猛虎试题--恩施市一中--函数问题破解策略(一)-复习讲义
专题11 锐角三角函数-恩施州中考数学高频考点、重点专题突破精练精解(解析版)
专题11 锐角三角函数【达标要求】1.理解锐角三角函数的概念.2.知道30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值.3.能够用锐角三角函数解直角三角形。
【知识梳理】知识点1 锐角三角函数的概念定义：如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°.（1） 锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin ==A aA c ∠的对边斜边.（2） 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos ==A bA c ∠的邻边斜边.（3） 锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan ==A aA b∠的对边邻边.（4） 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做A ∠的三角函数. 知识点２ 特殊角的三角函数值 1．特殊角的三角函数值2．变化规律（1）当A ∠为锐角时，0sin 1A <<，0cos 1A <<，tan 0A >.（2）一个锐角的正弦值、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小.【精练精解】1.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=25，BC=30m，∴tan∠BAC=25＝BCAC＝30AC，解得AC=75，故选A．2.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【答案】C【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 3.︒60sin 2的值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 4.已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC ．∴sin ∠BAC =CD AC=45．故选D ．6.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC =57，则BC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．D ．【答案】D【解析】∵∠C =90°，cos ∠BDC =57，设CD =5x ，BD =7x ，∴BC x ， ∵AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，∴AD =BD =7x ，∴AC =12x ，∵AC =12，∴x =1，∴BC ；故选D ．7.如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB =m ，∠BAC =∠α，则下列结论错误的是A ．∠BDC =∠αB ．BC =m •tan α C ．AO 2sin mα=D ．BD cos mα=【答案】C【解析】A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠DCB =90°，AC =BD ，AO =CO ，BO =DO ， ∴AO =OB =CO =DO ，∴∠DBC =∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC =∠BDC =∠α，故本选项不符合题意；B 、在Rt △ABC 中，tan αBCm =，即BC =m •tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=，即AO 2cos mα=，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC =AB =m ，∵∠BAC =∠BDC =α，∴在Rt △DCB 中，BD cos mα=，故本选项不符合题意； 故选C ．8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（ ）A ．55.5mB ．54m C．19.5mD．18m【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=o， 18(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ．9.如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是（ ）A ．nmileB ．60nmileC ．120nmileD ．（）nmile【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点，∴∠ACD =30°，∠BCD =45°，AC =60．CCA在Rt △ACD 中，cos ∠ACD =CD AC ，∴CD =AC •cos ∠ACD =60在Rt △DCB 中，∵∠BCD =∠B =45°，∴CD =BD AB =AD +BD ．所以此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（）nmile ．故选D ．10.如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．11.简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为（ ）A ．95sin α米B ．95cos α米C ．59sin α米D ．59cos α米【答案】B【解析】如图，作AD ⊥BC 于点D ，则BD 32=+0.395=， ∵cos αBDAB=，∴cos α95AB=，解得AB 95cos α=米，故选B ．12.在△ABC 中，∠C =90°，tan A ，则cos B =__________． 【答案】12【解析】∵tan A =3，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 13.在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．【答案】2或5【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC x ，所以cos C =BC AC ==若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC=，所以cos C=5AC BC ==； 综上所述，cos C故答案为：2或5． 14.如图，在△ABC 中，若∠A =45°，AC 2–BC 2=AB 2，则tan C =__________．【解析】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ， ∵∠A =45°，∴∠ABD =∠A =45°，∴AD =BD ．∵∠ADB =∠CDB =90°，∴AB 2=AD 2+DB 2=2BD 2，BC 2=DC 2+BD 2， ∴AC 2–BC 2=（AD+DC ）2–（DC 2+BD 2） =AD 2+DC 2+2AD •DC –DC 2–BD 2 =2AD •DC=2BD •DC ， ∵AC 2–BC25=AB 2，∴2BD •DC 5=2BD 2， ∴DC =BD ，∴tan BDC DC=== 故答案为15.如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．【答案】隧道BC长为700米．【解析】如图，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M，则AM=DE=500，∴BM=100，在Rt△CEM中，tan53°=CMEM=600CM=43，∴CM=800，∴BC=CM–BM=800–100=700（米）．答：隧道BC长为700米．16.如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．【答案】（1）30，45；（2）观测站B到AC的距离BP为（5）海里．【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA BP，∵PA+PC=AC，∴BP=10，解得BP–5．答：观测站B到AC的距离BP为（5）海里．17.如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是__________米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【答案】1.5【解析】∵sinαADAC，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．18.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67≈1.73）【答案】炎帝塑像DE 的高度约为51m ． 【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ， ∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE=550.67≈82.1（m ）， ∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ），在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC，∴CD BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．19.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm ～300mm 含（300mm ），高度的范围是120mm ～150mm （含150mm ）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB =CD ，AC =900mm ，∠ACD =65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定． 【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB =CD ，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， ∴AB ∥CD ，AB =CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．20.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【答案】（1）①160；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm；（2）当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，∠ABC的大小为33.2°．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．21.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】点C到弦AB所在直线的距离为6.64米．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．22.墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【答案】花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．【解析】如图，过点C作CF⊥AB于F，则∠AFC=90°，在Rt△ACF中，AC=30，∠CAF=43°，∵cos∠CAF=AF AC，∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9，∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192（cm）．答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．23.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．（1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．≈1.41 1.73≈2.45）【答案】（1）海轮从A 处到B 处的途中与灯塔P 之间的最短距离为海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处，不能在5小时内到达B 处． 【解析】（1）作PC ⊥AB 于C ，如图所示：则∠PCA =∠PCB =90°，由题意得：PA =80，∠APC =45°，∠BPC =90°-30°=60°， ∴△APC 是等腰直角三角形，∠B =30°，∴AC =PC =2PA ．答：海轮从A 处到B 处的途中与灯塔P 之间的最短距离为海里；（2）海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处，海轮不能在5小时内到达B 处，理由如下：∵∠PCB =90°，∠B =30°，∴BC PC ，∴AB =AC +BC ，∴海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处所用的时间=4 1.414 2.453033⨯+⨯=≈≈5.15（小时）＞5小时， ∴海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处，不能在5小时内到达B 处．24.如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB =OP =100cm ，OA 为检修时阀门开启的位置，且OA =OB ．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角∠CAB =67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90°≤∠POB ≤0°； （2）如图，∵∠CAB =67.5°，∴∠BAO =22.5°， ∵OA =OB ，∴∠BAO =∠ABO =22.5°，∴∠BOP =45°， ∵OB =100，∴OE =OB ， ∴PE =OP –OE =100–≈29.5cm ， 答：此时下水道内水的深度约为29.5cm ．25.如图，A 、B 两个小岛相距10km ，一架直升飞机由B 岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km ，当直升机飞到P 处时，由P 处测得B 岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A 、B 、P 和海平面上一点M 都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h ≈1.732）2【解析】由题意得，∠A =30°，∠B =45°，AB =10km ，在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tan A =h AM ，tan B =h BM=1，∴AM3h ，BM =h ，∵AM +BM =AB =10+h =10，解得h =15–6． 答：h 约为6km ．26.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆DF =30cm ，CE ：CD =1：3，∠DCF =45°，∠CDF =30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC 的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A 到水平滑杆ED 的距离（结果保留根号）．【解析】（1）如图，过F 作FH ⊥DE 于H ，27.宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【解析】（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=EC sin∠BCM=75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H=80×0.8=64，则E′C=sin E HECH'∠=64sin64︒≈71，1，∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9（cm）．28.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解析】过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB=25，DE=50，∴sin37°=GBAB ，cos37°=GAAB，∴GB≈25×0.60=15，GA≈25×0.80=20，∴BF=50﹣15=35，∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，∴∠GBA=53°，∴∠CBF=55°，∴∠BCF=35°，∵tan35°=BFCF ，∴CF≈350.70=50，∴FE=50+130=180，∴GD=FE=180，∴AD=180﹣20=160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．29.如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα=35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【解析】∵BH =0.6米，sin α=35，∴AB =0.63sin 5BH α==1米，∴AH =0.8米， ∵AF =FC =2米，∴BF =1米，作FJ ⊥BG 于点J ，作EK ⊥FJ 于点K ，∵EF =FB =AB =1米，∠EKF =∠FJB =∠AHB =90°，∠EFK =∠FBJ =∠ABH ，∴△EFK ≌△FBJ ≌△ABH ，∴EK =FJ =AH ，BJ =BH ，∴BJ +EK =0.6+0.8=1.4<2，∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部．30.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB =200米，坡度为1；将斜坡AB 的高度AE 降低AC =20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【解析】∵∠AEB =90°，AB=200，坡度为1，∴tan ∠ABE =∴∠ABE =30°，∴AE =12AB =100，∵AC =20，∴CE =80，∵∠CED =90°，斜坡CD 的坡度为1：4， ∴14CE DE =，即8014ED =，解得ED =320， ∴CD答：斜坡CD 的长是米．31.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【答案】这座灯塔的高度CD 约为45m ．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CD AD ， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ， 在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45m ．。
2022-2023学年恩施市重点中学高一数学第一学期期末经典试题含解析
解得λ＝ 或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由 解得交点P(2，1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)
所以dmax＝|PA|＝
此时直线l的方程为: 3x－y－5＝0
20、（1）
（2）
（Ⅱ）设直线 与 的交点分别为 ， .可得 ，由 的中点为 ，可得 ， .将 ， 代入即可求解
【详解】（Ⅰ）∵logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，
将对数式改写为指数式，得到x24=w，y40=w，（xyz）12=w
从而，z12= = = ，那么w=z60，∴logzw=60
（Ⅱ）设直线l与l1，l2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）
点评：简单题，注意角的范围
2、B
【解析】根据 列式求解即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，由于 ，故 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于根据题意得 ，再结合已知 得 ，进而根据 解方程即可得答案，是基础题.
