第7次 等分直线与圆周
浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题
浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期4月统一测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．22．已知0a>，函数()x=-．f x ax xe（I）求曲线()f处的切线方程：=在点(0,(0))y f x（II）证明()f x存在唯一的极值点（III）若存在a，使得()£+对任意xÎR成立，求实数b的取值范围．f x a b（II ）令()(1)0x f x a x e =-+=¢，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e ¢=+，当(,2)x Î-¥-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当(2,)x Î-+¥时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当x ®-¥时，()0g x <，()10g -=，当x ®+¥时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m ¢=-=，当(,)x m Î-¥时，()a g x >，则()0f x ¢>，()f x 单调递增，当(),x m Î+¥时，()a g x <，则()0f x ¢<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max{()}()1(1),m f x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)x h x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，等价于存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+¢-，1x >-，当(1,1)x Î-时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ³-，所以实数b 的取值范围[),e -+¥.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³.答案第241页，共22页。
陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题-PDF版含解析
陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>210x x -+≤A ．，B ．，0x ∃>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>C ．，D ．，0x ∀>210x x -+>0x ∀≤210x x -+>2．设集合，，若，则的范围是（ ）{}=1<<2A x x {}=>B x x a A B A ⋂=a A ．B ．C ．D ．2a ≥1a ≤1a ≥2a ≤3．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）z ()1i 2i z +=i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知是等差数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 310S =930S =6S =A ．15B ．20C ．25D ．－255．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为π 3.1415926π 3.1415927<<纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（ ）A ．240B ．360C ．480D ．7207．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”αβαβ//αβ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为mm 120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（ ）（π≈3.14，mm mm 精确到1）m A ．60B ．80C ．100D ．120mmmm9．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）12A ．甲获得冠军的概率最大B ．甲比乙获得冠军的概率大C ．丙获得冠军的概率最大D ．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等10．对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的()f x 123,,R x x x ∈()1f x ()2f x ()3f x 三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，()f x 22()1x tf x x +=+则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]0,11,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,∞+11．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过的直线()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F 1F 与圆相切于点Q ，与双曲线的右支交于点P ，若线段的垂直平分线恰好222x y a +=PQ 过右焦点，则双曲线C 的离心率为（ ）2FA B C D ．212．过点可作三条直线与曲线相切，则实数a 的取值范围为()1,23()3f x x x a =-+（ ）A ．B ．C ．D ．()1,2()2,3()3,4()4,5二、填空题13．已知向量，，若，则实数m 的值为______.(),2a m = ()2,1b =()2a b b +⊥ 14．若抛物线y2=2x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为_____．15．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集R ()f x (),0∞-()0xf x <为，则符合题意的一个函数解析式为______.()(),11,-∞-⋃+∞()f x =16．我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.99100n （参考数据：）lg20.301,lg30.477≈≈三、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足ABC .(2)cos cos 0c a B b C -+=(1)求B ；(2)若的周长为6，，求的面积.ABC 2b =ABC 18．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x （单位：分）与物理偏差y （单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x /分201513325-10-18-物理偏差y /分6.53.53.51.50.50.5- 2.5- 3.5-(1)若x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.参考公式：，.1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑ a y bx =- 参考数据：，.8211256i i x ==∑81324i i i x y ==∑19．如图，在直三棱柱中，，E 为的中点，，111ABC A B C AC BC ⊥1BB 1AC =.12CC BC ==(1)证明：；1AC C E ⊥(2)求平面与平面ABC 所成角的余弦值.1AEC 20．已知椭圆C ：，右焦点与抛物线()222210x y a b a b +=>>()2,0F c 28y x=的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左焦点为，过点的直线l 与椭圆C 交于两点，A 关于x 轴1F ()3,0D -,A B 对称的点为M ，证明：三点共线.1,,M F B 21．已知函数.()e 1x f x ax =--(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若有且仅有2个零点，求实数a 的取值范围；()f x (3)证明：.e ln(2)0x x -+>22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以原点O 为极122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设，求的值.()2,0M 11MA MB-23．已知函数()2f x x a x =-+-(1)当时，求不等式的解集；=1a ()3f x ≥(2)若，求的取值范围()21f x a ≥-a参考答案：1．B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为：“，”.0x ∀>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>故选：B 2．B【分析】由，得，从而可求出的范围.A B A ⋂=A B ⊆a 【详解】因为，所以，A B A ⋂=A B ⊆因为，，{}=1<<2A x x {}=>B x x a 所以，1a ≤故选：B 3．A【分析】利用复数的除法运算，可得，即得解1i z =+【详解】由题意：()1i 2i z +=可得：()2i 2i(1i)2i(1i)===i 1i 1i 1i (1i)(1i)2z --=-=+++-在复平面中对应的点为，在第一象限(1,1)故选：A 4．B【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解.n 【详解】设公差为，d 则有，即，133310S a d =+=9193036S a d ==+101231a d +=联立解得，所以，11331031210a d a d +=⎧⎨+=⎩11030a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩61206S a ==故选:B.5．A【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22262k x k πππππ-+≤-≤+，对赋值，结合选项即可判断.Z k ∈k【详解】由题，，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，，22262k x k πππππ-+≤-≤+Z k ∈则，，22233k x k ππππ-+≤≤+Z k ∈当时，，0k =233x ππ-≤≤当时，，1k =5833x ππ≤≤因为，所以是一个单调递增的区间，20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：A 6．