蒙特卡罗方法4.蒙特卡罗方法解粒子输运问题

能量 E 和运动方向Ω，以 S＝( r , E ,Ω ) 表示。 有时还需要其他的参数，如粒子的 时间 t 和附带
的权重W ，这时状态参数 为 S'＝( r , E ,Ω , t ,W ) 。 状态参数 通常要根据所求问题的类型和所用的方
法来确定。 对于无限平板几何，取 S＝( z , E , cosα) 其中 z 为粒子的位置坐标，α为粒子的运动方向与
对于平板情况， f1(z0 ) (z0 ) 抽样得到 z0＝0。
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(2) 确定下一个碰撞点 ： 碰长度撞已点l 知的服状位从态置如S下mzm-1分。，布在要：相确邻定两状次态碰Sm撞，首之先间要，确中定子下的一输运个
l
f (l) t (rm1 l Ωm1, Em1) exp 0 t (rm1 l Ωm1, Em1)dl
PˆN(1)
P
N
1.96
N
其中 为ηn的均方差，由于ηn是一个服从二项分布的随 机变量，所以
2
P(1
P)
或
ˆ2 PˆN(1) (1 PˆN(1) )
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为得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，将能量、 角度范围分成若干个间隔：
Emin EI E1 E0 Emax
t
( Em 1 )
A t
( Em 1
)
tB
( Em 1
)
Ct
( Em 1 )
其中
A t
,
B t
,
C t
分别为核A
、B、C
的宏观总截面。其定
义如下：
() t
(Em1)
N () () t
(Em1)
() t
(Em1
)、N()、
() t
(Em1)
分别表示(·)核的宏观总截
面、核密度和微观总截面。
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为方便起见，选用平板屏蔽模型，在厚度为 a， 长、宽无限的平板左侧放置一个强度已知，具有已知 能量、方向分布的辐射源 S 。求粒子穿透屏蔽概率 （穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源发 出的平均一个粒子穿透屏蔽的数目。
同时，假定粒子在两次碰撞之间按直线运动 , 且粒 子之间的相互作用可以忽略。
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至此，由Sm-1完全可以确定Sm。 因此，当中子由 源出发后，即S0确定后，重复步骤 (2)～(5)，直到中子 游动历史终止。于是得到了一个中子的随机游动历史 S0 ，S1 ，…，SM-1 ，SM，即
z0 ,
z1, , zM 1,
zM
E0 ,
E1, , EM 1,
r0 , r1, , rM 1, rM E0 , E1, , EM 1, EM Ω0 , Ω1, , ΩM 1, ΩM 来描述。这里 S0 为粒子由源出发的状态，称为初态， SM 为粒子的终止状态。M 称为粒子运动的链长。 这样的序列称为粒子随机运动的历史，模拟一个 粒子的运动过程，就变成确定状态序列的问题。
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跟踪 N 个中子后，则
1,
n 0,
当zM a 当zM 0，或者被吸收
如果我们共跟踪了N 个中子，则穿透屏蔽的中子数为：
N
N1 n n1
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则穿透屏蔽概率的近似值为：
PˆN(1)
N1 N
1 N
N
n
n1
它是穿透率的一个无偏估计。
我们称这种直观地模拟过程和估计方法为直接模
拟方法。在置信水平 1－α＝0.95 时，PˆN(1) 的误差为：
L
1 AC 1 A2 2AC
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如果给出实验室系散射角余弦分布 fL(μL)，可直接 从 fL(μL)中抽取μL，此时能量Em与μL的关系式为：
Em
Em1 ( A 1)2
L
2
A2
1
2 L
确定了实验室系散射角θL后， 再使用球面三角公式
确定cosαm ：
cosm cosm1 cos L sinm1 sin L cos 其中χ为在［0,2π］上均匀分布的方位角。
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粒子的输运问题带有明显的随机性质，粒
子的输运过程是一个随机过程。粒子的运动规 律是根据大量粒子的运动状况总结出来的，是 一种统计规律。蒙特卡罗模拟，实际上就是模 拟相当数量的粒子在介质中运动的状况，使粒 子运动的统计规律得以重现。不过，这种模拟 不是用实验方法，而是利用数值方法和技巧， 即利用随机数来实现的。
