【期末试卷】福建省莆田2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版(含答案)
福建省厦门市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．22．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.18264．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln36．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=108．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．249．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A． B．C．D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是（用数字填写答案）．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m ﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．2015-2016学年某某省某某市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（1+i）（a+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，又已知复数z是纯虚数，得到，求解即可得答案．【解答】解：复数z=（1+i）（a+2i）=（a﹣2）+（a+2）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=2．故选：D．2．双曲线x2﹣=1的一个顶点到一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出一个顶点和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a=1，b=，双曲线的渐近线为y=x，设双曲线的一个顶点为A（1，0），渐近线为y=x，即x﹣y=0，则顶点到一条渐近线的距离d==，故选：C．3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（﹣1＜X＜3）=0.6826，则下列结论正确的是（）A．P（X＜﹣1）=0.6587 B．P（X＞3）=0.1587C．P（﹣1＜X＜1）=0.3174 D．P（1＜X＜3）=0.1826【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（﹣1＜X＜3）可求出P（X＞3）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），∴曲线关于x=1对称，∵P（﹣1＜X＜3）=0.6826，∴P（X＞3）=0.5﹣0.3413=0.1587．故选：B．4．已知函数f（x）的导函数是f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）﹣lnx，则f′（e）等于（）A．1 B．﹣1 C．e D．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，直接令x=e进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2xf′（e）﹣lnx，∴函数的导数f′（x）=2f′（e）﹣，令x=e，则f′（e）=2f′（e）﹣，即f′（e）=，故选：D5．由曲线y=，直线y=x及x=3所围成的图形的面积是（）A．4﹣ln3 B．8﹣ln3 C．4+ln3 D．8+ln3【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出对应的图象，确定积分的上限和下限，利用积分的应用求面积即可．【解答】解：作出对应的图象，由得x=1，则阴影部分的面积S=∫（x﹣）dx=（x2﹣lnx）|=（﹣ln3）﹣（﹣ln1）=4﹣ln3，故选：A6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=，则异面直线AC1与B1C所成的角的大小是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC1与B1C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．【解答】解：如图，分别取AC、B1C1、CC1、BC的中点E、F、G、K，连接EF、EG、FG、EK、FK，EK=，FK=，则EF=，EG=，．在△EFG中，cos∠EGF=．∴异面直线AC1与B1C所成的角的大小是90°．故选：C．7．假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为：Yy1y2总计Xx1 a 10 a+10x2 c 50 c+50总计40 60 100对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（）A．a=10，c=30 B．a=15，c=25 C．a=20，c=20 D．a=30，c=10【考点】独立性检验的应用．【分析】当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，前三个选项都一样，只有第四个选项差距大，得到结果．【解答】解：根据观测值求解的公式可以知道，当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，选项A，|ad﹣bc|=200，选项B，|ad﹣bc|=500，选项C，|ad﹣bc|=800，选项D，|ad﹣bc|=1400，故选D8．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54 B．36 C．27 D．24【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先求所有可能分派方法，先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，相减可得结论．【解答】解：间接法：先求所有可能的分派方法，甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，共有34=81种情况，甲、乙同去一个景点有33=27种情况，∴不同的选择方案的种数是81﹣27=54．故选：A9．“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件；函数的单调性与导数的关系．【分析】若函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，则y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，求出m的X围，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2+在[1，+∞）单调递增，∴y′=2x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≤2，故“m＜1”是“函数y=x2+在[1，+∞）单调递增”的充分不必要条件，故选：A．10．甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐．则（）A．甲一定在画画 B．甲一定在听音乐C．乙一定不看书 D．丙一定不画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由①开始，进行逐个判断，采用排除法，即可得到答案．【解答】解：由①可知：甲可能在画画或在听音乐，由③可知，乙在看书，丙在画画，甲只能在听音乐，由②丙可以听音乐或看书，乙只能看书或画画，结合①③可知：甲听音乐，乙画画，丙看书，所以甲一定在听音乐，故选：B．11．函数f（x）=e|x|cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性，排除B；根据函数在（0，）上，为增函数，在（，）上，为减函数，排除A；再根据在（，）上，为增函数，f（）＞f（），排除C，可得结论．【解答】解：由于函数函数f（x）=e|x|cosx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故排除B．当x＞0时，f（x）=e x•cosx，f′（x）=e x•cosx﹣e x•sinx=2x（cosx﹣sinx），故函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故排除A．在（，）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，且f（）＞f（），故排除C，只有D满足条件，故选：D．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用待定系数法设出双曲线和椭圆的方程，根据双曲线和椭圆的定义得到a1=4+c，a2=4﹣c，然后利用离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8﹣2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得+====，∵2＜c＜4，∴＜＜，则2＜＜4，即2＜+＜4，故+的取值X围是（2，4），故选：C二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2x+）n的二项式系数的和是32，则该二项展开式中x3的系数是80 （用数字填写答案）．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n．再利用其通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5．∴的通项公式T r+1=（2x）5﹣r=25﹣r x5﹣2r，令5﹣2r=3，解得r=1．∴该二项展开式中x3的系数=24=80．故答案为：80．14．已知m∈R，p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限．若p∧q为真，则m的取值X围是（2，3）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用椭圆的标准方程、复数的几何意义、复合命题的真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞2；q：在复平面内，复数z=1+（m﹣3）i对应的点在第四象限，∴m﹣3＜0，解得m＜3．∵p∧q为真，∴p与q都为真命题．∴2＜m＜3．则m的取值X围是（2，3）．故答案为：（2，3）．15．抛物线y2=4x的焦点为F，A为抛物线上在第一象限内的一点，以点F为圆心，1为半径的圆与线段AF的交点为B，点A在y轴上的射影为点N，且|ON|=2，则线段NB的长度是 3 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出N，B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（3，2），N（0，2），以点F为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线AF的方程为y=（x﹣1）联立直线与圆的方程可得（x﹣1）2=，∴x=或，∴B（，），∴|NB|==3故答案为：3．