A【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，44A 把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.25C 4245A C 240⨯=故选：A 7．B【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】如下图所示：当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的距离相αβa αβ⋂=A B C α∈//BC βB C β等，若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距离相AC D a ∈A C βA B C β等，即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；αβ⇒//αβ若，则内所有点到平面内的距离都相等，//αβαβ即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.αβ⇐//αβ因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.αβ//αβ故选：B.8．C【分析】将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n 项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为100m【详解】空盘直径是，半径是，周长是40mm 20mm ()2π2040πmm ⨯=满盘直径是，半径是，周长是120mm 60mm ()2π60120πmm ⨯=，则每一圈周长成等差数列，共400项，60204000.1-=，()()40040040π120π32000πmm 100480mm 100m 2S +==≈≈故选：C.9．C【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为411(216=②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，54441111(,(),(),()22221111,,,32161616因此，甲最终获得冠军的概率为；111119163216161632++++=（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；932(3)丙获得冠军，概率为，99147913232321632--==>由此可知丙获得冠军的概率最大，即A ，B ，D 错误，C 正确，故选∶C ．10．B【分析】根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证，即可保证该函数为“可构成三角形的函数” ，即得答案.()()min max 2f x f x >【详解】由题意得，，2222211()11111x t x t t f x x x x +++--===++++()0f t =当时，，适合题意；1t =()1f x =的定义域为R ，则，所以是偶函数，()f x 22()()1x tf x f x x +-==+()f x 因为为偶函数，故只需考虑在上的范围，()f x ()f x [0,)+∞当时，，此时在单调递减，故，1t >21()111t f x x -=+>+()f x [0,)+∞()1,(]f x t ∈由题意知对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，此时无最小值，故需，即；.()()min max 2f x f x >()f x 21t ⨯≥12t <≤当，在上单调递增，，1t <()f x [0,)+∞(),1)[f x t ∈对对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，但此时无最大值，需，即，()()min max 2f x f x >()f x 21≥t 112t ≤<综上：,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 11．A【分析】根据题意画出草图，由题意O 为的中点可得，求出12F F 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==，即可得到，，根据双曲线定义推得长度，在直角三角形1||F Q b =||MP 1||PF 2PF 2Rt F MP 中用勾股定理即可找到之间的关系，即可求得离心率.,a b 【详解】设的焦距为，则，()222210,0x y a b a b -=>>2c 1(,0)F c -2(,0)F c 由题意过的直线与圆相切于点Q ，连接,则,1F 222x y a +=OQ 1OQ F P ⊥连接,设M 为的中点，则,则,2PF PQ 221,MF PQ MF PF ⊥∴⊥2OQ MF ∥因为O 为的中点，故Q 为的中点，即,12F F 1F M 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==在中，，故，1Rt OQF 1||||OF c OQ a ==，1||F Q b ==则，由于M 为的中点，所以,||MQ b =PQ ||MP b =即,1||3=PF b 在双曲线 中，P 在右支上，有，22221x y a b-=12||2PF PF a -=所以，又，2||32PF b a =-2||2||2MF OQ a ==所以在中，,即，2Rt F MP 22222||||||MF MP PF +=2224(32)a b b a +=-化简得，23812,2b b ab a =∴=故双曲线的离心率为c e a ====故选：A【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出之间的关系，因而解答本题时，,,a b c 根据题意推出相关线段的长，特别是，继而在中应用勾股定理即是关12,||PF PF 2Rt F MP 键所在.12．D【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到()3000,3x x x a -+，设，计算函数的极值，得到答案.3200235a x x =-+32()235g x x x =-+【详解】，，3()3f x x x a =-+2()33f x x '=-设切点为，则切线方程为，()3000,3x x x a -+()())320000333(y x x a x x x --+=--切线过点，，整理得到，(1,2)()()()32000023331x x a x x --+=--3200235a x x =-+方程有三个不等根.令，则，令，则或，32()235g x x x =-+2()66g x x x '=-()0g x '=0x =1x =当或时，，函数单调递增；0x <1x >()0g x '>当时，，函数单调递减，01x <<()0g x '<极大值，极小值，函数与有三个交点，(0)5g =4(1)g =y a =3200235y x x =-+则，的取值范围为.45a <<a (4,5)故选：D 13．－6【分析】先求得的坐标，再根据求解.2a b +()2a b b +⊥ 【详解】解：因为向量，，(),2a m = ()2,1b =所以，()24,4a b m +=+又因为，()2a b b +⊥ 所以，()24140m ⨯++⨯=解得，6m =-故答案为：－614．32【分析】求得点M 的坐标，将点M 到该抛物线焦点的距离转化为点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离即可．【详解】设点M ，∵2,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭∴∴y 2=2或y 2=-6（舍去），∴x==1()2220032y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭22y ∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-的距离d=1-（-）=121232∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离，∴点M 到该抛物线焦点的距离为32故答案为.32【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M 的坐标是关键.15．（答案不唯一）1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪=⎨⎪--<⎩【分析】先化简条件“不等式的解集为”，再结合奇函数和单调性()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞写出解析式.【详解】因为的解集为，()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞所以时，的解为；时，的解为；0x >()0f x <()1,+∞0x <()0f x >(),1-∞-又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，R ()f x (),0∞-所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.()f x ()1,00,0,1,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩ 故答案为：（答案不唯一）1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪=⎨⎪--<⎩ 16．12【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出{}n a {}n a 2323，23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.2113nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【详解】设每次操作留下的长度为，{}n a 则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，123a =22222333a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭23所以为等比数列，公比为，首项为，故，{}n a 23231222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，n 2113nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故，即，29913100n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭213100n⎛⎫< ⎪⎝⎭两边取对数得：，()lg 3lg 22n ->因为，所以，则n 的最小值为12.lg20.301,lg30.477≈≈211.40.4770.301n >≈-故答案为：1217．(1)π3B =【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；1cos 2B =(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可4ac =1sin 2ABC S ac B =△求解.【详解】（1）∵，(2)cos cos 0c a B b C -+=根据正弦定理可得：，(sin 2sin )cos sin cos 0C A B B C -+=即.