2008-2019年北京中考数学分类汇编：圆(pdf版)
2008-2019年北京中考数学分类汇编：探究性试题之几何篇(pdf版)
2008～2019北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇)一．解答题（共7小题）1．已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．3．阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P点第一次与D点重合前与边相碰次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm；（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为．4．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE 即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．5．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．6．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ 的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ＝，则AD的长为．7．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD 交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长．2008～2019北京中考数学分类汇编(探究性试题之几何篇)参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）【解答】解：（1）∵每个小三角形的面积是∴重叠三角形A'B'C'的面积为；（2）重叠的等边三角形A'B'C'的边长|8﹣m﹣m|＝|8﹣2m|，根据S＝ab sin C得：面积是：••|8﹣2m|2＝（4﹣m）2，用含m的代数式表示重叠三角形A'B'C'的面积为（4﹣m）2，m的取值范围为≤m＜4．2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．【解答】解：（1）拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD（如图3）．（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ的面积为．3．阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P点第一次与D点重合前与边相碰5次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是24cm；（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为4：5．【解答】解：（1）5；（2）24；解题思路示意图：（2）AB：AD＝4：5．4．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE 即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．【解答】解：△BDE的面积等于1．（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP．（2）平移AF到PE，可得AF∥PE，AF＝PE，∴四边形AFEP为平行四边形，∴AE与PF互相平分，即M为PF的中点，又∵AP∥FN，F为AB的中点，∴N为PC的中点，∴E为△PFC各边中线的交点，∴△PEC的面积为△PFC面积的连接DE，可知DE与PE在一条直线上∴△EDC的面积是△ABC面积的所以△PFC的面积是1××3＝∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．5．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是0；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是3；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．【解答】解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；故答案为：0，3，；（2）根据题意得，，解得，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+＝x，y+2＝y，解得x＝1，y＝4，所以，点F的坐标为（1，4）．6．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ 的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为a；（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ＝，则AD的长为．【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：a•a＝a2，则拼成的新正方形面积为：4×a2＝a2，即与原正方形ABCD面积相等，∴这个新正方形的边长为a；（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，＝S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF＝4S△ARE＝4××12＝2；∴S正方形MNPQ（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF＝AC＝a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝SF＝a，在Rt△RMF中，RM＝MF•tan30°＝a×＝a，＝a•a＝a2．∴S△RSF过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝AS＝x，则AN＝AD•sin30°＝x，SD＝2ND＝2AD cos30°＝x，＝SD•AN＝•x•x＝x2．∴S△ADS＝3×a2＝a2，∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和＝3S△RSF＝S△ADS+S△CFT+S△BEW＝3S△ADS，∴S△RPQ∴＝3×x2，得x2＝，解得x＝或x＝（不合题意，舍去）∴x＝，即AD的长为．故答案为：a；．7．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为75°，AC的长为3．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD 交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长．【解答】解：∠ABC+∠ACB＝∠ECD+∠ACB＝∠ACE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∠E＝75°，BD＝2DC，∴AD＝2DE，AE＝AD+DE＝3，∴AC＝AE＝3，∠ACE＝75°，AC的长为3．过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BAC＝90°＝∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴＝2，∴EF＝1，AB＝2DF．在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝75°，AC＝AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，在△AFD中，AF＝2+1＝3，∠FAD＝30°，∴DF＝AF tan30°＝，AD＝2DF＝2．∴AC＝AD＝2，AB＝2DF＝2．∴BC＝＝2．。
北京市2008-2019年中考数学分类汇编圆pdf含解析
2008～2019北京中考数学分类(圆)一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．2008～2019北京中考数学分类(圆)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半径为．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．＝AE•DM，只要求出DM即首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵＝，∴，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，∴BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r，∴ON＝r，AN＝DN＝r，∴EN＝2+，BE＝AE＝，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，即（）2+（2+）2＝r2+，∴r＝2，∴OE2＝+25＝28，∴OE＝2．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF＝CO，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝＝2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴＝，∴AB•BF＝AF•BH，∴BH＝＝＝．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO＝∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，∴∠APO＝∠EDO，∴∠EPD＝∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA＝PC＝6，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，∴CD＝4，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△OCD中，OC＝OA＝3，OD＝5，∵∠EPD＝∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴＝＝＝2，∴DE＝2OE在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝52，∴OE＝．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．【解答】（1）证明：∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°．∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°．∴∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，∴CD＝2．∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝90°，∴DE＝DC sin30°＝．∵∠B＝45°，∴DB＝2．方法2：连接BO∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°∵OD＝OB＝2∴△BOD是等边三角形∴BD＝OD＝2．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OD．∵OA＝OD∴∠A＝∠ADO∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°又∵∠CBD＝∠A∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝90°∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°∵AD：AO＝8：5∴∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∵BC＝2，∴解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH＝DH＝∵AD：AO＝8：5∴cos A＝∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∴∵BC＝2∴。
