【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第2篇 第6节 二次函数与幂函数]
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第6节 二次函数与幂函数 文
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第2章 第6节 二次函数与幂函数 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，7，9一、 选择题（每小题5分，共20分） 1. 幂函数y ＝x 43的图像是（A ）∵y＝x 43＝3x 4，∴该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，且过原点，故选A. 2.如果x≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 （B ）A. 2B. 34C. 23D. 0由x≥0，y ≥0， x ＝1－2y≥0知0≤y≤12， t ＝2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.3.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（C ）A. [1，＋∞）B. [0，2]C. [1，2]D. （－∞，2]y ＝（x －1）2＋2，由x 2－2x ＋3＝3得x ＝0或x ＝2，由x 2－2x ＋3＝2得x ＝1，易知1≤m≤2，故选C.4.（2013·湛江模拟）若f （x ）＝x 2－x ＋a ，f （－m ）＜0，则f （m ＋1）的值是（B ） A. 正数 B. 负数C. 非负数D. 不能确定正负f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，其对称轴为直线x ＝12，而 －m ，m ＋1关于直线x ＝12对称， 故f （m ＋1）＝f （－m ）＜0，故选B.二、 填空题（每小题5分，共15分）5. 已知（0.71.3）m ＜（1.30.7）m，则实数m 的取值范围是 （0，＋∞） Ｗ.∵0＜0.71.3＜0.70＝1，1.30.7＞1.30＝1，∴0.71.3＜1.30.7.而（0.71.3）m ＜（1.30.7）m，故m ＞0.6. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞）上是增函数，则m 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14Ｗ.由已知条件当m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，－12m ≤－2时，函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞）上是增函数，解得0≤m≤14.7. 若方程x 2＋（k －2）x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 Ｗ. 设f （x ）＝x 2＋（k －2）x ＋2k －1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，3k －2＜0，4k －1＞0，解得12＜k＜23. 三、 解答题（共15分）8.（7分）已知二次函数f （x ）的二次项系数为a ，且f （x ）＞－2x 的解集为{x|1＜x ＜3}，方程f （x ）＋6a ＝0有两个相等的实根，求 f （x ）的解析式.设f （x ）＋2x ＝a （x －1）（x －3）（a ＜0），则f （x ）＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，∴f （x ）＋6a ＝ax 2－（4a ＋2）x ＋9a ， ∵f （x ）＋6a ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（4a ＋2）2－36a 2＝0，（3分）∴16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0，即（5a ＋1）（a －1）＝0，解得a ＝－15或a ＝1（舍去）.因此f （x ）的解析式为f （x ）＝－15x 2－65x －35.（7分）9.（8分）已知函数f （x ）＝2x －x m 且f （4）＝－72.（1）求m 的值；（2）求f （x ）的单调区间.（1）f （4）＝24－4m ＝－72，∴4m＝4.∴m ＝1.故f （x ）＝2x－x.（4分）（2）由（1）知， f （x ）＝2·x －1－x ， 定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数， 故在（－∞，0），（0，＋∞）上f （x ）均为减函数. ∴f （x ）的单调减区间为（－∞，0），（0，＋∞）.（8分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分）若时间有限，建议选讲3，4，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是 （B ）A. P ＜Q ＜RB. Q ＜R ＜PC. Q ＜P ＜RD. R ＜Q ＜P由函数y ＝x 3在R 上是增函数知⎝ ⎛⎭⎪⎫253＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123， 由函数y ＝2x 在R 上是增函数知，2－32 ＞2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴P ＞R ＞Q.2. 设abc ＞0，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 （D ）对于选项A ，C ，都有⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＜0，c ＜0，∴abc ＜0，故排除A ，C.对于选项B ，D ，都有－b2a＞0，即ab ＜0，则当c ＜0时，abc ＞0，故选D.3.（2013·乐山模拟）下面给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（B ）A. ①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B. ①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C. ①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D. ①y ＝x 12，②y ＝x 2，③y ＝x 13，④y ＝x －1①关于O 点对称，且在（0，＋∞）上函数值增得越来越快，指数应大于1且为奇数，则可排除A ，C ，D 项.4. （2013·济南模拟）函数f （x ）＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是（A ）A. f （1）≥25B. f（1）＝25C. f （1）≤25D. f（1）＞25由题意知m8≤－2，∴m ≤－16.∴f（1）＝9－m≥25，故选A.二、 填空题（每小题5分，共10分）5. 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，（x －1）3，x ＜2，若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （0，1） .作出函数y ＝f （x ）的图像如图，则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根.6. 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （－2，0），B （4，0），且函数的最大值为9，则这个二次函数的解析式是 y ＝－x 2＋2x ＋8 .设y ＝a （x ＋2）（x －4），对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－（x ＋2）（x －4）＝－x 2＋2x ＋8.三、 解答题（共20分）7.（10分）已知函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－ax ＋1a .（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围.