(sin cos sin cos )2sin cos 0C B B C A B +-=∴，即.sin()2sin cos 0B C A B +-=sin 2sin cos 0A A B -=∵，∴，0πA <<sin 0A ≠∴，1cos 2B =又，∴.0πB <<π3B =（2）由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-即，2224()3a c ac a c ac =+-=+-又，，6a b c ++=2b =∴.4ac =∴11sin 422ABC S ac B ==⨯= 18．(1)1142y x =+(2)75分.【分析】(1)根据线性回归方程的求法直接求解；(2)利用回归方程以及偏差的定义求解.【详解】（1）由题意可得，，[]1520151332(5)(10)(18)82x =⨯+++++-+-+-=，[]196.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)( 2.5)( 3.5)88y =⨯+++++-+-+-=又，，8211256i i x ==∑81324i i i x y ==∑∴，，259324812845125682b -⨯⨯==⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭91518422a =-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为：.1142y x =+（2）设该同学的物理成绩为W ，则物理偏差为W －70.5.又数学偏差为，11610016-=∴，解得.1170.51642W -=⨯+75W =∴预测这位同学的物理成绩为75分.19．(1)证明见解析【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；AC ⊥11BB C C （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间角的向量1AEC 求法即可求得答案.【详解】（1）证明：在直三棱柱中,平面，平面，111ABC A B C 1CC ⊥ABC AC ⊂ABC 故 ,又，平面,1CC AC ⊥AC BC ⊥11,,CC BC C CC BC =⊂ 11BB C C 故平面,平面,AC ⊥11BB C C 1C E ⊂11BB C C 所以.1AC C E ⊥（2）由题意知平面，，1CC ⊥ABC AC BC ⊥分别以所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,CA CB CC由已知得E 为的中点，，,1BB 1AC =12CC BC ==所以,11(1,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,2,1),(0,0,2)A B B E C 故,1(1,0,2),(1,2,1)AC AE =-=-设平面的一个法向量为，1AEC (,,)m x y z =则，即，令，则，10m AC m Ae ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩1z =12,2x y ==所以，1(2,,1)2m =因为平面，故平面ABC 的一个法向量可取为，1CC ⊥ABC (0,0,1)n =故 ，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===由图可知平面与平面ABC 所成角为锐角，1AEC 故平面与平面ABC 1AEC 20．(1)22162x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意求得c ，结合离心率求得，即得答案；,a b （2）判断直线l 的斜率存在，设出直线方程，并和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，表示出，的坐标，利用向量的共线证明三点共线，即得结论.1MF 1BF【详解】（1）∵椭圆C 的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点()2,0F c 28y x =28y x =为,(2,0)∴,2c =又∴∴,c aa =2222b ac =-=∴椭圆C 的方程为.22162x y +=（2）证明：由（1）知椭圆C 的左焦点为，()12,0F -当直线l 的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l 与椭圆C 没有交点，不符合题意；3x =-当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，()3y k x =+()11,A x y ()22,B x y 则.()11,M x y -联立，消去y 得，22(3)162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222231182760k x k x k +++-=∴，解得,()()()2222184312760k k k ∆=-+->223k <∴，,21221831k x x k -+=+212227631k x x k -=+∵，，()1112,MF x y =--()1222,BF x y =--- 又，，()113y k x =+()223y k x =+∴()()()()()()()12122112223232x y y x k x x k x x ------=+++++()12122512k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦，222227618251203131k k k k k ⎛⎫--=⨯+⨯+= ⎪++⎝⎭∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.1MF 1BF 1MF 1BF1F M 1F B 【点睛】思路点睛：本题涉及到直线和椭圆的位置关系的问题，解答并不困难，要证明三点共线，一般结合向量的共线来证明，利用向量共线的坐标表示，计算即可.21．(1)在上单调递减，在上单调递增()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞(2)()()0,11,+∞ (3)证明见解析【分析】(1)利用导函数讨论单调性；(2)根据导函数与单调性、最值的关系求解；(3)利用导函数与单调性的关系证明不等式.【详解】（1）∵，∴，()e 1x f x ax =--()e '=-x f x a 当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x R 当时，令，得；令，得.0a >()0f x '>ln x a >()0f x '<ln x a <∴在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，不符合题意；0a ≤()f x R 当时，，0a >min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==--且，11(e 0a f a--=>当趋于无穷大时，的增长速率远远大于的增长速率，所以趋于,由x e x y =1y ax =+()f x +∞此作出的图象，()f x∴若有且仅有2个零点，只需.()f x min ()ln 10f x a a a =--<设，则.()ln 1g x x x x =--()1ln 1ln g x x x '=--=-∴当时，，函数单调递增；()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，函数单调递减.()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 又，(1)1ln110g =--=∴或.01a <<1a >∴实数a 的取值范围为.()()0,11,+∞ （3）证明：由（1）可知当时1a =在上单调递减，在上单调递增.()f x (),0∞-()0,∞+，min ()(0)0f x f ==即，当且仅当时取等号，e 1x x ≥+0x =设，则.()1ln(2)h x x x =+-+11()122x h x x x =+'+=-+当时，，函数单调递减；()2,1x ∈--()0h x '<()h x 当时，，函数单调递增，()1,x ∈-+∞()0h x '>()h x 又，(1)0ln10h -=-=∴，当且仅当时取等号.1ln(2)0x x +-+≥=1x -∴.e ln(2)0x x -+>【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．，0y --=24y x =(2)14【分析】(1)消参可求l 的普通方程，利用，可求直角坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=(2)根据直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴消去t 可得直线l .0y --=∵曲线C 的极坐标方程为，2sin 4cos 0ρθθ-=即，22sin 4cos 0ρθ-ρθ=又∵，，cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为.24y x =（2）将（t 为参数）代入，122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24y x =得，显然，即方程有两个不相等的实根，238320t t --=0∆>设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是，，1t 2t 则，，1283t t +=123203t t =-<∴，2112t t t t -=+∴.121212111411t M t t t t t A MB +==-=-23．(1)(][),03,-∞⋃+∞(2)(],1-∞【分析】（1）分类讨论去绝对值求解；（2）根据求的最小值，运算求解.a b a b +≥-()f x 【详解】（1）当时，由，即=1a ()3f x ≥123x x -+-≥当时，，解得；1x <123x x -+-≥0x ≤当时，，无解；12x ≤<123x x -+-≥当时，，解得，2x ≥123x x -+-≥3x ≥综上所述：不等式的解集为(][),03,-∞⋃+∞（2）∵，当且仅当时等号成立，()()()222f x x a x x a x a =-+-≥---=-()()20x a x --≤则的最小值为()f x 2a -因为，所以()21f x a ≥-221a a -≥-所以或210a -≤()()2221>0221a a a --≥-⎧⎪⎨⎪⎩解得或12a ≤112a <≤综上，即的取值范围为.1a ≤a (],1-∞。
2021-2022学年河南省郑州四中七年级(上)期末数学试卷
