每增加10元 每增加10 会有一个房间空闲, 定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住 房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用 每个房间每天支出20元的各种费用. 房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价 定为多少时,宾馆利润最大? 定为多少时,宾馆利润最大?
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。
第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。
解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。
这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。
问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。
解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。
我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。
第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。
解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。
根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。
我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。
第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。
解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。
我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。
问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。
解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
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(1)分析：y=30-2x
0 30 2 x 18
6 x 15
(1) y=30-2x (6 x<15) 解：
(2) S=x(30-2x)=-2x +30x S=-2(x-7.5) +112.5
2
2
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米时，花圃
的面积最大为112.5平方米。
D A
H EG FC源自B5、学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用长为30米的篱笆围成， 已知墙长为18米，设这个花圃垂直的一边为x米. （1）平行于墙的一边为y米，直接写出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大，并求这个最大值； （3）当这个花圃园的面积不小于88平米时，（结合图像）直接写出x的取值范围。
30 2+45 b 2=-5(t-3) 解法一：h=30t-5t 解法二：当t= - 2a = - 2 × （ - 5）=3时，
4ac - b 2 4× （ -秒时，小球最高。 5） × 0 - 302 ∴当小球的运动时间为 3 h有最大值 4a = =45 4 × ( - 5)
小球运动过程中最大高度为45米。 ∴当小球的运动时间为3秒时，小球最高。 小球运动过程中最大高度为45米。
A
D
B
C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4米时，S最大值＝32 平方米 ∴ 围成花圃的最大面积是32平方米
4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生 活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的 不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的 中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木 质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃
的面积最大为112.5平方米。 （3）由图象知：当6≤X ≤11时，面积 不小于88平方米.
评
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : 求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
实际问题与 二次函数（1）
导
【学习目标】 利用二次函数的图像和性质解决
抛投物体的运动轨迹问题和几何 问题。
思
阅读课本49页问题和探究一，认真完
成导学提纲。
议
以组为单位解决自己不懂的问题。
展
1、从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位： 米）与小球的运动时间 t （单位： s ）之间的关系式是 h=30t-5t 2 ，（ 0≤t≤ 6），小球运动的时间是多少时， 小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
（3）分析： -2x2+30x=88
解得：x1=4 ∵6≤X <15 由图像得: 当 6≤X ≤11时， ∴花圃园的面积不小于88平方米
15
,x2=11
(1) y=30-2x (6 x<15) 解：
(2) S=x(30-2x)=-2x +30x S=-2(x-7.5) +112.5
2
2
由(1)知6 x<15
3、在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方 形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃长为（24－4x）米 ∴ S=x（24－4x） 即S =-4x2＋24 x （0<x<6）