距离和最值问题
一点到两点的距离和最小值
一点到两点的距离和最小值在数学中，一点到两点的距离和最小值是一个常见的问题。
这个问题经常出现在几何学、优化理论和数据分析中，具有广泛的应用。
首先，让我们来看看一点到两点的距离是什么。
在二维空间中，我们可以用勾股定理来计算两点之间的距离。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
同样地，在三维空间中，点A到点B的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
根据这个公式，我们可以计算出任意两点之间的距离。
那么，一点到两点的距离和最小值是什么意思呢？它表示的是，在给定的一组点中，选择一个点，使得这个点到其余两个点的距离之和最小。
这个问题可以用于解决很多实际问题，比如在城市规划中选择最佳的交通枢纽位置，或者在物流中选择最佳的仓库位置等。
接下来，我们将介绍一些具体的应用例子，以帮助读者更好地理解一点到两点的距离和最小值的概念。
首先，我们考虑一个城市规划的问题。
在一个城市中，有多个居民区和商业区，我们需要选择一个位置建设一个公园，以方便居民休闲和娱乐。
我们可以将居民区和商业区视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的公园位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为公园的位置。
这样，我们就能够选择一个最佳的位置，以满足尽量多的居民和商业区的需求。
其次，我们考虑一个物流优化的问题。
在一个物流系统中，有多个仓库和多个客户，我们需要选择一个仓库位置，以最小化物流成本。
同样地，我们可以将仓库和客户视为点集，然后利用一点到两点的距离和最小值的概念来选择最佳的仓库位置。
具体做法是，计算每个点到其余两个点的距离之和，然后选择使得这个距离和最小的点作为仓库的位置。
通过这种方法，我们就能够降低物流成本，提高物流效率。
与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
圆专题：与圆有关的最值问题一、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.二、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于三、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC NPC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M CN C l l PM lCPM四、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如ax by y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题；2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题；3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题题型一 圆上的点到定点的距离最值【例1】若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．【答案】13131⎡⎤⎣⎦【解析】曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，C P P MN表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC +因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦【变式1-1】在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．【答案】()32-，【解析】()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.【变式1-2】已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（ ）A ．1B ．2C 2D 32 【答案】C【解析】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r 2，所以()2223269AC m m m m =+--+()23239222m -+ 所以点A 到圆C 3222.故选：C.【变式1-3】已知点()2,0A -，()2,0B ，()4,3C ，动点P 满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为（ ）A ．[]2,5B ．[]2,8C ．[]3,7D ．[]4,6 【答案】C【解析】由题设，P 在以||AB 为直径的圆上，令(,)P x y ，则224x y +=(P 不与,A B 重合)，所以PC 的取值范围，即为()4,3C 到圆224x y +=上点的距离范围，又圆心(0,0)到C 的距离22(40)(30)5d -+-，圆的半径为2， 所以PC 的取值范围为[,]d r d r -+，即[]3,7.故选：C【变式1-4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆223)7)1:((C x y -+=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为A ．9B ．14C ．26D ．28 【答案】C【解析】设O 为坐标原点，设(,)P x y ，圆C 圆心为7)C ，则()222222222||||(2)(2)282|8|AP BP x y x y x y PO +=+++-+=++=+， 又222min ||(||)(41)9PO OC r =-=-=，所以()22min ||||18826AP BP +=+=，故选：C.【变式1-5】已知直线l 与圆22:9O x y +=交于A ，B 两点，点()4,0P 满足PA PB ⊥，若AB 的中点为M ，则OM 的最大值为（ ） A ．222+B ．32 C ．322 D ．322【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，又22119x y +=，22229x y +=，则222212121212112222(()2)182x y x y x x x x y y y y +--++=+=++，所以221221229x y y x x y -=++，又PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，而11(4,)PA x y =-，22(4,)PB x y =-， 所以1212124()160x x x x y y -++=+，即1212816x x x y y -=+，综上，22228169x y x --=+，整理得22(2)12x y +-=，即为M 的轨迹方程， 所以M 在圆心为(2,0)2的圆上， 则22max(20)(02220)OM-=-=+，故选：A.题型二 两圆上的动点的距离最值【例2】已知点,P Q 分别为圆()()221:241C x y -++=与圆()()222:234C x y +++=的任意一点，则PQ 的取值范围是（ ）A ．17174⎡⎤⎣⎦B ．17173⎡⎤⎣⎦C ．17172⎡⎤⎣⎦D ．17171⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】()()221:241C x y -++=的圆心为()12,4C -,半径11r =，()()222:234C x y +++=的圆心为()22,3C --,半径22r =，圆心距()()221222431712d r r =++-+=>+=+，∴两圆相离，∴[]1212,PQ d r r d r r ∈--++=17173⎡⎤⎣⎦，故选：B.