2021-2022学年河南省郑州四中七年级（上）期末数学试卷1.（单选题，3分）-2022的相反数是（）A.-2022B.2022C.±2022D.20212.（单选题，3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（）A.青B.春C.梦D.想3.（单选题，3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数字192000000用科学记数法表示为（）A.19.2×107B.19.2×108C.1.92×108D.1.92×1094.（单选题，3分）下列说法中，正确的是（）A.π不是单项式的系数是-2B.- xy2C.-x2y是3次单项式D.2x2+3xy-1是四次三项式5.（单选题，3分）下列调查中，适合抽样调查的是（）A.调查全市七年级学生当天作业完成的时长B.了解“嫦娥五号”探测器的零部件状况C.疫情期间，了解全校师生入校时体温情况D.调查郑州市民7•20洪水受灾情况6.（单选题，3分）已知a2+5a=1，则代数式3a2+15a-1的值为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，3分）蜜雪冰城进行促销活动，奶茶的优惠措施是“第二杯半价”．现购买两杯奶茶，这两杯奶茶共打了（）折．A.7.5B.8C.8.5D.98.（单选题，3分）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠AED 的大小是（）A.50°B.55°C.60°D.70°x+3=2x+b的解为x=-3，那么关于y的9.（单选题，3分）已知关于x的一元一次方程12022（y+1）+3=2（y+1）+b的解为（）一元一次方程12022A.y=1B.y=-1C.y=-3D.y=-410.（单选题，3分）如图，“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图② ．第二次操作，将图② 中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③ ．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（）A.192B.243C.256D.76811.（填空题，3分）-23÷4+|-5|×（-1）2022=___ ．12.（填空题，3分）值日生小明想把教室桌椅摆放整齐，为了将一列课桌对齐，他把这列课桌的最前面一张和最后面一张先拉成一条线，其余课桌按这条直线摆放，这样做用到的数学知识是 ___ ．13.（填空题，3分）一个n棱柱有24条棱，一条侧棱长10cm，底面的每条边长都是5cm，所有棱长的和为 ___ cm．14.（填空题，3分）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图3×3的方格中填写了一些数和字母，当x+y=___ 时，它能构成一个三阶幻方．15.（填空题，3分）定义一种新的运算a⊕b=4a-ab，如4⊕5=4×4-4×5=-4，则（3⊕2）⊕（-1）=___ ．16.（问答题，7分）如图，在平整的地面上，用7个棱长都为1cm的小正方体搭成一个几何体．（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ___ cm2．17.（问答题，6分）有一道题目是一个多项式减去x2+14x-6，小强误当成了加法计算，结果得到3x2-x+3，正确的结果应该是多少？18.（问答题，7分）今年郑州市受疫情影响，中小学生在家进行线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤30分钟的学生记为A类，30分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次共抽取了 ___ 名学生进行调查统计；（2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ___ ；（3）将条形统计图补充完整；（4）学校要求在家主动锻炼身体的时间超过30分钟才达标，若该校共有2000名学生，请你估计该校达标的学生约有多少人？19.（问答题，8分）数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：（1）已知关于x的一元一次方程（a-2）x|a|-1+8=0，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x 对应的点，分别记作A，B．（2）在（1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值．20.（问答题，8分）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤…火柴棒根数 5 9 ___ ___ ___ …（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？21.（问答题，9分）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元（1）甲种商品每件进价为___ 元，每件乙种商品利润率为___ ．（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按售价打九折超过600元其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠品多少件？22.（问答题，10分）【阅读理解】如图① ，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“巧线”．（1）∠AOB的角平分线___ 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）（2）若∠AOB=120°，射线OC为∠AOB的“巧线”，则∠AOC=___ ．【问题解决】如图② ，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转．两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线OA、OP、OQ中一条射线恰好是以另外两条射线为边构成的角的巧线？说明理由．。
【精选】小学奥数：环形跑道问题.专项练习
环形跑道问题教学目标1、掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题知识精讲本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和路程差=追及时间×速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端同向：路程差nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和nS nS-0.5S模块一、常规的环形跑道问题【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步．小王的速度是200米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【巩固】一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【巩固】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？【巩固】幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？【巩固】小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是400米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果10分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑140米，那么如果小明第3次从背后追上小刚时，小刚一共跑了米．【巩固】如图1，有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑 4.5米。
2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是()A.3B. C.4 D.52.设等差数列的前n 项和为，若则()A.B.0C.5D.93.下列说法中：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是若事件两两互斥，则若事件A ，B 满足，则A ，B 互为对立事件正确说法有个A.0B.1C.2D.34.已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()A.若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C.若，，，则D.若m 、n 是异面直线，，，，，则6.在四面体ABCD 中，，且异面直线AB 与CD 所成的角为，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为()A.或B.或C.D.7.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则下面说法不正确的是()A.圆台的母线长是20B.圆台的表面积是C.圆台的高是D.圆台的体积是8.已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则下列结论不．正确的是()A.z在复平面对应的点位于第二象限B.z的虚部是iC. D.10.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则()A.事件甲与事件丙是互斥事件B.事件甲与事件丁是相互独立事件C.事件乙包含于事件丙D.事件丙与事件丁是对立事件11.如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是()A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
填空解答难题
填空和解答难题（工大）3.盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是（ ）A.2018B.2017C.2016D.201512.生活中，有人喜欢把传送的便条折成如图的形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：为了美观，人们希望纸条两端超出点P 的长度相等（即AP=MB ），若纸条的长为26cm ，纸条的宽为2cm ，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离为 cm.8．如图表示某工厂2013年至2015年的利润和总资产统计表，由图可知资产利润率最高是___%。
（注：资产利润率=总资产利润×100%）第8题图 第9题图 第10题图9．如图，4个相同的直角三角形围成一个正方形，已知a:b =1:2，阴影部分的面积占大正方形面积的____。
10．如图所示，∠BOD =45。
，那么小于90°的所有角的度数之和是____． 、11.（导学号89134023）已知A 、B 两地之间的距离为900km ，C 地介于 A 、B 两地之间，甲车从A 地驶往C 地，乙车从B 地经C 地驶往A 地， 已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C 地后，甲车因故 在C 地须停留一段时间，然后返回A 地，乙车继续驶往A 地。
设乙车 行驶时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），如图的折线表示y 与x 之间的关系，如果两车开始出发时间是早上8:00那么D 点所表示的时间是4.我们来探究”雪花曲线“的有关问题：图（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如图（2）；再将图（2）的每条边三等分，并重复上述作法，得到第三个图形如图（3）；如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（）A ．811024B ．16243C ． 27256D ．39.有一本科普知识书共30篇短文，这些短文的篇幅从1到30页各不相同。
