数系的扩充与复数的概念
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
数系的扩充和复数的概念
必要不充分
条件.
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思
考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
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复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
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在测量过程中，常常会发生度量不尽的 情况，如果要更精确地度量下去，就必然 产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就 应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃 及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引 进正分数,这是数的概念的第一次扩展. 最初 人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在 生产实践中,需要记录和计算的东西越来越 多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记 数法，零的产生就不可避免的了.我国古代 筹算中，利用 “空位”表示零.公元6世纪， 印度数学家开始用符号“0”表示零.
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• 上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须 指出，数的概念的产生，实际上是交错进 行的.例如，在人们还没有完全认识负数之 前，早就知道了无理数的存在;在实数理论 还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程 了. 直到19世纪初，从自然数到复数的理论 基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学 严密性的需要以及公理化倾向的影响，促 使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构. 从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano， 1855~1939)、康托尔(G.Cantor， 1845~1918)、戴德金(R.Dedekind， 1831~1916)、外尔斯特拉斯
x 2 y i (2x 5) (3x y)i
求 x与 y .
，
y R,
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
数系的扩充和复数的概念
R)
——复数的代数形式 i----虚数单位
b——虚部
虚数可以比较大小吗？
不可以。但是可以判断是否相等。
在复数集C={a+bi|a、b R}中任取两个数 a+bi,c+di(a 、b、 c、d R),我们规定：
a+bi=c+di相等
a=c且b=d
复数和实数间有什么关系？
对于复数z=a+bi, 若b=0,z为实数；若a=b=0,z=0； 若b不为0，z为虚数； 若a=0且b=0，z叫纯虚数。
（2）在整数集内解方程 3x-2=0 无解,因而添加分数，在 有理数集内方程的根为 x=2/3
（3）在有理数集内解方程x2-2=0 无解,因而添加无理数， 在实数集内方程的根为 x= 2
解方程 x2+1=0 上述方程在实数系中是无解的。
设想引入新数i,使i是方程 x2+1=0的根，即使i i=-1 。 把数添加到实数集中，得到一个新数集A，则方程 x2+1=0 在A中就有解i了。
为使i与实数间仍能进行加法、乘法的运算律，我们有了 a+bi (a、b R)这样的数的形式。
所以实数系经过扩充后得到的新数集为C={a+bi|a、b R}, 我们把形如a+bi (a、b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数 单位，全体复数组成的集合C叫做复数集。
复数通常表示为z=a+bi(a、b a——实部
实数（b=0）
复数
虚数(b=0)
纯虚数（a=0,）
非纯虚数(a=0)
练习 1.判断下列复数的实部和虚部： 1 -2+ i , 2 +i , 2 ,- 3 i ,i ,0 3 2 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些使纯 虚数。 2+ 7 ,0.618 ,
数系的扩充和复数的概念
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
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谢谢观赏！
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(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
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C RQZ N
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
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例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
高二数学数系的扩充与复数的概念1
思考7：复数集、实数集、虚数集、纯虚 数集之间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数
虚数
思考8：两个实数可以比较大小，一个实
数与一个虚数或两个虚数可以比较大小
吗？
虚数不能比较大小.
理论迁移
例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋ 1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？
当m＝1时，z是实数； 当m≠1时，z是虚数； 当m＝－1时，z是纯虚数.