【变式2-1】已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．53B ．53+C ．323+D ．323-【答案】B【解析】设(,)P x y ，因为2PA PB =2222(2)2(1)x y x y ++=-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为22(22)3+2+3=5+3-+【变式2-2】已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ） A ．32 B ．52 C ．522+ D ．322+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --2，22(12))(13)5CD +++，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.【变式2-3】设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( )A ．3157-B ．3137-C ．524-D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．【变式2-4】已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(3)(2)4C x y -+-=，动点P 在x 轴上，动点M ，N 分别在圆1C 和圆2C 上，则||||PM PN +的最小值是 ． 133【解析】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标(1,1)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标2(3,2)C ，半径为2， 连接2AC ，故2||4913AC =+=， 故||||PM PN +的最小值是133- 故答案为：133-．【变式2-5】已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PNPM-的最大值是（ ）A ．254B ．9C ．7D ．252 【答案】B【解析】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max minmaxPN PM PN PM-=-，又2max 3PN PC =+，1min 1PM PC =-，所以，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC -=+--=-+． 点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，()()2221211241515PC PC PC PC C C ''-=-≤=-+-+，所以，()max 549PN PM -=+=， 故选：B ．【变式2-6】已知圆()221:2(3)1C x y ++-=，圆222:(4),(2)4,C x y M N -+-=分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN -的最大值为（ ）A 371B 373C ．351D ．2013173【答案】B【解析】由已知圆心1(2,3)C -，半径为1，圆心2(4,2)C ，半径为2，11PM PC C M ≤+，22PN PC C N ≥-，∴11PM PN PC C M -≤+-()22PC C N -1211123PC PC C M C N PC PC =-++=-+123373C C ≤+=，当且仅当12,,P C C 三点共线时等号成立，此时M 为1PC 的延长线与圆1C 的交点，N 为线段2PC 与圆2C 的交点． 故选：B ．题型三 圆上的点到直线的距离最值【例3】点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x的最短距离为（ ）A ．22B ．1C 2D ．22【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -+=+-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=．故选：C ．【变式3-1】已知P 是半圆C 22y y x -=-上的点，Q 是直线10x y --=上的一点，则PQ 的最小值为（ ） A 32 B 21 C 21 D 2【答案】D2222202(1)1(0)20x y y x x y x x y y -≥⎧-=-⇒⇒+-=≤⎨+-=⎩，如图所示，显然当P 运动到坐标原点时，PQ 有最小值， 最小值为原点到直线10x y --=的距离， 即22min 1221(1)PQ -=+-=，故选：D【变式3-2】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎤⎣⎦，又可求得22AB =， 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.【变式3-3】圆面224440x y x y --++≤与圆面222220x y x y ---+≤的公共部分M(含边界)上的点到直线3450x y ++=的最短距离为（ ） A ．225B ．325 C ．165 D ．95【答案】D【解析】由224440x y x y --++≤，即()()22224x y -+-≤，圆心为()2,2C ，半径12r =，222220x y x y ---+≤，即()()22114x y -+-≤，圆心为()1,1B ，半径22r =，则两圆面公共部分M 的平面区域如下图黑色阴影部分所示： 则圆心C 到直线3450x y ++=的距离223242519534d ⨯+⨯+=+， 则黑色阴影区域内的点到直线3450x y ++=的最短距离为1199255d r -=-=； 故选：D题型四 圆的切线长度最值问题【例4】直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B【变式4-1】已知过坐标原点O 的直线与圆22:86210C x y x y +-++=相切，则切线长（点O 与切点间的距离）为（ ） A ．3 B ．4 C 21 D ．5 【答案】C【解析】圆C 的标准方程为()()22434-++=x y ，圆心()4,3C -，半径2r =，所以5OC =，切线长为22225221L OC r =-=-故选C.【变式4-2】已知圆O ：223x y +=，l 为过(2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2，故直线l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x =-，即230x -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+ 251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭【变式4-3】若圆C ：222270x y x y +---=关于直线30ax by ++=对称，由点P (,)a b 向圆C 作切线，切点为A ，则线段P A 的最小值为___． 14【解析】圆22:2270C x y x y +---=化为22(1)(1)9x y -+-=，圆的圆心坐标为()1,1，半径为3r =．圆22(1)(1)9x y -+-=关于直线30ax by ++=对称，所以()1,1在直线上，∴30++=a b ，即3b a =--， 点(,)a b 22(1)(1)a b -+-所以点(,)a b 向圆C 所作切线长：()()2223711924212a b a ⎛⎫-+--=++ ⎪⎝⎭ 当且仅当32a =-14．题型五 过圆内定点的弦长最值【例5】直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ）A 2B ．23C ．