数学名题：圆圈标数经典系列
数学名题：圆圈标数经典系列————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：[阅读材料] 圆圈标数经典系列在教学过程中一些同类型的题见得多了，可以挖掘一下，整理出来，供读者参考。
现给大家献上在直线与圆圈上写数以及二者之间关系的系列名题。
题目1. 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上3121和，第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和312165+=，第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和6531611,6521311+=+=如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？解析：碰到这样的题，可先把3121和改作A 与B ，整个探索过程不把每一个复杂的和算出，只是数出A 与B 的总个数。
这样第一次为A 与B 和的一倍，第二次后为3A+ 3B ，第三次标完后为9A+9B ，……… 这样能较容易地发现规律：每次新的结果总是原来的3倍。
正是因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和,所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍,也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍,例如：二分之一它在左边算了一次，在右边算了一次，本身一次，所以二分之一在下次标完后已成为原为的3倍了，其它数也是如此。
于是第八次标完数后圆周上所有数的总和是:7111()31822232+⨯=. 变化一题目2. 今要在一条线段上标出一些数，第一次在两个端点旁分别标上3121和，第二次把线段二等分，在中点旁标上两边所标两数的和312165+=，第三次把2段线段各二等分，并在2个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和6531611,6521311+=+=，即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数之和，如此继续下去，当第八次标完数以后，线段上所有已标数的总和是多少？解析：与上题一样先把3121和改作A 与B ，次数与A+B 的个数填入下表： 写数的次数 1 2 3 4 5 A+ B 的个数1392781写数的次数 1 2 3 4 5 A+ B 的个数1251441这串数有什么规律吗？可以看出后一数总是前一个数的3倍减1，则可算出第八次为：1094个A+B,代入计算可得32911。
2022——2023学年北京市海淀区九年级上册数学期末专项突破模拟卷(卷一卷二)含答案
2022-2023学年北京市海淀区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）一、选一选(每题3分，共30分)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式错误的是()A.a ＝btan AB.b ＝ccos AC.a ＝csin AD.c ＝b sin A2.若抛物线()24325m m y x m －－＝＋－的顶点在x 轴的下方，则()A .m ＝5B.m ＝－1C.m ＝5或m ＝－1D.m ＝－53.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为（）A.15°B.18°C.20°D.28°4.如图，在正方形网格中，四边形ABCD 为菱形，则tan2BAD∠等于()A.34B.53C.35D.455.如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标在()A.－4和－3之间B.－3和－2之间C.－5和－4之间D.－6和－5之间6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值如下表：x …－5－4－3－2－10…y…40－2－24…下列说确的是()A.抛物线的开口向下B.当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C.二次函数的最小值是－2D.抛物线的对称轴是直线x ＝－527.如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ，若△PDE 的周长为12，则PA 等于()A.12B.6C.8D.108.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（）A.724B.73C.247D.139.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为【】A.12B.2C.2D.3310.如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP=x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图像大致是（）A. B. C. D.二、填空题(每题3分，共24分)11.计算：sin 245°＋122006)0＋4cos 30°＝________.12.已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是_____．13.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好圆心O ，求折痕AB 的长．14.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA ＝32；②co ＝12；③tanA＝33；④ta _____.15.如图，已知直线y ＝12x 与抛物线y ＝－14x 2＋6交于A ，B 两点，点P 在直线AB 上方的抛物线上运动．当△PAB 的面积时，点P 的坐标为________．16.如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______，阴影部分面积为(结果保留π)________．17.一辆宽为2m 的货车要通过跨度为8m ，拱高为4m 的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y ＝－14x 2＋4.为保证，车顶离隧道至少要有0.5m 的距离，则货车的限高应为________．18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF 1FD 3，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG=2；③tan ∠E=52；④S △DEF 其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题(19～21题每题8分，22题12分，其余每题15分，共66分)19.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，D 是边AB 上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC 的长．（结果保留根号）20.江汉路一服装店一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定每件定价为60～150元．当定价为60元/件时，每星期可卖出70件，每件每涨价10元，一星期少卖出5件．(1)当每件衬衣定价为多少元时(定价为10元的正整数倍)，服装店每星期的利润？利润为多少元？(2)请分析每件衬衣的定价在哪个范围内时，每星期的利润没有低于2700元．21.如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA的平行线与AF 相交于点F ，CD =BE =2．求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线．22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD 的位置来调节躺椅舒适度，假设AB 所在的直线为地面，已知120cm AE =，当把图②中的支撑杆CD 调节至图③中的'CD 的位置时，EAB ∠由20︒变为25︒．（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin 200.34︒≈，sin 250.42︒≈）（2）已知点O 为AE 的一个三等分点，根据人体工程学，当点O 到地面的距离为26cm 时，人体感觉．请你求出此时枕部E 到地面的高度．23.（1）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝13，求sin 2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB ＝90°.设∠BAC ＝α，则sin α＝BC AB＝13，易得∠BOC ＝2α.设BC ＝x ，则AB ＝3x ，AC ＝x ，作CD ⊥AB 于D ，求出CD ＝________(用含x 的式子表示)，可求得sin 2α＝CDOC＝________；（2）【问题解决】已知，如图②，点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P ＝β，sin β＝35，求sin 2β的值．24.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，23），且与y 轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若没有存在，请说明理由；（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．2022-2023学年北京市海淀区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）一、选一选(每题3分，共30分)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式错误的是()A.a ＝btan AB.b ＝ccos AC.a ＝csin AD.c ＝b sin A【正确答案】D【详解】根据三角函数的定义可得：tan ,cos ,sin a b aA A A b c c===，所以a ＝btan A ，b ＝ccos A ，a ＝csin A ，c ＝sin aA.所以，选项A 、B 、C 正确，选项D 错误，故选D.2.若抛物线()24325m m y x m －－＝＋－的顶点在x 轴的下方，则()A.m ＝5B.m ＝－1C.m ＝5或m ＝－1D.m ＝－5【正确答案】B【详解】解：由m 2－4m －3＝2，解得m ＝5或m ＝－1．又∵m －5<0，∴m <5．∴m ＝－1．故选B ．3.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为（）A.15°B.18°C.20°D.28°【正确答案】B【详解】试题解析：连结OB ，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC ，∴∠CBO=∠BCO ，∴∠BCO=12（180°-∠BOC ）=12×（180°-144°）=18°．故选B ．考点：圆周角定理．4.