乘法算子的Herz型Sobolev范数估计

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两种Sobolev空间之间的嵌入范数

两种Sobolev空间之间的嵌入范数胡增周;王薇;许贵桥【摘要】研究锚取任意值的第二类Sobolev空间与第一类Sobolev空间之间的嵌入范数,利用余弦级数和不等式等技巧得到了嵌入范数的准确值.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(039)002【总页数】3页(P7-9)【关键词】嵌入范数;锚;第一类Sobolev空间;第二类Sobolev空间【作者】胡增周;王薇;许贵桥【作者单位】河北省城乡建设学校,石家庄050031;天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津师范大学数学科学学院,天津300387【正文语种】中文【中图分类】O174.411 引言与预备知识求函数空间上数值问题的满足一定精度的解所必须搜集的最小信息量，是信息复杂度理论研究的核心问题，其中易处理性问题是目前的研究热点[1-5].当前研究最多的是基于单变量第二类Sobolev空间与第一类Sobolev空间的多元问题的易处理性，而不同函数空间之间的嵌入范数是研究多元问题易处理性的主要工具[6-10].设且f是局部绝对连续的.在W21（[0，1]）上引入第一类Sobolev空间H1，其相应的范数为同时，在W21（[0，1]）上引入第二类Sobolev空间H2，其相应的范数为H2称为以c∈[0，1]为锚的Sobolev空间，其中c称为锚.显然，H1与H2之间是互相嵌入的，文献[8]对于锚取端点（即c=0）的H1与H2的嵌入范数做了研究，得到了嵌入范数的准确值，而在许多研究如文献[9，11-13]中，c的值都是任意的，本文对任意c∈[0，1]，得到了嵌入范数的准确值.2 主要结论首先引入2种空间之间嵌入的定义.记下面引入算子范数的定义.设F、G为2个线性赋范空间，若算子I：F→G为一个线性有界算子，则线性算子I的范数为定理设I1、I2定义如式（1）和式（2），则其中∈[0，1].证明先计算‖I1‖H1→H2.记F=W21（[0,1]）.由定义知对f（x）做余弦展开得若，则由Parseval等式可得由此可得由式（3）和式（4）得因此有若的情况，此时有由式（3）和式（6）以及Cauchy-Schwarz不等式可得另外，令则ak满足且有下面计算将f（x）=（x-1）2在（0，1）上展开成余弦级数，有令x=2c，则有将式（10）代入式（9）得由式（7）、式（8）和式（11）可得对固定的a0，记其为a，则有因此令对g（a）关于a求导，可得g（a）当a=时取得最大值，且其最大值为下面计算其中c∈[0，1].如果则f′（x）几乎处处为0，即f（x）=a，a为常数，则显然有如果情况即对式（14）两边同时积分得由Fubini积分交换定理得由Cauchy-Schwarz不等式可得由式（16）和式（17）可得此外，令则f（x）同时满足由此结合式（18）可得由式（19）得由式（12）的计算过程可得注：当c=0时，由式（13）得文献[8]给出了上面的等式成立，但没有给出具体的证明，本文证明了文献[8]的结论，并对任意c∈[0，1]给出了该嵌入范数的具体值.【相关文献】[1]许贵桥.单形积上的Sobolev类逼近问题的易处理性[J].数学学报，2017，60（4）：605-618.XU G Q.Tractablility of approximation problems in Sobolev classes definied over products simplices[J].Acta Mathematica Sinica，2017，60（4）：605-618（in Chinese）.[2]BASU K.Quasi-Monte Carlo tractability of high diensional integration over products of simplices[J].Journal of Complexity，2015，31（6）：817-834.[3]NOVAKE，WOZNIAKOWSKIH.Tractabilityof Multivariate Problems，VolumeⅠ：Linear Information[M].Zürich：European Mathematical Society，2008.[4]NOVAK E，WOZNIAKOWSKI H.Tractability of Multivariate Problems，VolumeⅡ：Standard Information for Functionals[M].Zürich：European Mathematical Society，2010.[5]NOVAK E，WONIAKOWSKI H.Tractability of Multivariate Problems，VolumeⅢ：Standard Information for Operator[M].Zürich：European Mathematical Society，2012.[6]WASILKOWSKI G W.Tractability of approximation of ∞-variate functions with bouded mixed partial derivatives[J].Journal of Complexity 2014，30（3）：325-346.[7]MICHAEL G，SEBASTIAN M，KLAUS R.On weighted Hilbert spaces and integration offunctions of infinitely many variables[J].Journal of Complexity，2014，30（2）：29-47. [8]KRITZER P，PILLICHSHAMMER P，WASILKOWSKI G W.Very low truncation dimension for high dimensional integration under modest error demand[J].Journal of Complexity，2016，35（4）：63-85.[9]GNEWUCH M，HEFTER M，HINRICHS A，et al.Equivalence of weighted anchored and ANOVA spaces of functions with mixed smoothness of order one in Lp[J].Journal of Complexity，2017，40（3）：78-99.[10]WASILKOWSKI G W.On tractability of linear tensor product problems for ∞-variate classes of functions[J].Journal of Complexity，2013，29（5）:351-369.[11]DICK J，KUO F Y，SLOAN I H.Acta Numerica:High Dimensional Integration：The Quasi-Monte Carlo Way[M].Cambridge：Cambridge University Press，2014.[12]HEFTER M，RITTER K，WASILKOWSKI G W.On equivalence of weighted anchored and ANOVA spaces of functions with mixed smoothness of order one in L1 or Lp[J].Journal of Complexity，2016，32（1）：1-19.[13]GRICHBEL M，OSWALD P.Stable splittings of Hilbert spaces of functions of infinitely many variables[J].Journal of Complexity，2017，41（4）:126-151.。