3、C
【解析】根据给定信息，求出 ，再列式求解作答.
【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在 上单调递增， 在 上单调递增，只有B满足.
故选：B.
6、B
【解析】化简得到 ，得到 ，进而得到 ，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
可得 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
7、C
【解析】分析函数 的单调性，可得出 ，分 、 两种情况解不等式 ，综合可得出原不等式的解集.
恩施市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
恩施市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >> 3． 过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．5． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M6． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e7． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．8． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0）上的一点，且=0，tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数10．ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.11．已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）12．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f（x ）=（ ） A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 2二、填空题13．已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与的夹角为，则cos θ= .14．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．15．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．16．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．三、解答题17．（本题满分15分）如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．18．（本小题满分12分）某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数；（2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占13）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^121()()()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，^^a v u β=-.19．等差数列{a n } 中，a 1=1，前n 项和S n 满足条件，（Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式和S n ； （Ⅱ）记b n =a n 2n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.21．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的最小正整数n．【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.22．已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8﹣b＜x＜b}，M={x|x＜﹣1，或x＞5}，（1）若A∪M=R，求实数a的取值范围；（2）若B∪（∁R M）=B，求实数b的取值范围．恩施市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】本题考查了对数的计算、列举思想a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个2．【答案】A【解析】考点：棱锥的结构特征．3．【答案】A【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2，即kx﹣y﹣2=0，若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，即≤1，即k2﹣3≥0，解得k≤﹣或k≥，即≤α≤且α≠，综上所述，≤α≤，故选：A．4．【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．5． 【答案】A【解析】解：∵0＜a ＜b ＜c ＜1，∴1＜2a＜2，＜5﹣b ＜1，＜（）c＜1，5﹣b =（）b＞（）c＞（）c，即M ＞N ＞P ，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．6． 【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥,{}{}2|9|33B x x B x x =<==-<<,所以A B ={}|13x x ≤<，故选B.考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用. 7． 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）8．【答案】A【解析】解：∵∴，即△PF 1F 2是P 为直角顶点的直角三角形．∵Rt △PF 1F 2中，，∴=，设PF 2=t ，则PF 1=2t∴=2c ，又∵根据椭圆的定义，得2a=PF 1+PF 2=3t∴此椭圆的离心率为e====故选A【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．9．【答案】B 【解析】解：因为==cos （2x+）=﹣sin2x ．所以函数的周期为：=π．因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．故选B ．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．10．【答案】A.【解析】在ABC ∆中2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.11．【答案】A【解析】解：∵f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），且a 2＜，∴f （x ）＜0的解集为（﹣b ，﹣a 2），g （x ）＜0的解集为（﹣，﹣），则不等式f （x ）g （x ）＞0等价为或，即a 2＜x ＜或﹣＜x ＜﹣a 2，故不等式的解集为（﹣，﹣a 2）∪（a 2，），故选：A ． 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f （x ）＜0和g （x ）＜0的解集是解决本题的关键．12．【答案】A【解析】解：设x ＜0时，则﹣x ＞0，因为当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2所以f （﹣x ）=（﹣x ）3﹣2（﹣x ）2=﹣x 3﹣2x 2，又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），所以当x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=x 3+2x 2，故选A ．二、填空题13．【答案】 【解析】考点：向量的夹角．【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义．（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 14．【答案】 75 度．【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．15．【答案】 4 ．【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f （x ）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，由图知两函数y=f （x ）与y=的交点个数是4．故答案为：4．16．【答案】①③④【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，故答案为：①③④三、解答题17．【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VCBC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得1133BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得2d =，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC =，BE =sin 146d BE θ==.…………15分 18．【答案】（1）60N =，6n =；（2）815P =；（3）115.【解析】试题解析：（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21600.35N ==，分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)AA ，24(,)A A ，21(,)AB ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为815P =. （3）12171788121001007x --+-++=+=；69844161001007y --+-+++=+=；由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到^4970.5994b ==，^1000.510050a =-⨯=，∴线性回归方程为0.550y x =+，∴当130x =时，115y =.1考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，由=4得=4，所以a 2=3a 1=3且d=a 2﹣a 1=2， 所以a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，=（Ⅱ）由b n =a n 2n ﹣1，得b n =（2n ﹣1）2n ﹣1． 所以T n =1+321+522+…+（2n ﹣1）2n ﹣1①2T n =2+322+523+…+（2n ﹣3）2n ﹣1+（2n ﹣1）2n ② ①﹣②得：﹣T n =1+22+222+…+22n ﹣1﹣（2n ﹣1）2n=2（1+2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）2n ﹣1=2×﹣（2n ﹣1）2n﹣1=2n （3﹣2n ）﹣3．∴T n =（2n ﹣3）2n+3．【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．20．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=．【解析】试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM ==从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.1考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A 点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 21．【答案】【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =.（1分）当2n ≥时，2n n S n a +=，① 11(1)2n n S n a --+-=，②①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分）即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.即12n n a +=故21n n a =-（*n N ∈）.（5分）22．【答案】【解析】解：A={x|a ≤x ≤a+9}，B={x|8﹣b ＜x ＜b}，M={x|x ＜﹣1，或x ＞5}，（1）当A ∪M=R 时，应满足，解得﹣4≤a ≤﹣1，所以实数a 的取值范围是[﹣4，﹣1]； （2）∁R M={x|﹣1≤x ≤5}， B={x|8﹣b ＜x ＜b}， B ∪（∁R M ）=B ， ∴∁R M ⊆B ，∴，解得b ＞9；∴实数b 的取值范围是b ＞9．。
