24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)
《24.1.2垂直于弦的直径》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《垂直于弦的直径》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“垂直于弦的直径”，是初中数学中关于圆的基础知识之一。
通过本课的学习，学生将掌握垂直于弦的直径的定理及其应用，为后续学习圆的性质、计算以及解决实际问题打下基础。
二、学习目标1. 理解垂直于弦的直径的定理，并能够运用该定理解决简单的几何问题。
2. 掌握通过作图、计算等方式，验证垂直于弦的直径定理的正确性。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直观能力，提高学生的数学思维能力。
三、评价任务1. 评价学生对垂直于弦的直径定理的理解程度，通过课堂提问和互动进行观察和记录。
2. 评价学生运用定理解决问题的能力，通过布置相关练习题，观察学生的完成情况和正确率。
3. 评价学生的作图和计算能力，通过学生的作图和计算过程及结果进行评价。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出本课的学习主题——垂直于弦的直径。
2. 新课讲解：（1）讲解垂直于弦的直径的定理，包括定理的内容和定理的应用。
（2）通过作图、计算等方式，验证定理的正确性。
（3）举例说明定理在解决实际问题中的应用。
3. 学生活动：学生分组进行作图、计算等实践活动，加深对定理的理解和掌握。
4. 课堂小结：总结本课学习的重点和难点，强调垂直于弦的直径定理的重要性和应用价值。
五、检测与作业1. 检测：通过布置相关的练习题，检测学生对垂直于弦的直径定理的理解和运用能力。
2. 作业：布置适量的练习题和作业，包括作图、计算和应用等方面，要求学生认真完成并加以复习。
六、学后反思1. 本课的教学重点和难点是否把握得当？是否需要根据学生的实际情况进行调整？2. 学生在学习过程中是否存在困惑或疑问？如何帮助学生解决这些问题？3. 本课的教学方法和手段是否有效？是否需要采用更多的互动式教学或实践式教学方式？4. 学生在作图、计算和应用等方面是否存在不足？如何加强这方面的训练和提高？通过本课的反思，教师可以更好地了解学生的学习情况和自己的教学效果，从而调整教学策略，提高教学质量。
24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)
A
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C B D
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 2 4 到AB的距离是___________cm，AB=_________cm. A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
小 结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径） 直径平分弦所对的弧
OEA 90
EAD 90
ODA 90
C
∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
垂直于弦的直径(第一课时)教案
24．1．2垂直于弦的直径（一）教案授课班级：初三（3）班授课形式：同课异构一、教材分析1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：（1）让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
（2）让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：（1）通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
（2）结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。
三、教学关键圆的轴对称性的理解四、教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助知识点试题化、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：（一）复习引入1、请回答：（1）什么叫做等弧？（2）什么是轴对称图形？（3）等腰三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴是什么？2、情景问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石孔桥。
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？①、实物图形是：②、请根据实物图形画出几何图形：二、引入新课（一）、请你拿出一张自己准备的圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（1）圆是轴对称图形。
数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)教学设计
活动 3：定理的基础应用 1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是（ ）
3
2、如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10cm,OE=6cm,则 AB=
cm。
3、如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径
教学内容 分析
理第 1 课的定理，为考察 重点，所以至少需要 2 课时来探究。垂径定理的推论（知二推三）和灵活运 用及更深入的应用和拓展将在第 2 课时进行研究、探讨。
知识能力目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质及证明， 能够利用垂径定理的性质求线段的长、证明线段相等、角相等等问题 过程与方法：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，
反馈评价
做的不太好，需要老师评讲才会。
评价量规
1、本节课在课堂教学中采取了自主、合作、探究学习的方式，由学生动手操 作、讨论观察得结果从而激发学生学习的兴趣。 2、将问题抛出引导学生进一步思考、小组讨论发现证明垂径定理的方法，从而归纳得 出垂径定理加深对垂径定理的理解，突出了重点。 3、基本应用的 3 题简单且典型，引导学生联系弦、半径、弦心距等条件通过做辅助线构造 直角三角形解决问题，第 4 题主要利用垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用，通 过这种有梯度的训练加强了学生对垂径定理，突破了难点。
1
2
图1 图2
在完成上述的操作过程后，观察图形你能发现有相等的线段和相等的弧吗？如有， 能证明吗？(探究垂径定理) 学生活动设计：如图 2 所示，连接 OA、OB，得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD ⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是直角三角形，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全 等，则 AM＝BM．所以 CD 是 AB 的垂直平分线，就是说圆上的任意一点 A 在圆上都有 关于直线 CD 的对称点 B，因此⊙O 关于直径 CD 对称。由于⊙O 关于直径 CD 对称，所 以 A 点和 B 点关于 CD 对称， 当圆沿着直径 CD 对折时， 点 A 与点 B 重合， AC 与 BC
24.1.2垂直于弦的直径