（1）∵a≠0，函数的定义域为R ，则ax 2－ax ＋1a ＞0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－a ）2－4a·1a ＜0， 解得a∈（0，2）.（5分） （2）若函数的值域为R ，则必须满足ax 2－ax ＋1a 能够取遍所有大于0的数.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（－a ）2－4a ·1a ≥0， 解得a∈[2，＋∞）.（10分） 8.（10分）已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a≠0），满足条件f （1＋x ）＝f （1－x ），且方程f （x ）＝x 有相等的实根.（1）求f （x ）的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别为[m ，n]和[3m ，3n]？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由.（1）∵f（x ）满足f （1＋x ）＝f （1－x ）， ∴f （x ）的图像关于直线x ＝1对称.而二次函数f （x ）的对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－b2a ＝1. ①又f （x ）＝x 有相等的实根，即ax 2＋（b －1）x ＝0有相等的实根，∴Δ＝（b －1）2＝0. ②由①②得b ＝1，a ＝－12，∴f （x ）＝－12x 2＋x. （5分）（2）∵f（x ）＝－12x 2＋x ＝－12（x －1）2＋12≤12.若存在满足要求的m ，n ，则必须3n≤12，∴n ≤16.从而m ＜n≤16＜1，又当x≤1时，f （x ）单调递增，`可解得m ＝－4，n ＝0满足要求.∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(二)Word版含解析
第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )．A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在解析 注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数在区间[3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是 ( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案 －68．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4. 答案 4 三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是 ( )．A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x解析 对于A ，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于B ，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于C ，注意到函数y ＝ln 2＋x2－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于D ，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x－e －x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.答案 D2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．。
2015届高考数学(文)一轮复习备选练习2-4《二次函数与幂函数》(人教A版)word版含详析
[B 组 因材施教·备选练习]1．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，12 D. ⎝⎛⎭⎫0，12 解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx＋2m ⎝⎛⎭⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－(1＋4m 2)2mx<0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12. 答案：A2．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A 、B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．因此h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C3．(2014年济南模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝f (1)＝0，且f (x )的最小值是－14. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝ln x －2x ＋f (x )，若函数h (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f (1)＝0，∴b ＝－a ，∴f (x )＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎫x －122－a 4， 又f (x )的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x .(2)由(1)得h (x )＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x (x >0)，∴h ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x. 易知函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>12，m －1≤1，∴32<m ≤2.。
【导与练】2015届高考数学一轮复习 第2篇 第3节 函数性质的综合应用课件 文 新人教版
即时突破 3 (2013 年高考重庆卷)已知函数
f(x)=ax +bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,
3
则 f(lg(lg 2))等于(
) (D)4
(A)-5 (B)-1 (C)3 解析:因为 f(-x)+f(x)=8.
1 又 lg(log210)=lg( )=-lg(lg 2), lg 2
)
(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2
取值范围是(
)
1 1 (A)[1,2] (B)(0, ](C)[ ,2](D)(0,2] 2 2
思维导引:(1)利用函数的周期性和奇偶性直接 求解. (2)利用函数的奇偶性转化为函数值的大小关系, 再利用函数单调性转化为关于 a 的不等式求解.
反思归纳
应用函数奇偶性可解决的问题及方法
(1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值 求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用 奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方 程(组),从而得到 f(x)的解析式.
(3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 得到关 于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值 或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.
条件
结论
2.函数奇偶性、对称性和周期性的几个关系
(1)若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周 期为 2a; (2)若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周 期为 4a; (3)若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数,则 f(x) 周期为 4a; (4)若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x) 周期为 2a.