16．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对∀x∈R，f′（x）＜x．若f（1﹣a）﹣f （a）≤﹣a，则实数a的取值X围是a≤．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，求出g（x）的单调性，问题等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，则g′（x）=f′（x）﹣x，而f′（x）＜x，∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在R递减，∴f（1﹣a）﹣f（a）≤﹣a等价于f（1﹣a）﹣（1﹣a）2≤f（a）﹣a2，即g（1﹣a）≤g（a），∴1﹣a≥a，解得a≤，故答案为：a≤．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某工厂为了增加其产品的销售量，调查了该产品投入的广告费用x与销售量y的数据，如表：广告费用x（万元） 2 3 4 5 6销售量y（万件） 5 7 8 9 11由散点图知可以用回归直线=x+来近似刻画它们之间的关系．（Ⅰ）求回归直线方程=x+；（Ⅱ）在（Ⅰ）的回归方程模型中，请用相关指数R2说明，广告费用解释了百分之多少的销售量变化？参考公式： =， =﹣；R2=1﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由数据求得样本中心点，利用最小二乘法求得系数，由线性回归方程过样本中心点，代入即可求得，即可求得回归直线方程；（Ⅱ）分别求得1， 2…，5，根据相关指数公式求得相关指数R2，即可求得广告费用解释了百分之多少的销售量变化．【解答】解：（Ⅰ） =×（2+3+4+5+6）=5， =×（5+7+8+9+11）=11，==1.4，=﹣=8﹣1.4×4=2.4，∴回归直线方程=1.4x+2.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=1.4×2+2.4=5.2；1=1.4×3+2.4=6.6；2=1.4×4+2.4=8；3=1.4×5+2.4=9.4；4=1.4×6+2.4=10.8；5R2=1﹣=0.98，∴广告费用解释了98%的销售量变化．18．函数f（x）=x3+ax2+bx﹣在x=2处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数得到f′（x）=x2+2ax+b，这样根据函数在切点处导数和切线斜率的关系以及切点在函数图象上便可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可；（Ⅱ）上面已求出a，b，从而可以得出导函数f′（x），这样判断导数的符号，从而便可得出函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b；由题意可得，切点为（2，0），切线斜率为k=﹣1；∴；解得；（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）；∴x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=1时，f（x）取极大值，x=3时，f（x）取极小值．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）取AB中点E，连PE、CE，由等腰三角形的性质可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（Ⅰ）证明：如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．则PE是等腰△PAB的底边上的中线，∴PE⊥AB．∵PE=1，CE=，PC=2，即PE2+CE2=PC2．由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．又∵AB⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD，且AB∩CE=E，∴PE⊥平面ABCD．而PE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），=（，1，0），=（，0，﹣1），=（0，2，0）．设是平面PAC的一个法向量，则，即．取x1=1，可得，．设是平面PCD的一个法向量，则，即．取x2=1，可得，．故，即二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值是．20．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概率均为，乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为，，．若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（Ⅰ）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个．以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），求出甲乙的期望，比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）乙车间每天机器发生故障的台数ξ，可以取0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=1）=C21××（（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×=，P（ξ=2）=C21××（（1﹣）×+（）2×（1﹣）=，P（ξ=3）=××=，∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列；ξ0 1 2 3P（Ⅱ）设甲车间每台机器每天发生故障的台数η，获得的利润为X，则η～B（3，），P（η=k）=（k=0，1，2，3），∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）﹣3×P（η=3）=，由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）﹣3×P（ξ=3）=，∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．21．已知圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为A1、A2，过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点D，且l1与l2斜率的乘积为﹣．（Ⅰ）求点D的轨迹C2方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m不过A1、A2且与轨迹C2仅有一个公共点，且直线l与圆C1交于P、Q 两点．求△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），求出A1、A2的坐标，由题意和斜率公式列出方程化简，可得点D的轨迹C2的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程和C2的方程消去y，由条件可得△=0并化简，联立直线l与圆C1的方程消去x，利用韦达定理写出表达式，由图象和三角形的面积公式表示出，化简后利用基本不等式求出△POA1与△QOA2的面积之和的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点D的坐标为（x，y），∵圆C1：x2+y2=4与x轴左右交点分别为点A1（﹣2，0），A2（2，0），且l1与l2斜率的乘积为﹣，∴，化简得，∴点D的轨迹C2方程是；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由题意得，△=64k2+16﹣16m2=0，化简得，m2=4k2+1，联立消去x得，（1+k2）y2﹣2my+1=0，∴△=4m2﹣4（1+k2）=12k2＞0，y1+y2=，＞0，则y1，y2同号，由r=2得，+=+====≤=，当且仅当3=1+4k2，即k=时取等号，∴的最大值是．22．已知函数f（x）=lnx﹣cx2（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当函数f（x）有两个零点x1，x2时，求证：x1•x2＞e．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，求出极值点，然后通过导数的符号，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数；（Ⅱ）设x1＞x2，求出关于c的表达式，利用分析法证明x1x2＞e，转化为证明ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），利用函数的导数求解函数的最小值利用单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2cx=，当c≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，f（x）有且只有1个零点；当c＞0时，由f'（x）=0，得x=，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）最大值=f（）=ln﹣，令ln﹣＞0，解得：c＞，∴c＞时，f（x）有2个零点，c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，综上：c≤0或c=时，f（x）有1个零点，0＜c＜时，f（x）没有零点，c＞时，f（x）有2个零点．（Ⅱ）证明：设x1＞x2，∵lnx1﹣cx12=0，lnx2﹣cx22=0，∴lnx1+lnx2=cx12+cx22，lnx1﹣lnx2=cx12﹣cx22，则c=，欲证明x1x2＞e，即证lnx1+lnx2＞1，因为lnx1+lnx2=c（x12+x22），∴即证c＞，∴原命题等价于证明＞，即证：ln＞（x1＞x2＞0），令=t，则t＞1，设g（t）=lnt﹣=lnt+﹣1（t＞1），∴g′（t）=≥0，∴g（t）在（1，+∞）单调递增，又因为g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，∴lnt＞，所以x1x2＞e．。
2015-2016学年高二下学期期末联考数学理试卷带答案
