高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第一讲 函数与方程思想
高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第一讲 函数与方程思想课件
第二十七页，共45页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 突破点3 运用函数(hánshù)与方程思想解决不等
热点突 破
式问题
例3 (1)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么( )
A．x＋y<0 B．x＋y>0 C．xy<0 D．xy>0
栏
(2)设不等式2x－1>m(x2－1)对满足m∈[－2，2]的一切实
者均值不等式证明 f(x)＜x9＋x6即可．从近几年的高考命题
趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时
要加强训练．本题属于中档题．
第十八页，共45页。
G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
跟踪 (训gē练1n．zō(2n0g1)4·陕西卷)
栏
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连
＜4（xx＋＋61）－（x＋546）2＝（4x（＋x6）＋31－）2（16x（＋x6＋）12）.
栏
令 g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当 0＜x＜2 时，g′(x)＝3(x
目 链
＋6)2－216＜0.
接
因此 g(x)在(0，2)内是递减函数，又由 g(0)＝0，得 g(x)＜0，
所以 h′(x)＜0.
建不等式或构造函数加以解决．
第二十五页，共45页。
G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
跟踪
(gēnzōng) 训练2．如果方程(fāngchéng)lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－
x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
栏 目 链 接
第二十六页，共45页。
G高
考(ɡāo
kǎo)热点
突破
高考数学(理)二轮专题复习课件专题一第1讲热点1函数与方程思想
x2＝－x1＝
2 .① 1＋4k2
由E→D＝6D→F，知 x0－x1＝6(x2－x0)，
即 x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝7
10 .
1＋4k2
由 D 在 AB 上知 x0＋2kx0＝2，
得 x0＝1＋22k，所以1＋22k＝7
10 ， 1＋4k2
化简得 24k2－25k＋6＝0， 解得 k＝23或 k＝38.
(1)若E→D＝6D→F，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值．
解： (1)依题意得椭圆的方程为x42＋y2＝1， 直线 AB，EF 的方程分别为 x＋2y＝2，
y＝kx(k＞0)．如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，
kx2)，其中 x1＜x2，且 x1，x2 满足方程(1＋4k2)x2＝4，故
1
－
1
n＋1 n＋2
＋
1
－
1
n＋2 n＋3
＋
…
＋
21n－2n1＋1
＝
1 n＋1
－
1 2n＋1
＝
2n2＋n3n＋1＝2n＋1n1＋3.
令 f(x)＝2x＋1x(x≥1)．则 f′(x)＝2－x12＞0 恒成立． 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
又因为{an}是正项等差数列，故 d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得 d＝2 或 d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式 an＝2n.
(2)因为 Sn＝n(n＋1)，则S1n＝n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
所以
bn
＝
1 Sn＋1
＋
1 Sn＋2
＋
数学高考备考二轮复习第二部分-第1讲函数与方程思想PPT课件
D．E∩F＝∅
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多 有关函数的问题也可以用方程的方法来解决．函数与方程思想 是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点．
1．函数的思想：它是用运动和变化的观点，分析和研究数 学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，并运用函数的图 象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数 思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函 数知识或函数观点观察、分析和解决问题．
【配对练习】
1．(2011 年全国)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]
时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lgx|的图象的交
点共有( A )
A．10 个
B．9 个 C．8 个 D．1 个
解析：由题意作出函数图象如图 D45，由图象知共有 10 个 交点．
图 D45
函数与方程思想在不等式中的应用
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．在含有多 个变量的数学问题中，需要确定合适的变量或参数，能使函数 关系更加清晰明朗．一般地，已知存在范围的量为变量，而待 求范围的量为参数．
例 1：设集合 A＝{x|4x－2x＋2＋a＝0，x∈R}． (1)若 A 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 B； (2)若对于任意 a∈B，不等式 x2－6x＜a(x－2)恒成立，求 x 的取值范围． 解：(1)令2x＝t(t＞0)，设f(t)＝t2－4t＋a. 由f(t)＝0在(0，＋∞)有且仅有一实根或两相等实根，得 ①当f(t)＝0有两相等实根时，Δ＝0⇒16－4a＝0⇒a＝4. 验证：t2－4t＋4＝0⇒t＝2∈(0，＋∞)，这时x＝1. ②当f(t)＝0有一正实根和一负实根时，f(0)＜0⇒a＜0，
高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第1讲 函数与方程的思想练习 文-人教版高三全册数
第1讲 函数与方程的思想「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值X 围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量等问题.热点题型探究热点1 函数与方程思想在不等式中的应用例 1 (1)(2019·某某昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13B.13C.23 D ．1答案 B解析 1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0⇒－13≤a ≤13.故选B.(2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立．构造函数g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＞0，g4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －22＞0，4x －2＋x －22＞0，解得x ＜－2或x ＞2.