福建省南安一中高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

福建省南安一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知全集U R =,集合{01,2,3,4,5}A =，,[2,)B =+∞,则图中阴影部分所表示的集合（ ）A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知函数()f x =4log ,03,0x x x x >⎧⎨≤⎩，则1[()]16f f =（ ）A ．19-B ． 19C ．9-D ． 93．若0.20.223,0.3,0.3a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．函数()()2lg 31f x x =+-的定义域是（ ）A ．(),1-∞-B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5. 设()2x f x e x =--，则函数()f x 的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)6. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是 （ ）A ．3y x =B ． 21y x =-+C ．2x y -=D ． 1y x =+ 7. 下列关于命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；B ．命题“(,0),23x xx ∃∈-∞< ”是真命题；C ． “2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；D ．若命题p ：,21000n ，则p ⌝：,21000n n N ∀∈≤ 8. x）9. 若函数()3f x x bx=-+在区间()0,1上单调递增，且方程()0f x =的根都在区间[]2,2-上， 则实数b的取值范围为 （ ）A.[]0,4B. []2,4C. []3,4D. [)3,+∞10. 已知函数)(x f y = 是定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点 )0,1(对称. 若对任意的R y x ∈, ，不等式 0)12()1(22≤-+-+-+x x f y x f 恒成立，224y x +的最小值是（ ） A 、3B 、2C 、1D 、0第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11. 如图，已知幂函数a y x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部分 的面积等于 .12. 曲线x y e x =+在点（0，1）处的切线方程为 .13. 已知奇函数()f x 满足(2)(),(0,1)f x f x x +=-∈且当时，()2f x x =， 则7()2f 的值为 .14. 若命题“,x R ∀∈2230ax ax --≤恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 15、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，),1()(-=-x e x f x 给出以下命题：①当x 0<时，)1()(+=x e x f x ； ②函数)(x f 有五个零点； ③对1221,,()()2x x R f x f x ∀∈-<恒成立.④若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-； 其中，正确命题的序号是 .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分13分）已知集合2{|60}A x x x =+-≥，2{|650}B x x x =-+<，{|12}C x m x m =-≤≤(Ⅰ)求A B ，()R C A B ； (Ⅱ)若B C C =，求实数m 的取值范围.17、（本小题满分13分）已知命题:p 实数x 满足12123x --≤-≤,命题:q 实数x 满足222(1)0x x m -+-≤(0)m >，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.18、（本小题满分13分）已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(I)求a 、b 的值；(II)若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值．19、（本小题满分13分）函数21)(xb ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）证明函数)(x f 在)1,1(-上是增函数； （Ⅲ）解不等式：0)()1(<+-t f t f .20、(本题满分14分）己知函数()ln 1f x x ax =-+在2x =处的切线斜率为12-. (I)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(II) 设()22x kx kg x x++=，对()()120,,,0x x ∀∈+∞∃∈-∞使得()()12f x g x ≤恒成 立，求正实数k 的取值范围；2ln n n ++<21、（本小题满分14分）(I)（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦有一个属于特征值1的特征向量21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， ①求矩阵A ；②已知矩阵1101B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(0,0)O ，(2,1)M -，(0,2)N ，求OMN ∆在矩阵AB 的对应变换作用下所得到的O M N '''∆的面积．(Ⅱ)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x t y t=-⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=.①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围.