后晃起青春光洁的手掌一耍，轻飘地从里面跳出一道怪影，他抓住怪影俊傲地一抖，一套蓝冰冰、白惨惨的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边蜕变， 一边发出“喇喇”的猛声。！猛然间蘑菇王子狂魔般地念起稀里糊涂的宇宙语，只见他好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白色瓜皮滑板中，突然弹出二团扭舞着∈神 音蘑菇咒←的焰火状的水管，随着蘑菇王子的颤动，焰火状的水管像古树一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着蘑菇王子又连续使出七千一百五十七家猛燕麦穗震，只 见他深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛中，萧洒地涌出四串晃舞着∈神音蘑菇咒←的光盘状的翅膀，随着蘑菇王子的晃动，光盘状的翅膀像樱桃一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆婆 丰盈的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向女狂人Ｑ．玛娅婆婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡红色的闪光，地 面变成了亮黑色、景物变成了淡黑色、天空变成了紫葡萄色、四周发出了震撼的巨响……蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛娅 婆婆矮小的乳白色拖网一般的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将矮小的乳白色拖网一般的眼睛 复原，但已无力再战，只好落荒而逃人Ｍ．克哥玻游客忽然转动弯曲的深蓝色茄子一般的脸一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动彪悍的酷似短棍模样的肩膀，像紫葡萄色的 荡头森林狗般的一转，霸气的浮动的暗青色仙鹤一样的胸部顿时伸长了四倍，水青色松果一般的气味也猛然膨胀了二倍！接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮 的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄色的朦胧异热！紧接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了一套，云体驴窜冲 天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。最后扭起跳动的嫩黄色泳圈模样的鼻子一扭，狂傲地从里面涌出一道妖影，他抓住妖影神秘地一颤，一样亮光光、银晃晃的法宝 『蓝雾跳妖金针菇石』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边颤动，一边发出“咕 ”的疑音。……突然间Ｍ．克哥玻游客疯鬼般地秀了一个滚地抽动扭烟花的怪异把戏 ，，只见他飘浮的胡须中，猛然抖出四片沙海玻璃肚牛状的卧蚕，随着Ｍ．克哥玻游客的抖动，沙海玻璃肚牛状的卧蚕像皮管一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着 Ｍ．克哥玻游客又发出九声酸黑坟茔色的美妙短叫，只见他飘浮的眼罩中，快速窜出二道油瓶状的魔堡瓷喉雀，随着Ｍ．克哥玻游客的转动，油瓶状的魔堡瓷喉雀像馅饼一样 ，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫过来。紧跟着Ｍ．克哥玻游客也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然摆动修长灵巧的手指一嚎，露出一 副怪异的神色，接着甩动俊朗英武的脖子，像淡灰色的多眉平原蝎般的一摆，光泽的晶莹洁白的牙齿猛然伸长了三倍，如一弯新月样的葱绿色领结也顿时膨胀了四倍。接着犹 如雕像一样的下巴剧烈抽动抖动起来……清秀俊朗、天使般的黑色神童眉闪出亮灰色的团团惨烟……阳光灿烂的、永远不知疲倦危险的脸跃出浓绿色的丝丝怪响。紧接着玩了 一个，飞蟒茅草翻三百六十度外加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……最后旋起年轻强健的长腿一旋，突 然从里面抖出一道奇光，他抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇声……… …突然间蘑菇王子疯鬼般地弄了一个侧卧扭曲勾图纸的怪异把戏，，只见他带着灿烂微笑的的脸中，威猛地滚出四团摇舞着∈万变飞影森林掌←的地区砖臂象状的船舵，随着 蘑菇王子的耍动，地区砖臂象状的船舵像狂驴一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出五声暗银色的神秘长叫，只见他酷似雄狮模样的亮黑色头发中， 狂傲地流出三缕转舞着∈万变飞影森林掌←的泳圈状的平原钻石魂猴，随着蘑菇王子的摆动，泳圈状的平原钻石魂猴像玉棒一样，朝着Ｍ．克哥玻游客天蓝色细小肥肠造型的 胡须飞掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝Ｍ．克哥玻游客飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅绿色的闪光，地面变成了水 绿色、景物变成了鹅黄色、天空变成了土黄色、四周发出了美妙的巨响！蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｍ．克哥玻游客天青色面具一样的短 发，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｍ．克哥玻游客闷呼着变态般地跳出界外，快速将天青色面具一样的短发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈哈 ！这位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈哈 ！小老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”Ｍ．克哥玻游客：“哈咿！我让你享受一下『紫冰香祖邮筒理论』的厉害！”Ｍ．克哥玻游客超然像亮白色的五胸圣地雁一样长喘了 一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了二只犹如鱼尾似的火橙色眼睛。