H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式

H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式胡亭曦【摘要】研究了H型群上一类带权的HLS不等式,也就是所谓Stein-Wiess不等式,并由此得到了H型群上的HLS不等式.通过建立H型群上一类积分算子的Lp-Lq有界性,利用此积分算子与Stein-Wiess不等式的关系,得到所求不等式,从而推广了Heisenberg群上的Stein-Wiess不等式.%A Stein-Weiss inequality on H-type groups is studied.By the inequality,the HLS inequality on H-type groups is also derived.By proving the Lp-Lq estimate of an integral operator,the main result is established based on the relationship between the integral operator and the inequality,and this result implies Stein-Weiss inequality on Heisenberg group.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2013(026)002【总页数】5页(P231-235)【关键词】HLS不等式;Stein-Wiess不等式;H型群【作者】胡亭曦【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O1780 引言欧氏空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式［1-4］（简写为HLS不等式）在分析与几何中都有着重要的应用.欧氏空间RN上的HLS不等式为设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，且满足1／r+1／s+λ／N=2，记‖f‖p为函数f的Lp（RN）范数，则存在与函数f，g无关的正常数Cr，λ，N，使得Heisenberg群上的 HLS不等式由Folland和Stein得到［5］.不久前Frank和Lieb［6］又给出了Heisenberg群上r=s条件下HLS不等式的最佳形式，其中的证明没有用到对称递减重排.Stein和Wiess在文献［7］中建立了RN上带权的HLS不等式，即Stein-Wiess 不等式：设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，α+β≥0，且满足λ+α+β≤N，α＜N／r′ （r′为r的共轭数），β＜N／s′ （s′为s的共轭数），1／r+1／s+λ／N=2，则存在与函数f，g无关的正常数Cα，β，r，λ，N，使得最近Han等人［8］将这一结果推广到Heisenberg群上.本文将Stein-Wiess不等式推广到H型群上，由此得到H型群上的HLS不等式.1 H型群和主要结果1.1 H型群关于H型群的更多信息可参见文献［9］.一个H型群N是一个二步Carnot群，其李代数n=V⊕T上的内积记为〈·，·〉；对每个z∈V可以定义V上的自同构映射Jz满足而且〈z，z〉=1时，Jz 是正交映射.记n= （1／2）dimV，m=dimT，在群N 上固定一个坐标u= （z，t），则z∈R2n，t∈Rm，群运算具有形式其中 Uj是适当的反对称矩阵.H型群是齐次群，因此在群N上自然地具有一族各向异性的伸缩δr：群N的齐次维数定义为Q=2n+2m.通过指数映射可以将李代数n上的Lebesgue 测度提升到群N上而获得群上的双不变Haar测度，记为du，且有（d◦δr）（u）=rQdu.群N上任意元素u的齐次模定义为其中 |z|，|t|是z∈R2n，t∈Rm的Euclid范数；与齐次模相关的拟距离记为d（u，v）=|u-1v|.用B（u，r）= ｛v∈N|d（u，v）＜r｝表示以u为圆心，r为半径的拟球；记｛|u|＜1｝为以单位元为圆心，1为半径的拟单位球.在群N上定义带w权的Lp范数为将带w权Lp范数有限的可测函数全体构成的空间记做Lp（N，w）.1.2 主要结果定理1 设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足则存在与函数f，g 无关的正常数Cα，β，r，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.推论1（H型群上的HLS不等式）设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，满足1／r+1／s+λ／Q=2，则存在与函数f，g 无关的正常数Cr，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.2 定理1的证明2.1 等价定理与引理为证明定理1，先给出2个与之等价的定理.定理2 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与f 无关的正常数，算子T 形为注意到式（2）等同于选取f（u）=g（u）／|u|β，可得定理2的等价叙述.定理3 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有‖Sg‖q ≤C‖g‖p，其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与g 无关的正常数，虽然定理1与定理2、定理3中对参数的要求不一样，但是若选取r=q′，s=p，经计算会发现几个定理对参数的要求是一致的.