22D 5【答案】C【解析】圆22(2)(2)4x y -+-=的圆心为(2,2)C ，半径2r =，又直线1(3)y k x -=-，∴直线恒过定点(3,1)P ，当圆被直线截得的弦最短时，圆心(2,2)C 与定点(3,1)P 的连线垂直于弦， 22(23)(21)2-+-∴所截得的最短弦长：2222(2)22-=C ．【变式5-1】已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．5D ．35【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-，圆O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．【变式5-2】当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.【变式5-3】已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（ ）A ．4B ．6C 101D 131【答案】B【解析】根据题意，设(,)P m n 为直线4x y +=上的一点，则4m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A 、B ，则有OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为C (2m ，)2n ，半径221||2m nr OP +==，则其方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，变形可得220x y mx ny +--=，联立222240x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆C 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=， 又由4m n +=，则有(4)40mx m y +--=， 变形可得()440m x y y -+-=， 则有0440x y y -=⎧⎨-=⎩，解可得1x y ==，故直线AB 恒过定点()1,1Q ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为22||1(41)(51)16GQ +-+-=．故选：B ．题型六 利用代数式几何意义求最值【例6】已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．【答案】最大值为51，最小值为11【解析】已知方程2266140x y x y +--+=可化为()()22334x y -+-=，则此方程表圆，且圆心C 的坐标为()3,3，半径长2r =．又()22222312x y x x y +++=+++．它表示圆上的(),P x y 到()1,0E -的距离的平方再加2；所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P 与点E 距离的最大值为2CE +， 点P 与点E 距离的最小值为2CE -. 又因为()223135CE =++=，则2223x y x +++的最大值为27251+=，2223x y x +++的最小值为23211+=；即2223x y x +++的最大值为51，最小值为11.【变式6-1】已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：（1）(223x y +的最值；（2）12y x --的最值； 【答案】（1）最大值为9，最小值为1；（233 【解析】（1）设圆()2211x y +-=的圆心为()0,1A ，半径1r =，点(),P x y 在圆上，所以(223x y +表示(),P x y 到定点()3,0E 的距离的平方， 因为()22312AE =+=，所以AE r PE AE r -≤≤+，即13PE ≤≤，所以(22139x y ≤+≤，即(223x y +的最大值为9，最小值为1；（2）点(),P x y 在圆上，则12y x --表示圆上的点P 与点()2,1B 的连线的斜率， 根据题意画出图形，当P 与C （或)D 重合时，直线()BC BD 与圆A 相切，设直线BC 解析式为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心(0,1)到直线BC 的距离d r =，即2|2|11k k -=+，解得3k =， 333k ，即31323y x --， ∴12y x --33【变式6-2】设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1，圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．【变式6-3】已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=，点(0,1)A -与(0,1)B ，P 为圆C 上动点，当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是 ． 【答案】18(5，24)5． 【解析】设(,)P x y ，则22222222||||(1)(1)2()2d PA PB x y x y x y =+=++++-=++，22x y +的几何意义是(,)P x y 到原点的距离，由已知，圆心(3,4)C ，半径为1，C 到O 的距离||5CO =，∴22x y +的最大值是516+=，d ∴的最大值为226274⨯+=，由直线43y x =与圆22:(3)(4)1C x y -+-=，可得(512)(518)0x x --=，125x ∴=或185x =，∴当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是18(5，24)5．故答案为：18(5，24)5．题型七 面积的最值问题【例7】已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，(2,0)C ． （1）求圆E 的方程；（2）若P 为圆E 上的一动点，求ABP ∆面积的最大值． 【答案】（1）22(1)1x y -+=【解析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，由题意可得020420F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2220x y x +-=即22(1)1x y -+=； （2）(0,0)A ，(1,1)B AB ∴的方程：0x y -=，且||2AB =，∴圆心(1,0)E 到直线AB 的距离为|1|222d ==， ∴点P 到直线AB 的距离的最大值为212+， ∴121212||(1)2(1)22222ABPS AB ∆+⨯⨯+=⨯⨯+=． 故ABP ∆面积的最大值为122+．【变式7-1】已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线:220l xy 上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（ ）A ．22115224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22119224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由题可知，PA AC ⊥，半径2AC =，圆心(1,1)C ，所以222142PACSPA AC PA PC AC PC =⋅==-=-要使PAC △的面积最小，即PC 最小，PC 的最小值为点(1,1)C 到直线:220l xy 22212521+++即当P 点运动到PC l ⊥时，PACS最小，直线l 的斜率为2-，此时直线PC 的方程为11(x 1)2y -=-，由11(1)2220y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，因为PAC △是直角三角形，所以斜边PC 的中点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，而()()2211105PC =++-所以PAC △的外接圆圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭5，所以PAC △的外接圆的方程为221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.