.5 二次函数(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(原卷版)
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】一、课前小测摸底细1.【课本典型习题，P82第10题】已知幂函数()y f x =的图象过点2(2,)，求此函数解析式，并作出图象，判断函数奇偶性、单调性．2. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .3. 【浙江省“六市六校”联盟2014届高考模拟考试数学（文科）试题卷】已知函数()||,f x x x a =-若对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12,x x ≠12()x x -12[()()]0f x f x ->恒成立，则实数a 的取值范围为 ．4.【基础经典试题】已知函数的值域是，则实数的取值范围是( ) A ．； B ．； C ．； D ．5.【改编自2013年浙江卷】已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，若(0)(2)(3)f f f =>，则（ ） A 、0,40a a b >+= B 、0,40a a b <+= C 、0,20a a b >+= D 、0,20a a b <+=二、课中考点全掌握考点1 二次函数的解析式 【题组全面展示】【1-1】已知二次函数的图象经过三点01A （，），12B （，），21C -（，）那么这个二次函数的解析式为______． 【1-2】某抛物线的顶点为23-（，），并经过点15-（，），则抛物线的解析式为______． 【1-3】已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【综合点评】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．【基础知识重温】二次函数的解析式(1)一般式：()2()0f x ax bx c a ≠＝＋＋；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为()h k ，，则其解析式为()2())0(f x a x h k a ≠＝－＋； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为12,x x ，则其解析式为()12()(0)()f x a x x x x a ≠＝－－．【方法规律技巧】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【新题变式探究】【变式一】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()2)2(f x f x －＝＋，求f (x )的解析式． 【变式二】已知二次函数f (x )同时满足以下条件：(1)()1)1(f x f x ＋＝－； (2)()f x 的最大值为15；(3)()f x ＝0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式．【综合点评】确定二次函数解析式需要三个独立条件，往往从对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点以及函数图象经过的定点等方面挖掘等量关系．考点2 二次函数的图象和性质 【题组全面展示】【2-1】若0,0x y ≥≥，且21x y +=，则223x y +的最小值是（ ） A ．2 B ．34 C ．23D ．0 【2-2】设二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是 （ ）( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]【2-3】一次函数y ax b ＝＋与二次函数2y ax bx c ＝＋＋在同一坐标系中的图象大致是()【2-4】已知函数()2f x x x c ＝＋＋，若()()000f f p ＞，＜，则必有( )A ．1()0f p ＋＞B ．1()0f p ＋<C ．1()0f p ＋=D ．()1f p ＋的符号不能确定【2-5】若函数()221f x x mx ＝＋－在区间[－1，＋∞)上递增，则1()f －的取值范围是____________．(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【变式1】求函数2()21f x x ax =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【变式2】已知函数()2f x x mx n ＝＋＋的图象过点()1,3，且() 11() f x f x －＋＝－－对任意实数都成立，函数()y g x ＝与()y f x ＝的图象关于原点对称. (1)求()y g x ＝与()y f x ＝的解析式；(2)若()()()F x g x f x λ＝－在(]1,1－上是增函数，求实数λ的取值范围．【综合点评】二次函数在给定区间的最值问题是通过考虑对称轴和所给区间的位置关系，通过数形结合研究函数的最大值和最小值；当定义域落在对称轴一侧时，二次函数具有单调性．考点3 二次函数的综合应用 【题组全面展示】【3-1】已知函数⎩⎨⎧><≤+-=)1(log )10(44)(20132x xx x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是（ ）A ．)2014,2(B ．)2015,2(C ．)2014,3(D ．)2015,3( 【3-2】．已知函数()2f x ax bx c =++,且,0a b c a b c >>++=,则( )(A)()0,1x ∀∈,都有()0f x > (B) ()0,1x ∀∈,都有()0f x < (C)()00,1x ∃∈,使得()00f x = (D) ()00,1x ∃∈,使得()00f x >【3-3】若函数2()|(21)(2)|f x mx m x m =-+++恰有四个单调区间,则实数m 的取值范围( ) A.14m <B. 14m < 且0m ≠C. 104m << D. 14m > 【3-4】已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈，对任意实数x 都有(1)=(1+)f x f x -成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．10b -<<B ．2b >C ．1b <-或2b >D ．不能确定 【3-5】设函数()f x x x bx c ＝＋＋，给出下列四个命题：①0c ＝时，f (x )是奇函数；②00b c >＝，时，方程()0f x ＝只有一个实根； ③()f x 的图象关于(0)c ，对称； ④方程()0f x ＝至多有两个实根． 其中正确的命题是A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②④【综合点评】有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【基础知识重温】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第9节
[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g ，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g ，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g ，则他应付邮费( )A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A. 2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是关于经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成____________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4.某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )A ．7层B ．8层C ．9层D ．10层解析：选C 设所停的楼层为n 层，则2≤n ≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n )＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝(12－n )(26－2n )2＋(n －2)[1＋(n －2)]2＝32n 2－532n ＋157，其对称轴为n ＝536∈(8,9)，又n ∈N *且n 离9的距离较近，故选C.6.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②7.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20. 答案：209．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例． 解：(1)y 关于x 的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·威海高三期末)对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( )A ．y ＝xB ．y ＝ln xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x 2解析：选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *) 16。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(十三)Word版含解