引理1 定理1和定理3等价.证明设定理1成立，利用对偶讨论得于是定理3的结论成立.设定理3的结论成立，由计算得于是定理1的结论成立.引理1证毕.于记K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，将之代入式（3）中有另外d（u，v）是规范距离，满足三角不等式［10］考虑N上的测度wdu，若存在正常数C，使得对任意一对同心球B和B′，当r （B）=2r（B′）时有则称测度wdu满足二重性质.注意到可知|u|-αqτdu是N 上满足二重性质的测度，同理|u|-βp′τdu也是N 上满足二重性质的测度.文献［11］在齐型空间上建立了与式（4）相关的一类算子的有界性，这里的H 型群是齐型空间，所以可以将之应用到H型群上.引理2［11］（Sawyer-Wheeden）设w1（u）和w2（u）是N上的非负可测函数.由式（5）定义的算子T是Lp（N，w2）到Lq（N，w1）的有界算子的一个充分条件是下面两条成立：（1）∃ε＞0，使得对任意一对球B和B′，若满足B′⊆4B，则有其中 r和r′分别是球B 和B′的半径，这里φ（B）=sup｛K（u，v）|u，v∈B，d（u，v）≥9-1r｝，它对所有半径为r的球B⊆G有定义；Cε是只依赖于ε的正常数.（2）∃τ＞1，使满足二重性质，且对任意的球B⊆G有其中Cτ是只依赖于τ的正常数.2.2 定理2的证明利用引理2可验证定理2.事实上，选取w1（u）=|u|-αq，w2（u）=|u|βp，只需要验证引理2中的条件（7）和（8）对式（5）中定义的算子成立.为验证式（7），注意到 K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，可得φ（B）=9λr-λ，φ（B′）=9λ（r′）-λ，因此因为0＜λ＜Q，可选取足够小的ε＞0，使得Q-λ-ε＞0，那么由B′⊆4B有这验证了条件（7）.为验证条件（8），记M3=，然后分别估计 Mi （i=1，2，3）.设即就有直接计算得若αqτ＜Q，若βp′τ＜Q，由条件α ＜ Q／q，β ＜ Q／p′ 得知 min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝＞ 1，此式保证存在τ 满足 1 ＜τ ＜min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝，于是αqτ＜Q 和βp′τ＜Q 成立，可知条件（8）左端这验证了条件（8）.最后利用引理2就完成了定理2的证明.2.3 定理1的证明由引理1，定理1与定理3等价.定理2与定理3等价.故可知定理1成立.【相关文献】［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.Some properties of fractional integrals（1）［J］.Math Z，1928，27（1）：565-606.［2］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.On certain inequalities connected with the calculus of variations［J］.J London Math，1930，5（1）：34-39.［3］SOBOLEV S L.On a theorem of functional analysis［J］.Mat Sbornik，1938，4：471-479.［4］LIEB E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities ［J］.Ann of Math，1983，118（2）：349-374.［5］FOLLAND G B，STEIN E M.Estimates for the（∂）bcomplex and analysis on the Heisenberg group［J］.Comm Pure Appl Math，1974，27（4）：429-522.［6］FRANK R L，LIEB E H.Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group［J］.Annals of Mathematics，2012，176（1）：349-381.［7］STEIN E，WEISS G.Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space［J］.J Math Mech，1958，7：503-514.［8］HAN X，LU G，ZHU J.Hardy-Littlewood-Sobolev and Stein-Weiss inequalities and integral systems on the Heisenberg group［J］.Nonlinear Anal，2012，75（11）：4 296-4 314.［9］KAPLAN A.Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms［J］.Trans Amer Math，1980，258（1）：147-153. ［10］HEBISCH W，SIKORA A.A smooth subadditive homogeneous norm on a homogeneous group［J］.Studia Math，1990，96：231-236.［11］SAWYER E，WHEEDEN R.Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces［J］.Amer J Math，1992，114（4）：813-874.。