【变式7-2】已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为 ____． 【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =． 因为四边形MACB 的面积22?22||4CAM S S CA AM AM CM ====- 要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则5CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．【变式7-3】点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小， 即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 222521==+OP 故所求最小值为()222548-=.。
圆上动点到两定点距离线性和的最小值问题
、
尸
７ — — ～
Ｄ
，
／
图 ２
求 ５ＰＡ＋３ＰＤ的最小值． 解 析 ：连 结 Ｐ日、ＢＤ，则 Ｐ曰 ： ８，ＢＤ ＝
１０．
在 线 段 ＢＤ 上 取 点 ，，使 得 ＬＢＰＦ ＝ ／＿．＿ＢＤＰ，连结 ＰＦ，则 ＡＢＰＦ ＡＢＤＰ．
因为嚣＝器＝ ，所以 ＝ ，
１， ＯＣ ＝ ４．
Ｙ．Ｎ ￣ ｏｃ ＝ ｕ，
＝ ２， Ｌ ＰＯＣ ＝ Ｌ ＥＯＰ ，
所 以 ／Ｘ０ＣＰ ／ｘ ＯＰＥ．
从而 面 ＰＣ ＝
＝２
，
即
Ｐｃ
＝２阳
．
连结 ＥＤ，易知 ＥＤ是 ＡＡＢＣ的中位 线 ，所
以 ２ＥＤ ＝ＢＣ ＝２ ． 从 而 ＰＣ ＋２ＰＤ ＝２（ＰＥ ＋肋 ）≥ ２ＥＤ ＝
图 ３
解析 ：连结 ＣＤ，延 长 ＣＤ交 ＱＯ于点 Ｅ，连 结 ＥＯ．
因为 ＡＣ ＝ＡＤ， ＣＡＤ ＝９０。， 所 以 ＬＡＣＤ＝ ＡＤＣ＝４５。． 因此 ＬＡＯＥ ＝９０。，ＬＡＤＥ ＝ １３５。． 以 ＡＯ、ＯＥ为边 ，作正 方形 ＡＯＥＦ，则点 Ｄ 在 以点 Ｆ为圆心 ，半径为 ２的圆弧上运动．
６—３ｌＤ
数学 数 学
２０１８年第 ６期
圆上 动 点 到 两定 点 距 离线 性 和 的最小 值 问题
于学明 李世 臣 （１．河南省商水 县希 望 中学，河南 商水 ４６６１００； ２．河南省周 口市川 汇 区教体局教研 室，河南 周 口 ４６６００１）
设 动 点 Ｐ 和 两 定 点 Ａ、Ｂ，我 们 不 妨 称
ＰＡ＋ＡＰ日为点 Ｐ到两定点 Ａ、Ｂ距离 的线性和．
当 Ａ＝１，Ｐ点在一条定直线上移动时 ，两
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
2020年高考数学专题复习第2课时空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)空间中的距离问题如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)求证：平面EFG ⊥平面PAB ； (2)求点A 到平面EFG 的距离．【解】 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．(1)证明：因为EF →＝(0，1，0)，AP →＝(0，0，2)，AB →＝(2，0，0)，所以EF →·AP →＝0×0＋1×0＋0×2＝0，EF →·AB →＝0×2＋1×0＋0×0＝0，所以EF ⊥AP ，EF ⊥AB .又因为AP ，AB ⊂平面PAB ，且PA ∩AB ＝A ，所以EF ⊥平面PAB . 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAB . (2)设平面EFG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝（x ，y ，z ）·（0，1，0）＝0，n ·EG →＝（x ，y ，z ）·（1，2，－1）＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0.取n ＝(1，0，1)，又AE →＝(0，0，1)，所以点A 到平面EFG 的距离d ＝|AE →·n ||n |＝12＝22.(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． ①点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距：点M 到直线a 的距离，若直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M 到直线a 的距离为d ＝|MN →|·sin〈MN →，a 〉；③线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距：点M 到平面α的距离，若平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN →||cos 〈MN →，n 〉|＝|MN →·n ||n |.(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解．1．如图，P ABCD 是正四棱锥，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为________．解析：以A 1B 1所在直线为x 轴，A 1D 1所在直线为y 轴，A 1A 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则AD →＝(0，2，0)，AP →＝(1，1，2)，设平面PAD 的法向量是m ＝(x ，y ，z )， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0，m ·AP →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，得m ＝(－2，0，1)，因为B 1A →＝(－2，0，2)，所以B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A →·m ||m |＝65 5.答案：6552．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2.(1)求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离．解：(1)证明：因为AA 1綊CC 1，所以四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1. 又AC ⊄平面A 1BC 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1， 所以AC ∥平面A 1BC 1.同理可证CD 1∥平面A 1BC 1. 又AC ∩CD 1＝C ，AC ⊂平面ACD 1，CD 1⊂平面ACD 1， 所以平面A 1BC 1∥平面ACD 1.(2)以B 1为原点，分别以B 1A 1→，B 1C 1→，B 1B →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(4，0，0)，A (4，0，2)，D 1(4，3，0)，C (0，3，2)，A 1A →＝(0，0，2)，AC →＝(－4，3，0)，AD 1→＝(0，3，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋3y ＝0，3y －2z ＝0，取n ＝(3，4，6)，所以所求距离d ＝|A 1A →|×|cos 〈n ，A 1A →〉|＝|n ·A 1A →||n |＝1232＋42＋62＝126161，故平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为126161.