2019年北京市初三一模分类汇总-圆
1PA1、（海淀）2、（西城）23.如图,AB 是O ⊙的直径, CB 与O ⊙相切于点B.点D 在⊙O 上,且BC=BD,连接CD 交⊙O于点E.过点E 作EFAB ^于点H ，交BD 于点M ，交⊙O 于点F.（1）求证：∠MED=∠MDE ；（2）连接BE ，若ME=3，MB=2，求BE 的长3、（东城）4、（朝阳）5、（昌平）6、（密云）7、（门头沟）23．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 的延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ．（1）求证：DB 平分∠PDC ； （2）如果DC = 6，3tan 4P ∠=，求BC 的长．8、（通州）23． 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点E ，在弦BC 上取一点F ，使AF =AE ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ．（1）求证：B CAD ∠=∠；（2）若CE ＝2，30B ∠=︒，求AD 的长．243tan CPB ∠=CQ CP ⊥BA9、（延庆）24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点P 是AB 上一动点，且与点C 分别位于直径AB 的两侧， ，过 点C 作 交PB 的延长线于点Q ；（1）当点P 运动到什么位置时，CQ 恰好是⊙O 的切线？ （2）若点P 与点C 关于直径AB 对称，且AB =5，求此时CQ的长．10、（燕山） 11、（丰台）12、（石景山）22．如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD于点E ，延长EB 交⊙O 于点F ，连接AC ，AF ． （1）求证：12CE AF =； （2）连接BC ，若⊙O 的半径为5，tan 2CAF ∠=，求BC 的长．13、（怀柔）14、（房山）22. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点 D ，E ，过点B 作⊙O 的切线， 交 AC 的延长线于点F ．(1) 求证：∠CBF =12∠CAB ； (2) 若CD = 2，1tan 2CBF ∠=，求FC 的长．15、（平谷）24．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，连接BC 交⊙O 于点D ，点E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ． （1）求证：AC=CF ；（2）若AB =4，AC =3，求∠BAE 的正切值．AC备用图16、（大兴）17、（顺义）3。
(完整版)北京市2019年初三数学一模试题分类汇编——圆
2019 年北京市各区一模数学试题分类汇编——圆（房ft ）22. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC ，BC 于点 D ，E ，过点 B 作 ⊙O 的切线， 交 AC 的延长线于点 F ．(1) 求证：∠CBF = 1∠CAB ；2(2) 若 CD = 2， tan ∠CBF = 1，求 FC 的长．2（门头沟）23．如图，点 D 在⊙O 上，过点 D 的切线交直径 AB 的延长线于点 P ，DC ⊥AB 于点 C ． （1） 求证：DB 平分∠PDC ；（2） 如果 DC = 6， tan ∠P = 3，求 BC 的长．4AP3 DFEO（密云）24.如图，AB 为⊙O 的直径，E 为 OB 中点，过 E 作 AB 垂线与⊙O 交于 C 、D 两点.过点 C 作 ⊙O 的切线 CF 与 DB 延长线交于点 F . （1） 求证：CF ⊥DF（2） 若 CF = ，求 OF 长.FA（平谷）24．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A ，连接 BC 交⊙O 于点 D ，点 E 是 BD 的中点，连接 AE 交 BC 于点F ． （1） 求证：AC=CF ； （2） 若 AB =4，AC =3，求∠BAE 的正切值．CACOEBD（2）连接BC，若⊙O的半径为5 ，tan ∠CAF = 2 ，求BC的长．（通州）23．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点E，在弦BC 上取一点F，使AF=AE，连接AF 并延长交⊙O 于点D．（1）求证：∠B =∠CAD ；（2）若CE＝2，∠B = 30︒，求AD 的长．O5AOD CE（延庆）24．C 如Q 图⊥ C ，P AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 P 是 AB 上一动点，且与点 C 分别位于直径AB 的两侧， tan ∠CPB = 4，过点 C 作 CQ ⊥CP 交 PB 的延长线于点 Q ；3（2）若点 P 与点 C 关于直径 AB 对称，且 AB =5，求此时 CQ 的长．CAB（燕ft ）22．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点 D 在 AC 边上，以 AD 为直径作⊙O 交 BD 的延长线于点 E ，CE ＝BC ．(1) 求证：CE 是⊙O 的切线；(2) 若 CD ＝2，BD ＝ 2 ，求⊙O 的半径．（西城）23．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B．点 D 在⊙O 上，且BC=BD,连接CD 交⊙O 于点E.过点E 作EF⊥AB 于点H，交BD 于点M，交⊙O 于点F．（1）求证：∠MED=∠MDE；（2）连接BE，若ME=3，MB=2，求BE 的长．（顺义）22．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，点P 在AB 的延长线上，且∠A=∠P=30．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）连接BC，若AB=4，求△PBC 的面积．CA P3 （丰台）22．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是 AE 的中点，过点 C 作⊙O 的切线交 BA的延长线于点 G ，过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，交 AE 于点 F ． （1） 求证：GC ∥AE ；（2） 若 sin ∠EAB = 3，OD = ，求 AE 的长．5（东城）23．如图，AB 与⊙O 相切于点 A ，P 为 OB 上一点，且 BP ＝BA ，连接 AP 并延长交⊙O 于点 C ，连接 OC ． （1） 求证：OC ⊥OB ； （2） 若⊙O 的半径为 4，AB ＝3，求 AP 的长．3 CA E O（海淀）22．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 E ，在⊙O 的切线 CM 上取一点 P ，使得 ∠CPB =∠COA ． （1） 求证：PB 是⊙O 的切线； （2） 若 AB 4 ，CD =6，求 PB 的长．PMBD。
2019年1月北京各区初三期末考试圆分类
如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线（2）若AC ∥DE ，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O 直径的长 2如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC . 过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE = AB ，连接BE ，交⊙O 于点F 请补全图形并解决下面的问题： （1）求证：∠BAE =2∠EBD （2）如果AB = 5，55sin =∠EBD ，求BD 的长 3如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线 上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F （1）求证：PC =PF（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =3tan 4P =，求FB 的长E如图，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线BM ，点 A ，C ，D 分别为O 的三等分点，连接AC ，AD ，DC ， 延长AD 交BM 于点E ， CD 交AB 于点F. （1）求证：//CD BM（2） 连接OE ，若DE=m ，求△OBE 的周长 5如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的 两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂 足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点 （1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长 6如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，AD 与⊙O 交于点E(1) 求证：AC 平分∠DAB (2) 若AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，请写出求DE 