sobolev空间范数

sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。

本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。

我们来定义Sobolev空间范数。

给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。

其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。

对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。

Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。

这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。

Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。

也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。

这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。

除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。

嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。

这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。

Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。

例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。

通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。

sobolev范数

sobolev范数Sobolev范数是一种实用的数学工具，用于测量函数的光滑度。

它在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将简要介绍Sobolev范数的概念、性质以及应用。

Sobolev范数最初由Sergei Lvovich Sobolev于1930年提出。

它是基于一组函数空间中的内积定义的，并且用于估计函数的光滑度。

在理解Sobolev范数的定义之前，让我们先了解一些基本的概念。

梯度是一个向量算子，可对多元函数求导。

对于一个$n$元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，其梯度表示为$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partialx_1},\frac{\partial f}{\partialx_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partialx_n}\right)$。

这里用$\frac{\partial f}{\partialx_i}$表示函数$f$在第$i$个自变量处的偏导数。

梯度和偏导数的概念很重要，因为它们直接涉及到Sobolev范数的定义。

Sobolev范数的定义通过一组函数空间中的内积给出。

一个函数位于Sobolev空间$W^{k,p}$中，当且仅当它在前$k$个导数连续的情况下属于$L^p$空间。

我们现在重新阐述了一下这个定义，如果微积分中的“导数”概念对您来说比较抽象，可以先跳过下面几段内容。

对于一个定义在区域$\Omega$上的函数$u(x)$，它的Sobolev范数定义为： $$||u||_{W^{k,p}(\Omega)} =\left(\sum_{|\alpha|\leqk}\int_{\Omega}|D^{\alpha}u(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}$$ 其中，$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$是一个$n$维非负整数向量，$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$表示它所有元素的和，$D^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partialx_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$是一个多元偏导算子，$p\geq1$表示正整数。

sobolev空间中的fredholm二则一定理

sobolev空间中的fredholm二则一定理【Sobolev空间中的Fredholm二则一定理】之论述引言：Sobolev空间作为函数空间的一种重要扩展，其在分析学、偏微分方程和控制论等领域的研究中起到了至关重要的作用。

其中，Fredholm理论是Sobolev空间研究中的重要组成部分之一。

本文将围绕着Sobolev空间中的Fredholm二则一定理展开论述，分析其定义、性质和应用，并逐步引入相关的概念和定理，全面阐述该理论在偏微分方程中的重要性。

第一部分：Sobolev空间与Fredholm理论基础1. Sobolev空间的定义及性质1.1 Sobolev空间的概念引入1.2 Sobolev空间的范数和内积结构1.3 Sobolev空间中的嵌入定理2. Fredholm算子的概念与特征2.1 Fredholm算子的定义和性质2.2 Fredholm算子的核、余核和指数第二部分：Fredholm二则一定理的证明3. Fredholm二则的表述与重要性3.2 Fredholm二则在Sobolev空间中的应用4. Fredholm二则的证明思路和技术4.1 拓扑方法在Fredholm二则证明中的应用4.2 几何方法在Fredholm二则证明中的应用第三部分：Fredholm二则的应用5. Fredholm二则在偏微分方程中的应用5.1 Fredholm二则在椭圆型偏微分方程中的应用5.2 Fredholm二则在抛物型和双曲型偏微分方程中的应用6. Fredholm二则的其他应用领域6.1 Fredholm二则在控制论中的应用6.2 Fredholm二则在实变函数中的应用第四部分：Fredholm二则一定理的进一步研究7. Fredholm二则的拓展与发展7.1 Fredholm二则的推广及新的变体7.2 Fredholm二则的其他空间条件和结果8. Fredholm二则的存在性和唯一性问题8.2 Fredholm二则的唯一性问题研究结论：通过本文的论述，我们对于Sobolev空间中的Fredholm二则一定理有了更加深入和全面的理解。