2015学年高二下学期期末联考理科数学2016年6月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则AB =（ ）A ．4[0,]3B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 2．若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（ ） A ． 1 B .2 C .3 D . 44.已知实数,x y 满足1xya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ） A ．221111x y >++B .22ln(1)ln(1)x y +>+C ．sin sin x y >D .22x y > 5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．24 B . 96 C .144 D . 210 6.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）AB．3-C ．3+ D7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A.16B. 17C.18D.19 8.已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<,又230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .56x π=B .712x π=C .3x π=D .6x π= 9.m ），则该四棱锥的体积为（ ）m 3.A . 4B . 73C . 3D . 210.设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（ ）A .43B .3C .94D .5311．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ,且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）A. B.C. D.12.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．)2,0( C ．),0(+∞ D ．),1(+∞第二部分非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b = 14.72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)15.记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________.16.在平面内，定点A 、B 、C、D ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则 BM 的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c ba ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．18.（本题满分10分）正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+= （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令221(2)n n n b n a +=+,数列{}nb 的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <. 19.（本题满分12分）为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.ABCDEF附:2K ＝2()n ad bc -20.（本题满分12分）已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ,EF ∥BD ,12EF DE BD ==,2BD BC CD =====,DE BC ⊥. （1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值. 21.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率2e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本题满分14分）已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<．2015学年高二下学期期末联考 理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1～12 DBCAB CAADD A A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.14. 0 15. ⎣⎡⎦⎤12，4 16. 72 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）解：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=——1分即sin sin cos 0A B A B -= ——2分 因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B -=⇒=3分因为0B π<< ——4分 所以3B π=——5分（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅ ——6分所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a = ——8分所以11sin 2122ABC S ac B ∆==⋅⋅= ——10分 18.（本题满分10分）解:（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.——2分由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. ——3分当1n =时，112a S == ——4分当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. ——5分综上可知,数列{}n a 的通项公式2n a n =. ——6分（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. ——8分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. ——10分 19.（本题满分12分）解：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ——2分因为27.822 6.635K ≈> 2(6.635)0.01P K >=——3分所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. ——4分 （2）X的可能取值为0,1,2,3 ——5分271)31()0(3===X P ， ——6分92)31)(32()1(213===C X P ——7分94)32)(31()2(223===C X P ——8分 278)32()3(3===X P ——9分所以的分布列为：——10分因为~(3,)3X B ， ——11分所以2()323E X np ==⨯= ——12分20．（本题满分12分） 解：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥ ——2分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEF ——4分 DE ⊂平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C =,DE ∴⊥平面ABCD ——6分（2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形//,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD ——8分分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(E(0,1,1),F(0,0,1)A -设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,0,1)m = ——9分 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =，由00n CF n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,0,n =——10分所以6cos ,4m n m n m n-<>==即平面AEF 与平面CEF ——12分 21．（本题满分12分）解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>，离心率22c e a ==，—1分 又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ——2分 ∴椭圆C 的方程是2212y x +=. ——3分（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. ——4分由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0. ——5分 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ——7分 由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=. ——8分设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩——9分又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+ ——10分 ()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,= ——11分TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分22.（本题满分14分）解：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xa x x x a x f +-=-=2'22)(； ——1分当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数； ——2分当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数；——3分 综上所得，①0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；——4分 （2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意； ——5分当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意；—6分 ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ， 即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； ——7分 综上所得，a 的取值范围是e a 2≤； ——8分（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ——9分 ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， ——10分即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x ——12分 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立 令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F ∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立， 即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证. ——14分。