长的思路BA如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，连接CO 并延长交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，连接BE ，连接AO（1）求证：AO ∥BE（2）若2=DE ，tan ∠BEO DO 的长8如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于F ，»»AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E （1）求证：△ACD 是等边三角形 （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长9如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于 点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC (1) 求证：PD 是⊙O 的切线(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长ADBEM OFCA如图，点O 是Rt △ABC 的AB 边上一点，∠ACB =90°， ⊙O 与AC 相切于点D ，与边AB ，BC 分别相交于点E ，F（1）求证：DE=DF （2）当BC =3，sin A =35时，求AE 的长 11如图，在ABE Rt ∆中，090=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交 AE 于点C ，CE 的垂直平分线FD 交BE 于点D 连接CD （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明 （2）若12=⋅AE AC ，求⊙O 的半径A如图，AB 是⊙O 的直径，ABC ∆内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交AC 于点E ，BC DF ⊥交BC 的延 长线于点F（1）求证：FD 是⊙O 的切线 （2）若BD=8，53sin =∠DBF 求DE 得长 13已知，如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交 直线AB 于点F（1）求证：CF 是⊙O 的切线 （2）若ED=3，EF=5，求⊙O 的半径（2019.1+++昌平+++初三上+++期末） （1）连接BD∵DC ⊥BE ∴∠BCD =∠DCE =90° ∴BD 是⊙O 直径 ∴∠DEC +∠CDE =90°∵∠DEC =∠BAC ∴∠BAC +∠CDE =90° ∵ BC BC = ∴∠BAC =∠BDC∴∠BDC +∠CDE =90° ∴DE 是⊙O 切线（2）∵AC ∥DE ，BD ⊥DE ∴BD ⊥AC ∵BD 是⊙O 直径 ∴AF =CF ∴AB =BC =8 ∵BD ⊥DE ，DC ⊥BE ∴BD 2=BC ·BE=80 ∴BD =2（2019.1+++丰台+++初三上+++期末） 作图正确（1）证明：连接AF∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AFB =90° ∵AB = AE ∴∠BAE =2∠BAF ∵BD 是⊙O 的切线 ∴∠ABD =90° ∵∠BAF +∠ABF =90°，∠EBD +∠ABF =90° ∴∠BAF =∠EBD ∴∠BAE =2∠EBD （2）过点E 作EH ⊥BD 于H∵∠BAF =∠EBD ∴sin sin BAF EBD ∠=∠在Rt △ABF 中 ∵AB = 5 ∴BF = ∴2BE BF ==在Rt △EBH 中 ∴sin 2EH BE EBH =⋅∠= ∴BH=4 ∵EH ∥AB ∴EH DHAB DB =∴254DH DH =+，解得83DH = ∴203BD BH HD =+=H3（2019.1+++海淀+++初三上+++期末） （1）证明：如图，连接OC∵OE AB ⊥ ∴90EGF ∠=° ∵PC 与⊙O 相切于点C ∴=90OCP ∠° ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=° ∵OE OC = ∴E OCF ∠=∠ ∴EFG PCF ∠=∠ 又∵EFG PFC ∠=∠ ∴PCF PFC ∠=∠ ∴PC PF = （2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° ∴45BCH OBC ∠=∠=° 在Rt BHC △中，BC =可得sin 45BH BC =⋅°3=，cos 45CH BC =⋅°3= 在Rt BHP △中，3tan 4P =可得4tan BHPH P== ∴5BP == ∴7PC PH CH =+= ∴PF PC = ∴2FB PF PB PC PB =-=-= 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=° ∵OB OC = ∴45OBC OCB ∠=∠=° 在Rt OBC △中，BC = 可得sin 45OB BC =⋅°3= ∴3OE OB ==∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4GBO ∠=在Rt GBO △中，tan OG GBO GB ∠=，3OB = ∴95OG =，125GB =∴65EG OE OG =-= 在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=设3CH x =，则4PH x =，5PC x = ∵PC PF = ∴FH PF PH x =-= ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠= ∴EGF △∽CHF △ ∴13FG FH EG CH == ∴1235FG EG ==∴2FB GB FG =-=PPP方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ ∴1452A BOC ∠=∠=° 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH == 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x = ∴3AH CH x==，AC =∴7PA AH PH x =+= ∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒ ∴PCB PAC △∽△ ∴PB PC BC PC PA AC ==∵BC = ∴75x =，7PC =，5PB = ∵PF PC = ∴7PF = ∴2FB PF PB =-=方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒ ∴90BOC ∠=︒ 在RtOBC △中，BC =，OB OC = 可得3OB =∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =∴3tan 4MBO ∠=在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==可得94OM =，154BM = ∴214CM = 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==可得7PC =，354PM = ∴5PB PM BM =-=，7PF PC == ∴2FB PF PB =-=4（2019.1+++怀柔+++初三上+++期末）(1)∵点A 、C 、D 为O 的三等分点 ∴ AD DC AC == ∴AD=DC=AC ∵AB 是O 的直径 ∴AB ⊥CD ∵过点B 作O 的切线BM∴BE ⊥AB ∴//CD BM(2) 连接DB由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt △DBE 中，由DE=m ，解PB得BE=2m ，②在Rt △ADB 中利用30°角，解得AB=2，③在Rt△OBE 中，由勾股定理得出④计算出△OBE 周长为25（2019.1+++通州+++初三上+++期末） （1）连接OC∵ CBCB = ∴2BOC BAC ∠=∠ ∵∠ABD =2∠BAC ∴BOC ABD ∠=∠ ∴BD ∥OC ∵CE ⊥DB ∴CE ⊥OC ∴CF 是⊙O 的切线 （2）解：连接AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴BD ⊥AD ∵CE ⊥DB ∴AD ∥CF ∴F BAD ∠=∠ 在Rt △ABD 中 ∴3sin sin 5BD F=BAD AB ∠==. ∴18355AB = ∴6AB = ∴3OC = 在Rt △COF 中 ∴3sin 5OC F OF == ∴335OF = ∴5OF = 另解：过点O 作OG ⊥DB 于点G6（2019.1+++燕山+++初三上+++期末） (1)连接OC ，∵PD 切⊙O 于点C ∴OC ⊥PC ∵AD ⊥PC 于点D ∴OC ∥AD ∴∠1＝∠3 又∵OA ＝OC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠2 即AC 平分∠DAB(2) 思路一：连接CE 可证Rt △CDE ∽Rt △ACB ∴DE CEBC AB=在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠CAB ＝25，可求BC ＝4由∠1＝∠2，得EC ⌒＝BC ⌒ ∴EC ＝BC ＝4 故BC CEDE AB=g 可求 思路二：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ，可证四边形DEBF 是矩形 ∴DE ＝BF 由AB 为⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，且OC ⊥PC 可证∠BCF ＝∠3＝∠2，在Rt △ABC 中，由AB ＝10，sin ∠2＝25，可求BC ＝4 在Rt △BCF 中，由BC ＝4，sin ∠BCF ＝sin ∠2＝25可求BF ＝85 ∴DE ＝BF ＝857（2019.1+++房山+++初三上+++期末） （1） 证明：连结BC∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点∴=AB AC ,平分∠OA BAC ∴OA ⊥BC ∵CE 是⊙O 的直径 ∴∠CBE =90° ∴ OA ∥BE (2)∵OA ∥BE ∴∠BEO =∠AOC ∵tan∠BEO ∴tan∠AOC 在Rt △AOC 中,设OC =r,则AC, OA∴在Rt △CEB 中,EB ∵BE ∥OA ∴△DBE ∽△DAO ∴DE EB DO OA =2DO = ∴DO =3AA8（2019.1+++门头沟+++初三上+++期末）（1）∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线 ∴ AB ⊥BM∵ CD ∥BM ∴AB ⊥CD ∴»»AD AC = ∵»»AD DC = ∴ »»»AD AC DC == ∴ AD =AC =DC ∴△ACD 是等边三角形 （2）连接BD ，如图∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90° ∵∠ABD =∠C =60°∴∠DBE =30° 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD =在Rt △ADB中，可得AB =∴ OB =在Rt △OBE 中，由勾股定理得OE =9（2019.1+++大兴+++初三上+++期末） （1）连接OD∵OD =OA ∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90° ∴∠ODA +∠ADC = 90° ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90° ∴PD ⊥OD ∵D 在⊙O 上 ∴PD 是⊙O 的切线（2） ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90° ∵CD ⊥AB 于点C∴∠DOC +∠CDO =90° ∴∠PDC =∠DOC 4tan 3PDC ∠=4tan 3DOC ∴∠= 设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152∴BC=1210（2019.1+++平谷+++初三上+++期末）无答案ABEM ABEMB11（2019.1+++朝阳+++初三上+++期末）12（2019.1+++西城+++初三上+++期末）13（2019.1+++顺义+++初三上+++期末）。