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由于中子截面表示中子与核碰撞可能性的大小，
因此，很自然地，中子与A、B、C 核发生碰撞的几率
分别为：
PA
tA (Em1) t (Em1)
,
PB
tB (Em1) t (Em1)
,
PC
Ct (Em1) t (Em1)
利用离散型随机变量的抽样方法，确定碰撞核种类：
PA
≤
＞
PA PB ≤
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一个由源发出的粒子在介质中运动，经过若干次 碰撞后，直到其运动历史结束（如逃出系统或被吸收 等）。假定粒子在两次碰撞之间按直线运动，其运动 方向与能量均不改变，则粒子在介质中的运动过程可
用以下碰撞点的状态序列 描述：
S0 ，S1 ，…，SM-1 ，SM 或者更详细些 , 用
对于平板模型，l 服从分布：
l
f (l) t (zm1 l cosm1, Em1) exp 0 t (zm1 l cosm1, Em1)dl
其中，Σt 为介质的中子宏观总截面，
积分
l
0 t (rm1
l Ωm1, Em1)dl
称为粒子输运的自由程数，
系统的大小通常就是用系统的自由程数表示的。
)
这时，总截面为：
B t
( Em1 )
B el
( Em 1
)
B a
( Em1 )
发生弹性散射的几率为：
Pel
B el
(
Em1
)
B t
(
Em1
)
若 Pel ，则为弹性散射；否则为吸收，发生吸收反
应意味着中子的历史终止。
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(5) 确定碰撞后的能量与运动方向：
如果中子被碰撞核吸收，则其输运历史结束。如
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显然，粒子输运的自由程数服从指数分布，
因此从 f ( l ) 中抽样确定 l，就是要从积分方程
l
0 t (rm1 l Ωm1, Em1)dl ln
中解出 l。
对于单一介质
l ln t (Em1)
则下一个碰撞点的位置
zm zm1 l cosm1
zm1
)、
B f
(Em1
)和
B c
(Em1
)
则有
B t
(Em1
)
B el
(Em1
)
B in
(Em1)
B (n,2n)
(Em1)
B f
(Em1
)
B c
(Em1)
各种反应发生的几率分别为
Pel
B el
( Em 1
)
B t
(
Em1
)
Pin
B in
( Em 1
)
B t
(
Em1
)
P( n , 2 n )
B (n,2n
EM
cos0 , cos1, , cosM 1, cosM
也就是模拟了一个由源发出的中子的运动过程。
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以上模拟过程可分为两大步：第一步确定粒子的 初步始又状分态为S两0，个第过二程步：由第状一态个S过m-程1来是确确定定状碰态撞Sm点。位这置第z二m ， 称为输运过程；第二个过程是确定碰撞后粒子的能量 及运动方向，称为碰撞过程。对于中子而言，碰撞过 程是先确定散射角，进而确定能量和运动方向；而对 于光子，碰撞过程是先确定能量，再确定散射角以及 运动方向。重复这两个过程，直至粒子的历史终止。
这种模拟过程，是解任何类型的粒子输运问题所 共有的，它是蒙特卡罗方法解题的基本手段。
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3) 记录结果
在获得中子的随机游动历史后，我们要对所要计
算的物理量进行估计。对于屏蔽问题，我们要计算中 子的穿透率。考察每个中子的随机游动历史，它可能 穿透屏蔽（zM≥a），可能被屏蔽发射回来（zM≤0）， 或者被吸收。设第 n 个中子对穿透的贡献为ηn ，则
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2. 直接模拟方法
直接模拟方法就是直接从物理问题出发， 模拟粒子的真实物理过程。
1) 状态参数与状态序列 2) 模拟运动过程 3) 记录结果
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1) 状态参数与状态序列
粒子在介质中的运动的状态，可用一组参数来描
述，称之为状态参数。它通常包括：粒子的空间位置 r，
0 0 1 J 2
其中Emax，Emin分别表示能量的上、下限，对于穿透屏 蔽的中子按其能量、方向分间隔记录。设一穿透屏蔽
的中子能量为EM，其运动方向与Z轴夹角为αM，若能
量度E间M隔属Δ于α第j，i则个分能别量在间第隔iΔ个Ei能，量角计度数αM器属及于第第
j j
个角 个角
度计数器中加 "1"。
Z 轴的夹角。 对于球对称几何 , 取 S＝( r , E , cosθ) 其中 r 表示粒子所在位置到球心的距离，θ为粒子