福建省莆田市第二十五中学高二数学下学期期末考试试题理
A ＝C C ＝B B ＝ AC ＝B B ＝A A ＝C莆田第二十五中学2015-2016学年下学期期末质量检测试卷高二数学（理）一．选择题（５*１２＝６０分）1、设x 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q 的等于（ ） A ．1B ．21±C ．212-D ．212+2、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．168 3.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方 法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使 用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270； 使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如 果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样 4.将两个数A ＝9，B ＝15交换使得A ＝15，B ＝9下列语句正确的一组是（ ） A. B. C. D.5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A. p 1p 2B. 1-(1-p 1)(1-p 2)C. 1-p 1p 2D. p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1)6、设随机变量X 的分布列为P(X=k)=(k=1，2，3，4)，则P （1＜X≤3）等于（ ） A.BCD7、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m 的值为2，则输出的结果为i =（ ）A ＝B B ＝A B ＝A A ＝B701 A.3 B.4 C.5 D.68、如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数()01>=x xy 图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为 ( )A.22ln B.22ln 1- C. 22ln 1+ D. 22ln 2-9．设(3x 31+x 21)n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是 （ ）A ．21B ．1C ．2D ．310．两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是 ”．根据这位负责人的话可以推断出这次参加该单位招聘面试的人有 （ ） A ．44人 B ．42人 C ．22人 D ．21人11、某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ）A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种 12. 已知数列满足，一颗质地均匀的正方体骰子，其六 个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c 则 满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}的概率是A.B.C.D.二．填空题（4*5=20分）13、一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人． 14．若()44104x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________.15、已知随机变量X 服从正态分布X ～N(2，σ2), P(X<4)＝0.84, 则P(X≤0)的值为 ．16、已知A 、B 、C 相互独立，如果()16P AB =，()18P BC =，()18P ABC =，()P AB = ．三、解答题17、某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩,列出如下所示2×2列联表: (1)根据题中表格的数据计算,你有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？(2)若按下面的方法从这20人(序号1,2,3,…,20)中抽取1人来了解有关情况:将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求:①抽到12号的概率;②抽到“无效序号(序号大于20)”的概率.参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)临界值表供参考:2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x （°C） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； （Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-）19．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望E(X).20、(本小题14分)某单位实行休年假制度三年来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：根据上表信息解答以下问题：⑴从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数1)(2--=x x x f η,在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；⑵从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE . 21．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
福建省莆田市2015届高中毕业班教学质量检查数学理试题(扫描版)
2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．{}11<<-x x 12．7.5 13．3414．1 15．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：1(2)n =≥，所以是首项为1，公差为1的等差数列，………1分－1)1=n ，……………2分从而S n =n 2．…………………3分当n=1时，a 1=S 1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2 =2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=-．………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos 3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =．………11分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分 18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙．8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙．……………… 2分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分 因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C 与事件D 相互独立．………………6分 记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C )=14,P(ξ=100)=P(CD )=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD )=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望0100400416164E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D )=34,P(η=300)=P(DC )=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC )=3134416⨯=，即η的分布列为：所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望0300400416164E η=⨯+⨯+⨯=．………………12分 因为E ξ>E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ．…………3分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解： BE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=， ∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分以B 为原点，BC 、BA 、BE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=，)2,2,0(=．设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z yx =．由0=⋅BD n ，0=⋅BF n ，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=n ，………… …9分又),2,0(m -=，于是sin =ϕ=2432m m+⋅+，︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分 结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．………… …13分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得222222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分 （Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S △PMN =12|PD|·|x 1－x 26分==7分 令t22316t k -= 所以S △PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t +，t ∈+∞),则22211'()1t h t t t-=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则tk=0时，h(t)的最小值，为h=3， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分 解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分 所以|MN|==点P （0，1）到直线MN 的距离=．