(3)(2019·某某省某某市高三一模)若函数f (x )＝e x－e －x＋sin2x ，则满足f (2x 2－1)＋f (x )>0的x 的取值X 围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝e x －e －x ＋sin2x 的定义域为R ，且满足f (－x )＝e －x －e x＋sin(－2x )＝－(e x －e －x＋sin2x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数；又f ′(x )＝e x ＋e －x＋2cos2x ≥2＋2cos2x ≥0恒成立，∴f (x )为R 上的单调增函数；又f (2x 2－1)＋f (x )>0，得f (2x 2－1)>－f (x )＝f (－x )，∴2x 2－1>－x ，即2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，所以x 的取值X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数f (t )＝2t －5－t，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，故选B.2．已知a ，b ，c 依次为方程2x＋x ＝0，log 2x ＝2和log 12 x ＝x 的实根，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a答案 D解析 由log 2b ＝2，得b ＝4，由2x ＋x ＝0，log 12 x ＝x ，得2x＝－x ，log 2x ＝－x ，在同一坐标系中分别作出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x 的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b ＞c ＞a .3．(2019·某某某某一中高三二模)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，令s ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，s max ＝－1，∴a ≥－1，a 的取值X 围是[－1，＋∞)，故选C.热点2 函数与方程思想在数列中的应用例2 (1)(2019·某某市第十三中学高三质检)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＝4f (x ＋2)，当x ∈[0，2)时，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ C ．[2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B解析 由题意，得当x ∈[0,1)时，1≤f (x )≤54；当x ∈[1,2)时，22≤f (x )≤1，所以当x ∈[0,2)时，f (x )的最大值为54；又由f (x ＋2)＝14f (x )，所以当x ∈[2,4)时，f (x )的最大值为54×14；当x ∈[4,6)时，f (x )的最大值为54×⎝ ⎛⎭⎪⎫142，…，所以当x ∈[2n －2,2n )时，f (x )的最大值a n ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，由等比数列的前n 项和公式，得S n ＝54⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝53－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <53.若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则k ≥53，故选B.(2)(2019·某某师X 大学附属中学高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值X 围是________． 答案 [2,3]解析 由题设可得S n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4n ＋23－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则S n －4n ＝23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，不等式1≤x (S n －4n )≤3可化为1≤x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤3，即32×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，则问题转化为求⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值．由于n ∈N *，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 的最大值和最小值分别为14和－12，则32×11－14≤x ≤92×11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即2≤x ≤3. (3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则数列{a n }的公差d ＝________，nS n 的最小值为________．答案 23－49解析 由题意知10a 1＋45d ＝0,5a 1＋60d ＝25， 解得d ＝23，a 1＝－3.所以nS n ＝n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12d ＝n 3－10n 23，设f (x )＝x 3－10x 23(x ＞0)，则f ′(x )＝13x (3x －20)，令f ′(x )＝0，解得x ＝203(x ＝0舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，＋∞时，f (x )单调递增．所以当x ＝203时，f (x )取得极小值．取n ＝6，得f (6)＝－48，取n ＝7，得f (7)＝－49，故nS n 的最小值为－49.数列的通项与前n 项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数X 围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．1．(2019·某某省天河区高三年级摸底考试)已知数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，设＝abn ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋(n∈N *)，则当T n <2019时，n 的最大值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 A解析 ∵{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n ＝2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝ab 1＋ab 2＋…＋abn ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n －1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n －1)－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2，∵T n <2019，∴2n ＋1－n －2<2019，得n ≤9.则当T n <2019时，n 的最大值是9.故选A.2．(2019·某某市高三第三次质量检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，若集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，则实数t 的取值X 围是________．答案 1＜t ≤54解析 由题意，因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n，得a n ＝2n－1. 因为n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，化简可得t ≤n n ＋12n，记f (x )＝x x ＋12x， f ′(x )＝2x ＋12x－x 2＋x2xln 22x 2＝[2x ＋1－x 2＋x ln 2]2x.当x ≥3时，f ′(x )＜0，此时f (x )是单调递减的． 故当n ≥3时，f ′(n )＜0，此时f (n )也是单调递减的；f (1)＝1，f (2)＝32，f (3)＝32，f (4)＝54；当n ≥5，f (n )＜54.