如图，在正方形网格中，四边形ABCD 为菱形，则tan2BAD∠等于()A.34B.53C.35D.45【正确答案】A【详解】解：如图，连接AC 、BD 相交于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，∠BAO=12∠BAD ，所以tan 2BAD ∠=tan ∠BAO=34OB OA =，故选A.5.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在()A.－4和－3之间B.－3和－2之间C.－5和－4之间D.－6和－5之间【正确答案】A【详解】由勾股定理可得OP，所以点A的横坐标在－4和－3之间．故选A.6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：x…－5－4－3－2－10…y…40－2－204…下列说确的是()A.抛物线的开口向下B.当x＞－3时，y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是－2D.抛物线的对称轴是直线x＝－5 2【正确答案】D【详解】将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y =ax 2+bx +c 中，得：016404a b c a b c c =-+⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,解得：154a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y =x ²+5x +4.A.a =1>0，抛物线开口向上，A 没有正确；B.−2b a =−52,当x ⩾−52时，y 随x 的增大而增大，B 没有正确；C.y =x ²+5x +4=(x +52)²−94,二次函数的最小值是−94，C 没有正确；D.−2b a =−52,抛物线的对称轴是x =−52，D 正确.故选D.点睛:本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．7.如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ，若△PDE 的周长为12，则PA 等于()A.12B.6C.8D.10【正确答案】B【分析】【详解】∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，∴PA=PB ，DA=DC ，EC=EB ；∵△PDE 的周长为12，∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，∴PA=PB=6.故选B.本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（）A.724 B.3 C.247 D.13【正确答案】A【分析】设CE=x ，根据勾股定理和折叠的性质，列出方程，求出CE 的值，然后根据正切三角函数的定义，即可求解．【详解】∵将ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，∴BE=AE ，∵BC=6，AC=8，∴设CE=x ，则BE=AE=8−x ，∵在Rt △BCE 中，BE 2=BC 2+CE 2，即：(8−x)2=62+x 2，解得：x=74，∴CE=74，∴tan CBE ∠=774624CE BC ==．故选：A ．本题主要考查折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．9.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为【】A.12 B.32 C.22 D.33【正确答案】A【详解】连接O∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°．∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°．∴∠E=90°－∠COB=30°．∴sin∠E=sin30°=12．故选A．10.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，角的三角函数值．利用AB 与⊙O 相切，△BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：∵AB 与⊙O 相切，∴∠BAP=90°，∵OP=x ，AP=2－x ，∠BPA=60°，∴x)-，∴△APB 的面积2y (2x)2=-，（0≤x≤2）．∴△PAB 的面积y 关于x 的函数图像是（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．故选D ．二、填空题(每题3分，共24分)11.计算：sin 245°＋122006)0＋4cos 30°＝________.【正确答案】1【详解】原式=2213)14222-⨯+⨯=1122-++=1-.12.已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是_____．【正确答案】m≥﹣2【详解】抛物线的对称轴为直线2m x m 21=-=-⨯，∵当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为m≥﹣2．13.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好圆心O ，求折痕AB 的长．【正确答案】AB ＝【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD 的长，再根据垂径定理得AB 的长．【详解】解：如图：作OD ⊥AB 于D ，连接OA ．根据题意得：OD ＝12OA ＝1cm ，再根据勾股定理得：AD cm ，由垂径定理得：AB ＝．本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.14.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA ＝2；②co ＝12；③tanA＝33；④ta _____.【正确答案】②③④【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，∴BC 1sinA AB 2==．∴∠A=30°．∴∠B=60°．∴co=cos60°=12，tanA=tan30°=3，ta=∴正确的结论是②③④．15.如图，已知直线y ＝12x 与抛物线y ＝－14x 2＋6交于A ，B 两点，点P 在直线AB 上方的抛物线上运动．当△PAB 的面积时，点P 的坐标为________．【正确答案】231,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，作PM ⊥x 轴交AB 于点M ，设点P 的坐标为，则点M 的坐标为，从而可用含a 的式子表示出PM 长，解方程组求得点A ，B 的横坐标，继而根据S △PAB ＝S △PAM ＋S △PBM 可得关于a 的二次函数，进而根据二次函数的性质求得面积时a 的值即可求得答案.【详解】如图，作PM ⊥x 轴交AB 于点M.设点P 的坐标为21,64a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则点M 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴PM ＝－14a 2－12a ＋6.联立212164y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：1163x y =-⎧⎨=-⎩，2242x y =⎧⎨=⎩，所以点A ，B 的横坐标分别为－6，4，∴S △PAB ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12×(6＋4)×PM ＝－54(a ＋1)2＋1254，当a ＝－1时，△PAB 的面积，此时－14a 2＋6＝234，所以点P 的坐标为231,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和函数的解析式及二次函数的最值问题，本题将三角形的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的性质解决即可．16.如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______，阴影部分面积为(结果保留π)________．【正确答案】①.相切②.6-π【详解】∵正方形ABCD是正方形，则∠C=90°，∴D与⊙O的位置关系是相切．∵正方形的对角线相等且相互垂直平分，∴CE=DE=BE，∵CD=4，∴，∴梯形OEDC的面积=（2+4）×2÷2=6，扇形OEC的面积=904 360´=π，∴阴影部分的面积=6-π．17.一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－14x2＋4.为保证，车顶离隧道至少要有0.5m的距离，则货车的限高应为________．【正确答案】3.25m【详解】根据题意可得，当x＝1或x＝－1时，货车车顶离隧道最近．当x＝1时，y＝－14＋4＝334，∴货车的限高为334－0.5＝3.25m．18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF 1FD 3=，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG=2；③tan ∠；④S △DEF 其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．【正确答案】①②④．【详解】①∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴ AD CD=，DG=CG ，∴∠ADF=∠AED ，∵∠FAD=∠DAE （公共角），∴△ADF ∽△AED ，故①正确；②∵CF FD =13，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG ﹣CF=2，故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴=∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG=AG DG =54，∴tan ∠E=4，故③错误；④∵DF=DG+FG=6，，∴S △ADF =12DF•AG=12=∵△ADF ∽△AED ，∴2ADF AED S AF S AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴35AED S =37，∴S △AED=∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF=故④正确．故答案为①②④．三、解答题(19～21题每题8分，22题12分，其余每题15分，共66分)19.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，D 是边AB 上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC 的长．（结果保留根号）【正确答案】BC=2（+1）．【详解】试题分析：由题意可得△BCD 为等腰直角三角形，从而BD=BC ，在Rt △ABC 中，由∠A 的正切值可求出BC 的长．试题解析：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD=BC ，在Rt △ABC 中，tanA=tan30°=BC AB ，即3=43BC BC +，解得：BC=2）．