中考数学分类汇编数与式pdf含解析
2008~2019 北京中考数学分类汇编(数与式)一．选择题（共16 小题）1．4 月24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000 米，将439000 用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×1032．如果m+n＝1，那么代数式（+ ）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞04．如果a﹣b＝2 ，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．45.若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）A．x＝0 B．x＝4 C．x≠0 D．x≠46.实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞07．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b9．如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣10．实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d 11．2 的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．12．﹣2 的相反数是（）A．﹣B．﹣2 C．D．2 13．若|x+2|+ ，则xy 的值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6 14．把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）215.﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．16．﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣二．填空题（共12 小题）17.分式的值为0，则x 的值是．18.若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．19.写出一个比3 大且比4 小的无理数：．20．分解因式：5x3﹣10x2+5x＝．21.分解因式：ax4﹣9ay2＝．22.在函数y＝中，自变量x 的取值范围是．23.因式分解：a3﹣ab2＝．24.若有意义，则x 的取值范围是．25．分解因式：m3﹣4m＝．26．分解因式：a3﹣10a2+25a＝．﹣2sin45°﹣（ ）﹣1．数式 27. 分解因式：mn 2+6mn +9m ＝ ．28. 分解因式：ab 2﹣4ab +4a ＝． 三．解答题（共 20 小题）29．计算：|﹣ |﹣（4﹣π）0+2sin60°+（ ）﹣1． 30．解不等式组：31．计算 4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|32．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．33．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．34．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+| ﹣2|+4sin60°．35．已知 2a 2+3a ﹣6＝0．求代数式 3a （2a +1）﹣（2a +1）（2a ﹣1）的值． 36．计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣ |37．已知 x ﹣y ＝，求代数式（x +1）2﹣2x +y （y ﹣2x ）的值．38．计算： ﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣ ．39．已知 x ﹣3y ＝0，求•（x ﹣y ）的值．40．计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣ ．41．已知 x 2﹣5x ＝14，求（x ﹣1）（2x ﹣1）﹣（x +1）2+1 的值．42. 计算： ． 43. 计算：．44．已知 a 2+2ab +b 2＝0，求代数式 a （a +4b ）﹣（a +2b ）（a ﹣2b ）的值．45．计算：（π﹣3）0+46．已知 ，求代 的值．47．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．48．已知 x 2﹣4x ﹣1＝0，求代数式（2x ﹣3）2﹣（x +y ）（x ﹣y ）﹣y 2 的值．2020 年中考专题训练(数与式)参考答案与试题解析一．选择题（共16 小题）1．4 月24 日是中国航天日.1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000 米，将439000 用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【解答】解：将439000 用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．2．如果m+n＝1，那么代数式（+ ）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1 时，原式＝3．故选：D．3.实数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A 不正确；又∵c＞b，∴c﹣b＞0，∴B 正确；又∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴C 不正确；又∵a＜﹣3，c＜3，∴a+c＜0，∴D 不正确；故选：B．4.如果a﹣b＝2 ，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当a﹣b＝2时，原式＝＝，故选：A．5.若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）A．x＝0 B．x＝4 C．x≠0 D．x≠4 【解答】解：由代数式有意义可知：x﹣4≠0，∴x≠4，故选：D．6.实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0 【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A 不符合题意；B、bd＜0，故B 不符合题意；C、|a|＞4＝|d|，故C 符合题意；D、b+c＜0，故D 不符合题意；故选：C．7．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：（a﹣）•＝＝＝a（a+2）＝a2+2a，∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴原式＝1，故选：C．8.实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；D、由选项C 可得，此选项正确．故选：D．9.如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵a+b＝2，∴原式＝•＝a+b＝2故选：A．10.实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d【解答】解：根据图示，可得3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a．故选：A．11．2 的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【解答】解：根据相反数的定义可知：2 的相反数是﹣2．故选：B．12.﹣2 的相反数是（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【解答】解：﹣2 的相反数是2，故选：D．13.若|x+2|+ ，则xy 的值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+ ＝0，∴x+2＝0 且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．14.把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）2【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，＝x（x2﹣2xy+y2），＝x（x﹣y）2．故选：D．15.﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是．故选：D．16.﹣的倒数是（）A.B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，∴﹣的倒数是﹣．故选：D．二．填空题（共12 小题）17.分式的值为0，则x 的值是 1 ．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0 且x≠0，∴x＝1．故答案为1．18.若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x≥0 ．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．19.写出一个比3 大且比4 小的无理数：π．【解答】解：写出一个比3 大且比4 小的无理数：π，故答案为：π．20．分解因式：5x3﹣10x2+5x＝5x（x﹣1）2．