………6分所以S △PMN =12|MN|·=．…………………………………7分 以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．（1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上．又O 为△PMN 的中心，所以2PO OQ =，可知111(0,),(),)222Q M N ---． 从而|MN|=，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾． （2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分 （3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ， 又O 为∆PMN 的中心，则2PO OQ =，可知00(,)22--x y Q ． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++x y y x x x x x x y y y y y ，……11分 从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1， 所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分 此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x x x-+'=-=-（x>0）． 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：（Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）． （1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0+∞）．……………… 7分 要使函数f(x)在区间(m ，+∞)，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '．………… 9分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x '=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x －1． （*）……… 10分由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分 令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x-=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---． 令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分 （注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。
2015-2016学年福建省莆田市仙游县大济中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年福建省莆田市仙游县大济中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0D．若x2≤0，则x≤02．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c﹣1），则c＝（）A．1B．2C．3D．43．（5分）计算的结果是（）A．4πB．2πC．πD．4．（5分）若（x+3y）n展开式的系数和等于（7a+b）10展开式的二项式系数之和，则n的值（）A．15B．10C．8D．55．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽五门功课，得到的观测值如表：问：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？（）A．甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡B．甲的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡C．乙的平均成绩较好，甲的各门功课发展较平衡D．乙的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡7．（5分）已知实数a满足1＜a＜2，命题p：函数y＝lg（2﹣ax）在区间[0，1]上是减函数；命题q：x2＜1是x＜a的充分不必要条件，则（）A．p或q为真命题B．p且q为假命题C．¬p且q为真命题D．¬p或¬q为真命题8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9．（5分）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f（x）满足：（i）T＝{f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A＝N*，B＝NB．A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＝﹣8或0＜x≤10}C．A＝{x|0＜x＜1}，B＝RD．A＝Z，B＝Q二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上11．（5分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．12．（5分）我校要从参加数学竞赛的1000名学生中，随机抽取50名学生的成绩进行分析，现将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000，001，002，…，999，如果在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为．13．（5分）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为件．（参考公式：b＝）15．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝6，AD＝6，则BD的长为．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知数列，（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明．17．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？18．（13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．20．（13分）已知点P（1，m）在抛物线C：y2＝2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|＝3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．（ⅰ）求•的值；（ⅱ）若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．以下二小题任选两题,[坐标系与参数方程]21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[不等式选讲]22．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．①求a的值；②求函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|的最小值．2015-2016学年福建省莆田市仙游县大济中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．2．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c＝2，故选：B．3．【解答】解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积＝π×4＝π故选：C．4．【解答】解：∵二项式（x+3y）n的展开式的各项系数的和为m，即x＝1时满足题意，∴m＝（1+3）n＝4n；又设（7a+b）10二项式系数之和为k，∴k＝C100+C101+C102+…+C1010＝210，∵m＝k，∴4n＝210，∴n＝5．故选：D．5．【解答】解：当a＝3时，A＝{1，3}所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．6．【解答】解：甲的平均成绩＝（60+80+70+90+70）＝74，甲的方差＝[（60﹣74）2+（80﹣74）2+（70﹣74）2+（90﹣74）2+（70﹣74）2]＝104．乙的平均成绩＝（80+60+70+80+75）＝73，乙的方差＝[（80﹣73）2+（60﹣73）2+（70﹣73）2+（80﹣73）2+（75﹣73）2]＝56．∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．故选：A．7．【解答】解：p：∵函数y＝lg（2﹣ax）在区间[0，1]上是减函数，∴a＞0，2﹣ax＞0在[0，1]恒成立，∴0＜a＜2，q：∵x2＜1是x＜a的充分不必要条件，∴a≥1，而实数a满足1＜a＜2，∴p或q为真命题．故选：A．8．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．9．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；翻译人员的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3＝18种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则方法有3种；翻译人员的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有3种，共3×2×3＝18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18＝36种，故选：A．10．【解答】解：对于A＝N*，B＝N，存在函数f（x）＝x﹣1，x∈N*，满足：（i）B＝{f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＝﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B＝{f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A＝{x|0＜x＜1}，B＝R，存在函数f（x）＝tan（），满足：（i）B＝{f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上11．【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P＝＝．故答案为：．12．