专题06 一函数应用(分段)-恩施州中考数学高频考点、重点专题突破精练精解(解析版)
专题06 一函数应用【达标要求】1.会利用待定系数法确定一次函数的表达式．2.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式)0(≠+=k b kx y 探索并理解.3.能用一次函数解决简单实际问题4.体会一次函数与二元一次方程（组）、一元一次方程、不等式的关系．【知识梳理】知识点一：一次函数的概念1. 如果y kx b =+ )0(≠k b k 是常数，、，那么，y 是x 的一次函数.2. 在一次函数)0(≠+=k b kx y 中，当0b =时，)0(≠=k kx y 是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.知识点二：一次函数的图象与性质知识点三：用待定系数法求一次函数的解析式3.先设立函数解析式，再根据题设求出解析式中的待定系数（如一次函数b kx y +=中b k 、的值），从而得到函数解析式的方法叫待定系数法. 知识点四：一次函数与方程、不等式的关系4.一元一次方程0=+b kx 的根就是一次函数)0(≠+=k b k b kx y 是常数，、的图象与x 轴交点的横坐标；一元一次不等式）（00<>+b kx 的解集就是当一次函数)0(≠+=k b kx y 的函数值为正数（负数）时自变量x 的取值范围；已知直线)0(:1111≠+=k b x k y l 与222:b x k y l +=)0(2≠k ，当21k k =且21b b ≠时，直线21l l 与的位置关系是12//l l ，此时关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 无解，当21k k ≠时，二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y的解为两直线1l 与2l 的交点坐标. 知识点四 一次函数图象的应用一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，解这类题的关键在于弄清纵、横轴各表示什么量，图象上每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．知识点五 实际问题中的一次函数（1）分析问题：①借助图表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数关系式； ②根据函数的图象获取信息，分析数量关系．（2）确定模型：根据所获取的信息，建立一次函数模型． （3）解决问题：根据题中数量关系或函数模型解决实际问题.【精练精解】1.某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）A ．9：15B ．9：20C ．9：25D ．9：30【答案】B【解析】设甲仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数关系式为：y 1=k 1x +40，根据题意得60k 1+40=400，解得k 1=6，∴y 1=6x +40；设乙仓库的快件数量y （件）与时间x （分）之间的函数关系式为：y 2=k 2x +240，根据题意得60k 2+240=0，解得k 2=-4，∴y 2=-4x +240，联立6404240y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得20160x y =⎧⎨=⎩，∴此刻的时间为9：20．故选B ．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E A D C →→→移动至终点C ，设P 点经过的路径长为x ，CPE △的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】①当点P 在AE 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =， ∵P 点经过的路径长为x ，∴PE x =，∴12CPE y S PE BC ∆==⋅⋅1422x x =⨯⨯=； ②当点P 在AD 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =， ∵P 点经过的路径长为x ，∴2AP x =-，6DP x =-， ∴CPE BEC APE PDC ABCD y S S S S S ==---△△△△正方形11144242(2)4(6)222x x =⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯- 1642122x x =--+-+2x =+；③当点P 在DC 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =，∵P 点经过的路径长为x ， ∴6PD x =-，10PC x =-，∴12CPE y S PC BC ==⋅⋅△1(10)42202x x =⨯-⨯=-+， 综上所述：y 与x 的函数表达式为：2(02)2(26)220(610)x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+<≤⎩，故选C ．3.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）A ．4y x =-+B ．4y x =+C ．8y x =+D ．8y x =-+ 【答案】A【解析】如图，过P 点分别作PD x ⊥轴，PC y ⊥轴，垂足分别为D 、C ，设P 点坐标为(),x y ，∵P 点在第一象限，∴PD y =，PC x =， ∵矩形PDOC 的周长为8， ∴2()8x y +=，∴4x y +=， 即该直线的函数表达式是4y x =-+， 故选A ．【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b ．根据坐标的意义得出x 、y 之间的关系是解题的关键． 4.如图所示，直线l 1：y 32=x +6与直线l 2：y 52=-x -2交于点P （-2，3），不等式32x +652>-x -2的解集是（ ）A ．x >-2B ．x ≥-2C ．x <-2D ．x ≤-2 【答案】A【解析】当x >-2时，32x +652>-x -2， 所以不等式32x +652>-x -2的解集是x >-2．故选A ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．5.如图，直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，则020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为（ ）A ．2x <-B ．3x >C ．2x <-或3x >D ．23x -<< 【答案】D【解析】∵直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，∴020x b kx +>⎧⎨+>⎩解集为23x -<<，故选D ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．6.一条公路旁依次有,,A B C 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离(km)s 与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A B ，两村相距10km ；②出发1.25 h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8 km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2 km ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】由图象可知A 村、B 村相离10 km ，故①正确； 当1.25 h 时，甲、乙相距为0 km ，故在此时相遇，故②正确；当0 1.25t ≤≤时，易得一次函数的解析式为810s t =-+，故甲的速度比乙的速度快8 km /h ．故③正确；当1.252t ≤≤时，函数图象经过点(1.25,0)(2,6)设一次函数的解析式为s kt b =+，代入得0 1.2562k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得810k b =⎧⎨=-⎩，∴810s t =+，当2s =时．得2810t =-，解得 1.5h t =， 由1.5 1.250.25h 15min -==，同理当2 2.5t ≤≤时，设函数解析式为s kt b =+， 将点(2,6)(2.5,0)代入得，0 2.562k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1230k b =-⎧⎨=⎩， ∴1230s t =-+，当2s =时，得21230t =-+，解得73t =，由7131.25h65min 312-==， 故相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2 km ，④正确． 故选D ．【点评】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图象与应用． 7.在平面直角坐标系中，点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为：d P （3，-3）到直线2533y x =-+的距离为__________．【解析】∵2533y x =-+，∴2x +3y -5=0，∴点P （3，-3）到直线2533y x =-+=13，故答案为：13．8.在平面直角坐标系中，A，B ，C 三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P 在x 轴上，点D在直线AB 上，若DA =1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为__________． 【答案】（2，0）或（2-，0）或（，0）【解析】∵A ，B 两点的坐标分别为（4，0），（4，4），∴AB ∥y 轴， ∵点D 在直线AB 上，DA =1，∴D 1（4，1），D 2（4，-1） 如图：（Ⅰ）当点D 在D 1处时，要使CP ⊥DP ，即使△COP 1≌△P 1AD 1，∴111OP CO P A AD =，即441OP OP =-，解得：OP 1=2，∴P 1（2，0）； （Ⅱ）当点D 在D 2处时，∵C （0，4），D 2（4，-1），∴CD 2的中点E （2，32）， ∵CP ⊥DP ，∴点P 为以E 为圆心，CE 长为半径的圆与x 轴的交点， 设P（x ，0），则PE =CE=，解得：x，∴P 2（2-，0），P 3（，0），综上所述：点P 的坐标为（2，0）或（2-，0）或（，0）．9.在平面直角坐标系内，一次函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是__________．【答案】21x y =⎧⎨=⎩【解析】∵一次函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩．故答案为：21x y =⎧⎨=⎩． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．10.如图，在平面直角坐标系中，2,0,()()0,1A B ，AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90︒而得，则AC 所在直线的解析式是__________．【答案】24y x =-【解析】∵2,0,()()0,1A B ， ∴2,1OA OB ==，如图，过点C作CD x ⊥轴于点D ，∴∠BOA =∠ADC =90°． ∵∠BAC =90°， ∴∠BAO +∠CAD =90°． ∵∠ABO +∠BAO =90°， ∴∠CAD =∠ABO ． ∵AB =AC ，∴ACD BAO △≌△．∴1,2AD OB CD OA ====， ∴()3,2C ，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，点C 坐标代入得0223k bk b =+⎧⎨=+⎩， ∴24k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为24y x =-． 