【解答】解：5x3﹣10x2+5x＝5x（x2﹣2x+1）＝5x（x﹣1）2．故答案为：5x（x﹣1）2．21．分解因式：ax4﹣9ay2＝a（x2﹣3y）（x2+3y）．【解答】解：ax4﹣9ay2＝a（x4﹣9y2）＝a（x2﹣3y）（x2+3y）．故答案为：a（x2﹣3y）（x2+3y）．22．在函数y＝中，自变量x 的取值范围是x≠．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x ．23．因式分解：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．24．若有意义，则x 的取值范围是x≥．【解答】解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．25．分解因式：m3﹣4m＝m（m﹣2）（m+2）．【解答】解：m3﹣4m，＝m（m2﹣4），＝m（m﹣2）（m+2）．26．分解因式：a3﹣10a2+25a＝a（a﹣5）2．【解答】解：a3﹣10a2+25a，＝a（a2﹣10a+25），（提取公因式）＝a（a﹣5）2．（完全平方公式）27．分解因式：mn2+6mn+9m＝m（n+3）2．【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．28．分解因式：ab2﹣4ab+4a＝a（b﹣2）2．【解答】解：ab2﹣4ab+4a＝a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）＝a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．三．解答题（共20 小题）29．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1+ +4＝3+ ．30．解不等式组：【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为x＜2．31．计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【解答】解：原式＝4×+1﹣3 +1＝﹣+2．32．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．【解答】解：原式＝4×+1﹣2 +2＝2 ﹣2 +3＝3．33．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|＝1+4×﹣2 ﹣1＝1 ﹣2 + ﹣1＝34．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝5+ ．35．已知2a2+3a﹣6＝0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6＝0，即2a2+3a＝6，∴原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．36．计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|【解答】解：原式＝1﹣5﹣+＝﹣4．37．已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．【解答】解：∵x﹣y＝，∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）＝x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy＝x2+y2﹣2xy+1＝（x﹣y）2+1＝（）2+1＝3+1＝4．38．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．【解答】解：原式＝＝．39．已知x﹣3y＝0，求•（x﹣y）的值．【解答】解：＝（2 分）＝；（4分）当x﹣3y＝0时，x＝3y；（6分）原式＝．（8分）40．计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣．【解答】解：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣＝＝5．41．已知x2﹣5x＝14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．【解答】解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1，＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1，＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1，＝x2﹣5x+1．当x2﹣5x＝14 时，原式＝（x2﹣5x）+1＝14+1＝15．42.计算：．【解答】解：原式＝3﹣1+4 ﹣﹣＝．43.计算：．【解答】解：原式＝2﹣2×+3 +1，＝2﹣+3 +1，＝2 +3．44．已知a2+2ab+b2＝0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．【解答】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）＝4ab+4b2∵a2+2ab+b2＝0∴a+b＝0∴原式＝4b（a+b）＝045．计算：（π﹣3）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝1+3 ﹣2×﹣8＝2 ﹣7．46．已知，求代数式的值．【解答】解：•（a﹣2b）＝•（a﹣2b）＝，∵ ＝≠0，∴a＝b，∴原式＝＝＝＝．47．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【解答】解：原式＝1+ ﹣2×+4＝5．48．已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，即x2﹣4x＝1，∴原式＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2＝3x2﹣12x+9＝3（x2﹣4x）+9＝3+9＝12．。
(9)2008～2019北京中考数学分类汇编(几何综合)
2008～2019北京中考数学分类(几何综合)一．解答题（共12小题）1．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．3．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．4．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．8．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．9．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．10．问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．11．在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD＝6，tan B＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．12．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．2008～2019北京中考数学分类(几何综合)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．3．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；（2）PQ＝MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，∴PQ＝MB．方法二：也可以延长AC到D，使得CD＝CQ．则易证△ADP≌△QBM．∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，即PQ＝MB．4．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．【解答】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如图2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）【解答】解：（1）①如图1；②解法一：如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△HDP与△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∵∠HPC+∠DPH＝180°，∴∠DAH+∠DPH＝180°，∴∠ADP+∠AHP＝180°，∴∠AHP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AH＝PH，AH⊥PH．解法二：如图1，连接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB＝∠BCQ＝90°，∴B、H、C、Q四点共圆，∴∠DHC＝∠BQC，由正方形的性质可知∠DHC＝∠AHD，由平移性质可知∠BQC＝∠APD，∴∠AHD＝∠APD，∴A、H、P、D四点共圆，∴∠PAH＝∠PDH＝45°，∠AHP＝∠ADP＝90°，∴△HAP是等腰直角三角形，∴AH＝PH，AH⊥PH．（2）解法一：如图2，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD＝CQ．作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°．设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝．∵tan17°＝，即tan17°＝，∴x＝．解法二：由（1）②可知∠AHP＝90°，∴∠AHP＝∠ADP＝90°，∴A、H、D、P四点共圆，又∠AHQ＝152°，∠BHQ＝90°，∴∠AHB＝152°﹣90°＝62°，由圆的性质可知∠APD＝∠AHB＝62°，在Rt△APD中，∠PAD＝90°﹣62°＝28°，∴PD＝AD•tan28°＝tan28°．6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAP＝∠BAP＝20°，∴∠EAD＝130°，∴∠ADF＝＝25°；（3）如图3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝2AB2．7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，即∠ABD＝30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，∴α＝30°．8．