【解答】解：从参加数学竞赛的1000名学生中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法，应该共分成50组，分组间隔为＝20，在第一部分中随机抽取一个号码为015，不妨看作是15，则抽取的第40个号码应为15+20×39＝795．即为795．故答案为：795．13．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．14．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程y＝bx+a中的b＝﹣2，∴38＝10×（﹣2）+a，解得：a＝58，∴y＝﹣2x+58，当x＝6时，y＝﹣2×6+58＝46．故答案为：46．15．【解答】解：在△ABC中，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝6，AD＝6，∴sin∠BAC＝sin（+∠BAD）＝cos∠BAD＝．再由余弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝72+36﹣2××＝12，故BD＝2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．【解答】解：（1）（2）证明：①当n＝1时，，结论成立②假设当n＝k时成立，结论成立，即当n＝k+1时，＝∴当n＝k+1时结论成立∴对于任意的k∈N+结论都成立17．【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X＝5”，因为P（X＝5）＝，∴P（A）＝1﹣P（X＝5）＝；即他们的累计得分x≤3的概率为．（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）＝2×＝，E（X2）＝2×＝，从而E（2X1）＝2E（X1）＝，E（3X2）＝3E（X2）＝，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．18．【解答】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），∴乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知ξ可能的取值为0，1，2，3，P（ξ＝1）＝P（A）P（）+•P（B）P（）P（）＝∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．19．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a＝2时，f（x）＝x﹣2lnx，，因而f（1）＝1，f′（1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a﹣alna，无极大值．20．【解答】满分（12分）．解：（I）抛物线C：y2＝2px（p＞0），∴焦点F（）．…（1分）由抛物线定义得：|PF|＝1+＝3，解得p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x．…（3分）（II）（i）依题意可设过点T（4，0）的直线l的方程为x＝ty+4，…（4分）由，得y2﹣8ty﹣32＝0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝8t，y1y2＝﹣32，…（6分）∴，…（7分）∴＝+＝16﹣32＝﹣16．…（8分）（ii）设A（x1，y1），M（0，y M），N（0，y N），则，①以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为，…（9分）令x＝0，则+（y﹣y1）2＝（4﹣x1）2+，②把①代入②得（y﹣y1）2＝16，∴y＝y1+4或y＝y1﹣4，∴|MN|＝|y M﹣y N|＝8，…（11分）∴S△MNF＝•|MN|•|OF|＝＝8．…（12分）以下二小题任选两题,[坐标系与参数方程]21．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）＝a，解得a＝．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）＝，即：ρcosθ+ρsinθ＝2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2＝0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d＝＝＜1，所以直线与圆相交．[不等式选讲]22．【解答】解：①因为，且，所以，且解得，又因为a∈N*，所以a＝1；②因为|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取得等号，所以f（x）的最小值为3．。
2015-2016学年福建省莆田二十四中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（每题5分）1．（5分）如果集合A＝{x|mx2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的值为（）A．0B．1C．2D．0或22．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则A∩B＝（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{1，4}3．（5分）复数z＝1+i，为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i4．（5分）命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知命题p：e x＞1，命题q：lnx＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）7．（5分）已知曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣28．（5分）曲线y＝在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1B．C．D．﹣9．（5分）函数f（x）＝的导函数为（）A．f′（x）＝2e2x B．f′（x）＝C．f′（x）＝D．f′（x）＝10．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（，2）B．（﹣∞，0）∪（，2）C．（﹣∞，∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（2，+∞）11．（5分）函数f（x）＝ax3+x+1有极值的充要条件是（）A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤012．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．直线，，，若∥，∥，则∥．类推出：向量，，，若∥，∥，则∥B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4bD．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2＝r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2＝r2二．填空题（每题5分）13．（5分）计算定积分（x2+sin x）dx＝．14．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则¬p是¬q的条件．15．（5分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“¬p∨¬q”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号为．16．（5分）已知函数f（x）＝2x2﹣ax+lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围是．三、解答题（每题12分）17．（12分）已知M＝{x|x2﹣5x+6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N⊆M，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集．18．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处与直线y＝8相切，求a，b（2）求函数f（x）的单调性与极值点．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+bx+c．（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x＝1时取得极值，且x∈[﹣1，2]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）+g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤g（x）+lnx，求实数a的取值范围．四、选作题（从22/23中任选一题，10分）22．（10分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），（1）以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；（2）已知直线l经过原点O，倾斜角，设l与圆C相交于A、B两点，求O到A、B 两点的距离之积．23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤14的解集；（2）若f（x）≥a2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省莆田二十四中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分）1．【解答】解：当m＝0时，显然满足集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2﹣4x+2＝0}有且只有一个元素，可得判别式△＝16﹣8m＝0，解得m＝2，∴实数m的值为0或2．故选：D．2．【解答】解：B＝{0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}，故选：C．3．【解答】解：＝1﹣i，所以＝（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1＝﹣i故选：B．4．【解答】解：根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可．原命题：若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原命题正确，逆否命题也正确．逆命题：若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆命题错误，否命题也错误．故四个命题中，真命题的个数为2．故选：B．5．【解答】解：命题p：e x＞1，解得x＞0．命题q：lnx＜0，解得0＜x＜1．则p是q的必要不充分条件．故选：B．6．【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，∴￢p是假命题，￢q是真命题，∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，故选：D．