立体几何中的最值(范围)问题(1)(2019·宁波十校联考)如图，平面PAB ⊥平面α，AB ⊂α，且△PAB 为正三角形，点D 是平面α内的动点，ABCD 是菱形，点O 为AB 中点，AC 与OD 交于点Q ，l ⊂α，且l ⊥AB ，则PQ 与l 所成角的正切值的最小值为( )A ． －3＋372B ． 3＋372C ．7D ．3(2)(2019·温州高考模拟)如图，在三棱锥A BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与BCD 均为等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠BCD ＝90°，BC ＝2，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得直线PQ 与AC 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，63 C ．⎝⎛⎭⎪⎫22，2 D ．⎝⎛⎭⎪⎫63，2 【解析】 (1)如图，不妨以CD 在AB 前侧为例．以O 为原点，分别以OB 、OP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，∠OAD ＝θ(0<θ<π)，则P (0，0，3)，D (2sin θ，－1＋2cos θ，0)，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin θ，23cos θ－13，0，所以QP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin θ，13－23cos θ，3，设α内与AB 垂直的向量n ＝(1，0，0)，PQ 与l 所成角为φ，则cos φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪QP →·n |QP →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23sin θ329－49cos θ＝sin θ8－cos θ＝1－cos 2θ8－cos θ.令t ＝cos θ(－1<t <1)，则s ＝1－t 28－t ，s ′＝t 2－16t ＋1（8－t ）2，令s ′＝0，得t ＝8－37，所以当t ＝8－37时，s 有最大值为16－67.则cos φ有最大值为16－67，此时sin φ取最小值为67－15. 所以正切值的最小值为67－1516－67＝3＋372.故选B.(2) 以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，1，1)，B (0，2，0)，C (0，0，0)，设Q (q ，0，0)，AP →＝λAB →＝(0，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则PQ →＝CQ →－CP →＝CQ →－(CA →＋AP →)＝(q ，0，0)－(0，1，1)－(0，λ，－λ)＝(q ，－1－λ，λ－1)，因为直线PQ 与AC 成30°的角， 所以cos 30°＝|CA →·PQ →||CA →|·|PQ →|＝22·q 2＋（1＋λ）2＋（λ－1）2＝2q 2＋2λ2＋2＝32， 所以q 2＋2λ2＋2＝83，所以q 2＝23－2λ2∈[0，4]，所以⎩⎪⎨⎪⎧23－2λ2≥023－2λ2≤4，解得0≤λ≤33，所以|AP →|＝2λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，63，所以线段PA 长的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，63. 故选B.【答案】 (1)B (2)B(1)求解立体几何中的最值问题，需要先确定最值的主体，确定题目中描述的相关变量，然后根据所求，确定是利用几何方法求解，还是转化为代数(特别是函数)问题求解．利用几何方法求解时，往往利用几何体的结构特征将问题转化为平面几何中的问题进行求解，如求几何体表面距离的问题．利用代数法求解时，要合理选择参数，利用几何体中的相关运算构造目标函数，再根据条件确定参数的取值范围，从而确定目标函数的值域，即可利用函数最值的求解方法求得结果．(2)用向量法解决立体几何中的最值问题，不仅简捷，更减少了思维量．用变量表示动点的坐标，然后依题意用向量法求其有关几何量，构建有关函数，从而用代数方法即可求其最值．1．(2019·浙江省五校联考模拟)如图，棱长为4的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°，则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)解析：选B.如图所示，作C 1O ⊥α，交ABCD 于O ，交α于E ，由题得O 在AC 上，则C 1E 为所求，∠OAE ＝30°， 由题意，设CO ＝x ，则AO ＝42－x ，C 1O ＝16＋x 2，OE ＝12OA ＝22－12x ，所以C 1E ＝16＋x 2＋22－12x ，令y ＝16＋x 2＋22－12x ，则y ′＝x16＋x 2－12＝0，可得x ＝43，所以x ＝43时，顶点C 1到平面α的距离的最大值是2(3＋2)．2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC ，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)如图所示，由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n 1＝(1，3，3－λ)，因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量， 所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1 ＝1（λ－3）2＋4，因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12，所以cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.空间中的距离(1)点与点之间的距离⎩⎪⎨⎪⎧利用空间两点间的距离公式利用空间向量的模长利用辅助线转化为平面距离(2)点线距离⎩⎪⎨⎪⎧转化为两点间距离求解利用向量法求解(3)点面之间距离⎩⎪⎨⎪⎧等积法求解向量法求解立体几何中的最值(范围)问题 (1)几何体的面积、体积的最值(范围) (2)空间角(或空间角三角函数值)的最值(范围) (3)空间距离的最值(范围) 求解方法⎩⎪⎨⎪⎧①构造函数法②转化为平面问题③引入参数利用向量法[基础达标]1．(2019·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，1 C ．⎝⎛⎭⎪⎫255，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，1 解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， F (x ，0，0)，D (0，y ，0)，由于GD ⊥EF ，所以x ＋2y －1＝0，DF ＝x 2＋y 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －252＋15， 由x ＝1－2y >0，得y <12，所以当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是15，当y ＝0时，线段DF 长度的最大值是1，又不包括端点，故y ＝0不能取，故选A. 2. (2019·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，三棱锥P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AD ⊥BC 于D ，BC ＝CD ＝AD ＝1，设PD ＝x ，∠BPC ＝θ，记函数f (x )＝tan θ，则下列表述正确的是( )A ．