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM＝MC，∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，∴△CMQ是等边三角形，∴∠ACQ＝60°，∴∠CDB＝30°；（2）如图2，连接PC，AD，∵AB＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD，在△APD与△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，又∵PQ＝PA，∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠1，∠4＝∠PCQ＝∠PAD，∴∠PAD+∠PQD＝∠4+∠PQD＝180°，∴∠APQ+∠ADC＝360°﹣（∠PAD+∠PQD）＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠APQ＝180°﹣2α，∴2∠CDB＝180°﹣2α，∴∠CDB＝90°﹣α；（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．9．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F．∴CE＝CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA＝90°，又∵∠DGC＝∠BGA，∴∠BGA+∠DGA＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°∴△DAF为等腰三角形∴AD＝DF，∴CE＝CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°10．问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为相等；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为15°；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．【解答】解：（1）①当∠BAC＝90°时，∵∠BAC＝2∠ACB，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC（等角对等边）；②当∠DAC＝15°时，∠DAB＝90°﹣15°＝75°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DBA＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°，即∠DBC＝15°，∴∠DBC的度数为15°；③∵∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，∴∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，∴∠DBC：∠ABC＝1：3，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图2，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK＝AB，∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC，∵∠KCA＝∠BAC，∴∠KCD＝∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2＝∠4，KD＝BD，∴KD＝BD＝BA＝KC．∵BK∥AC，∴∠ACB＝∠6，∵∠BAC＝2∠ACB，且∠KCA＝∠BAC，∴∠KCB＝∠ACB，∴∠5＝∠ACB，∴∠5＝∠6，∴KC＝KB，∴KD＝BD＝KB，∴∠KBD＝60°，∵∠ACB＝∠6＝60°﹣∠1，∴∠BAC＝2∠ACB＝120°﹣2∠1，∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2＝180°，∴∠2＝2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．11．在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD＝6，tan B＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1＝∠CEF＝90°，EG1＝EP1，EF＝EC．∵∠G1EF＝90°﹣∠P1EF，∠P1EC＝90°﹣∠P1EF，∴∠G1EF＝∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE＝∠P1CE．∵EC⊥CD，∴∠P1CE＝90°，∴∠G1FE＝90度．∴∠EFH＝90度．∴∠FHC＝90度．∴FG1⊥CD．②按题目要求所画图形见图1，∵FG1⊥CD，∴直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC．∵AD＝6，AE＝1，tan B＝，∴DE＝5，tan∠EDC＝tan B＝．可得CE＝4．由（1）可得四边形EFHC为正方形．∴CH＝CE＝4．①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝x﹣4，＝×FG1×P1H＝．∴S△P1FG1∴y＝x2﹣2x（x＞4）．②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝4﹣x，＝×FG1×P1H＝．∴S△P1FG1∴y＝﹣x2+2x（0＜x＜4）．③当P1点与H点重合时，即x＝4时，△P1FG1不存在．综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝x2﹣2x（x＞4）或y＝﹣x2+2x（0＜x＜4）．12．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）∵CD∥GF，∠PDH＝∠PFG，∠DHP＝∠PGF，DP＝PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH＝PG，DH＝GF，∵CD＝BC，GF＝GB＝DH，∴CH＝CG，∴CP⊥HG，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝120°，∴∠PCG＝60°，∴PG：PC＝tan60°＝，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，＝；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH、CG．∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵AD∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF＝60°，∴∠HDC＝∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠HCD＝∠GCB∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）∵∠ABC＝60°∴∠DCB＝∠HCD+∠HCB＝120°∵∠HCG＝∠HCB+∠GCB∴∠HCG＝120°∴∠GCP＝60°∴＝tan∠GCP＝tan60°＝；（3）∵∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG＝90°﹣α，由（1）可知：PG：PC＝tan（90°﹣α），∴＝tan（90°﹣α）．。
北京2019年中考圆的证明与计算
北京中考圆的证明与计算1．（2018•北京）如图，A B是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P C，P D，切点分别为C，D，连接O P，C D．（1）求证：O P⊥C D；（2）连接A D，B C，若∠D A B＝50°，∠C B A＝70°，O A＝2，求O P的长．2．（2017•北京）如图，A B是⊙O的一条弦，E是A B的中点，过点E作E C⊥O A于点C，过点B作⊙O的切线交C E的延长线于点D．（1）求证：D B＝D E；（2）若A B＝12，B D＝5，求⊙O的半径．3．（2016•北京）如图，A B为⊙O的直径，F为弦A C的中点，连接O F并延长交̂A C于点D，过点D作⊙O的切线，交B A的延长线于点E．（1）求证：A C∥D E；（2）连接C D，若O A＝A E＝a，写出求四边形A C D E面积的思路．4．（2015•北京）如图，A B是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线B M，弦C D∥B M，交A B于点F，且̂D A=̂D C，连接A C，A D，延长A D交B M于点E．（1）求证：△A C D是等边三角形；（2）连接O E，若D E＝2，求O E的长．5．（2014•北京）如图，A B是⊙O的直径，C是̂A B的中点，⊙O的切线B D交A C的延长线于点D，E是O B的中点，C E的延长线交切线B D于点F，A F交⊙O于点H，连接B H．（1）求证：A C＝C D；（2）若O B＝2，求B H的长．6．（2018•海淀区一模）如图，A B是⊙O的直径，弦E F⊥A B于点C，过点F作⊙O的切线交A B的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取B E的中点M，连接M F，请补全图形；若∠A＝30°，M F=7，求⊙O的半径．7．（2018•昌平区二模）如图，A B是⊙O的直径，弦C D⊥A B于点E，过点C的切线交A B的延长线于点F，连接D F．（1）求证：D F是⊙O的切线；（2）连接B C，若∠B C F＝30°，B F＝2，求C D的长．8．（2019•淮阴区一模）如图，A B为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是̂B D的中点，过点C作A D的垂线E F交直线A D于点E．（1）求证：E F是⊙O的切线；（2）连接B C，若A B＝5，B C＝3，求线段A E的长．9．（2018•海淀区二模）如图，A B是⊙O的直径，M是O A的中点，弦C D⊥A B于点M，过点D作D E⊥C A交C A的延长线于点E．（1）连接A D，则∠O A D＝°；（2）求证：D E与⊙O相切；（3）点F在̂B C上，∠CD F＝45°，D F交A B于点N．若D E＝3，求F N的长．10．（2018•朝阳区二模）A B为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与A B的延长线相交于点D，C A＝C D．（1）连接B C，求证：B C＝O B；（2）E是̂A B中点，连接C E，B E，若B E＝2，求C E的长．11．（2018•西城区一模）如图，⊙O的半径为r，△A B C内接于⊙O，∠B A C＝15°，∠A C B ＝30°，D为C B延长线上一点，A D与⊙O相切，切点为A．（1）求点B到半径O C的距离（用含r的式子表示）．（2）作D H⊥O C于点H，求∠A D H的度数及C BC D的值．12．（2017•西城区二模）如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与A C延长线交于点D，连接B C，O E∥B C交⊙O于点E，连接B E交A C于点H．