因为集合M ＝{n |n (n ＋1)≥t (a n ＋1)，n ∈N *}中有3个元素，故只需找出f (n )＝n n ＋12n中最大的三个数，而f (2)，f (3)，f (4)是最大的三个数，故集合M 中的这三个元素只能是2,3,4.所以1＜t ≤54.3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 根据数列的递推关系式a n ＋1－a n ＝2n ，可利用累加法求解其通项公式，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1＞0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时，a nn有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.热点3 函数与方程思想在解析几何中的应用例 3 (2019·某某八校高三联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c 成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点M (m,0)，某某数m 的取值X 围．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1·4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k x －1，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2.可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k21＋2k2＝0.令y ＝0，得m ＝k 21＋2k2. 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12.解析几何中的X 围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．(2019·某某中学高三一调)已知焦点在y 轴上的抛物线C 1过点(2,1)，椭圆C 2的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 2与C 1的焦点重合，过点F 1与C 2的长轴垂直的直线交C 2于A ，B 两点，且|AB |＝3，曲线C 3是以坐标原点O 为圆心，以|OF 2|为半径的圆．(1)求C 2与C 3的标准方程；(2)若动直线l 与C 3相切，且与C 2交于M ，N 两点，求△OMN 的面积S 的取值X 围． 解 (1)由已知，设抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)， 则4＝2p ，解得p ＝2，即C 1的标准方程为x 2＝4y .则F 2(0,1)，不妨设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝－1，得x ＝±b 2a ，所以|AB |＝2b2a＝3，又a 2＝b 2＋1，所以a ＝2，b ＝3， 故C 2的标准方程为y 24＋x 23＝1.易知|OF 2|＝1，所以C 3的标准方程为x 2＋y 2＝1.(2)因为直线l 与C 3相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以S ＝12×|MN |×1＝|MN |2.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝±1，易知两种情况所得到的△OMN 的面积相等．由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，x ＝1得y ＝±263.不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，263，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－263，则|MN |＝463，此时S ＝|MN |2＝263.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 则|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m得(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，所以Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋4)(3m 2－12)＝48(4＋3k 2－m 2)＝48(2k 2＋3)>0恒成立． 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则x M ＋x N ＝－6km 3k 2＋4，x M x N ＝3m 2－123k 2＋4.所以S ＝|MN |2＝121＋k2x M ＋x N2－4x M x N＝121＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 3k 2＋42－4×3m 2－123k 2＋4 ＝121＋k 2·482k 2＋33k 2＋4＝2 3 1＋k 22k 2＋33k 2＋4. 令3k 2＋4＝t (t ≥4)，则k 2＝t －43，所以S ＝2332t 2－t －1t 2＝233－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＋2， 令1t ＝m ′，则m ′∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 易知y ＝－m ′2－m ′＋2在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，所以32≤S <263.综上，△OMN 的面积S 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，263.。
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：攻略一第1讲函数与方程思想、数形结合思想 精品
角度 2 函数与方程思想在数列中的应用 [例 1－2] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足 a1 ＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an 的最大值为________． (2)已知数列{an}是等差数列，且 S6＝42，S12＝156， 求 S18.
解析：(1)利用等比数列通项公式求出首项 a1 与公比 q，再将 a1a2…an 的最值问题利用指数幂的运算法则转化 为二次函数最值问题．
[易错警示] 在利用函数思想解决数列问题时，应注 意定义域即 n 的取值范围的特殊性．
角度 3 函数与方程思想在解析几何中的应用 [ 例 1 － 3] x2 y2 已知椭圆 C ： 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 过点 a b 55460069)
3 1 P1，2，离心率为 .(导学号 2
角度 1 函数与方程思想在不等式中的应用 [例 1－1] (1)若存在正数 x，使 2x(x－a)<1 成立，则 实数 a 的取值范围是( A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞) ) B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2) 设函数 f(x) ＝ cos2x ＋ sin x ＋ a － 1 ，已知不等式 17 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围． 4 (导学号 55460068)
设等比数列{an}的公比为 q， 1 则由 a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知 q＝ . 2 又 a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
n 1＋2＋…＋(n－1) 3n 1 a1a2…an＝a1 q ＝ 2 ·
故
2
（n－1）n 2
＝
n2 n n2 7 3 n－ ＋ 2 2 2＝2－ 2 ＋2n.