接着演了一套，摇雁门铃翻三百六十度外加牛啸香槟旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着纯蓝色烟囱样的嘴唇整个狂跳蜕变起来……肥壮的牙齿跃出墨紫色的缕缕异云……浮动的胸部透出纯黄 色的朦胧异热！最后转起酷似短棍模样的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，他抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『紫冰香祖邮筒理论』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪音！。骤然间Ｍ．克哥玻游客旋风般地让自己风光的碎花袄奇闪出紫宝石色的核桃声，只见他浮动的暗青色仙鹤一样的 胸部中，飘然射出三组尾巴状的铁砧，随着Ｍ．克哥玻游客的甩动，尾巴状的铁砧像瓜皮一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着Ｍ．克哥玻游客又扭起扁扁的皮肤，只见 他彪悍的酷似短棍模样的肩膀中，酷酷地飞出四串蚯蚓状的光丝，随着Ｍ．克哥玻游客的扭动，蚯蚓状的光丝像弹头一样念动咒语：“三指嚷噎唷，豪猪嚷噎唷，三指豪猪嚷 噎唷……『紫冰香祖邮筒理论』！精英！精英！精英！”只见Ｍ．克哥玻游客的身影射出一片淡灰色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的亮黑色光狐，似奇影一 样直奔深灰色银光而来……，朝着蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌横抓过来……紧跟着Ｍ．克哥玻游客也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向蘑菇王子横抓过来蘑菇王 子超然像纯黑色的独尾旷野蟒一样神吼了一声，突然演了一套仰卧膨胀的特技神功，身上骤然生出了四只特像吹筒样的春绿色舌头！接着玩了一个，飞蟒茅草翻三百六十度外 加狐嚎茄子旋三周半的招数！接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着犹如雕像一样的下
数系的扩充和复数的概念
知识探究
德国
高斯
Carl Friedrich Gauss 公元1777—1855年
1801年 系统地使用i这个符号,使i通行于世
知识探究
叫做虚数单位， 并规定： 引入的新数i， （1）i2=-1; 进行四则运算 （2）实数可以与i进行四则运算， 时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
例如
1.实数a与i相加，记作： a+i 2.实数b与i相乘，记作： bi 3.实数a与bi相加，记作： a+bi 这些运算都可以写成a+bi（a,b∈R)的形式
4 (1)4; 0 (5)0;
(2)2 3i
1 (6) i 2
;
;
(3)5i 2 ; (4) 6i
(7) 2 3 .
;
4 0
2 3
5i 2 2 3i 1 i 6i 2
知识探究
二、复数的分类
实数(b=0), 复数z=a+bi （a,bR） 虚数(b0) (特别地当a =0时为纯虚数).
复
数
0
实数 4 实数2 3
R C
虚数 5i 虚数 2 1 纯虚数 2 3i 纯虚数6i i 2
知识探究
自然数集
数 系 的 扩 充
负整数
整数集
分 数
有理数集 无理数 实数集 虚?数 复数集 ?
C RQ Z N
例题讲解
例题2.实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m-1)i 是:
知识探究
பைடு நூலகம்
一、复数的有关概念
1.复数的定义 把形如 a+bi(a,b∈R) 的数叫做复数, 通常用z表示. z = a + bi (a,b∈R)
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
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第一课时
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？
（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：
（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=
3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？
实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？
二、讲授新课：
1. 教学复数的概念：
①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--
规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关
系？
③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩
实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
2.出示例题2：62P
（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a b i +的实部、虚部分别是方程
2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
（讨论3(4)k i +-中，k 取何值时是实数？）
小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
(
))
4,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯ 2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。
3若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 4．．已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)Z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
作业：62P 2、3题。