方法强化练——函数与基本初等函数(建议用时：75分钟)一、选择题1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)02x ＋1的定义域为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1∪(－1，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－1∪(－1，＋∞) 解析 由⎩⎨⎧x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 A2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( )． A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析 根据奇偶性的定义易知A 、C 为偶函数，B 为奇函数，D 的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 D3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝( )． A ．3 B ．1－2 C ．2－1D ．1解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1，选C. 答案 C4．(2013·郑州模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是 ( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析 因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，选B. 答案 B5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有 ( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个，选B. 答案 B6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－13 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，则 ( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析 a ＝log 20.9＜0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＝c ＞0.答案 B7．(2013·潍坊二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为( )．解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1，所以图象为B.答案 B8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则 f (－log 35)的值为( )． A ．－4 B ．4 C ．－6D ．6解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0， 所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35) ＝－(3－1)＝－4.答案 A9．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )．A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15－x 辆车，获得的利润为 y ＝5.06x －0.15x 2＋2×(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30， 当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B10．(2013·陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )．A ．[－x ]＝－[x ]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]解析 特值法 对A ，设x ＝－1.8，则[－x ]＝1，－[x ]＝2，所以A 选项为假；对B ，设x ＝1.8，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝2，[x ]＝1，所以B 选项为假；对C ，设x ＝－1.4，[2x ]＝[－2.8]＝－3,2[x ]＝－4，所以C 选项为假．故D 选项为真，所以选D. 答案 D 二、填空题11．(2013·湖南卷)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为________．解析 因为g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，所以作出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．答案 212．(2013·长沙期末考试)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ＜0，2x ，x ≥0，则f [f (－1)]＝________.解析 f (－1)＝(－1)2＝1，所以f [f (－1)]＝f (1)＝21＝2. 答案 213．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)． ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]14．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，设A (3,1), B (－1,0)，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 15．(2014·扬州质检)对于函数f (x )＝x |x |＋px ＋q ，现给出四个命题： ①q ＝0时，f (x )为奇函数； ②y ＝f (x )的图象关于(0，q )对称；③p ＝0，q ＞0时，方程f (x )＝0有且只有一个实数根； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．解析 若q ＝0，则f (x )＝x |x |＋px ＝x (|x |＋p )为奇函数，所以①正确；由①知，当q ＝0时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称，f (x )＝x |x |＋px ＋q 的图象由函数f (x )＝x |x |＋px 向上或向下平移|q |个单位，所以图象关于(0，q )对称，所以②正确；当p ＝0，q ＞0时，f (x )＝x |x |＋q ＝⎩⎨⎧x 2＋q ，x ≥0，－x 2＋q ，x ＜0，当f (x )＝0，得x ＝－q ，只有一解，所以③正确；取q ＝0，p ＝－1，f (x )＝x |x |－x ＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥0， －x 2－x ，x ＜0，由f (x )＝0，可得x ＝0，x ＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 三、解答题16．(2013·贵阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和 (1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥ 2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2 x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3.故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立．于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时的a 的范围是(0,1)．18．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80).(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000.此时，当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(十一)Word版含解
第11讲 导数的应用(一)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )．A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析 f ′(x )＝e x (x －2)， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )的单调增区间是(2，＋∞)． 答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )．解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 答案 B3．(2014·韶关模拟)函数y ＝x e x 的最小值是 ( )． A ．－1 B ．－e C ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e . 答案 C4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )．A ．a ＜－1B ．a ＞－1C．a＞－1e D．a＜－1e解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－e x＜－1，∴a＝－e x＜－1.答案 A5．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案 D二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y′＝1x－2x＝1－2x2x，令y′＝1－2x2x＝0，解得x＝22，当x＞22时，y′＜0，当0＜x＜22时，y′＞0，所以当x＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案2 27．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·淄博模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， 所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数． 答案 D2．(2013·临沂模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.。
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第6节二次函数与幂函数
【选题明细表】
一、选择题
1.(2013河南南阳模拟)设α∈-1,1,,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )
(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3
解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,
当α=-1时定义域不是R,
所以α=1,3.