考点：解直角三角形20.江汉路一服装店一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定每件定价为60～150元．当定价为60元/件时，每星期可卖出70件，每件每涨价10元，一星期少卖出5件．(1)当每件衬衣定价为多少元时(定价为10元的正整数倍)，服装店每星期的利润？利润为多少元？(2)请分析每件衬衣的定价在哪个范围内时，每星期的利润没有低于2700元．【正确答案】(1)当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润，利润为2800元．(2)每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的利润没有低于2 700元．【详解】试题分析：（1）设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元，利用每一件的利润乘卖出的件数列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（2）根据（2）中求出的二次函数，建立一元二次方程求出方程的解，确定出涨价至少时的x的值，根据二次函数的性质即可求得x的取值范围．试题解析：(1)设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元．由题意得，W＝(x－50)＝－x2＋125x－5000＝－(x－125)2＋2812.5.∵60≤x≤150，且x是10的正整数倍，∴当x取120或130时，W有值2800.因此，当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润，利润为2800元．(2)令W＝2700，即－x2＋125x－5000＝2700，解得x1＝110，x2＝140.∴每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的利润没有低于2700元．21.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=BE=2．求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线．【正确答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC ，由垂径定理，可求得CE 的长，又由勾股定理，可求得半径OC 的长，然后由勾股定理求得AD 的长，即可得AD =CD ，易证得四边形FADC 是平行四边形，继而证得四边形FADC 是菱形；（2）连接OF ，易证得△AFO ≌△CFO ，继而可证得FC 是⊙O 的切线．【详解】证明：（1）连接OC ，∵AF 是⊙O 切线，∴AF ⊥AB ．∵CD ⊥AB ，∴AF ∥CD ．∵CF ∥AD ，∴四边形FADC 是平行四边形．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD 设OC =x ，∵BE =2，∴OE =x ﹣2．在Rt △OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2，∴()(2222x x =-+，解得：x =4．∴OA =OC =4，OE =2．∴AE =6．在Rt △AED 中，AD ==，\∴AD =CD ．∴平行四边形FADC 是菱形．（2）连接OF ，∵四边形FADC 是菱形，∴FA =FC ．在△AFO 和△CFO 中，∵FA =FC ，OF =OF ，OA =OC ，，∴△AFO ≌△CFO （SSS ）．∴∠FCO =∠FAO =90°，即OC ⊥FC ．∵点C 在⊙O 上，∴FC 是⊙O 的切线．本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，但难度没有大，熟练掌握上述知识是解题的关键．22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD 的位置来调节躺椅舒适度，假设AB 所在的直线为地面，已知120cm AE =，当把图②中的支撑杆CD 调节至图③中的'CD 的位置时，EAB ∠由20︒变为25︒．（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin 200.34︒≈，sin 250.42︒≈）（2）已知点O 为AE 的一个三等分点，根据人体工程学，当点O 到地面的距离为26cm 时，人体感觉．请你求出此时枕部E 到地面的高度．【正确答案】（1）调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了约9.6cm ；（2）枕部E 到地面的高度为78cm【分析】（1）过点E 作EF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．利用锐角三角函数，即可求解；（2）通过解直角三角形AEF 可得结论．【小问1详解】如图，过点E 作EF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．当20EAB ∠=︒时，sin 200.34120EF EFAE ︒==≈，此时40.8(cm)EF ≈．当25EAB ∠=︒时，sin 250.42120EF EFAE ==≈︒，此时50.4(cm)EF ≈．所以调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了约50.440.89.6cm -≈．【小问2详解】因为点O 为AE 的一个三等分点，所以40cm AO =．如图，过点O 作OP AB ⊥，垂足为P ．设当人体感觉时，EAB α∠=，则26sin 40OP EFAO AE α===，所以2612078(cm)40EF ⨯==．所以当人体感觉时，枕部E 到地面的高度为78cm ．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形．23.（1）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝1 3，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°.设∠BAC＝α，则sinα＝BC AB＝13，易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝x，作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin2α＝CDOC＝________；（2）【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝35，求sin2β的值．【正确答案】（1）22x3；429；（2）sin2β＝2425.【分析】（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα=BCAB=13，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD=3，在Rt△COD中，sin2α=CDOC =22423392x=；（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=35MNNQ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=12NQ=52k ，可得MQ==4k ，由12•MN•MQ=12•NQ•MR ，求出MR=125k ，在Rt △MRO 中，根据sin2β=sin ∠MON=MROM，计算即可求得sin 2β的值．【详解】解：（1）∵12CD•AB=12AC•BC ，∴CD=222233AC BC x x AB x == 在Rt △OCD 中，sin2α=423392CD x OC ==；故22x 3；9；（2）如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR ⊥NO 于点R，在⊙O 中，∠NMQ ＝90°，∵∠Q ＝∠P ＝β，∴∠MON ＝2∠Q ＝2β，在Rt △QMN 中，∵sin β＝35MN NQ =，∴设MN ＝3k ，则NQ ＝5k ，∴MQ＝4k ，OM ＝12NQ ＝52k ，∵S △NMQ ＝12MN·MQ ＝12NQ·MR ，∴3k·4k ＝5k·MR ，∴MR ＝125k ，在Rt △MRO 中，sin 2β＝sin ∠MON ＝122455252kMR OM k ==本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；会利用代数法转化线段的比．24.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，23-），且与y 轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若没有存在，请说明理由；（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．【正确答案】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为()22y a x 43=--（a≠0）∵抛物线（0，2）∴()22a 0423--=，解得：1a 6=．∴抛物线的解析式为()212y x 463=--，即：214y x x 263=-+．令y=0时，214x x 2063-+=，解得：x=2或x=6．∴A （2，0），B （6，0）．（2）存在．如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l 为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小．∵B（6，0），C（0，2），∴OB=6，OC=2．∴BC=2．∴．∴AP+CP的最小值为．（3）如图2，连接ME，∵CE是⊙M的切线，∴ME⊥CE，∠CEM=90°．由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE，∵在△COD与△MED中，，∴△COD≌△MED（AAS）．∴OD=DE，DC=DM．设OD=x，则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，∵在Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，∴，解得x=3 2．∴D（32，0）．设直线CE的解析式为y=kx+b，∵直线CE过C（0，2），D（32，0）两点，则，解得：．∴直线CE的解析式为．【详解】试题分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标．（2）根据轴对称的性质，线段BC的长即为AP+CP的最小值．（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在Rt△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．2022-2023学年北京市海淀区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1.抛物线()212y x =-+的对称轴是（）A.1x =-B.1x = C.2x =- D.2x =2.在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为（）A.13B. C.3D.33.