三角形内有没有一个点到三边距离之和最小

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相似三角形的中心定理与三角形内心

相似三角形的中心定理与三角形内心相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

在研究相似三角形时，三角形的中心定理和三角形的内心是非常重要的概念。

本文将探讨相似三角形的中心定理以及三角形内心的性质和应用。

一、相似三角形的中心定理相似三角形的中心定理是指若两个三角形的对应的角相等，则它们的对应边的比值相等。

可以进一步推导出以下定理：1. 内心定理：相似三角形的内心连线与三角形的观察顶点连线交点连接呈现一条直线。

这条直线被称为三角形内心。

2. 重心定理：相似三角形的重心连线与三角形的重心连线交点连接呈现一条直线。

这条直线被称为三角形重心。

3. 垂心定理：相似三角形的垂心连线与三角形的垂心连线交点连接呈现一条直线。

这条直线被称为三角形垂心。

4. 外心定理：相似三角形的外心连线与三角形的外心连线交点连接呈现一条直线。

这条直线被称为三角形外心。

这些中心定理在三角形的研究中起着重要的作用。

通过利用这些定理，我们可以更好地理解三角形的形状和性质。

二、三角形内心三角形内心是指三角形内部到三边距离之和最小的一个点。

三角形的内心具有以下性质和应用：1. 内心到三角形三边的距离相等，且等于内心到三边的垂直距离之和的一半。

2. 内心到三角形三边的垂直距离之和等于内心到三边的距离。

3. 内心是三角形的重心、外心和垂心的共轭点，意味着如果我们连接三角形的内心与重心、外心或垂心，所得的直线将从三角形的对应连线交点连接。

4. 三角形内心是三角形三条角平分线的交点，任意一条角平分线上的点到其他两条角平分线的距离相等，均等于三角形内心到对应边的距离。

5. 三角形内心可以通过三角形三边的三个垂直平分线的交点来确定，这三条垂直平分线分别连接了三角形三个顶点与对边中点。

三、相似三角形与内心的关系相似三角形的中心定理揭示了相似三角形与内心的密切关系。

通过利用相似三角形的中心定理，我们可以推导出一些有关内心的性质：1. 若两个三角形相似，则它们的内心与相似中心（三角形内角平分线的交点）重合。

三角形内心的证明方法

三角形内心的证明方法
一、重心法
重心法是通过求三角形三条中线的交点来确定三角形内心的位置。

中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

具体步骤如下：
1. 连接三角形的三个顶点和对边中点，得到三条中线；
2. 用直尺量取两条中线的交点，得到三角形的重心；
3. 证明重心到三边距离之和最小。

二、角平分线法
角平分线法是通过求三角形三个内角的平分线的交点来确定三角形内心的位置。

平分线是将角分成两个相等角的线段。

具体步骤如下：1. 连接三角形的一个顶点和对边的角平分线的交点，得到一个角平分线；
2. 用直尺量取两条角平分线的交点，得到三角形的内心；
3. 证明内心到三边距离之和最小。

三、辅助线法
辅助线法是通过在三角形内部引入一条辅助线，结合已知条件来确定三角形内心的位置。

具体步骤如下：
1. 连接三角形的一个顶点和对边上的一点，得到一条辅助线；
2. 利用已知条件，如相似三角形、垂直、等边等性质，推导出与内心相关的等式或关系；
3. 根据等式或关系，确定内心的位置；
4. 证明内心到三边距离之和最小。