f (x )是关于x 的增函数B ．f (x )是关于x 的减函数C ．f (x )关于x 先递增后递减D ．f (x )关于x 先递减后递增解析：选C.因为PA ⊥平面ABC ，AD ⊥BC 于D ，BC ＝CD ＝AD ＝1，PD ＝x ，∠BPC ＝θ， 所以可求得AC ＝2，AB ＝5，PA ＝x 2－1，PC ＝x 2＋1，BP ＝x 2＋4， 所以在△PBC 中，由余弦定理知cos θ＝PB 2＋PC 2－BC 22BP ·PC ＝2x 2＋42x 2＋1x 2＋4. 所以tan 2θ＝1cos 2θ－1＝（x 2＋1）（x 2＋4）（x 2＋2）2－1＝x2（x 2＋2）2.所以tan θ＝x x 2＋2＝1x ＋2x ≤12x ·2x＝24(当且仅当x ＝2时取等号)，所以f (x )关于x 先递增后递减．3．(2019·义乌市高三月考)如图，边长为2的正△ABC 的顶点A 在平面γ上，B ，C 在平面γ的同侧，M 为BC 的中点，若△ABC 在平面γ上的射影是以A 为直角顶点的△AB 1C 1，则M 到平面γ的距离的取值范围是________．解析：设∠BAB 1＝α，∠CAC 1＝β，则AB 1＝2cos α，AC 1＝2cos β，BB 1＝2sin α，CC 1＝2sin β，则点M 到平面γ的距离d ＝sin α＋sin β，又|AM |＝3，则|B 1C 1|＝23－d 2，即cos 2α＋cos 2β＝3－(sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β)．也即sin αsin β＝12，所以d＝sin α＋sin β＝sin α＋12sin α≥2，因为sin α<1，sin β<1，所以12sin α<1，所以12<sin α<1，所以当sin α＝12或1时，d ＝32，则2≤d ＜32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，324. (2019·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，在二面角A CD B 中，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，点A 在直线AD 上运动，满足AD ⊥CD ，AB ＝3.现将平面ADC 沿着CD 进行翻折，在翻折的过程中，线段AD 长的取值范围是________．解析：由题意得AD →⊥DC →，DC →⊥CB →，设平面ADC 沿着CD 进行翻折的过程中，二面角A CD B 的夹角为θ，则〈DA →，CB →〉＝θ，因为AB →＝AD →＋DC →＋CB →，所以平方得AB →2＝AD →2＋DC →2＋CB →2＋2AD →·DC →＋2CB →·AD →＋2DC →·CB →， 设AD ＝x ，因为BC ＝CD ＝2，AB ＝3， 所以9＝x 2＋4＋4－4x cos θ，即x 2－4x cos θ－1＝0，即cos θ＝x 2－14x.因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤x 2－14x≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤4x x 2－1≥－4x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －1≤0x 2＋4x －1≥0，则⎩⎨⎧2－5≤x ≤2＋5，x ≥－2＋5或x ≤－2－ 5.因为x >0，所以5－2≤x ≤5＋2， 即AD 的取值范围是[5－2，5＋2]． 答案：[5－2，5＋2]5．(2019·金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥D ABC 中，已知AB ＝2，AC →·BD →＝－3，设AD ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，则c 2ab ＋1的最小值为________．解析：设AD →＝a ，CB →＝b ，DC →＝c ，因为AB ＝2，所以|a ＋b ＋c |2＝4⇒a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝4，又因为AC →·BD →＝－3，所以(a ＋c )·(－b －c )＝－3⇒a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＋c 2＝3，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(3－c 2)＝4⇒c 2＝a 2＋b 2＋2，所以a 2＋b 2＋2ab ＋1≥2ab ＋2ab ＋1＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即c 2ab ＋1的最小值是2.答案：26．(2019·温州十五校联合体期末考试)在正四面体P ABC 中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN →＝λAB →，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当13≤λ≤23时，则cos α的取值范围是________．解析：设点P 到平面ABC 的射影为点O ，以AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，过点O 作BC 的平行线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．设正四面体的棱长为43，则有A (0，－4，0)，B (23，2，0)，C (－23，2，0)，P (0，0，42)，M (－3，1，22)．由AN →＝λAB →，得N (23λ，6λ－4，0)．从而有NM →＝(－3－23λ，5－6λ，22)，AC →＝(－23，6，0)． 所以cos α＝|NM →·AC →||NM →||AC →|＝3－2λ24λ2－4λ＋3，设3－2λ＝t ，则53≤t ≤73.则cos α＝12t 2t 2－4t ＋6＝126⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－4·1t＋1，因为13<37≤1t ≤35，所以51938≤cos α≤71938.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤51938，719387.如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′PBCD 的体积最大时，求PA 的长； (2)若P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 解：(1)设PA ＝x ，则PA ′＝x ，所以V A ′PBCD ＝13PA ′·S 底面PBCD ＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22.令f (x )＝13x ⎝⎛⎭⎪⎫2－x 22＝2x 3－x36(0<x <2)，则f ′(x )＝23－x22.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2) 证明：取A ′B 的中点F ，连接EF ，FP .由已知，得EF 綊12BC 綊PD .所以四边形EFPD 是平行四边形，所以ED ∥FP . 因为△A ′PB 为等腰直角三角形，所以A ′B ⊥PF . 