（1）求证：B E平分∠A B C；（2）连接O D，若B H＝B D＝2，求O D的长．13．（2017•仙游县模拟）如图，A B为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交B A的延长线交于点D，过点B作B E⊥B A，交D C延长线于点E，连接O E，交⊙O于点F，交B C于点H，连接A C．（1）求证：∠E C B＝∠E B C；（2）连接B F ，C F ，若C F ＝6，s i n ∠F C B =35，求A C 的长．北京中考圆的证明与计算参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2018•北京）如图，A B是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P C，P D，切点分别为C，D，连接O P，C D．（1）求证：O P⊥C D；（2）连接A D，B C，若∠D A B＝50°，∠C B A＝70°，O A＝2，求O P的长．【解答】解：（1）方法1、连接O C，O D，∴O C＝O D，∵P D，P C是⊙O的切线，∵∠O D P＝∠O C P＝90°，，在R t△O D P和R t△O C P中，{O D=O CO P=O P∴R t△O D P≌R t△O C P，∴∠D O P＝∠C O P，∵O D＝O C，∴O P⊥C D；方法2、∵P D，P C是⊙O的切线，∴P D＝P C，∵O D＝O C，∴P，O在C D的中垂线上，∴O P⊥C D（2）如图，连接O D，O C，∴O A＝O D＝O C＝O B＝2，∴∠A D O ＝∠D A O ＝50°，∠B C O ＝∠C B O ＝70°，∴∠A O D ＝80°，∠B O C ＝40°，∴∠C O D ＝60°，∵O D ＝O C ，∴△C O D 是等边三角形，由（1）知，∠D O P ＝∠C O P ＝30°，在R t △O D P 中，O P =O D c o s 30°=433．2．（2017•北京）如图，A B 是⊙O 的一条弦，E 是A B 的中点，过点E 作E C ⊥O A 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交C E 的延长线于点D ．（1）求证：D B ＝D E ；（2）若A B ＝12，B D ＝5，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵A O ＝O B ，∴∠O A B ＝∠O B A ，∵B D 是切线，∴O B ⊥B D ，∴∠O B D ＝90°，∴∠O B E +∠E B D ＝90°，∵E C ⊥O A ，∴∠C A E +∠C E A ＝90°，∵∠C E A ＝∠D E B ，∴∠E B D ＝∠B E D ，∴D B ＝D E ．（2）作D F ⊥A B 于F ，连接O E ．∵D B ＝D E ，A E ＝E B ＝6，∴E F =12B E ＝3，O E ⊥A B ，在R t △E D F 中，D E ＝B D ＝5，E F ＝3，∴D F =52-32=4，∵∠A O E +∠A ＝90°，∠D E F +∠A ＝90°，∴∠A O E ＝∠D E F ，∴s i n ∠D E F ＝s i n ∠A O E =A E A O =45，∵A E ＝6，∴A O =152．∴⊙O 的半径为152．3．（2016•北京）如图，A B 为⊙O 的直径，F 为弦A C 的中点，连接O F 并延长交̂A C于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交B A 的延长线于点E ．（1）求证：A C ∥D E ；（2）连接C D，若O A＝A E＝a，写出求四边形A C D E面积的思路．【解答】（1）证明：∵E D与⊙O相切于D，∴O D⊥D E，∵F为弦A C中点，∴O D⊥A C，∴A C∥D E．（2）解：作D M⊥O A于M，连接C D，C O，A D．首先证明四边形A C D E是平行四边形，根据S平行四边形A C D E＝A E•D M，只要求出D M即可．（方法二：证明△A D E的面积等于四边形A C D E的面积的一半）∵A C∥D E，A E＝A O，∴O F＝D F，∵A F⊥D O，∴A D＝A O，∴A D＝A O＝O D，∴△A D O是等边三角形，同理△C D O也是等边三角形，∴∠C D O＝∠D O A＝60°，A E＝C D＝A D＝A O＝D O＝a，∴A O∥C D，又A E＝C D，∴四边形A C D E是平行四边形，易知D M=3 2a，∴平行四边形A C D E面积=3 2a2．4．（2015•北京）如图，A B是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线B M，弦C D∥B M，交A B于点F ，且̂D A=̂D C，连接A C ，A D ，延长A D 交B M 于点E ．（1）求证：△A C D 是等边三角形；（2）连接O E ，若D E ＝2，求O E 的长．【解答】（1）证明：∵A B 是⊙O 的直径，B M 是⊙O 的切线，∴A B ⊥B E ，∵C D ∥B E ，∴C D ⊥A B ，∴̂A D=̂A C，∵̂D A=̂D C，∴̂A D=̂A C =̂C D，∴A D ＝A C ＝C D ，∴△A C D 是等边三角形；（2）解：连接O E ，过O 作O N ⊥A D 于N ，由（1）知，△A C D 是等边三角形，∴∠D A C ＝60°∵A D ＝A C ，C D ⊥A B ，∴∠D A B ＝30°，∴B E =12A E ，O N =12A O ，设⊙O 的半径为：r ，∴O N =12r ，A N ＝D N =32r ，∴E N ＝2+32r ，B E =12A E =3r +22，在R t △N E O 与R t △B E O 中，O E 2＝O N 2+N E 2＝O B 2+B E 2，即（r 2）2+（2+3r 2）2＝r 2+(3r +22)2，∴r ＝23，∴O E 2=(3)2+25＝28，∴O E ＝27．5．（2014•北京）如图，A B 是⊙O 的直径，C 是̂A B的中点，⊙O 的切线B D 交A C 的延长线于点D ，E 是O B 的中点，C E 的延长线交切线B D 于点F ，A F 交⊙O 于点H ，连接B H ．（1）求证：A C ＝C D ；（2）若O B ＝2，求B H 的长．【解答】（1）证明：连接O C ，∵C 是̂A B的中点，A B 是⊙O 的直径，∴C O ⊥A B ，∵B D 是⊙O 的切线，∴B D ⊥A B ，∴O C ∥B D ，∵O A ＝O B ，∴A C ＝C D ；（2）解：∵E 是O B 的中点，∴O E ＝B E ，在△C O E 和△F B E 中，{∠C E O =∠F E B O E =B E ∠C O E =∠F B E，∴△C O E ≌△F B E （A S A ），∴B F ＝C O ，∵O B ＝2，∴B F ＝2，∴A F =A B 2+B F 2=25，∵A B 是直径，∴B H ⊥A F ，∴△A B F ∽△B H F ，∴A B B H =A F B F，∴A B •B F ＝A F •B H ，∴B H =A B ⋅B F A F =4×225=455．6．（2018•海淀区一模）如图，A B是⊙O的直径，弦E F⊥A B于点C，过点F作⊙O的切线交A B的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取B E的中点M，连接M F，请补全图形；若∠A＝30°，M F=7，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接O E，O F，如图，∵E F⊥A B，A B是⊙O的直径，∴∠D O F＝∠D O E．∵∠D O E＝2∠A，∠A＝α，∴∠D O F＝2α，∵F D为⊙O的切线，∴O F⊥F D．∴∠O F D＝90°．∴∠D+∠D O F＝90°，∴∠D＝90°﹣2α；（2）连接O M，如图，∵A B为⊙O的直径，∴O为A B中点，∠A E B＝90°．∵M为B E的中点，∴O M ∥A E ，∵∠A ＝30°，∴∠M O B ＝∠A ＝30°．∵∠D O F ＝2∠A ＝60°，∴∠M O F ＝90°，设⊙O 的半径为r ，在R t △O M B 中，B M =12O B =12r ，O M =3B M =32r ，在R t △O M F 中，O M 2+O F 2＝M F 2．即（32r ）2+r 2＝（7）2，解得r ＝2，即⊙O 的半径为2．7．（2018•昌平区二模）如图，A B 是⊙O 的直径，弦C D ⊥A B 于点E ，过点C 的切线交A B 的延长线于点F ，连接D F ．（1）求证：D F 是⊙O 的切线；（2）连接B C ，若∠B C F ＝30°，B F ＝2，求C D 的长．【解答】（1）证明：连接O D ，如图，∵C F 是⊙O 的切线∴∠O C F ＝90°，∴∠O C D +∠D C F ＝90°∵直径A B ⊥弦C D ，∴C E ＝E D ，即O F 为C D 的垂直平分线∴C F ＝D F ，∴∠C D F ＝∠D C F ，∵O C ＝O D ，∴∠C D O ＝∠O C D∴∠C D O +∠C D B ＝∠O C D +∠D C F ＝90°，∴O D ⊥D F ，∴D F 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠O C F ＝90°，∠B C F ＝30°，∴∠O C B ＝60°，∵O C ＝O B ，∴△O C B 为等边三角形，∴∠C O B ＝60°，∴∠C F O ＝30°∴F O ＝2O C ＝2O B ，∴F B ＝O B ＝O C ＝2，在R t △O C E 中，∵∠C O E ＝60°，∴O E =12O C ＝1，∴C E =3O E =3，∴C D ＝2C E =23．8．（2019•淮阴区一模）如图，A B 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是̂B D的中点，过点C 作A D 的垂线E F 交直线A D 于点E ．（1）求证：E F 是⊙O 的切线；（2）连接B C ，若A B ＝5，B C ＝3，求线段A E 的长．【解答】（1）证明：连接O C ，∵O A ＝O C ，∴∠O C A ＝∠B A C ，∵点C 是̂B D的中点，∴∠E A C ＝∠B A C ，∴∠E A C ＝∠O C A ，∴O C ∥A E ，∵A E ⊥E F ，∴O C ⊥E F ，即E F 是⊙O 的切线；（2）解：∵A B 为⊙O 的直径，∴∠B C A ＝90°，∴A C =A B 2-B C 2=4，∵∠E A C ＝∠B A C ，∠A E C ＝∠A C B ＝90°，∴△A E C ∽△A C B ，∴A E A C =A C A B，∴A E =A C 2A B =165．9．（2018•海淀区二模）如图，A B 是⊙O 的直径，M 是O A 的中点，弦C D ⊥A B 于点M ，过点D 作D E ⊥C A 交C A 的延长线于点E ．（1）连接A D ，则∠O A D ＝60°；（2）求证：D E 与⊙O 相切；（3）点F 在̂B C 上，∠C D F ＝45°，D F 交A B 于点N ．若D E ＝3，求F N 的长．