7．【解答】解：∵y＝，∴y′＝＝，∴曲线y＝在点（3，2）处的切线的斜率k＝﹣，∵曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，∴直线ax+y+1＝0的斜率k′＝﹣a×＝﹣1，即a＝﹣2．故选：D．8．【解答】解：y'＝x∴当x＝1时，y'＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1，设切线的倾斜角为α，0≤α＜π∴tanα＝1，∴α＝，故选：B．9．【解答】解：f′（x）＝＝，故选：B．10．【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）大于0，在（，2）上小于0，∴xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．故选：B．11．【解答】解：当a＝0时，函数f（x）＝ax3+x+1＝x+1是单调增函数无极值，故排除B，D当a＞0时，函数f（x）＝ax3+x+1是单调增函数无极值，故排除A，故选：C．12．【解答】解：若向量＝，则∥不正确，故A错误；空间内，直线a与b可以相交、平行、异面，故B不正确；方程x02+ix0+（﹣1±i）＝0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|＝r，得，故D正确．故选：D．二．填空题（每题5分）13．【解答】解：由题意，定积分＝＝＝．故答案为：．14．【解答】解：p的解集x＞1或x＜﹣3，所以非p的解集﹣3≤x≤1，q的解集2＜x＜3，所以非q的解集x≥3或x≤2，∵[﹣3，1]⊊（﹣∞，2]∪[3，+∞），∴非p是非q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．15．【解答】解：①特称命题的否定是全称命题，则“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，∴①错误；②若“p∨q”为假命题，则p，q同时为假命题，∴¬p和¬q为真命题，∴¬p∨¬q为真命题，正确．③当a＝3时，满足a＞2但a＞5不成立，∴“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件；∴③错误．④若xy＝0，则x＝0或y＝0，∴原命题错误，根据逆否命题与原命题的等价性可知，逆否命题也正确，∴④错误．故正确是②．故答案为：②．16．【解答】解：∵f（x）＝2x2﹣ax+lnx，x＞0，∴f′（x）＝4x﹣a+＝，令g（x）＝4x2﹣ax+1，若f（x）在其定义域上不单调，则g（x）在（0，+∞）有解，∴，解得：a＞4，则实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．三、解答题（每题12分）17．【解答】解：M＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，若N＝{x|ax＝12}＝∅，则N⊆M，此时a＝0；若N＝{x|ax＝12}＝{2}，则N⊆M，此时a＝6；若N＝{x|ax＝12}＝{3}，则N⊆M，此时a＝4；故A＝{0，4，6}；故A的所有非空真子集是{0}，{4}，{6}，{0，4}，{0，6}，{4，6}．18．【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0），得f′（x）＝3x2﹣3a，∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处与直线y＝8相切∴，∴，解得：a＝4，b＝24，∴a＝4，b＝24；（2）由f（x）＝x3﹣3ax+b（a≠0），得f′（x）＝3x2﹣3a，当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）为定义域上的增函数，函数f（x）不存在极值；当a＞0时，由3x2﹣3a＞0，得x＜﹣或x＞，由3x2﹣3a＜0，得﹣＜x＜，∴函数f（x）在（﹣∞．﹣），（，+∞）上为增函数，在（﹣，）上为减函数．∴x＝﹣是f（x）的极大值点，x＝是f（x）的极小值点．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）＝3x2﹣3，由f′（x）＝0得x＝±1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣1，1）上递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增，当x＝﹣1时取到极大值是f（﹣1）＝3，当x＝1取到极小值f（1）＝﹣1．…（4分）（Ⅱ）由f′（x）＝3x2﹣3得，f′（0）＝﹣3，∵f（0）＝1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1＝﹣3x即3x+y﹣1＝0．…（8分）20．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ，∵f （x ）在（﹣∞，+∞）是增函数， ∴f ′（x ）≥0恒成立，∴△＝1﹣12b ≤0，解得b ≥．∵x ∈（﹣∞，+∞）时，只有b ＝时，f ′（）＝0，∴b 的取值范围为[，+∞]．（2）由题意，x ＝1是方程3x 2﹣x +b ＝0的一个根，设另一根为x 0，则∴∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，列表分析最值：，﹣（﹣+c极大值∴当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）的最大值为f （2）＝2+c ，∵对x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＜c 2恒成立，∴c 2＞2+c ，解得c＜﹣1或c ＞2， 故c 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）21．【解答】解：（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）+g （x ）＝xlnx ﹣x +1， ∴h '（x ）＝lnx ，由h '（x ）＜0，得x ∈（0，1），由h '（x ）＞0，得x ∈（1，+∞）， ∴h （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；（Ⅱ）由f （x ）≤g （x ）+lnx ，得（x ﹣1）lnx ≤（ax ﹣1）（x ﹣1）， 因为x ≥1，所以：（ⅰ）当x ＝1时，a ∈R ．（ⅱ）当x ＞1时，可得lnx ≤ax ﹣1，令h （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1， 则只需h （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1≥0即可， 因为．且，①当a ≤0时，h ′（x ）＜0，得h （x ）在（1，+∞）单调递减， 且可知h （e ）＝ae ﹣2＜0这与h （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1≥0矛盾，舍去；②当a ≥1时，h ′（x ）＞0，得h （x ）＝ax ﹣lnx ﹣1在（1，+∞）上是增函数，此时h（x）＝ax﹣lnx﹣1＞h（1）＝a﹣1≥0．③当0＜a＜1时，可得h（x）在单调递减，在单调递增，∴矛盾，综上：当a≥1时，f（x）≤g（x）+lnx恒成立．四、选作题（从22/23中任选一题，10分）22．【解答】解：（1）由得，两式平方后相加得（x﹣）2+y2＝4，…（4分）∴曲线C是以（，0）为圆心，半径等于2的圆．令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入并整理得．即曲线C的极坐标方程是…（10分）（2）直线的参数方程是（t是参数）．因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，圆化为直角坐标系的方程（x﹣）2+y2＝4，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到t2+3t﹣1＝0 ①，因为1和t2是方程①的解，从而t1t1＝﹣2．所以|OA||OB|＝t1t2|＝|﹣1|＝1．23．【解答】解：（1）当a＝2时，不等式f（x）≤14即为，|x﹣2|+|x﹣2|≤14，所以，|x﹣2|≤7，不等式等价为：﹣7≤x﹣2≤7，解得，﹣5≤x≤9，故原不等式的解集为：{x|﹣5≤x≤9}；（2）因为不等式f（x）≥a2对x∈R恒成立，所以，f（x）min≥a2，根据绝对值三角不等式，|x﹣a|+|x﹣2|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|a﹣2|，即f（x）min＝|a﹣2|，所以，|a﹣2|≥a2，分类讨论如下：①当a≥2时，a﹣2≥a2，无解；②当a＜2时，2﹣a≥a2，解得a∈[﹣2，1]，综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[﹣2，1]．。
(优辅资源)福建省莆田高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版(含答案)
莆田六中2015－2016学年高二下期末考理科数学（B）2016年7月11日命题人：高二备课组审核人：吴金炳满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|21}A x x=-<，{|230}B x x=-≥，U R=，则UA C B=I（） A．3(3,)2-- B．3(3,)2- C．3(1,)2 D．3(,3)22.已知⎩⎨⎧-=-)1(log2)(22xxfx22xx≤>，则))5((ff等于( )A. －1B. 1C. －2D. 23．下列函数为偶函数的是（）A. ()2f x x x=- B. ()cosf x x x=C. ()sinf x x x= D. ()()211f xg x x=++4．下列函数)(xf中，满足“对任意的),0(,21+∞∈xx时，均有0)]()()[(2121>--xfxfxx”的是() （A）xxf）（21)(=（B）44)(2+-=xxxf（C）()2f x x=+（D）xxf21log)(=5．设,a b R+∈，则“4ab>”是“4a b+>”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．命题“*x n∀∈∃∈，R N，使得2n x≥”的否定形式是（）A．*x n∀∈∃∈，R N，使得2n x<B．*x n∀∈∀∈，R N，都有2n x<C．*x n∃∈∃∈，R N，使得2n x<D．*x n∃∈∀∈，R N，都有2n x<7．已知定义在R上的函数()f x有导函数()f x'，则“()0f x'=”是“x x=为函数()f x极值点”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8.函数2ln||xyx=的图象大致为（）9．已知函数()f x满足：x R∀∈，都有()2()f x f x-=-。
2015～2016学年度第二学期高二年级期末考试数学理科试卷
4．某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试，若这 4 人中必须既 有男生又有女生，则不同的选法共有 ( A．14
5．某四面体的三视图如图所示．该四面 体的六条棱的长度中，最大的是（ A. 2 5 B. 2 6 C. 2 7 ）