故答案为：24y x =-．【点评】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等． 11.已知一次函数12y kx =+（k 为常数，k ≠0）和23y x =-．（1）当k =﹣2时，若1y >2y ，求x 的取值范围；（2）当x <1时，1y >2y ．结合图象，直接写出k 的取值范围． 【解析】（1）当2k =-时，122y x =-+， 根据题意，得223x x -+>-，解得53x <． （2）当x =1时，y =x −3=−2，把（1，−2）代入y 1=kx +2得k +2=−2，解得k =−4， 当−4≤k <0时，y 1>y 2； 当0<k ≤1时，y 1>y 2．∴k 的取值范围是：41k -≤≤且0k ≠．12.如图，已知过点B （1，0）的直线l 1与直线l 2：y =2x +4相交于点P （-1，a ）．（1）求直线l 1的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积．【解析】（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，∴2×（-1）+4=a，即a=2，则P的坐标为（-1，2），设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），那么2 k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得11kb=-⎧⎨=⎩．∴l1的解析式为：y=-x+1．（2）∵直线l1与y轴相交于点C，∴C的坐标为（0，1），又∵直线l2与x轴相交于点A，∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，∴S四边形PAOC=1153211222⨯⨯-⨯⨯=．13.如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系3610h x=-+，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+． （2）当0h =时，30610x =-+，得20x =， 当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．14.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y 元，选择这两种卡消费时，y与x 的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于x 的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y 甲=k 1x ，根据题意得5k 1=100，解得k 1=20，∴y 甲=20x ； 设y 乙=k 2x +100，根据题意得：20k 2+100=300，解得k2=10，∴y 乙=10x +100．（2）①y 甲<y 乙，即20x <10x +100，解得x <10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算； ②y 甲=y 乙，即20x =10x +100，解得x =10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲>y 乙，即20x >10x +100，解得x >10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 15.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kgx (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式； （3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（）， 故答案为：180，900，210，850． （2）16y x =(0)x >． 当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+． （3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100， 故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少， 故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲．16.某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =， 解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）． （3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．17.如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A ．甲从中山路上点B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A 出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发min x 时，甲、乙两人与点A 的距离分别为1m y 、2m y ．已知1y 、2y 与x 之间的函数关系如图②所示． （1）求甲、乙两人的速度；（2）当x 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为m /min a ，m /min b ，甲从B 到A 用时为p 分钟，则：11200(0)1200()ax x p y ax x p -≤≤⎧=⎨->⎩，2y bx =，由图②知： 3.75x =或7.5时，12y y =，则有1200 3.75 3.757.512007.5a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得24080a b =⎧⎨=⎩，p =1200÷240=5，答：甲的速度为240m /min ，乙的速度为80m /min ． （2）设甲、乙之间距离为d ，则222(1200240)(80)d x x =-+2964000()1440002x =-+，∴当92x =时，2d 的最小值为144000，即d 的最小值为 答：当92x =时，甲、乙两人之间的距离最短．【点评】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．18.快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1．5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x 小时，快车行驶的路程为1y 千米，慢车行驶的路程为2y 千米．如图中折线OAEC 表示1y 与x 之间的函数关系，线段OD 表示2y 与x 之间的函数关系． 请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式；（3）线段OD 与线段EC 相交于点F ，直接写出点F 的坐标，并解释点F 的实际意义．【解析】 （1）快车的速度为：180290÷=千米/小时， 慢车的速度为：180360÷=千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时． （2）由题意可得，点E 的横坐标为：2 1.5 3.5+=， 则点E 的坐标为(3.5,180)，快车从点E 到点C 用的时间为：(360180)902-÷=（小时）， 则点C 的坐标为(5.5,360)，设线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是1y kx b =+，3.51805.5360k b k b +=⎧⎨+=⎩，得90135k b =⎧⎨=-⎩， 即线段EC 所表示的1y 与x 之间的函数表达式是190135=-x y ． （3）设点F 的横坐标为a ， 则6090135a a =-， 解得， 4.5a =， 则60 270a =，即点F 的坐标为(4.5,270)，点F 代表的实际意义是在4．5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程．19.为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A 、B 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0．6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机．（1）求今年每套A 型、B 型一体机的价格各是多少万元（2）该市明年计划采购A 型、B 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？【解析】（1）设今年每套A 型一体机的价格为x 万元，每套B 型一体机的价格为y 万元，由题意可得：0.6500200960y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得： 1.21.8x y =⎧⎨=⎩，答：今年每套A 型的价格各是1．2万元、B 型一体机的价格是1．8万元． （2）设该市明年购买A 型一体机m 套，则购买B 型一体机(1100)m -套， 由题意可得：1.8(1100) 1.2(125%)m m -≥+， 解得：600m ≤， 设明年需投入W 万元，1.2(125%) 1.8(1100)W m m =⨯++-0.31980m =-+，∵0.30-<，∴W 随m 的增大而减小， ∵600m ≤，∴当600m =时，W 有最小值0.360019801800-⨯+=， 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．20.为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x 个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【解析】（1）设购买一个甲种文具a 元，一个乙种文具b 元，由题意得：235330a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得155a b =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元． （2）根据题意得：955155(1202)1000x ≤+-≤，解得35.540x ≤≤， ∵x 是整数，∴3637383940x =，，，，， ∴有5种购买方案．（3）155(120)10600W x x x =+-=+， ∵100>，∴W 随x 的增大而增大，当36x =时，1036600960W =⨯+=最小（元）， ∴1203684-=．答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．【点评】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程．。
湖北省宜昌市一中、恩施高中2022年高一上数学期末达标检测试题含解析
连结DF，则BC1∥DF.3分
因 DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，4分
所以BC1∥平面A1CD.5分
（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1.8分
故选：C.
4、C
【解析】集合{0，1，2}中有三个元素，因此其真子集个数为 .
故选：C.
5、A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ， ， ，
∴ .
故选：A
6、C
【解析】易知 为非奇非偶函数，故排除选项A，因为 ， ，故排除选项B、D，而 在定义域 上既是奇函数又是单调递增函数.故选C.
由AA1=AC=CB=2， 得∠ACB=90°， ， ， ，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为： = =1.12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】由奇偶性定义判断 对称性，再根据解析式判断 、 上 的符号，即可确定大致图象.
【详解】由题设， 且定义域为R，即 为奇函数，排除C，D；
当 时 恒成立；
，故当 时 ，当 时 ；
所以， 时 ， 时 ，排除B；
故选：A.
3、C
【解析】根据正弦型 函数图象与性质，即可求解.
【详解】由图可知： ，所以 ，故 ，又 ，可求得 ， ，由 可得
∴ .
∴ ，解得 .
经检验 时，直线 与圆 均相交，
∴ 的方程为 或 .