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
＜ A+B＜ π
2
∴ tan(A+B)＜ 0，即 tan( A B) tan A tan B 1 tan A tan B
m2 2m 15 0
m1 0 m3
m1 0 ∴m 4 0
∴ m≥ 5
m1 0
m3
(2)证明 ∵ f(x)=(x– 1)(x– m) 又– 1≤ cosα ≤ 1，∴ 1≤ 2+cosα≤ 3，恒有 f ( 2+cosα )≤ 0 即 1≤x≤ 3 时，恒有 f( x)≤0 即 (x– 1)(x– m)≤ 0 ∴ m≥ x 但 xmax=3，∴ m≥ xmax=3
小于等于零为关键
技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列
列式要周到，不遗
漏 （ 1）证明
f(x)+4=0 即 x2– (m+1) x+m+4=0 依题意
(m 1)2 4(m 4) 0
tan A tan B m 1 0 tan A tan B m 4 0
又 A、 B 锐角为三角形内两内角∴
B 关于直线
1 y=kx+ 2a 2
对称，求
1
b 的最小值
解 （ 1）当 a=1,b=–2 时， f(x)=x 2– x– 3，由题意可知
高三数学第二轮专题讲座复习：函数方程思想
高考要求
函数与方程思想是最重要的一种数学思想， 高考中所占比重较大， 综合知识多、 题型多、
应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结
合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解
(证 )不等式、解方程以及讨
论参数的取值范围等问题； 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加
高考数学思想与方法专题 第1讲 函数与方程思想(老师)
高考数学思想与方法专题第1讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.1.用函数最值思想求参数的取值范围【例1】关于x的不等式2²32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)【例2】． (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加. 思路分析：１. 分离变量，有a ≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f (0)≥0，且f (12)≥0可求得a 的范围.3. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f (12)≥g (12)，即a ≥－52. 5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ. 答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.【例3】. 设f(x)＝lg 1243++x x a，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围。
高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第一讲 函数与方程思想
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲 函数与方程思想
第一讲 函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关 系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的 图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的 性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲 函数与方程思想
法二：若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3， ∴a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正根．
Δ＝t－32－4t≥0， 从而有a＋b＝t－3>0，
ab＝t>0，
即tt≤>31，或t≥9， t>0，
解得 t≥9，即 ab≥9.
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲 函数与方程思想
(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二 次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问 题巧妙解决． (4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减 少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个 变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．
图像与 y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则下列判断正确的是
()
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0
B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0
D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
数学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
求最值或参数的范围
[例 1] 长度都为 2 的向量 OA， OB 的夹角为 60° ，点 C (劣弧)上， OC ＝m OA＋n OB ，则 在以 O 为圆心的圆弧 AB
m＋n 的最大值是________．
第一讲
函数与方程思想
2．已知方程 9x－2·x＋(3k－1)＝0 有两个实根，则实数 k 的取 3 值范围为________．
解析：令 3x＝t>0，则方程化为 t2－2t＋(3k－1)＝0(t>0)(*)， 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根， Δ＝22－43k－1≥0， t2 ∴t1· ＝3k－1>0， t ＋t ＝2>0， 1 2 1 2 解得3<k≤3.
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
3．设 f(x)＝ln x＋ x－1，证明： 3 (1)当 x>1 时，f(x)<2(x－1)； 9x－1 (2)当 1<x<3 时，f(x)< . x＋5
3 证明：(1)法一：记 g(x)＝ln x＋ x－1－2(x－1)， 1 1 3 则当 x>1 时，g′(x)＝x＋ －2<0. 2 x 3 又 g(1)＝0，故 g(x)<0，即 f(x)<2(x－1)．
14 解第一个不等式组得 b<1，解第二个不等式组得 1≤b≤ 2 ，第三 个不等式组无解． 14 －∞， . 综上所述，b 的取值范围是 2
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
总结 ——————————规律· —————————————
不等式恒成立问题的处理方法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题．同时要注 意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参 数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在 范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
1．(1)若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围 为________． (2)如果方程 cos x－sin x＋a＝0 值范围为________．
解析：(1)法一：(看成函数的值域) a＋3 ∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝ . a－1 a＋3 而 b>0，∴ >0. a－1
2
x＝sin
12 5 x＋2 － ， 4
sin x∈(0,1]．
易求得 f(x)的值域为(－1,1]，故 a 的取值范围是(－1,1]．
答案：(1)[9，＋∞ )
数 学
(2)(－1,1]
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
解决图像交点或方程根等问题
[例 2] 1 设函数 f(x)＝x，g(x)＝－x2＋bx，若 y＝f(x)的
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
[思维流程]
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
[解析]
建立平面直角坐标系， 设向量 OA＝(2,0)， 向量 OB ＝
π (1， 3)．设向量 OC ＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤3.
