最新九年级数学必考要点分类汇编精华版分类讨论问题

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最新九年级数学必考要点分类汇编精华版中考压轴题综合知识的理解与应用)

最新九年级数学必考要点分类汇编精华版九年级数学中考压轴题专题复习——综合知识的理解与应用一．解答题（共11小题，满分110分，每小题10分）1．（10分）已知：如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．2．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．3．（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．4．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，0）和点B（3，﹣2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CE∥AB．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线CE的表达式；（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标．5．（10分）已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．（1）求△ABC的面积；（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．6．（10分）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm 的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．（1）当点P在线段AO上运动时．①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．8．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（10分）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S=S1﹣S2，试探究S的最小值．10．（10分）已知二次函数y=﹣x2+（k+1）x﹣k的图象经过一次函数y=﹣x+4的图象与x轴的交点A．（如图）（1）求二次函数的解析式；（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l 截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）答案与评分标准一．解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1．（10分）已知：如图，抛物线与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线y=ax2+2ax+c的解析式；（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．考点：二次函数综合题。

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最新九年级数学必考要点分类汇编精华版
专题六：分类讨论问题
【知识梳理】
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。

对于因存在一些不确定因素、无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【课前预习】
1、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
2、矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为 cm 2
.
3、若函数y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋
x ，2x x ＞，
则当函数值y ＝8时，自变量x 的值
是 .
4、如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段
BC 上一定点，且MC ＝8.动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有________个．
5、如图，正方形ABCD 的边长是2，BE ＝CE ，MN ＝1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动。

当DM ＝时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似。

【例题精讲】
例1、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
例2、如图，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11 cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1 cm ，⊙A 以每秒2 cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间
的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后秒两圆相切．
例3、如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动
到点B时，点P随之停止运动。

设运动时间为秒。

⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
例4、已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k
(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
例5、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2 2. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE ＝2EB ，点O 是直线MN 上的一个动点，以O 为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ 相切，同时又与矩形ABCD 的某一边相切. 问满足条件的⊙O 有几个？并求出其中一个圆的半径.
【巩固练习】
1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )
A ．(4,0)
B ．(1,0)
C ．(－2 2，0)
D ．(2,0)
2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1 cm 的速度沿B →A →C 的方向运动，设运动的时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为________．
3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC ＝60°.若动点E 以2 cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s)(0≤t <3)，连接EF ，当t 值为多少时，△BEF 是直角三角形．
【课后作业】班级姓名一、必做题：
1．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2
－6x ＋8＝0的解，则这个三角
形的周长是 ( )
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
2．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知⊙O的直径AB＝40，弦CD⊥AB于点E，且CD＝32，则AE的长为 ( )
A．12 B．8 C．12或28 D．8或32
4．如图，⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3，
当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( )
A．2 B．7
C．2或5 D．2或8
5．已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_______cm2．
6．在平面直角坐标系中，若点M(－1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是________．7．已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为_______．
8．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2．则⊙O上有且只有_______个点到直线AB的距离为3．
9．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．
10．一次函数y x x轴、y轴交于A、B两点，点C(a，0)(a<0)使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数解析式．
11．如图，直线l1的函数解析式为y＝3x＋6，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为(8，0)．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动的时间为t(1<t<10)秒．
(1)求直线l2的函数解析式；
(2)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
(3)试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？
二、选做题：
12、已知实数a 、b 满足,023,02322=--=--b b a a 试求代数式a
b
b a +的值．
13、已知关于x 的方程()01122
2=++--k x k x 的两根21x x 、满足321=+x x ，求x 的
值．
14．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建
立平面直角坐标系，已知OA ＝3，OC ＝2，E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标；
(2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴于点P ，且以E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
(3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
15、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、
M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．。

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