以上是三种常见的证明三角形内心的方法。

每种方法都有自己的特点和适用条件。

在实际问题中，选择合适的方法来证明三角形内心，可以简化证明过程，提高证明的效率。

通过熟练掌握这些证明方法，我们可以更好地理解三角形内心的性质和应用。

三角形内有没有一个点到三边距离之和最小

不论是不是内心, 一个点到三边的距离都是垂线段的长度, 相互之间不能直接比较.正确的结论是这样的:①若三角形不等腰,则平面上到三边距离和最小的点是最大内角的顶点.②若三角形等腰, 而底边大于腰,则到三边距离和最小的点是顶角的顶点.③若三角形等腰, 而底边小于腰,则底边上(内部和端点)任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值.④若三角形等边,则三角形内任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值.证明不难, 关键是如下特殊情况.借用下面的图, P是△AMN的一边MN所在直线上任意一点.PE, PF分别为到另两边的垂线段. 设AM ≥ AN, NK MJ分别是AM, AN边上的高.则有如下结论:1) MJ ≥ NK.2) 当P不在线段MN上, 有PE+PF > NK.3) 若AM = AN, 且P在线段MN上, 有PE+PF = NK.4) 若AM > AN, P在线段MN上且不与N重合, 则PE+PF > NK.证明:1) ∵AN·MJ/2 = S△AMN = AM·NK/2, ∴AN·MJ = AM·NK.又∵AM ≥ AN, ∴MJ ≥ NK.2) 若P在M左侧, 则PE+PF ≥ PE > MJ ≥ NK. 若P在N的右侧, 则PE+PF ≥ PF > N K. 因此PE+PF > N K对直线MN上不在线段MN上的P点均成立.3) ∵S△AMP = AM·PF/2, S△ANP = AN·PE/2,∴S△AMN = S△AMP+S△AMP = (AM·PF+AN·PE)/2.又∵S△AMN = AM·NK/2, ∴AM·NK = AM·PF+AN·PE (*).∵AM = AN, ∴NK = PF+PE.4) 接上面(*)式.∵AM > AN, PE > 0,∴AM·NK = AM·PF+AN·PE < AM·PF+AM·PE = AM·(PE+PF),∴NK < PE+PF.向左转|向右转回到一般情况.如图, 设P是△ABC所在平面上任意一点, PD, PE, PF分别为其到三边的垂线段.过P作BC的平行线, 交AB, AC于M, N.不妨设AB ≥ AC, 则有AM ≥ AN. 设NK, NL为N到AB, BC的垂线段.∵MN // BC, ∴PD = NL.而上面的特殊情况已证PE+PF ≥ NK, ∴PD+PE+PF ≥ NL+NK.即P到三边距离和不小于N到三边距离和.这样就完成了第一步放缩, 将平面上的点变到一条边所在的直线上.再对N使用上面的特殊情况(N在直线AC上运动),可知AB ≥ BC时, N到三边的距离和不小于C到三边的距离和 (由AB ≥ AC, 此时AB为最大边). 而BC ≥ AB, N到三边的距离和不小于A到三边的距离和, (由AB ≥ AC, 此时BC为最大边).总结起来, N到三边的距离和不小于最大内角的顶点到三边的距离和.这样就完成了第二步放缩, 将直线上的点变到一点.因此平面上到△ABC三边距离和的最小值一定在其最大内角的顶点取得.而当△ABC有两边或三边相等, 上述放缩过程中的部分"≥"能成立等号.此时可能有更多的点取得最小值.具体来说, 当三角形等腰, 且底边小于腰, 最大内角是底角.