南安一中2013～2014学年度高二下学期期末考理科数学试卷答案及评分标准综上所述：m的取值范围是5 (,1)(2,)2 -∞-……………………13分17、解：由12123x--≤-≤,得210x-≤≤, …………………3分∴记{}{}||210A x p x x==-≤≤由22210(0)x x m m-+-≤>得11m x m-≤≤+，…………………6分记{}{}||11(0)B x q x m x m m==-≤≤+>∵q⌝是p⌝的充分不必要条件∴p是q的充分不必要条件,即p⇒q且q⇒/p, ∴A B，…………………8分要使A B，又0m>，则只需12110mmm>⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩…………………11分∴9m≥故所求实数m的取值范围是9m≥. …………………13分【另解】由12123x--≤-≤,得210x-≤≤, …………………3分∴记p⌝{}|210A x x x∈=<->或由22210(0)x x m m-+-≤>得11m x m-≤≤+，…………………6分记q⌝{}|11(0)B x x m x m m∈=<->+>或∵q⌝是p⌝的充分不必要条件∴p⌝⇒/q ⌝且q ⌝⇒p ⌝ ∴BA …………………8分∴要使BA ，则只需012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩…………………11分∴9m ≥故所求实数m 的取值范围是9m ≥. …………………13分 18. 解：(I)∵3()f x ax bx c =++∴'2()3f x ax b =+ ………………1分 又∵()f x 在2x =处取得极值16c -∴()()'20216f f c ==-且 ， 即1208216a b a b c c +=++=-且解得：1,12a b ==- ………………6分 (Ⅱ)由 (I)得：()312f x x x c =-+，'2()312f x x =-令'28分∴函数()f x 在2x =-处有极大值，且21628f c -=+=∴12c =，此时，()()()321,33,24f f f -===- ……………12分()[]()3,324f x f ∴-=-在上的最小值为 ………………13分 19. （Ⅰ）解：)(x f 是定义在（—1，1）上的奇函数，()00f b ∴==，又21)(1524112)21(x xx f a a f +=∴=∴=+=，，； …………4分 （Ⅱ）()221,1,110x x x ∈-∴<->，即，又()()()()2222222121'011x x xf x x x +--==>++∴函数()f x 在(1,1)-上是增函数； …………8分 另证：任取1121<<<-x x ，则222122111221122121222222211212()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +------=-==++++++ 21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 221221121211,0,(1)(1)0,11x x x x x x x x -<<<∴->++>-<<又∴122110,()()0x x f x f x ->∴->，∴函数()f x 在(1,1)-上是增函数； …………8分（Ⅲ）解：(1)()0,()f t f t f x -+<是奇函数，(1)()()f t f t f t ∴-<-=-()(1,1)f x -又在上是增函数，111,t t ∴-<-<-<解得10,2t << 1(0,)2即不等式解集为： …………13分20. 解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a=1． 于是11()1xf x x x-'=-=， 当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x)为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x)为减函数，即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g(x 2)成立， 只须()()max max f x g x ≤∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -，∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分（Ⅲ）要证明2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+(n∈N *，n ≥2)． 只须证22222ln 22ln32ln 21232(1)n n n n n --+++<+， 只须证2222222ln 2ln3ln 21232(1)n n n n n --+++<+． 由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x)为减函数， f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx ≤x-1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln 3ln 23n n +++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴ 2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+．………………………………………14分21、解：(1)解：①由已知得：21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21⎡⎤⎢⎥-⎣⎦211⎡⎤=⋅⎢⎥-⎣⎦，∴22221a b -=⎧⎨-=-⎩， 解得23a b =⎧⎨=⎩， 故2213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ……………3分 ②∵2213AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1101-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2012⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ……………4分∴2012⎡⎤⎢⎥⎣⎦00⎡⎤⎢⎥⎣⎦00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2012⎡⎤⎢⎥⎣⎦21⎡⎤⎢⎥-⎣⎦40⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2012⎡⎤⎢⎥⎣⎦02⎡⎤⎢⎥⎣⎦04⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……………6分 即点(0,0)O ，(2,1)M -，(0,2)N 变成点(0,0)O '，(4,0)M '，(0,4)N '∴O M N '''∆的面积为14482O M N S '''∆=⨯⨯= …………………7分 (2) 解：①直线l0y -+=. …………………2分曲线C 的直角坐标方程为：22430x y x +-+=【或22(2)1x y -+=】. ………………4分②曲线C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1； ∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为:022d +==…………………6分 所以点P 到直线l的距离的取值范围是[1,1]22-+ ………………7分。