2020-2021学年湖北省恩施市第一中学高一数学文联考试卷含解析
2020-2021学年湖北省恩施市第一中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是上的奇函数，，那么（）A. B. C. D.参考答案：C略2. 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2D．4参考答案：B【考点】HP：正弦定理．【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc?sinA=c?，∴c=2=b，故B==30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．3. 如果指数函数在上是减函数，则a的取值范围是()A.a＞2B.0<a＜1C.2＜a＜3D.a＞3参考答案：C略4. 已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则△ABC的外接圆半径为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先根据余弦定理化简条件得，再根据正弦定理求外接圆半径.【详解】因为,所以，从而外接圆半径为,选C.【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理，考查基本求解能力,属基本题.5. 关于的二次方程=0没有实数根，则向量与的夹角的范围为A. B.C. D.参考答案：D6. 函数的图象大致是( )参考答案：B略7. 函数在区间上是增函数，则的递增区间是（）A． B． C．D．参考答案：C略8. 已知数列为等差数列，且，则（▲）A．11 B．12 C．17 D．20参考答案：A略9. 若直线经过点M(cosα,sinα),则A. B. C. D.参考答案：D直线经过点M(cosα,sinα),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有10. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某小学四年级男同学有45名，女同学有30名，老师按照分层抽样的方法组建了一个5人的课外兴趣小组.（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.参考答案：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为，课外兴趣小组中男同学为人，女同学为人；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）抽样的原则是保证每个个体入样的机会是均等的，分层抽样的规则是样本中各部分所占比例与总体中各部分所占比相等，据此可解决此小问；（Ⅱ）运用枚举法列出所有基本事件，即可解决问题，注意选出的两名同学是有先后顺序的，否则易犯错，当然枚举也是讲究方法的，否则同样会发不多就少的错误.试题解析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为2分设有名男同学被抽到，则有，抽到的男同学为人，女同学为人 4分（Ⅱ）把3名男同学和2名女同学分别记为，则选取2名同学的基本事件有，共个， 8分基中恰好有一名女同学有，有种10分选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为. 12分考点：统计中的分层抽样和古典概型的概率计算.12. 若函数则不等式的解集为______________.参考答案：略13. 若对任意,, (.)有唯一确定的,与之对应,称,为关于,的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数.的广义“距离”.(1)非负性:时取等号；(2)对称性:；(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于.的广义“距离”的序号:①；②；③能够成为关于的.的广义“距离”的函数的序号是___________.参考答案：①14. 已知是定义在R上的奇函数，且当x>0时, ，则x<0时，f(x)解析式为________________．参考答案：略15.=_______________________.参考答案：516. 已知函数的部分图象如图所示.则的解析式是______________。
2018-2019学年湖北省恩施一中、利川一中等四校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2018-2019学年湖北省恩施一中、利川一中等四校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A【解析】【详解】试题分析：{}{}2|0,1M x x x ===,{}{|lg 0}|01N x x x x =≤=<≤,所以，故选A.【考点】集合的运算.2．已知函数2()1f x x =+，那么(1)f a +的值为( )． A ．22a a ++ B ．21a + C ．222a a ++ D ．221a a ++【答案】C【解析】将1a +代入2()1f x x =+即可得结果. 【详解】解：因为2()1f x x =+，所以22(1)(1)122f a a a a +=++=++， 故选：C. 【点睛】本题考查已知解析式，求函数值，是基础题. 3．454sincos tan 363πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝( )． A ．－334 B ．334 C 3D 3【答案】A【解析】试题分析：454sincos tan()363πππ-=.【考点】诱导公式．4．已知点M （x ，1）在角θ的终边上，且22cos x θ=，则x ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1或﹣1D ．﹣1或0或1【答案】D【解析】利用三角函数的定义，建立关于x 的方程，即可求出x 的值． 【详解】 由题得22cos 1x θ==+， 1x ∴=-或0或1，故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础． 5．下列命题中正确的个数有（ ）①向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案． 【详解】对于①，若向向量AB u u u r 与CD uuu r是共线向量，则//AB CD ，或A,B ，C ，D 在同条直线上，故①错误；对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误； 对于④，比如共线的向量AC u u u r 与BC uuu r(A,B,C 在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.本题考查向量的基本定义和命题的真假判断，关键是理解向量有关概念的定义． 6．已知函数()()cos 3f x x a =+的图像关于原点对称，则a =（ ） A ．k k Z ，π∈ B ．()21k k Z π+∈， C ．22k k Z ，ππ+∈D ．2k k Z ππ+∈，【答案】D【解析】首先由题意可知()f x 为奇函数，再通过()f x 为奇函数即可得到()00f =，再将()00f =代入函数()()cos 3f x x a =+中即可求出a 的取值范围，得出结果。
2023-2024学年湖北省恩施市高考数学押题模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年湖北省恩施市高考数学押题模拟试题（一模）一、单选题1．设集合{}*2N |4A x x x =∈≤，{B x y ==，则满足集合R A B M ⋂=ð的集合M 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再求出集合B ，由补集、交集的定义求出集合M ，即可判断其子集个数.【详解】由24x x ≤，即()40x x -≤，解得04x ≤≤，所以{}{}*2N |41,2,3,4A x x x =∈≤=，又{{}3B x y x x ===≥，所以{}R |3B x x =<ð，所以{}R 1,2A B =I ð，即{}1,2M =，则集合M 的子集有224=个.故选：C2．任意一个复数i z a b =+都可以表示成三角形式，即()i cos isin a b r θθ+=+．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数()1111cos i is n z r θθ=+，()2122cos i sin z r θθ=+，则()()12121212cos si i n z z r r θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，已知复数12z =+，则20232z z z ++=（）A ．12B ．12+C ．12D ．1【正确答案】B【分析】将12z =+化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得20232,z z 的值，即可求得答案.【详解】由题意可得1ππcos isin 2233z =+=+，故20232023π2023πππππcos isin cos(674π)isin(674π)cos isin 333333z=+=+++=+，所以20232ππ2π2πππcos isin cos isin cos isin333333zz z ++=++++-12=.故选：B3．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n ，则()2121nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．12B ．8-C ．8D ．10【正确答案】A【分析】根据上四分位数的计算可得5n =，再根据()5552211121211x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分别求解两项中的常数项求和即可.【详解】因为675% 4.5⨯=，故取数据从小到大第5个数，所以5n =.则()5552211121211x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又511⎛⎫- ⎪⎝⎭x 中常数项为1，21x 的项为22352110C 1x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()()52121xx +-展开式中的常数项为22102112x x⨯+⨯=.故选：A.4．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sin y A x ω=，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为11sin sin 2sin 323x x x ++，则其部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令()11sin sin2sin323y f x x x x ==++，求导得()cos cos2cos3cos cos2cos2cos sin2sin f x x x x x x x x x x =++=++-'()()()2cos 12sin cos21cos 12cos cos2x x x x x x =-++=+，当[]0,πx ∈时，由()0f x '=解得π2π3π,,434x =，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当π2π,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2π3π,34x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，当π4x =和3π4x =时，()f x 取极大值；当2π3x =时，()f x 取极小值，由于()()π12π3π100,,,0,π043234432f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得π3π44f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()0,πx ∈时()0f x >，结合图象，只有C 选项满足．故选：C ．5．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．310【正确答案】A由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率.