底边上的点到三边(另两边)的距离和为定值, 即都等于最小值.但对底边之外的点, 第一步放缩的不等号是严格的, 因此不能取得最小值.当三角形等边, 两步放缩都能取得等号(对三角形内的点).因此最小值在三角形内的任意点处取得(其实也可以直接用△APB, △BPC, △CPA的面积证明).至此结论证毕.如果非要说内心到三边距离的极值性质, 那就是"到三边距离的最大值最小".这个其实很显然, 而且意义不大, 所以就不写了.199条建筑设计知识1. 公共建筑通常以交通、使用、辅助三种空间组成2. 美国著名建筑师沙利文提出的名言‘形式由功能而来’3. 密斯.凡.德.罗设计的巴塞罗那博览会德国馆采用的是‘自由灵活的空间组合’开创了流动空间的新概念4. 美国纽约赖特设计的古根海姆美术馆的展厅空间布置采用形式是串联式5. 电影放映院不需采光6. 点式住宅可设天井或平面凹凸布置可增加外墙面，有利于每层户数较多时的采光和通风7. 对结构形式有规定性的有大小和容量、物理环境、形状的规定性8. 功能与流线分析是现代建筑设计最常用的手段9. 垂直方向高的建筑需要考虑透视变形的矫正10. 橙色是暖色，而紫色含有蓝色的成分，所以偏冷；青色比黄色冷、红色比黄色暖、蓝色比绿色冷11. 同样大小冷色调较暖色调给人的感觉要大12. 同样距离，暖色较冷色给人以靠近感13. 为保持室内空间稳定感，房间的低处宜采用低明度色彩14. 冷色调给人以幽雅宁静的气氛15. 色相、明度、彩度是色彩的三要素；三元色为红、黄、蓝16. 尺度的概念是建筑物整体或局部给人的视角印象大小和其实际大小的关系17. 美的比例，必然正确的体现材料的力学特征18. 不同文化形成独特的比例形式19. 西方古典建筑高度与开间的比例，愈高大愈狭长，愈低矮愈宽阔20. ‘稳定’所涉及的要素是上与下之间的相对轻重关系的处理21. 人眼观赏规律H 18°～45°局部、细部2H 18°～27°整体3H ＜18°整体及环境22. 黄金分隔比例为1：1.61823. 通风屋面只能隔离太阳辐射不能保温，适宜于南方24. 总图布置要因地制宜，建筑物与周围环境之间关系紧凑，节约因地；适当处理个体与群体，空间与体形，绿化和小品的关系；合理解决采光、通风、朝向、交通与人流的组织25. 热水系统舒适稳定适用于居住建筑和托幼蒸汽系统加热快，适用于间歇采暖建筑如会堂、剧场26. 渐变具有韵律感27. 要使一座建筑显得富有活力，形式生动，在构图中应采用对比的手法对比的手法有轴线对比、体量对比、方向对比、虚实对比、色彩对比28. 要使柱子看起来显得细一些，可以采用暗色和冷色29. 巴西国会大厅在体型组合中采用了对比与协调的手法30. 展览建筑应使用穿套式的空间组合形式31. 室外空间的构成，主要依赖于建筑和建筑群体组合32. 在意大利威尼斯的圣马可广场的布局中，采用了强调了各种空间之间的对比33. 当坡地坡度较缓时，应采用平行等高线布置34. 建筑的有效面积=建筑面积-结构面积35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽35. 加大开窗面积的方法来解决采光和通风问题较易办到36. 中国古代木结构大致可分为抬梁式、穿斗式和井干式三种37. 建筑构图原理的基本范畴有主从与重点、对比与呼应、均衡与稳定、节奏与韵律和比例与尺度38. 建筑构图的基本规律是多样统一39. 超过8层的建筑中，电梯就成为主要的交通工具了40. 建筑的模数分为基本模数、扩大模数和分模数41. 建筑楼梯梯段的最大坡度不宜超过38°42. 住宅起居室、卧室、厨房应直接采光，窗地比为1/7，其他为1/1243. 