多元Sobolev空间上的混淆误差估计

摘
要：利用多元带有限函数在非正规样本序列上的插值，讨论了经典多元Ｓｂｌｏｏｅｖ函数类空间的｝淆误差，昆
并给出了阶意义下的精确误差界。
关键词：有限函数；带多元Ｓｂｌ空间；正规样本序列ｏｏｖｅ非
中图分类号：１４４Ｏ７．文献标识码：Ａ
ＡｂｔａｔＩｈｓｐｐｒｈｕｈｒｕｉｚｄｔｅｉｔｒｏａｉｎａｒｅｕａａｌｇｓｑｅｃｆｍｕｔａｉｔａｄｉｔｄｆｎｔｎｓｒｃ：ｎｔｉａｅ，ｔｅａｔｏｓｔｉｈｎｅｐｌｔｔｒｇｌｒｓｍｐｉｅｕｎｅｏｌｖｒｅｂｎｌｅｃｉｓｌｅｏｉｎｉａｍｉｕｏｔｉｃｓｈｌｓｎｒｏｆｆｎｔｎｎｃａｓｃｌｌｖｒｔｏｏｅｐｃ．ｎｂａｎｄｔｅｅａｔｐｒｂｕｄｉｈｅｓｆ卜ｏｄｓｕｓｔｅａｉｉｇｅｒｏｃｉｓＯｌｓｉａａｕｏｍｕｔａｉｅＳｂｌｖｓａｅａｄｏｔｉｅｈｘｃｕｐｏｎｔｅｓｎｅｏｉａｅｎｏ
ＴｈｅＥｓｉａｉｎｏｉｓｎｒｒｏｕｔｖｒａｅＳｂｌｖｓａｅｔｍｔｏｆＡｌｉｇＥｒｏｎＭｌｉａｉｔｏｏｅｐｃａ
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sobolev不等式证明

sobolev不等式证明Sobolev不等式是数学中的一种重要的不等式，它在偏微分方程、函数空间、概率论等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍Sobolev不等式的定义、证明和应用。

一、Sobolev不等式的定义Sobolev不等式是指对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，都存在一个常数$C$，使得下面的不等式成立：$$\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \leq C\|\nablaf\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}$$其中$p>1$，$q$是$p$的共轭指数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

$\|\cdot\|_{L^p}$和$\|\cdot\|_{L^q}$分别表示$L^p$和$L^q$范数。

二、证明为了证明Sobolev不等式，我们需要先引入一个引理：引理：对于任意一个充分光滑的函数$f(x)$，有如下估计：$$|f(x)| \leq C\left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}}$$其中$C$是一个与$f(x)$无关的常数。

证明：由Cauchy-Schwarz不等式可得：$$|f(x)| = \left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}\cdot\frac{\nabla f(y)}{\|\nabla f(y)\|}dy\right|$$再利用Holder不等式，得到：$$|f(x)| \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\nablaf(y)|^2dy\right)^{\frac{1}{2}} \left(\int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2\frac{1}{\|\nabla f(y)\|^2}dy\right)^{\frac{1}{2}}$$因为$\|\cdot\|$是$L^p$范数，所以$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

索伯列夫(Sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)

索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。

关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理Key words摘要...............................................................................................I Abstract .. (II)引言................................................................................................1 一、预备知识...................................................................................2 1.1 弱导数定义.................................................................................2 1.2 Sobolev 空间,()m p W ...................................................................2 1.3 引理..........................................................................................2 二、嵌入定理的证明与集中紧性原理......................................................5 2.1 嵌入定理的证明...........................................................................5 2.2 集中紧性原理............................................................................10 2.3 结论........................................................................................12 参考文献.. (13)索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev 发展起来的。