【详解】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有215440C C =种，其中满足条件的为()7,8,9，()7,6,9，()7,4,9，()7,2,9，()5,8,9，()5,6,9，()5,4,9，()3,8,9，()3,6,9，()1,8,9，()7,8,5，()7,6,5,，()7,8,3，共13种，故所求概率1340P =.故选：A ．6．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现将ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A ．存在点P ，使得PE CF ∥B ．存在点P ，使得PE ED ⊥C ．三棱锥P AED -D ．当三棱锥P AED -的体积达到最大值时，三棱锥P AED -外接球表面积为4π【正确答案】A【分析】连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，确定PG AE ⊥，AE DE ⊥，若CF AE ∥，得到AE ，PE 重合，不成立，A 错误，PG ⊥平面AECD 时，PE ED ⊥，B 正确，计算得到CD 正确，得到答案.【详解】如图所示：连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，PG AE ⊥，连接PF ，FE ，2PG =，2FG =，AE DE ==222AD AE ED =+，故AE DE ⊥，对选项A ：CF AE ∥，若PE CF ∥，又AE PE E ⋂=，则AE ，PE 重合，不成立，错误；对选项B ：当PG ⊥平面AECD 时，ED ⊂平面AECD ，则PG ED ⊥，又AE DE ⊥，PG AE G = ，,PG AE ⊂平面PAE ，故ED ⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，故PE ED ⊥，正确；对选项C ：当PG ⊥平面AECD 时，三棱锥P AED -体积最大，最大值为1122223226⨯=，正确；对选项D ：PG ⊥平面AECD ，GF ⊂平面AECD ，故PG GF ⊥，221PF PG FG +=，故1FA FE FD FP ====，故F 是三棱锥P AED -外接球球心，半径为1R =，故外接球表面积为24π4πS R ==，正确.故选：A.7．已知79a =，0.10.7eb =，2cos 3c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>【正确答案】D【分析】利用常见放缩1ln x x -≥，构造函数()1ln f x x x =-+，判断出b a <，然后利用sin ,x x <构造11sin ,33<从而判断c a >即可.【详解】71999ln ln 0.1ln 0.7lnln 1ln ,910101010b a -=+-=+=-+令()1ln f x x x =-+，则()111xf x x x'-=-+=，当01x <<时,()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1上单调递增，()9ln ln 1010b a f f ⎛⎫∴-=<= ⎪⎝⎭，b a ∴<；221cos12sin 33c ==-，易知110sin ,33<<22127cos 12sin 13399c ∴==->-=，c a b ∴>>.故选：D.8．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222104x yb b-=>的左右焦点，且1F 到渐近线的距离为1，过2F 的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于,A B 两点，且1l AF ⊥，则下列说法正确的为（）A ．12AF F △的面积为2B ．双曲线CC．1110AF BF ⋅=+D．22112AF BF +=【正确答案】D【分析】利用已知条件求出b 的值，对于A ：利用勾股定理结合双曲线的定义求出12AF F △的面积，对于B ：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C ：先求12,AF AF ，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D ：根据双曲线的定义结合勾股定理求出2BF ，代值计算即可.【详解】设双曲线C 的半焦距为0c >，因为双曲线C 的焦点在x 轴上，且2a =，则其中一条渐近线方程为2by x =，即20bx y -=，且()1,0F c -，则1F1bcb c===，可得c =对于选项A ：因为214AF AF -=，且()2221212220AF AF F F c +===，可得()2211212216220AF AF AF AF AF AF -+⋅=+⋅=，解得122AF AF =⋅，所以12AF F △的面积为12112AF AF ⋅=，故A 错误；对于选项B ：双曲线C 的离心率为52c e a ==，故B 错误；对于选项C ：因为211242AF AF AF AF ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得1222AF AF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以())222111111111210AB AF BF F A F B F A F A F A F A F B A A ⋅=⋅⋅⋅=-==+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，故C 错误；对于选项D ：设2BF m =，则14,2BF m AB m =+=-，因为22211BF AB AF =+，即()))222422m m +=+-+-，解得m =，所以22112AF BF ++，故D 正确；故选：D.方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、多选题9．已知F 是抛物线y 2=2px （p >0）的焦点，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，则下列说法正确的是（）A ．以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切B ．若抛物线上的点T （2，t ）到点F 的距离为4，则抛物线的方程为y 2=4xC ．OA OB ⋅为定值D ．|MN |【正确答案】ACD【分析】由抛物线的性质可得焦点F 的坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长AB ，进而可得以AB 为直径的圆的半径，再求AB 的中点E 到准线的距离，可判断A ，由抛物线的性质可得T 到准线的距离，由题意可得p 的值，求出抛物线的方程，可判断B ，求解OA OB ⋅的值可判断C ，求出MN 的表达式，当且仅当0m =时，可求出MN的最小值，判断D ，【详解】由题意可得抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，设直线AB 的方程为2p x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=，所以212122,y y mp y y p +==-，所以222121212122()()2,44y y p x x m y y p m p p x x p +=++=+==，对于A ，21222AB x x p m p p =++=+，则以AB 为直径的圆的半径为2(1)p m +，AB 的中点E 的横坐标为22p m p +，所以AB 的中点E 到准线的距离为()22122p p m p p m ++=+，所以以AB 为直径的圆的圆心E 到准线的距离等于圆的半径，所以以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以A 正确，对于B ，因为抛物线上的点T （2，t ）到点F 的距离为4，所以点T （2，t ）到准线的距离为242p+=，得4p =，则抛物线的方程为28y x =，所以B 错误，对于C ，2221212344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-+- 为定值，所以C 正确，对于D，2MN p =，所以当0m =时，MN，所以D 正确，故选：ACD10．己知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<部分图像如下，它过⎛ ⎝⎭，2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，将()f x 的图像向右平移π3个单位到()g x 的图像，则下列关于()g x 的成立是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于()0,0中心对称C ．在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D ．在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦最小值为【正确答案】BD【分析】根据()f x 的图像，求出()f x 的解析式，然后根据平移求出()g x 的解析式，即可判断A,B,C,D 四个选项.【详解】()0sin f ϕ==，且0πϕ<<，结合()f x 的图像可得：2π3ϕ=，2π2π2πsin +0333f ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；结合()f x 的图像可得：()2π2π+=2π,Z 33k k ω∈=31k ω∴-，设()f x 的周期为T ，则由图可知：2π2π,33T ωω=><，故=2ω.()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πsin 23g x f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()g x 关于原点对称，A 错，B 对；()g x 在()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 错；ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,sin 2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦,()g x 最小值为π62g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故D 对；故选：BD.11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【正确答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．12．已知直四棱柱11111,ABCD A B C D AA -=底面ABCD 是边长为4的菱形，且120BAD ∠=︒，点,,,E F G H 分别为11111,,,A B A D DD BC 的中点．以1A 为球心作半径为R 的球，下列说法正确的是（）A ．点,,,E F G H 四点共面B ．直线BE 与直线AF 所成角的余弦值为2526C ．当球与直四棱柱的五个面有交线时，R 的范围是()D ．在直四棱柱内，球1A 外放置一个小球，当小球的体积最大时，球1A -【正确答案】ABD【分析】根据直四棱柱几何特征结合共面，异面直线所成角，内切球等分别判断各个选项即可.【详解】对于A 选项，取1CD BB 、的中点分别为M N 、，则EFGMHN 构成平面六边形，故选项A 正确；对于B 选项，取11B C 中点T ,把直线BE 与直线AF 的角转化为直线BE 与直线BT 的角TBE ∠，BET △中，,2BE BT TE ===,由余弦定理BE 与直线AF 所成角的余弦值为5252425cos 25226TBE +-∠==⨯，故选项B 正确；对于C 选项，当球与直四棱柱的下底面和4个侧面有交线时，R 的取值范围是()，当球与直四棱柱的上底面和4个侧面有交线时,R 大于1AA =R 小于18CA =，R 的取值范围是()．故选项C 错误；对于D 选项，设四边形1111D C B A 内切圆半径为r ，1111114416,22A B C D S r r AA =⨯=⨯⨯==由题可知在直四棱柱1111ABCD A B C D -P ,如图建系，(()11,0,2,0,P A A P所以球1A D 正确．故选：ABD方法点睛：与侧交转化为半径最大最小的极限位置解题，对于几何体的内切球最值转化为两球心间距离减半径.三、填空题13．在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表．样品类别样本容量平均数方差A 10 3.52B305.51根据这些数据可计算出总样本的方差为______．