住宅套内楼梯梯段的最小净宽两边墙的0.9M，一边临空的0.75M住宅室内楼梯踏步宽不应小于0.22M，踏步高度不应小大0.20M44. 住宅底层严禁布置火灾危险性甲乙类物质的商店，不应布置产生噪声的娱乐场所45. 地下室、贮藏室等房间的最低净高不应低于2.0米46. 室内坡道水平投影长度超过15米时，宜设休息平台47. 外墙内保温所占面积不计入使用面积烟道、风道、管道井不计入使用面积阳台面积不计入使用面积壁柜应计入使用面积48. 旋转楼梯两级的平面角度不大于10度，且每级离内侧扶手中心0.25处的踏步宽度要大于0.22米49. 两个安全出口之间的净距不应小于5米50. 楼梯正面门扇开足时宜保持0.6米平台净宽，侧墙门口距踏步不宜小于0.4米，其门扇开足时不应减少梯段的净宽51. 入地下车库的坡道端部宜设挡水反坡和横向通长雨水篦子52. 室内台阶宜150*300；室外台阶宽宜350左右，高宽比不宜大于1：2.553. 住宅公用楼梯踏步宽不应小于0.26M，踏步高度不应大于0.175M54. 梯段宽度不应小于1.1M（6层及以下一边设栏杆的可为1.0M），净空高度2.2M55. 休息平台宽度应大于梯段宽度，且不应小于1.2M，净空高度2.0M56. 梯扶手高度0.9M，水平段栏杆长度大于0.5M时应为1.05M57. 楼梯垂直杆件净空不应大于0.11M，梯井净空宽大于0.11M时应采取防护措施58. 门洞共用外门宽1.2M，户门卧室起居室0.9M，厨房0.8M，卫生间及阳台门0.7M，所有门洞高为2.0M59. 住宅层高不宜高于2.8M60. 卧室起居室净高≥2.4M，其局部净高≥2.1M（且其不应大于使用面积的1/3）61. 利用坡顶作起居室卧室的，一半面积净高不应低于2.1M利用坡顶空间时，净高低于1.2M处不计使用面积；1.2--2.1M计一半使用面积；高于2.1M全计使用面积62. 放家具墙面长3M，无直接采光的厅面积不应大于10M263. 厨房面积Ⅰ、Ⅱ≥4M2；Ⅲ、Ⅳ≥5M264. 厨房净宽单面设备不应小于1.5M；双面布置设备间净距不应小于0.9M65. 对于大套住宅，其使用面积必须满足45平方米66. 住宅套型共分四类使用面积分别为34、45、56、68M267. 单人卧室≥6M2；双人卧室≥10M2；兼起居室卧室≥12M2；68. 卫生间面积三件3M2；二件2--2.5M2；一件1.1M269. 厨房、卫生间净高2.2M70. 住宅楼梯窗台距楼地面净高度低于0.9米时，不论窗开启与否，均应有防护措施71. 阳台栏杆净高1.05M；中高层为1.1M(但要＜1.2)；杆件净距0.1172. 无外窗的卫生间应设置防回流构造的排气通风道、预留排气机械的位置、门下设进风百叶窗或与地面间留出一定缝隙73. 每套应设阳台或平台、应设置晾衣设施、顶层应设雨罩；阳台、雨罩均应作有组织排水；阳台宜做防水；雨罩应做防水74. 寒冷、夏热冬冷和夏热冬暖地区的住宅，西面应采取遮阳措施75. 严寒地区的住宅出入口，各种朝向均应设防寒门斗或保温门76. 住宅建筑中不宜设置的附属公共用房有锅炉房、变压器室、易燃易爆化学物品商店但有厨房的饮食店可设77. 住宅设计应考虑防触电、防盗、防坠落78. 跃层指套内空间跨跃两楼层及以上的住宅79. 在坡地上建住宅，当建筑物与等高线垂直时，采用跌落方式较为经济80. 住宅建筑工程评估指标体系表中有一级和二级指标81. 7层及以上（16米）住宅必须设电梯82. 宿舍最高居住层的楼地面距入口层地面的高度大于20米时，应设电梯83. 医院病房楼，设有空调的多层旅馆，超过5层的公建室内疏散楼梯，均应设置封闭楼梯间（包括首层扩大封闭楼梯间）设歌舞厅放映厅且超过3层的地上建筑，应设封闭楼梯间。