所以A ′B ⊥DE .8. (2019·杭州市第一次高考科目数学质量检测)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.(1)求证：AB ⊥BC ；(2)设直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，二面角A 1BC A 的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．解：(1)证明：过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ， 因为平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1， 平面A 1BC ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， 所以AD ⊥平面A 1BC ， 又因为BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥BC . 又因为AA 1∩AD ＝A ， 所以BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又因为AB ⊂平面A 1ABB 1， 故AB ⊥BC .(2)连接CD ，由(1)知∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角． 又∠ABA 1是二面角A 1BC A 的平面角． 则∠ACD ＝θ，∠ABA 1＝φ.在Rt △ADC 中，sin θ＝AD AC，在Rt △ADB 中， sin φ＝AD AB.由AB <AC ，得sin θ<sin φ，又0<θ，φ<π2，所以θ<φ. [能力提升]1．(2019·温州市高考数学模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB AD＝λ(λ>1)，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E 为直二面角．(1)求证：平面ACE ⊥平面BCE ；(2)设F 是BE 的中点，二面角E AC F 的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．解：(1)证明：因为二面角C AB E 为直二面角，AB ⊥BC, 所以BC ⊥平面ABE ，所以BC ⊥AE .因为AE ⊥CE ，BC ∩CE ＝C ，所以AE ⊥平面BCE . 因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面BCE .(2)如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB ＝λ，A (0，1，0)，B (λ2－1，0，0)，C (λ2－1，0，1)，E (0，0，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2－12，0，0，则EA →＝(0，1，0)，EC →＝(λ2－1，0，1)， 设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧y ＝0λ2－1·x ＋z ＝0，取x ＝1，则m ＝(1，0，－λ2－1)． 同理得平面FAC 的一个法向量为n ＝(2，λ2－1，－λ2－1)．所以cos θ＝m ·n |m |·|n |＝λ2＋1λ·2（λ2＋1）＝22·1＋1λ2.因为λ∈[2，3]， 所以cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，104.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2， PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长． 解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)， 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.。
运用两点间的距离公式求最值
运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是数学中常用的一种方法，用于计算两点之间的直线距离。
最常见的两点间的距离公式是欧几里得距离公式，即两点之间的直线距离。
该公式的表达式如下：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别是两个点的坐标，d表示两点之间的距离。
基于这个距离公式，我们可以求解一些与两点之间的问题有关的最值。
首先，我们来考虑一个简单的问题：给定一个点集，找出其中两点之间的最大距离。
假设我们有 n 个点，分别用坐标 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 表示。
我们需要找到这些点中任意两点之间的最大距离。
我们可以通过计算每对点之间的距离，并比较它们的大小来找到最大距离。
具体的步骤如下：1.初始化最大距离为0。
2. 对于点集中的每对点 (xi, yi) 和 (xj, yj)，计算它们之间的距离d = √((xi - xj)² + (yi - yj)²)。
3.如果计算得到的距离d大于当前的最大距离，则更新最大距离为d。
4.遍历完所有的点对之后，最大距离即为所求。
该算法的时间复杂度为O(n²)，因为需要遍历所有点对，并计算它们之间的距离。
接下来，我们考虑另一个问题：给定一个点集，找出其中两点之间的最小距离。
同样地，我们可以使用上述的距离公式，通过比较每对点之间的距离来找到最小距离。
具体的步骤如下：1.初始化最小距离为正无穷大。
2. 对于点集中的每对点 (xi, yi) 和 (xj, yj)，计算它们之间的距离d = √((xi - xj)² + (yi - yj)²)。
3.如果计算得到的距离d小于当前的最小距离，则更新最小距离为d。
4.遍历完所有的点对之后，最小距离即为所求。
同样地，该算法的时间复杂度为O(n²)，因为需要遍历所有点对，并计算它们之间的距离。
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点至直线距离的最值问题总是转化成谋圆心到定直线的距离；3、有些最值问题必须特别注意向函数问题转变；4、把握住式子的几何意义。
一、至圆心距离的最值问题例1：已知p是直线3x+4y+8=0上的动点，pa,pb是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,a,b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值。
二、至圆上一点距离的最值问题例2：已知p是圆x2+y2=1上一点，q是直线l:x+2y-5=0上一点，求pq的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题基准3：未知定点a(-1,0),b(1,0)和圆(x-3)+(y-4)=4上的动点p，谋并使pa+pb最值时点p的座标。
p,⎪时,x2+y2最大为100⎪55⎪练1：谋实数x,y满足用户x2+(y-1)2=1,谋以下各式的最值：（）13x+4y（2）x+y（3x+1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，并无最大值四、与圆半径有关的最值问题基准4：设x，y满足用户⎪y≥x谋(x-1)+(y-3)25⎪4x+3y≤12练2：未知圆c：x2+y2+2x-4y+3=0(1).若圆c的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；(2).从圆c外一点p(x,y)向圆引切线pm，m为切点，o为座标原点，且pm求使pm最小的点p的坐标。