9 1 , 2] (0, ] 4 2 9 2 C. ( , 2] (0, ] 4 3
A. (
11 1 , 2] (0, ] 4 2 11 2 D. ( , 2] (0, ] 4 3
B. (
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字 x 应该是__________． 12．花园小区内有一块三边长分别是 5 m，5 m，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其 内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距 离均超过 2 m 的概率是________． 13．某班级有一个 7 人小组，现任选其中 3 人相互调整座位，其余 4 人座位不变，则不同的 调整方案的种数为________． 14．已知 a b ，且 ab 1 ，则
19． （本小题满分 12 分） 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的 有 60 人， 数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人， 物理成绩优秀但数学不优秀的有 100 人． （1）能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取 3 名学生的成绩，记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为 X，
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莆田六中2015－2016学年高二下期末考理科数学（B ）2016年7月11日命题人：高二备课组 审核人：吴金炳 满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{|21}A x x =-< ，{|230}B x x =-≥，U R =，则U A C B = （ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22.已知⎩⎨⎧-=-)1(log 2)(22x x f x 22x x ≤>，则))5((f f 等于( )A. －1B. 1C. －2D. 23．下列函数为偶函数的是（ ） A. ()2f x x x =-B. ()cos f x x x =C. ()sin f x x x =D. ()(1f x g x =4．下列函数)(x f 中，满足“对任意的),0(,21+∞∈x x 时，均有0)]()()[(2121>--x f x f x x ”的是( )（A ）xx f ）（21)(=（B ）44)(2+-=x x x f （C ）()2f x x =+（D ）x x f 21log )(=5．设,a b R +∈，则“4ab >”是“4a b +>”的（ ）A ．充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，都有2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，都有2n x <7．已知定义在R 上的函数()f x 有导函数()f x '，则“0()0f x '=”是“0x x =为函数()f x 极值点”的（ ）A ．充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.函数2ln ||xy x =的图象大致为（ ）9．已知函数()f x 满足：x R ∀∈，都有()2()f x f x -=-。
若函数()f x 的图像与直线1y kx =+的交点为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123y y y ++=（ ）A ．0B ． kC ．3kD ．310. 已知定义在R 上的函数()f x 和()g x ，记()()()x f x g x ϕ=+。
则下列四个命题中正确的有 （ ）个①若()x ϕ有最小值，则()f x 和()g x 中至少有一个有最小值；②若()x ϕ为偶函数，则()f x 和()g x 中至少有一个为偶函数 ③若()x ϕ为增函数，则()f x 和()g x 中至少有一个为增函数 ④若()x ϕ为周期函数，则()f x 和()g x 中至少有一个为周期函数 A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．311.已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()()f x xf x '>恒成立,则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ）． A ． (0,1)B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞12.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．2e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2e 0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数11x y a +=-(01)a a >≠且恒过定点M ，则定点M 的坐标为______________14.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是_______________。
15．已知实数,a b 满足：1a b >>，5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a =_______________ 16．设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩。
若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知函数()f x =A ，值域为B （1）求集合A ，B ，A B ；（2）设集合2{|0}C x x x a =+-=，若A C ≠∅ ，求实数a 的取值范围。
18．已知函数2()(43)3f x x a x a=+-+（1）当1a =，[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）已知0a >且1a ≠，若函数(),0()log (1)1,0af x xg x x x <⎧=⎨++≥⎩为R 上的减函数，求实数a 的取值范围。
19．已知a R +∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.20. 已知函数()()21ln 2f x x ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若函数()f x 在[1,]e 上单调递增，求a 的取值范围。
21.已知关于x 的方程10x a e x ⋅--=有两个不等实根12,x x 。
（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：120x x +>请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（本题不选）23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =--+. (Ⅰ)解不等式()6f x ≥-；(Ⅱ)若存在0x 满足0()0f x a +>，求a 的取值范围.莆田六中2015-2016学年高二下期末考理科数学（B ）评分标准一．选择题1-5：CBCCA 6-10：DBBDA 11-12： DA 二、填空题13、(1,0)- 14、21y x =+ 15、4 16、(,1)-∞- 三、解答题17. 解：（1）要使得函数有意义，则2320x x +-≥， . . . . . . . . . . 1分 即2230x x --≤解得13x -≤≤。
所以[1,3]A =- . . . . . . . . . . 2分令2232(1)4t x x x =+-=--+，则y =分13x -≤≤ ，04t ∴≤≤，所以函数的值域是[0,2]B =。
. . . . . . . . . . 4分 [1,3]A B =- . . . . . . . . . . 6分（2）【法一】A C ≠∅ 所以方程20x x a +-=在区间[1,3]-上有解。
即2x x a +=在区间[1,3]-上有解。
. . . . . . . . . . 7分令2()g x x x =+，[1,3]x ∈-，则()a g x ∈的值域。
. . . . . . . . . . 8分 函数()g x 的对称轴为12x =-，所以min 11()()24g x g ==-，max ()(3)12g x g ==. . . . .11分所以a 的取值范围是1[,12]4-。
. . . . . . . . . . 12分 【法二】：A C ≠∅ 所以方程20x x a +-=在区间[1,3]-上有解。
. . . . . . . . . .7分则0∆≥且“13-≤≤或13-≤≤” . . . . . . . . . . 9分解得1124a -≤≤或104a -≤≤，即1124a -≤≤。
. . . . . . . . . . 11分 综上a 的取值范围是1[,12]4-. . . . . . . . . . 12分18. 解：（1）当1a =时，2()3f x x x =++。
[1,1]x ∈-对称轴12x =-，. . . . . . . .2分故min 111()()24f x f =-=，max ()(1)5f x f ==。
. . . . . . . . 4分函数()f x 的值域为11[,5]4. . . . . . . . 5分 （2）由已知可得()f x 在(,0)-∞时单调递减，故对称轴4302a --≥即34a ≤ . . . . . . . . 7分()f x 在[0,)+∞时单调递减，故即01a << . . . . . . . . 9分又()g x 在R 上递减，则(0)(0)f g ≥，即31a ≥，解得13a ≥ . . . . . . . . 11分 综上1334a ≤≤。
. . . . . . . . 12分 19. 【解】（1）由21log 50x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得151x +>，即410x x +> . . . . . . . . 2分 解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．. . . . . . . . 4分（2）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．. . . . . . . . 5分（这里不作证明直接给出结论不扣分）函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．. . . . . . . . 6分()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫+≤++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. .7分【法一】即112()1a a t t +≤++，整理得121a t t -≤+对任意1[,1]2t ∈成立。