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值复习课程

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）.【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为定值

等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为定值等边三角形内部任意一点到三边的距离之和为定值在数学领域内，等边三角形是一种特殊的几何图形，其三条边的长度相等，三个内角也都相等，为60度。

而对于等边三角形内部的任意一点，它到三条边的距离之和竟然可以是一个定值。

这个现象非常有趣，而且也有其独特的数学原理支撑，今天我们就来详细探讨一下这个问题。

首先，让我们来考虑一个等边三角形ABC以及它的内部任意一点P。

假设点P 到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3。

那么根据我们的题目，d1 + d2 + d3应该能够被表示为一个定值。

我们可以尝试利用向量的方法来推导这个定值。

首先，我们可以假设三角形ABC 的三个顶点分别是A(0, 0)，B(a, 0)，C(a/2, (a√3)/2)，其中a为等边三角形的边长。

那么我们可以用向量来表示AB、BC、CA三条边。

设向量AB为向量a，向量BC为向量b，向量CA为向量c。

根据向量的性质，点P到边AB的距离d1可以用向量表示为投影的长度，即d1 = projP(a) ，同理，d2 = projP(b) ，d3 = projP(c) 。

接下来，我们可以利用向量的投影来进一步求解d1 + d2 + d3的定值。

首先，我们可以用P点在向量a、b、c上的投影分别来表示d1、d2、d3，即P点在向量a、b、c上的投影分别为projP(a)、projP(b)、projP(c)。

那么我们的问题就转变成了求解projP(a) + projP(b) + projP(c)的定值。

根据向量的加法性质，我们可以将projP(a) + projP(b) + projP(c)写成projP(a + b + c)。

现在我们只需要求解向量a + b + c的模长即可。

根据向量的加法和长度的性质，我们有a + b + c = a + b + c 。

另外，根据等边三角形的性质，我们知道a = b = c = a，因此a + b + c = 3a。

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值求三角形内一点到三个顶点最短值

求三角形内一点到三个顶点距离之与的最小值1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)则C(0,0)A(0,3)B(4,0)以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'则△BPP',△BCC'均为等边三角形所以PB=PP',PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'(2,-2√3)所以AC'=√[(0-2)²+(3+2√3)²]=√(25+12√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3)、2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P就是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值、解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x)²,解得x=6,AD=8,DC=15以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图) 则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'则△CPP',△CBB'均为等边三角形所以PC=PP',PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'(9/2,-21√3/2)所以AB'=√[(0-9/2)²+(8+21√3/2)²]=√(415+168√3)、即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3)、【补充说明】(1)如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P 到A、B、C三顶点距离的与最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1＞已知三角形ABC中，AC=3, BC=4丿AB=5,P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点,C B为x轴£A为y轴建立坐标系(如图)则C(O,O)A(O, 3)B (4,0)以B为旋转中心，将ABPC绕点B逆时钟旋转6 0。

至ABPC 丿连接pp'、cc\ AC1则△BPP', ABCC1均为等边三角形所以PB=PP,,PC = P,C,所以PA+PB+PC=AP+PP,+P, C3AC'而C (2,-2 73)所以AC' = V [(0-2) 2+(3+2V3)2] = V(2 5+12 V3).即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长V ( 2 5+12V3)・2、已知三角形ABC 中丿AB= 10，AC= 17, BC=21,P> 三角形A B C内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD丄BC 于D,设BC=x,贝！| CD=21-x 由勾股定理得AD2=102-x2= 1 7 2- (21-x)2,解得x=6z AD= 8,DC= 1 5以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系(如图)则A( 0,8 ) B (-6, 0) C(15, 0)以C为旋转中心，将ACPB绕点C逆时钟旋转60。

至厶CPB,连接PP'、BB\ AB'则ACBB Z均为等边三角形所以PC=PP‘ ,PB=P,B,所以PA+P B + PC=AP+PP, +P,B,>AB,而B'(9 / 2,-21 V3/2)所以AB，=V[(0-9/2)2+ (8+21V3/2) 2] =7 (415+1 6 8V3)・即PA+PB+ P C的最小值等于AB啲长V(4 15 + 168V3).【补充说明】(1)如图，以AABC的三边为边扮别向外作等边三角形BCD、ACE.ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P, EZAPB=ZAPC=ZBPC= 1 20°,(2) P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB +PC=AD=BE =CF O证明:VAF=AB,ZFAC=ZBAE,AC=AE• •△AFC 竺ABE・・・CF=B E同理可证ABCF今BDA, C F=ADA AD=B E=CF・•「△AFC 竺ABE••・ ZAFC=ZABE・・・ZBPF=ZBAF = 6 O°z ZBPC=l 2 0°同理可证ZAP B =Z A P C =120°・・・ZAPB=ZAPC=ZBP C=120°至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）则C（0，0）A（0，3）B（4，0）以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'则△BPP'，△BCC'均为等边三角形所以PB=PP'，PC=P'C'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'而C'（2，-2√3）所以AC'=√[（0-2）²+（3+2√3）²]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x由勾股定理得AD²=10²-x²=17²-(21-x）²，解得x=6，AD=8，DC=15以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'则△CPP'，△CBB'均为等边三角形所以PC=PP'，PB=P'B'所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'而B'（9/2，-21√3/2）所以AB'=√[（0-9/2）²+（8+21√3/2）²]=√（415+168√3）.即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

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