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在 的直线 既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB， ． O 垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形ADOE是 正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴 中心 圆心
24.1.2垂直于弦的直径
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋代建造 的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一 条直径对折，重复几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？
弧： BC, BD AC AD
C
·
O E A D B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， C ， D A A 分别与 B C 、 B D 重合．
C
A AE＝BE， D B D
， C BC A 即直径CD平分弦AB，并且平分 B 及 C B A A
C
37 . 4 18 . 7 ,
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A R O
D
B
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．
我们就得到下面的定理：
·
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
我们还可以得到结论：
E
A D
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
这个定理也叫垂径定理，利用 这个定理，你能平分一条弧吗？
解决求赵州桥拱半径的问题？ 在图中 AB=37.4，CD=7.2，
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)16995
(2)⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的 距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
A
O
E
B
练习二：
(3)半径为2cm的⊙O中,过半径中点E且 垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm . A
O
E
B
(4)已知AB是⊙O的弦,OB=4cm,∠ABO=30°,
则O到AB的距离是 2 cm,AB= 4 3 cm.
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
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C O A D M B
；
分层作业
基础题 2.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，且弧BC= 弧BD，CD＝6，AB＝8，则EB的长为 .
A O E D B C
3.如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm， 则圆心O到AB的距离是 .
分层作业
提高题 4.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm，则AC 的长为 cm.
O A C D B
5.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心， OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，• 垂足为E，若DE=3， 则BC=________.
分层作业
A B O
提高练习：
(5)如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴
交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是
y C A D O
(0, 5 ) .
M
B
x
课堂小结
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦； 则它有以下性质（3）平分弦；（4）平分弦 所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.
提高题 6.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G， B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm， 则EF=___cm.
7.如图，AB是⊙O的弦，C、D是AB边延长线上的 点，且AC＝BD，求证：△OCD是等腰三角形.
O C A B D
（5）平分弦所对的劣弧
练习
在下列图形中，哪些图形可用垂径定理
找到相等的线段或相等的圆弧？
(1)过圆心 (3)平分弦 思考：
(2)垂直于弦 (4)平分弦所对优弧
讨论
(5)平分弦所对的劣弧
C
1.若知道“过圆心”和“平分弦”，
A
你是否能得到另外三个结论？
O
D
O B
推论 过圆心平分非直径的弦的直线 2.若知道“垂直于弦”和“平分弦”， 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . O 你能得到另外三个结论吗？
A O B
(2)⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的 距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
A
O
E
B
练习二：
(3)半径为2cm的⊙O中,过半径中点E且 垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cmB是⊙O的弦,OB=4cm,∠ABO=30°,
则O到AB的距离是 2 cm,AB= 4 3 cm.
基本图形
2.在圆中解决有关弦的问题时， 经常是连结半径,过圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等 辅助线，为应用垂径定理创造条件. 半弦
半径
A
E
. O
B
弦心距
弦心距2+半弦2=半径2
测验：如图， ⊙ O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求弦AB的长.
E
O A D B C
分层作业
C
观察图形，回答问题： (1)图中有哪些相等的线段？ (2)图中有哪些相等的弧？ (3)为什么它们会相等？
A
E
O B
D
垂直于弦的直径 C 垂径定理 垂直于弦的直径
O
A
平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
B 问题：此定理的条件和结论分别是什么？
E D
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
例题解析
例：如图,在⊙O中,弦AB=8㎝,圆心O 到AB的距离OE=3㎝,求⊙O的半径. 5cm
4 E A 5 .3
B
O
反思： 在⊙ O中, 若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中, 任意知道两个量，可根据勾股 定理求出第三个量.
E
O A D C B
练习：
(1)半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm, 那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm .
第二十四章
圆
24.1 圆
24.1.2 垂直于弦的直径 第1课时
测验(3分钟)
求图中m的值：
30
A
15
8
m
m
25 24
B 2
m
C
观察与猜想
沿着圆的任意一条直径对折，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
C
O
D
圆是轴对称图形， 它的对称轴是任意一条过圆心的直线.
观察与猜想
作弦AB⊥直径CD于点E.(AB是非直径的弦)