【正确答案】2【分析】由数据分别求出男生女生的样本容量，进而求出总样本的平均数，再利用样本方差公式()()12222111n n i i i i s y x z x n ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，即可得到答案.【详解】设总样本量为n ，由题意得A 样本量为114n n =，B 样本量为234n n =，假设A 的样本数据为()11,2,,i n i y = ，B 的样本数据为()21,2,,i n i z = ，则总样本平均数()12121111133.5 5.5544n n i i i i y z n y n z n nx ==⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭∑∑，总样本方差()()12222111n n i i i i s y x z x n ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，∵()()()()()()()111112222111112n n n n n i i i ii i i i i y xy y y x y y y x y y y x =====⎡⎤-=-+-=-+--+-⎣⎦∑∑∑∑∑()()()122221111n i i y yn y xn s y x =⎡⎤=-+-=+-⎢⎥⎣⎦∑，同理()()2222221n i i z xn s z x =⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦∑，∴总样本方差()()()()1222222221212111n n i i i i n n s y xz x s y x s z x n n n ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-=+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑()()22132 3.551 5.55244⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦.故2.14．已知向量a ，b 的夹角为60°，向量a 在向量b上的投影向量的长度为1，1b = ，则2a b +=r r______．【正确答案】【分析】由向量数量积的几何意义有||cos ,1a b = ，得||2a =，再应用向量数量积运算律求目标向量的模.【详解】由题意||||cos ,12a a ab ==，则||2a = ，由22222(2)4444412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=r r r r r r r r ，故2a b +=rr故15．已知双曲线Ω：()222210,0x y a b a b-=>>，圆O ：2222x y a b +=+与x 轴交于,A B 两点，,M N 是圆О与双曲线在x 轴上方的两个交点，点,A M 在y 轴的同侧，且AM 交BN 于点C .若OM CN MA ON +=+，则双曲线的离心率为_________.1+/1【分析】根据向量等式推出M 点为AC 的中点，根据双曲线的对称性可知N 为AB 的中点，结合BM AC ⊥可求出||,||AM BM ，利用双曲线定义即可求得答案.【详解】由题意可知222+=a b c ，故不妨设(0),(,0)A c B c -，，即为双曲线的焦点，||2AB c =，因为OM CN MA ON +=+ 可得OM MA ON CN MA OC +-==+C OM OA O =++ ，即2OM OA OC +=，故M 点为AC 的中点，根据双曲线的对称性可知N 为BC 的中点，又因为BM AC ⊥，故||||AB BC =，同理||||AB AC =，即ABC 为正三角形，故1||||,||2AM AC c BM ==，由点M 在双曲线左支上，故||||2BM AM c a -=-=，则1c e a ===，1四、双空题16．设定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()e 1x f x -'>，则函数()e xf x -在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若()ln f x x ≥12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 的最小值为______．【正确答案】增12e 【分析】由题意可知()1e ex x f x ->='，令()()e x g x f x =-，求导利用导函数的正负即可判断单调性，由12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再根据()ln f x x ≥+()ln g x ≥，进而得出()2ln 1g g x ⎛⎫⎪≥⎝⎭，利用()g x 的单调性解不等式即可.【详解】解：已知()e 1xf x -'>，则()1e e xxf x ->='，令()()e x g x f x =-，0x >，则()()e e e 0x x xg x f x ''=->-=，所以()g x 在()0,∞+为增函数，即函数()e xf x -在定义域内是增函数；12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q，1211e 22g f ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭又()ln f x x ≥+Q ()()ln e ln ln xg x f x x x ∴≥+==-可得()2ln 1g g x ⎛⎫⎪≥⎝⎭，由于()g x 在()0,∞+为增函数，所以ln 12x ≥，解得x ≥x五、解答题17．已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，其前n 项和记为n S ，且22212n n nS S n a --=，*N n ∈，2n ≥，数列{}n b 满足1`n n n b a a +=+，*N n ∈．(1)求2a ，3a ，102S ；(2)求数列(){}13n nb +的前n 项和n T ．【正确答案】(1)26a =，34a =，10507(2)122823244n n T n n n +⎧=⎨⋅+++⎩12n n =≥【分析】（1）首先利用数列n a 与n S 的关系，求得212n n S S n -+=，再赋值求23,a a ，再利用2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可求得102S ；（2）由（1）可知，()()()28,1131342,2nnn nn c b n n =⎧⎪=+=⎨++≥⎪⎩，再利用分组转化，以及错位相减法求和.【详解】（1）因为()22221122n n n n n S S n a n S S ---==-，2n ≥，又数列{}n a 各项均不为零，所以212n n S S n -+=．当2n =时，211218S S a a a +=++=，所以26a =当3n =时，()32123218S S a a a +=++=，所以34a =，()21212,221,1n n n nS S n n S S n n -+⎧+=≥⎪⎨+=+≥⎪⎩ ，两式相减可得142n n a a n ++=+，2n ≥，∴()()()()10212341011021643101250S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+⨯31017450100105072+=+⨯⨯+=；（2）由（1）可知，7,142,2n n b n n =⎧=⎨+≥⎩，设()()()28,1131342,2nnn n n c b n n =⎧⎪=+=⎨++≥⎪⎩，当1n =时，数列{}n c 的前n 项和为28，当2n ≥，数列{}n c 的前n 项和为，()()()()()()23281342213432...1342nn T n =++⨯+++⨯+++++()()23281014...42310314...342n n n ⎡⎤=++++++⨯+⨯++⋅+⎣⎦设()23310314...342nn T n '=⨯+⨯++⨯+3n T '=()()341310314...342342n n n n +⨯+⨯++⨯-+⨯+，两式相减得()()341290433...3342n n n T n +'-=++++-⨯+，()()212713290434213n n n T n -+-'-=+⨯-⨯+-，解得：11823n n T n +'=-+⋅，()()()()()2110421014 (422612462)n n n n n n n -++++++==+-=+-，所以211228246182323244n n n T n n n n n n ++=++--+⋅=⋅+++，2n ≥，所以122823244n n T n n n +⎧=⎨⋅+++⎩,1,2n n =≥.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ．(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求ABC ∠的大小．①2(cos )b C a c -=；②2sin cos a c A b A +=+；③cos cos a c ABC b C c +∠=-．(2)若2AD CD =，求BDAB BC+的取值范围．【正确答案】(1)三个条件任选其一都有2π3ABC ∠=(2)40,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据ABC ∠的取值范围求出其大小．（2）运用角平分线的条件求出AB AD BC CD=，然后利用面积公式求出BDAB BC +的取值范围．【详解】（1）选①，因为2(cos )b C a c -=，所以cos 2ca b C +=．由正弦定理得sin sin sin cos 2CA ABC C +=∠．即sin sin()sin cos 2CABC C ABC C ∠++=∠，故sin sin cos 02CC ABC +∠=，因为(0,π)ABC ∠∈，(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2ABC ∠=-，所以2π3ABC ∠=．选②，由2sin cos a c A b A +=+及正弦定理，得2sin sin sin sin cos A C ABC A ABC A +=∠+∠，即2sin sin()sin sin cos A A ABC ABC A ABC A ++∠=∠+∠，2sin sin cos cos sin sin sin sin cos A A ABC A ABC ABC A ABC A+∠+∠∠+∠，所以2sin sin sin cos A ABC A A ABC =∠-∠．因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以π2cos 2sin 6ABC ABC ABC ⎛⎫=∠-∠=∠- ⎪⎝⎭，即πsin 16ABC ⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭．又(0,π)ABC ∠∈，所以ππ62ABC ∠-=，所以2π3ABC ∠=．选③，由cos cos a c ABC b C c +∠=-及正弦定理，得sin sin cos sin cos sin A C ABC ABC C C +∠=∠-，sin()sin cos sin cos cos sin sin cos ABC C C ABC ABC C ABC C C ABC∠++∠=∠+∠+∠sin cos sin ABC C C=∠-即2cos sin sin ABC C C ∠=-．因为(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2ABC ∠=-．又(0,π)ABC ∠∈，所以2π3ABC ∠=．（2）因为BD 平分ABC ∠，所以ABD CBD ∠=∠，在ABD △中，sin sin AD ABABD ADB=∠∠，即sin sin AD ABD AB ADB ∠=∠，在BCD △中，sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，即sin sin CD CBDBC BDC ∠=∠，因为πADB BDC ∠+∠=，所以sin sin ADB BDC ∠=∠，所以AD CDAB BC=，所以2AB AD BC CD ==，故3BD BD AB BC BC =+．因为1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△，1sin 2ABD S AB BD ABD =⋅⋅∠△，23ABD ABC S AD S AC ==△△，所以sin 2sin 3BD ABD BC ABC ⋅∠=⋅∠，又2ABCABD ∠∠=，所以4sincos 2sin 422cos 323sin 3sin 22ABC ABCBD ABCABC ABCABC BC ∠∠∠∠===∠∠．