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［金项目］国家自然科学基金（０６００；疆大学博士启动基金（Ｓ９１１基１８１１）新Ｂ０００）［作者简介］熊学亮（９４）男，北鄂州人，读硕士研究生，要从事函数空间上的算子及其应用研究。１８一，湖在主
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新疆师范大学学报（自然科学版）
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摘要：文章给出了乘法算子的Ｈｒ型Ｓｂｌ范ｅｚｏｏｖ数的ｅ估计。证明中使用了已有的Ｈｒ型空间的一些性质和对偶空间ｅ
的性质。证明是在等价范数的意义下进行的，过对乘法算子进行分解，究了乘法算子的Ｈｅｚ型Ｓｂｌｖ范数的一种估计。通研ｒｏｏｅ
ＨｅｚＴｉｅ— Ｌｚｒｉｒ型ｒｌｉｋｎ空间，给出了它们的一些基本性质和应用。所周知，法算子是包含了许多特ｂｏ并众乘
殊类算子的重要算子类，而微分算子在Ｆｕｉｒｏｒ变换下转化成为乘法算子，ｅ因此，类算子的研究无疑是一项这
１一些记号和定义
首先我们复述一些记号，表示维实欧几里得空间。（）示Ｓｈｒｚ间，一Ｓ表ｃｗａｔ空Ｓ（）表示一上
的广义函数空间。缓增分布函数厂的Ｆｕｉｒｏｒ变换定义为ｅ
（）』 Leabharlann ‘ ｘｄ一Ｒｅ。￣）ｘｆ（
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０（中＋一）ｐ２ “ Ｋ ∈ ；则ｌＩｃ ‘ ）其吉１若＞， ∈ａＫ，ｌ１，，１，且：删ｐｌ：，ｐＫ≤ ｛ａｃ
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推论２１设ｌ户＜。，＜ｑ。，．＜。ｌ＜。０＜ａ＜Ｎ（一ｑ，，，１）ｒ ∈ ｎ∈ Ｎ，ｒ使＜，ｓ＜，＋＞ｒ
近几十年来，关Ｈｅｚ型空间的研究已有大量结果。［］中，有ｒ在２陆善镇和杨大春引进了ＨｅｚＳｂｌｒ型ｏｏｅｖ
空间和ＨｅｚＢｓｅ位势空间，ｒ型ｅｓｌ而且给出了它在微分方程中的一些应用．［］中，在３徐景实和杨大春引进了
关键司：Ｈｒ型Ｓｂｌ空间；ｅ型Ｔｉ１Ｌｏｉ空间；ｅ型ＢｓｌｅｚｏｏｖｅＨｒｚｒｅｉｒｎｂ一ｚｋＨｒｅｅｚｓ位势空间；乘法算子中图分类号：Ｏ７４１．４文献标识码：Ａ文章编号：１０９５（１）１０３４０８６９２００— ４— — ０００
齐次Ｈｅｚ间是的定义为ｒ空。
ｊＩ一（２ＩＩ ∑ ｂｌ —
Ｋ…
其中 ∈ ，０＜Ｐ，ｑ＜。。ｏ齐次Ｈｅｚ型Ｔｒｅ— Ｌｚｒｉ间Ｋｒｉｌｉｋｎ空ｂｏＦ定义为
ＩＩｐＩ ∑２＊佃ＩＩＩ厂 — Ｉ｝，（Ｉ
有意义的工作．［］中徐景实证明了乘法算子的ＨｅｚＢｓｖ在７ｒ型ｅｏ范数的一种估计。于这种形式的乘法算子对常出现在ＮａｉｒＳｒｋｓ程和各种Ｋｉｅｉ方程中。Ｋｏｏｏ和Ｓｉｄ出了乘法算子在Ｔｉｅ — ｖｅ — ｔｅ方ｏｎｔｃ如ｚｎｈｍａａ给ｒｂｌｅ
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第２９卷
第１期
《疆师范大学学报》自然科学版）新（
ＪｕｎｌｆＸｉｊａｇＮｏｍａｉｅｓｔｏｒａｎｉｎｒｌＵｎｖｒｉｙｏ
（ｔｒｌＳｉｎｅｄｔｎＮａｕａｃｅｃｓＥｉｉ）ｏ