故选A.
2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( D )
解析:∵a>b>c且a+b+c=0,
∴a>0,c<0.
∴图象可能是D.
故选D.
3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>a>b (D)b>c>a
解析:∵函数y=0.4x在R上是减函数,
且0.2<0.6,
∴0.40.2>0.40.6,
即b>c.
又函数y=x0.2在(0,+∞)上是增函数,且2>0.4,
∴20.2>0.40.2,
即a>b,
∴a>b>c.
故选A.
4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A )
(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)
(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)
解析:∵f(2+t)=f(2-t),
∴f(x)关于x=2对称,
又开口向上.
∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).
∴f(2)<f(3)<f(4),
即f(2)<f(1)<f(4),
故选A.
5.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( B )
(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1
(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1
解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.
6.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( B )
(A)f(x1)=f(x2)
(B)f(x1)<f(x2)
(C)f(x1)>f(x2)
(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:函数的对称轴为x=-1,
设x0=,
由0<a<3得到-1<<,
又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,
故选B.
7.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是
( D )
(A)(0,2) (B)(0,)
(C)(0,4) (D)(0,2)
解析:∵f(a)=f(b),0<a<b,
∴a<<b,
∴2-a2=b2-2,
即a2+b2=4,
则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0<a+b<2,
故选D.
二、填空题
8.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.
解析:x2-ax+2a>0在R上恒成立⇔Δ=a2-8a<0⇔0<a<8.
答案:(0,8)
9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,
∵f(x)是偶函数,
∴2a+ab=0.①
又f(x)的值域为(-∞,4].
∴b<0.②
=4.③
联立①②③解得a2=2,b=-2,
∴f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
10.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.
解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
由题意得
即
解得<k<.
答案:,
11.(2013年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P 是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.
解析:设P x,(x>0),
则|PA|2=(x-a)2+-a2
=x2+-2a x++2a2
令x+=t(t≥2),
则|PA|2=t2-2at+2a2-2
=(t-a)2+a2-2
若a≥2,当t=a时,|PA=a2-2=8,
解得a=.
若a<2,当t=2时,|PA=2a2-4a+2=8,
解得a=-1.
答案:-1,
三、解答题
12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求
F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,
且-=-1,
解得a=1,b=2.
∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.
又x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2,
∴-2≤b≤0.
即b的取值范围是[-2,0].
13.已知函数f(x)=x m-且f(4)=.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)∵f(4)=,
∴4m-=,∴m=1.
(2)由(1)知f(x)=x-,
∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=-x+=-=-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下:
设x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=x1--
=(x1-x2),
因为x1>x2>0,
所以x1-x2>0,1+>0.
所以f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
14.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,
F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0. (1)解:∵f(-1)=0,
∴a-b+1=0,a=b-1.
又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),
∴
∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,
∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
∴F(x)=
(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx
=x2+(2-k)x+1,
当≥2或≤-2时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.
(3)证明:∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=ax2+1,F(x)=
∵m·n<0,不妨设m>n,
则n<0,
又m+n>0,m>-n>0,
∴|m|>|-n|,
又a>0,
∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.。