【解答】解：（1）如图1，连接O D ，A D∵A B 是⊙O 的直径，C D ⊥A B∴A B 垂直平分C D∵M 是O A 的中点，∴O M =12O A =12O D ∴c o s ∠D O M =O M O D =12∴∠D O M ＝60°又：O A ＝O D∴△O A D 是等边三角形∴∠O A D ＝60°故答案为：60°（2）∵C D⊥A B，A B是⊙O的直径，∴C M＝M D．∵M是O A的中点，∴A M＝M O．又∵∠A M C＝∠D M O，∴△A M C≌△O M D．∴∠A C M＝∠O D M．∴C A∥O D．∵D E⊥C A，∴∠E＝90°．∴∠O D E＝180°﹣∠E＝90°．∴D E⊥O D．∴D E与⊙O相切．（3）如图2，连接C F，C N，∵O A⊥C D于M，∴M是C D中点．∴N C＝N D．∵∠C D F＝45°，∴∠N C D＝∠N D C＝45°．∴∠C N D＝90°．∴∠C N F＝90°．由（1）可知∠A O D＝60°．∴∠A C D=12∠A O D=30°．在R t △C D E 中，∠E ＝90°，∠E C D ＝30°，D E ＝3，∴C D=D E s i n 30°=6．在R t △C N D 中，∠C N D ＝90°，∠C D N ＝45°，C D ＝6，∴C N=C D ⋅s i n 45°=32．由（1）知∠C A D ＝2∠O A D ＝120°，∴∠C F D ＝180°﹣∠C A D ＝60°．在R t △C N F 中，∠C N F ＝90°，∠C F N ＝60°，C N=32，∴F N=C N t a n 60°=6．10．（2018•朝阳区二模）A B 为⊙O 直径，C 为⊙O 上的一点，过点C 的切线与A B 的延长线相交于点D ，C A ＝C D ．（1）连接B C ，求证：B C ＝O B ；（2）E 是̂A B中点，连接C E ，B E ，若B E ＝2，求C E 的长．【解答】（1）证明：连接O C ．∵A B 为⊙O 直径，∴∠A C B ＝90°，∵C D 为⊙O 切线∴∠O C D ＝90°，∴∠A C O ＝∠D C B ＝90°﹣∠O C B ，∵C A ＝C D ，∴∠C A D ＝∠D ．∴∠C O B ＝∠C B O ．∴O C ＝B C ．∴O B ＝B C ；（2）解：连接A E ，过点B 作B F ⊥C E 于点F ．∵E 是A B 中点，∴̂A E =̂B E，∴A E ＝B E ＝2．∵A B 为⊙O 直径，∴∠A E B ＝90°．∴∠E C B ＝∠B A E ＝45°，A B=22．∴C B=12A B=2．∴C F ＝B F ＝1．∴E F =3．∴C E =1+3．11．（2018•西城区一模）如图，⊙O 的半径为r ，△A B C 内接于⊙O ，∠B A C ＝15°，∠A C B ＝30°，D 为C B 延长线上一点，A D 与⊙O 相切，切点为A ．（1）求点B 到半径O C 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作D H ⊥O C 于点H ，求∠A D H 的度数及C B C D的值．【解答】解：（1）如图，作B E ⊥O C 于点E ．∵在⊙O 的内接△A B C 中，∠B A C ＝15°，∴∠B O C ＝2∠B A C ＝30°．在R t △B O E 中，∠O E B ＝90°，∠B O E ＝30°，O B ＝r ，∴B E =O B 2=r 2，∴点B 到半径O C 的距离为r 2．（2）连接O A ．由B E ⊥O C ，D H ⊥O C ，可得B E ∥D H ．∵A D 于⊙O 相切，切点为A ，∴A D ⊥O A ，∴∠O A D ＝90°．∵D H ⊥O C 于点H ，∴∠O H D ＝90°．∵在△O B C 中，O B ＝O C ，∠B O C ＝30°，∴∠O C B=180°-∠B O C 2=75°．∵∠A C B ＝30°，∴∠O C A ＝∠O C B ﹣∠A C B ＝45°．∵O A ＝O C ，∴∠O A C ＝∠O C A ＝45°，∴∠A O C ＝180°﹣2∠O C A ＝90°，∴四边形A O H D 为矩形，∠A D H ＝90°，∴D H ＝A O ＝r ．∵B E =r 2，∴B E =D H 2．∵B E ∥D H ，∴△C B E ∽△C D H ，∴C BC D=B ED H=12．12．（2017•西城区二模）如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与A C延长线交于点D，连接B C，O E∥B C交⊙O于点E，连接B E交A C于点H．（1）求证：B E平分∠A B C；（2）连接O D，若B H＝B D＝2，求O D的长．【解答】（1）证明：∵A B为⊙O的直径，∴∠A C B＝90°，∵O E∥B C，∴O E⊥A C，∴̂A E=̂C E，∴∠1＝∠2，∴B E平分∠A B C；（2）解：∵B D是⊙O的切线，∴∠A B D＝90°，∵∠A C B＝90°，B H＝B D＝2，∴∠C B D＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠C B D，∴∠C B D ＝30°，∠A D B ＝60°，∵∠A B D ＝90°，∴A B ＝23，O B =3，∵O D 2＝O B 2+B D 2，∴O D =7．13．（2017•仙游县模拟）如图，A B 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交B A 的延长线交于点D ，过点B 作B E ⊥B A ，交D C 延长线于点E ，连接O E ，交⊙O 于点F ，交B C 于点H ，连接A C ．（1）求证：∠E C B ＝∠E B C ；（2）连接B F ，C F ，若C F ＝6，s i n ∠F C B =35，求A C 的长．【解答】（1）证明：∵B E ⊥O B ，∴B E 是⊙O 的切线，∵E C 是⊙O 的切线，∴E C ＝E B ，∴∠E C B ＝∠E B C ．（2）解：连接C F 、C O 、A C ．∵E B ＝E C ，O C ＝O B ，∴E O ⊥B C ，∴∠C H F ＝∠C H O ＝90°，在R t △C F H 中，∵C F ＝6，s i n ∠F C H =35，∴F H ＝C F •s i n ∠F C H =185，C H =C F 2-F H 2=245，设O C ＝O F ＝x ，在R t △C O H 中，∵O C 2＝C H 2+O H 2，∴x 2＝（245）2+（x -185）2，∴x ＝5，∴O H =75，∵O H ⊥B C ，∴C H ＝H B ，∵O A ＝O B ，∴A C ＝2O H =145．。
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2008～2019北京中考数学分类(圆)一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．2008～2019北京中考数学分类(圆)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半径为．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．＝AE•DM，只要求出DM即首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵＝，∴，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，∴BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r，∴ON＝r，AN＝DN＝r，∴EN＝2+，BE＝AE＝，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，即（）2+（2+）2＝r2+，∴r＝2，∴OE2＝+25＝28，∴OE＝2．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF＝CO，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝＝2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴＝，∴AB•BF＝AF•BH，∴BH＝＝＝．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO＝∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，∴∠APO＝∠EDO，∴∠EPD＝∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA＝PC＝6，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，∴CD＝4，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△OCD中，OC＝OA＝3，OD＝5，∵∠EPD＝∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴＝＝＝2，∴DE＝2OE在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝52，∴OE＝．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．【解答】（1）证明：∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°．∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°．∴∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，∴CD＝2．∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝90°，∴DE＝DC sin30°＝．∵∠B＝45°，∴DB＝2．方法2：连接BO∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°∵OD＝OB＝2∴△BOD是等边三角形∴BD＝OD＝2．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OD．∵OA＝OD∴∠A＝∠ADO∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°又∵∠CBD＝∠A∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝90°∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°∵AD：AO＝8：5∴∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∵BC＝2，∴解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH＝DH＝∵AD：AO＝8：5∴cos A＝∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∴∵BC＝2∴。