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
法二：若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3， ∴a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正根． Δ＝t－32－4t≥0， 从而有a＋b＝t－3>0， ab＝t>0， t≤1或t≥9， 即t>3， t>0，
数 学
质量铸就方程思想
(2)把方程变形为 a＝－cos2x＋sin x. 设 f(x)＝－cos x＋sin
2
π x，x∈0，2.
显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解． f(x)＝－(1－sin x)＋sin 且由
π x∈0，2知
质量铸就品牌 品质赢得未来
第2部分
专题一
数学思想与方法
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
第一讲
函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关 系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的 图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的 性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．
函数与方程思想
[思维流程]
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
[解析]
由于函数 y＝f(x)的图像在一、三象限且关于坐标原点对称，函
数 y＝g(x)的图像过坐标原点， 结合函数图像可知点 A， 一定只能一个在第 B 1 1 x1＋x2 一象限、另一个在第三象限，即 x1x2<0，由于 y1＋y2＝x ＋x ＝ x x ，故 1 2 1 2 x1＋x2，y1＋y2 一定异号． 1 问题即为方程－x2＋bx＝x仅有两个不同的实根，即方程 x3－bx2＋1＝0 有一个二重根、一个单根．根据方程根的理论，如果 x1 是方程 x3－bx2＋1 ＝0 的二重根，x2 为一个单根，则 x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
2．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化 为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决， 如解方程 f(x)＝0， 就是求函数 y＝f(x)的零点， 解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0)，就是求函数 y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程 f(x)＝ g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题， 也可以转化为函数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x) ＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域，函数与方程的这种 相互转化关系十分重要．
第一讲
函数与方程思想
总结 ——————————规律· —————————————
解决图像交点及方程根等问题的方法 函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程 思想， 同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重 要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
1 2 故实数 k 的取值范围是3，3. 1 2 答案：3，3
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
函数与方程思想在不等式中的应用
[例 3] 1 3 (2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)＝ln x－4x＋4x－1，g(x)
＝－x2＋2bx－4，若对任意 x1∈(0,2)，x2∈[1,2]，不等式 f(x1)≥g(x2) 恒成立，求实数 b 的取值范围．
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
(2)方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组， 或者运用方程的性质去分析、 转化问题， 使问题得以解决． 方 程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于 利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求 静，研究运动中的等量关系．
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二 次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问 题巧妙解决． (4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减 少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个 变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．
[思维流程]
数 学
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
[解]
问题等价于 f(x)min≥g(x)max.
2
1 3 1 1 3 4x－x －3 f(x)＝ln x－4x＋4x－1，所以 f′(x)＝x－4－4x2＝ ， 4x2 由 f′(x)>0 得 x2－4x＋3<0，解得 1<x<3， 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和 (3，＋∞)， 故在区间(0,2)上，x＝1 是函数的极小值点，这个极小值点是 1 唯一的，故也是最小值点，所以 f(x)min＝f(1)＝－2. 由于函数 g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1,2]．
[答案]
数 学
2 3 3
质量铸就品牌 品质赢得未来
第一讲
函数与方程思想
总结 ——————————规律· —————————————
四类参数范围(或最值)的求解方法 (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待 求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得． (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析 几何等问题中的重要问题， 解决这类问题一般有两种途径： 其一， 充分挖掘题设条件中的不等关系， 构建以待求字母为元的不等式 (组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示 成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．
由 OC ＝m OA＋n OB ，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n， 3n)，
即 2cos α＝2m＋n,2sin α＝ 3n， 1 2 解得 m＝cos α－ sin α，n＝ sin α. 3 3 π 1 2 3 2 3 故 m＋n＝cos α＋ sin α＝ 3 sinα＋3∈1， . 3 3