张掖市天一中学高二数学第一章练习及检测(潘积强)

（数学5必修） 第一章：解三角形1.1正弦定理和余弦定理 一．知识要点正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 Aa s i n =Bb sin =C csin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a3．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+= B ac a c b cos 2222-+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=⇔ab c b a C 2cos 222-+=4．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．A tan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．325．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题2.A 0,sin 0A A π<<>1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c ab b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

4．在△ABC 中，设,3,2π=-=+C A b c a 求B sin 的值。

1.2解斜三角形 一．知识要点解斜三角形主要有以下方面的应用:1.测量距离2.测量高度3. 测量角度4. 有关三角形计算5. 三角形恒等式证明 知识1：在△ABC 中，边BC,CA,AB 上的高分别记为ha, hb ,hc ,那么容易证明： ha=bsinC=csinB hb =csinA=asinC hc =bsinC=csinB选择题 一、选择题1、从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为 A ．βα>B ．βα=C ．90=+βαD ．180=+βα2、 C 处距离两个目标A 和B 的距离均是20km ，A 在C 的南偏东40°，则AB 间的距离等于（ ）A ．20kmB ．C ．D ．40km3、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°视角，则B 、C 间的距离是( )A ．310海里B ．3610海里 C ．25海里D ．65海里4、在200 m 的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A ．3400mB ．33400mC ．33200mD ．3200m二、填空题1、等腰三角形顶角的余弦为257，则底角的正弦值为________．2、某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，则x 的值为________千米．3、一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．4、坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________．5、△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦是23，则面积S ＝________．三、解答题1、如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进了100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾角 ．（用反三角表示）2、为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．3、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(3-1)海里的B处有一艘走私船，在A处10海里/小时的速度追截走私船，此北偏西75°方向，距A 2海里的C处的缉私船奉命以3时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？第五章检测一、 选择题（每小题5分，满分60分）1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或1202.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =，2A B =，则c o s B =（ ）3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A = ,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A = ,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解5. 已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A ．15a <<B ．17a <<C 5a <<D 7a < 6.在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7. 在ABC ∆中，A ∠＝600，AB ＝2，且ABC S ∆=，则BC 边的长为（ ）A B ．3 C D ． 8.ABC ∆ 中,1,2==c a 则C 角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎝⎛6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A 13B 12C 34D 0 10.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.)33B π++B.)36B π++ C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++ 12．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题(每小题4分，满分16分)13、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________14、在ABC ∆中，2,3,AB BC AC ===ABC ∆外接圆半径R = 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B = ABC ∆的面积为32，则b =____. 16、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与 塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则塔高AB= 米。

三、解答题：17（本题12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足： 2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。

A D18.（满分12分）在ABC ∆中，已知,A B C >>且2,A C =4,b =8,a c +=求,.a c19. （满分12分）在ABC ∆中，已知角A ，B，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222a b c +-.(1)求角C 的大小； (2)如果203A π<≤，22cos sin 12A mB =--，求实数m 的取值范围.20.（满分12分）在ABC ∆中，c o s,s i n ,c o s ,s i n 2222C C CC ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m n ，且m 和n 的夹角为3π.(1)求角C ;(2)已知72C =，三角形的面积2s =，求.a b +2 1. （本题满分14分)在海岸A 处，发现北偏东 45方向，距离A 为)13(- n mile 的B 处有一艘走私船，在A处北偏西 75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以310n mile / h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。