y=2±x,x+y+1=0或x+y-3=0，p-,⎪(练习3：已知∆abc三个顶点坐标a(0,0),b(4,0),c(0,3)，点p是它的内切圆上一点，求以pa,pb,pc为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解：∆abc的三边长分别为3,4,5∴∆abc是以a为直角顶点的rt∆∴内切圆的圆心(1,1)，半径r=1∴内切圆的方程为(x-1)+(y-1)=1即x+y-2x-2y+1=0设p点坐标为(x,y)pa+pb+pcx+y2+(x-4)+y2+x2+(y-3)⎪=(11-x)0≤x≤2∴当x=0时，smax=119π；当x=2时，smin=π22练4：设圆满足用户：(1)封盖y轴税金弦长为2；(2)被x轴分为两圆弧，其弧长比为3:1。
点到曲线的距离的最大值和最小值
点到曲线的距离是微积分中一个重要的概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
本文将从最基本的概念开始，逐步深入探讨点到曲线的距离的最大值和最小值，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。
1. 点到曲线的距离的定义点到曲线的距离是指平面上一个点到曲线的最短距离，它可以用来描述点和曲线之间的关系。
在数学中，通常将曲线表示为函数的图像，而点到函数的距离则可以通过数学公式来计算。
2. 点到曲线的距离的公式假设有一个曲线表示为函数y=f(x)，而点的坐标为(x0,y0)，那么点到曲线的距离可以由以下公式表示：d = |f(x0) - y0| / √(1 + (f'(x0))^2)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
这个公式可以用来计算点到曲线的距离。
3. 点到曲线的距离的最大值和最小值在某些情况下，我们希望找到点到曲线的距离的最大值和最小值。
这在实际问题中是非常有意义的，比如在工程领域中，我们希望找到一条最优路径，使得点到曲线的距离最小或最大。
为了找到点到曲线的距离的最大值和最小值，我们需要使用微积分的相关知识。
4. 寻找点到曲线的距离的最大值和最小值的方法要找到点到曲线的距离的最大值和最小值，我们需要首先求出点到曲线的距离的表达式，然后求出这个表达式的导数，并令导数等于0，求得导数为0时的x值。
我们将这些x值代入点到曲线的距离的表达式中，得到对应的y值，从而得到点到曲线的距离的最大值和最小值。
5. 举例说明我们希望找到点(1,1)到曲线y=x^2的距离的最小值和最大值。
我们将点到曲线的距离的表达式代入公式中，求出距离的表达式为：d = |x^2 - 1| / √(1 + (2x)^2)然后求出这个表达式的导数：d' = (2x(x^2-1))/((1+4x^2)^(3/2))我们令导数等于0，解得x=±1/√3。
将这些x值代入距离的表达式中，得到点到曲线的距离的最小值和最大值分别为2/3和2√3/3。
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几何中距离问题专题练习
一.知识要点：
1.两点之间， 最短.
2.直线外一点与直线上各点联结的所有线段中， 最短.
3.到角两边距离相等的点在 ；到线段两个端点距离相等的点在 .
二.综合练习：
1.如图，请你画出点A 到BC 的最短距离，点B 到AC 的最短距离，点C 到AB 的最短距离.
2.如图，请你在∠AOB 的内部确定点P ，使得点P 到∠AOB 的两边距离相等，并且到E 、F 两点的距离相等.
3.如图，已知直线l 和l 外两点A 、B ，试在直线l 上确定点P ，使得
（1）P 到A 、B 两点距离相等.（还可以表述为PA=PB 、│PA-PB │最小等）
（2）P 到A 、B 距离之和最短.（还可以表述为PA+PB 最短、△ABP 周长最小等）
（3）P 到A 、B 距离之差最大.（还可以表述为│PA-PB │最大等）
4.已知，如图，河的两岸有两个村庄A 、B ，试在河上确定小桥MN （与两岸垂
直），使得从A 村通过小桥MN 到达B 村距离最短.
C
A
B O l B A l B A l
B
A
l
B
A
l
B
A l
B A 河B A
5.如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地MN 边某一处牧马，再到河NL 边饮马，然后回到帐篷。
请你帮他确定这一天的最
短路线.
6.台阶问题
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A
和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
7.圆柱、圆锥问题
（1）有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A
行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
（2）有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？
（3）桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的
B 处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至
少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
1．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬
行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
M L
N A
5
A
C
A B B
O P M
O M ' M P A ． O M ' M P B ．
O
M ' M P C ． O M ' M P D ．
8.正方体问题
（1）已知，如图是一个棱长为2cm 的封闭的正方形纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（ ），最近距离是 cm.
A ．A —
B —
C —G B ．A —C —G C ．A —E —G
D ．A —F —G
（2）如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从一条棱的中点A
表面爬到顶点B 的最短距离是 .
9.长方体问题
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对
角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
2.探究螺旋形彩带的长度.
元旦快到了，某班的学生为了美化校园环境，计划在校园内的10棵树上绕上一些彩带.
（
1）若树的截面周长为50cm ，树高120cm ，现用彩带从根A 点开始沿侧面绕树一周到B 点 （如图1），学生应至少准备彩带多长？
（2）若树的截面周长仍为50cm ，树高为240cm ，现用彩带从根C 点开始沿侧面均匀地绕树 两周到D 点（如图2），学生应至少准备彩带多长？
（3）若树的截面周长仍为50cm ，树高为120acm ，现用彩带 从根M 点开始沿侧面均匀地 绕树a 周到N 点（如图3），学生应至少准备彩带多长？试写出你的计算方法.
B
G
D
B
P
D C
B
A
10.已知：△ABC，
（1）请你画出到三个顶点距离相等的点（2）请你画出到三边所在直线距离相等的点
11.（1）已知：如图，正方形ABCD，P是对角线AC上的一点，E在BC边上，
请在图中作出使得PB+PE最小的点P的位置.
（2）已知：如图，等腰直角三角形ABC中AB=BC=4，D是BC上一点，且BD=1，
P是斜边AC上的一个动点，求△BPD周长的最小值.
11.已知点A（1，2）和点B（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：
（1）在x轴上找一点C，（2）在y轴上找一点C，使得AC BC
+的值最小；使得△ABP周长最小；
（3）在直线x=4上找一点C，（4）在直线x=4上找一点C，使得AC BC
+的值最小；使得AC BC
-的值最大；。