如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（）A.1B.2C.3D.44.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是()A.32OB CD=B.32αβ= C.1232S S = D.1232C C =6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 没有（）A.点MB.点NC.点PD.点Q 7.如图，反比例函数ky x=的图象点(4,1)A ，当1y <时，x 的取值范围是（）A.4x > B.04x << C.4x < D.4x >或x <8.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说确的是（）A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D 的时候，小兰已经了点DD.在4.84秒时，两人的距离正好等于O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.方程x 2﹣2x=0的解为_____________10.已知∠A 为锐角，且的大小为_____．11.若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是__________．（写出一个即可）12.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．13.一个扇形的圆心角为60°，面积为6πcm ²，则此扇形的半径为__________cm.14.如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，PA =则AB 的长为__________．15.在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的距离.如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm ，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m ，若小林能看到整个红灯，则x 的最小值为_____.16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________________．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：2sin 30°2cos 45-°18.已知1x =是关于x 的方程2220--=x mx m 的一个根，求(21)m m +的值．19.如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB=，AC=5，tanC=34，求边BC 的长．20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v =；（没有需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE=90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD=5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC ∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C CAC'=，进而可得22AB AC +=；（用BB CC BC ''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''=．23.如图，函数ky x=（x ＜0）与y=ax+b 的图象交于点A （﹣1，n ）和点B （﹣2，1）．（1）求k ，a ，b 的值；（2）直线x=m 与ky x=（x ＜0）的图象交于点P ，与y=﹣x+1的图象交于点Q ，当∠PAQ ＞90°时，直接写出m 的取值范围．24.如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)连接AF 交DE 于M ，若AD =4，DE =5，求EM 的长.25.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，40C ∠=︒，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50︒至'AD ，连接'BD .已知2AB cm =，设BD 为x cm ，'BD 为y cm .小明根据学习函数的，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程.请补充完整（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：/x cm 00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3/y cm1.71.31.1m0.70.91.1m 的值约为____________；（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像.（3）画出的函数图像，解决问题：①线段'BD 的长度的最小值约为____________cm ；②'BD BD ≥，则BD 的长度x 的取值范围是____________.26.已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x =________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点()()1222,,,P x y Q x y ，当121,5t x t x ≤≤+≥时，均满足12y y ≥，请图象，直接写出t 的取值范围．27.对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28.在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB =”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB =PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．2022-2023学年北京市海淀区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1.抛物线()212y x =-+的对称轴是（）A.1x =-B.1x = C.2x =- D.2x =【正确答案】B【详解】抛物线()212y x =-+的对称轴是直线.1x =故选B.2.在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为（）A.13B. C.3D.3【正确答案】A【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=13BC AB =.故选A.3.如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ADBC AB=，∵AB=4，AD=2，DE=1.5，∴BC=3故选C4.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（）A.30°B.40°C.50°D.60°【正确答案】B【详解】解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，∴∠BAD=100°，AD=AB，∵点D在BC的延长线上，∴∠B=∠ADB=180100402︒-︒=︒．故选：B．本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．5.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A.32OBCD= B.32αβ= C.1232SS= D.1232CC=【正确答案】D【详解】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD没有是对应边，因此它们的比值没有一定等于相似比，所以A选项没有一定成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ=，所以B选项没有成立；C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项没有成立；D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.故选D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3,4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A没有（）A.点MB.点NC.点PD.点Q【正确答案】C【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转的距离相等，逐一判断即可.【详解】解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转的距离与OA 的长度应相等根据网格线和勾股定理可得：5=，5=，5=，=OQ=5∵OA=OM=ON=OQ≠OP∴则点A没有点P故选C.此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.。
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学
科
机械制图
执行记录
日期
星期
检查
签字
班级
节次
课
題
几何作图——等分直线段与等分圆周
课的
类型
理论课
教
学
目
的
使学生掌握等分直线段与等分圆周的分析和画法
教学
重奌
如何等分直线段（7等分）
如何来画五边形
教学
难奌
如何来画五边形
主要
教学
方法
以演示为主，启发式教学
五等分由教师演示作图
其中圆的n等分属于A类附加题。
可以较快的速度讲解其原理，让A类学生明白其作图原理。课后增加A类学生作业。
作业：
A类：P7页1、2、3题，将圆7等分
B类、C类：
P7页1、2、3题
◆请个别学生上台将直线等分2份、4份、3份。
请学生上台做圆周3等分、6等分
圆周六等分属于C等学生必做题。
3、圆的n等分及作正n边形
以A点为圆心，AK为半径作弧，交水平中心线于点S，延长连线S2、S4、S6，与圆周交得点G、F、E，再作出它们的对称点，即可作出圆内接正n边形。
教学方法
圆周五等分属于B类学生必做题
教学内容
一、等分直线段
二、等分圆周及园内接正多边形
1、圆的六等分及作正六边形：圆的内接正六边性的边长等于其外界圆半径，所以其作图方式简单。也可利用丁字尺三角板配合作图
教学方法
一、组织教学
（3分钟）
提出：
◆教学目标
◆重点难点
◆学法指导
◆学生回答
二、创设情景导入新课（3分钟）
◆写出标题
三、新课教学
（60分钟）
教学
环节
时间
分配
1、组织教学时间
2、复习导入时间
3、讲授新课时间
4、归纳小结时间
5、作业布置时间
教
学
后
记
安定课堂秩序，集中学生注意力。
（一）、教学目标使学生掌握等分直线段与等分圆周的分析和画法
（二）、重点难点
1.如何等分直线段（7等分）
2.如何来画五边形，掌握绘图的一般步骤。
（三）、学法指导
图样上表达机件形状的各种图形，都是由线段按一定的几何关系连接而成的。因此作图时要首先分析图形的几何关系，然后采用合理的作图步骤进行作图。