又(0,π)ABC ∠∈，所以π0,22ABC ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos(0,1)2ABC∠∈，所以40,3BD BC ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，40,39BD BC ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即BD AB BC +的取值范围为40,9⎛⎫⎪⎝⎭．19．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，2AC BE ==，M 为线段CD上一点．(1)求证：DE AM ⊥；(2)若EM 与平面ACD 所成角为π3，求平面AMB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）取AC 中点O ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明//DE OB 即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）取AC 中点O ，连接DO 、OB ，在正ACD 和正ABC 中，2AC =，则,,DO AC BO AC DO BO ⊥⊥=，而平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，BO ⊂平面ABC ，于是DO ⊥平面ABC ，BO ⊥平面ACD ，又BE ⊥平面ABC ，即有//DO EB，而DO EB ==DOBE 是平行四边形，则//DE OB ，从而DE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ADC ，所以DE AM ⊥.（2）由（1）知，DE ⊥平面ADC ，EMD ∠为EM 与平面ADC 的所成角，即π3EMD ∠=，在Rt EDM △中，1πtan 3DEDM ==，即M 为DC 中点，由（1）知，,,OB OC OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(0,1,0),(0,2A B D C M-，3(0,2AB AM==，显然平面DAC的一个法向量为1(1,0,0)=n，设平面MAB的一个法向量为2(,,)n x y z=，则223022n AB yn AM y z⎧⋅+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x=，得2(1,n=，121212|||cos,|||||n nn nn n⋅〈〉===所以平面AMB与平面ACD20．2015年7月31日，国际奥委会宣布北京获得2022年冬奥会举办权，消息传来，举国一片欢腾．某投资公司闻到了商机，决定开发冰雪运动项目，经过一年多的筹备，2017年该公司冰雪运动项目正式运营．下表是2017—2021年该公司第一季度冰雪运动项目消费人数的统计表：年份20172018201920202021年份代号x12345消费人数y（单位：百人）6282106128152(1)若年份代号x与第一季度冰雪运动项目消费人数y（百人）具有线性相关关系，求出它们间的回归方程，并预估2022年第一季度冰雪运动项目消费的人数是多少？(2)某记者为调查北京冬奥会对冰雪运动项目运动的影响，随机调查了200人，其中80人是在冬奥会开幕前调查的，约有14的人已参加过冰雪运动项目，冬奥会开幕后调查的人数中已参加过冰雪运动项目与未参加的人数比为57，问有多大的把握认为参加冰雪运动项目与北京冬奥会的开幕有关？参考公式：221221(),,()()()()n i i i n i i x y nx y n ad bc b a y bx K a b c d a c b d xnx =-=-⋅-==-=++++-∑∑．参考数据：51530i i y ==∑，511816i i i x y ==∑，()2P K k ≥0.100.050.0250.01k2.7063.841 5.024 6.635【正确答案】(1)38.222.6y x =+，17380人．(2)有97.5%的把握认为参加冰雪运动项目与北京冬奥会的开幕有关．【分析】（1）根据最小二乘法求回归方程，并预计即可；（2）由条件列出二联表，由卡方公式计算即可.【详解】（1）因为552113,106,55,1816i i i i i x y x x y ======∑∑，则1222118165310622.65553n i ii n i i x y nx y b xnx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，10622.6338.2a =-⨯=，所以回归直线方程为38.222.6y x =+，当6x =时，38.222.66173.8y =+⨯=（百人）17380=（人）．即预估2022年第一季度冰雪运动项目消费的人数是17380人．（2）由题意可知开幕前参加过冰雪项目的有20人，未参加过的有60人，开幕后调查的有120人，其中参加过冰雪项目的有50人，未参加过的有70人，故可列出22⨯列联表：参加冰雪项目未参加冰雪项目合计冬奥会开幕前206080冬奥会开幕后5070120合计7013020022200(20706050) 5.861 5.0248012070130K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为参加冰雪运动项目与北京冬奥会的开幕有关．21．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆和椭圆C 在第一象限的交点为G ，若三角形12GF F 的面积为1，其内切圆的半径为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 是椭圆C 的上顶点，过点()2,1P -的直线与椭圆C 交于不同的两点,D E ，点D 在第二象限，直线AD AE 、分别与x 轴交于,M N ，求四边形DMEN 面积的最大值．【正确答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）根据三角形12GF F 的面积及内切圆的半径列出方程组求得,a b 得椭圆方程；（2）设直线DE 的方程与椭圆方程联立，()()1122,,,D x y E x y ，写出直线AD AE ，的方程求出M N，的坐标，并求出12y y -，N M x x -，将1212DMEN N M S x x y y =--表示为k 的函数，使用基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意知1290FGF ∠=︒，则1212121122GF F S GF GF GF GF ==⇒=△，又222212124GF GF F F c +==，则()2222221212244441GF GF GF GF c a c a c +-=⇒-=⇒-=，又12222222GF F S r a c a c a c ==-+=+-=-+ 内解得2,1a c b ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线DE 的方程为()()()112212,0,,,,y k x k D x y E x y -=+<联立方程组2221440y kx k x y =++⎧⎨+-=⎩，可得()()2221482116160+++++=k x k k x k k ，则()()121222821161Δ0,,1414k k k k x x x x k k -++>+=⋅=++，直线AD 的方程：1111y y x x -=+，所以111M x x y =-，同理221N x x y =-，()1122121221,21,y kx k y kx k y y k x x =++=++∴-=- ，()()()()()1221211222222N M x x x x x x k x k x k x x --=-=-+-+++，()()()()()22121212121212124122224DMENN M x x x x x x S x x y y x x x x x x -+-∴=--==+++++()2161616414144k k k k -==≤=+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，当且仅当12k =-时，四边形DMEN 的面积最大，最大值为4．关键点点睛：求四边形DMEN 的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，这是非常规四边形，使用的面积公式为1212DMEN N M S x x y y =--，为此计算12y y -，N M x x -代入转化为k 的函数求最大值.22．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝aex （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值．（2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点．①求a 的取值范围；②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0．【正确答案】（1）21a e =；（2）①10a e <<；②证明详见解析.【分析】（1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；（2）①由条件转化为y a =与ln 1x x y e +=有两个交点，利用函数的导数求解；②首先由已知条件22a e≥，转化为()22ln ln x x G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函数()22ln x x x e eF x x -=，利用导数证明()0F x <恒成立.【详解】（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，则切线方程为1y x =-设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，则0000011x x ae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；（2）①()ln xG x x x ae =-，0x >，()ln 1x G x x ae '=+-，当()0G x '=时，ln 1e xx a +=，若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1x x y e +=有两个交点，设()()ln 10xx h x x e +=>，()1ln 1xx x h x e --'=，设()1ln 1t x x x =--，()2110t x x x'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，并且()11h e=，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞，若y a =与()y h x =有两个交点时，10a e<<；②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2222ae a e ≥⇔≥，()22ln ln x x G x x x ae x x e e =-≤-，令()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e-==-⋅，()()222211212x x x e x x e e F x x x e x x e-⋅-'=-⋅=-⋅，显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增，当()0,1x ∈时，()()210F x F e<=-<，当1x >时，()()()2222111221x x e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭，令()221x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-，()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,∞+上单调递减，当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，综上所述，()()0G x F x ≤<，所以()0G x <.本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.。