数学---福建省泉州市南安一中2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)

2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．（5分）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值为（）A．8 B．2C．﹣2 D．﹣83．（5分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，导致推理错误的原因是（）A．推理形式错导致结论错B．小前提错导致结论错C．大前提错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错4．（5分）已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2xC．D．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥06．（5分）已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则=（）A．B．C．0 D．7．（5分）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（）A．B．C．D．8．（5分）若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，则（）A．a≤0 B．C．a≥0 D．9．（5分）已知，则f'（2）=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）四面体D﹣ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，二面角D﹣AC﹣B 的大小为60°，则四面体D﹣ABC的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足，则直线AB的斜率为（）A．B．C．±4 D．12．（5分）已知函数f（x）=（2a+1）e x﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．[﹣1，﹣）C．（﹣，0）D．[﹣，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）设，当n=2时，S（2）=．（温馨提示：只填式子，不用计算最终结果）14．（5分）刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中两人说对了．15．（5分）已知P，Q分别在曲线、（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|的取值范围．16．（5分）已知函数，若f（x）≥ax在R上恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17．（10分）函数（Ⅰ）若b=2，求函数f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围．18．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，过P作x轴的垂线段，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD中点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设，试判断（并说明理由）轨迹C上是否存在点Q，使得成立．19．（12分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BD上运动．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1P；（Ⅱ）若BP=1，设异面直线B1P与AC1所成的角为θ，求cosθ的值．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ABB1A1，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且ABAA1=60°，D为A1B1的中点．（Ⅰ）记平面BCD∩平面A1C1CA=l，在图中作出l，并说明画法（不用说明理由）；（Ⅱ）求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值．21．（12分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，2）上的极值；（Ⅱ）已知n∈N*且n≥2，求证：．参考答案一、选择题1．B【解析】∵复数z=1+i，∴==﹣=﹣2，故选：B．2．C【解析】椭圆的焦点（，0），双曲线的焦点：（±，0），双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，，解得m=﹣2．则m的值为：﹣2．故选：C．3．C【解析】该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论是：直线b∥直线a；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：C4．A【解析】双曲线C：的离心率为，可得=，即，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x．故选：A．5．D【解析】对于A，若p∨q为真命题，则p、q至少一个为真命题，不能确定p∧q为真命题，故错；对于B，若a＞0，b＞0⇒⇒，若a＜0，b＜0，⇒⇒，故错；对于C，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错；对于D，命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥0，正确；故选：D6．C【解析】∵函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，∴，∴==（﹣﹣x）+（）=（﹣）+（）=0．故选：C．7．D【解析】若M，A，B，C四点共面，则=a，（a+b+c=1），在A中，，不成立；在B中，1﹣，不成立；在C中，，不成立；在D中，，成立．故选：D．8．B【解析】若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，则f′（x）=3ax2+1≤0在[1，+∞）恒成立，即a≤﹣在[1，+∞）恒成立，而y=﹣在[1，+∞）递增，故x=1时，y的最小值是﹣，故a≤﹣，故选：B．9．A【解析】∵f′（x）=﹣+3f′（2），∴f′（2）=﹣+3f′（2），解得：f′（2）=，故选：A．10．C【解析】如图，∵面体D﹣ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，∴BD⊥平面ABC，取AC中点E，连结BE、DE，则BE⊥AC，∴DE⊥AC，∴∠BED是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∵二面角D﹣AC﹣B的大小为60°，∴∠BED=60°，∴∠BDE=30°，∵BE==，（2BE）2=BE2+BD2，解得BD=，∴四面体D﹣ABC的体积：V===．故选：C．11．D【解析】以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足，设BF=2m，由抛物线的定义知：AA1=3m，BB1=2m，∴△ABC中，AC=m，AB=5m，BC=m．k AB=±，故选：D．12．A【解答】解法一、函数f（x）=（2a+1）e x﹣a有且仅有两个零点，等价于方程（2a+1）e x=a有两个不等的实数根，当a=0时，不满足题意；当a≠0时，问题等价于直线y=与y=有两个交点，令g（x）=，则g′（x）=，所以当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；所以当x=0时，g（x）取得最大值1；又因为g（﹣）=0，当x＞﹣时，g（x）＞0，且当x→+∞时，g（x）→0，所以0＜＜1，解得﹣1＜a＜﹣．解法二、函数f（x）=（2a+1）e x﹣a有且仅有两个零点，等价于方程（2a+1）e x=a（*）有两个不等的实数根，当a=0时，不满足题意；当a≠0时，方程可化为=，（1）若x=﹣，则a=﹣，不合题意；（2）若x＞﹣，方程（*）可化为ln（）=ln（2x+1）﹣x，即2ln（）=ln（2x+1）﹣2x；令h（x）=ln（2x+1）﹣2x，（x＞﹣），则h′（x）=﹣2=；当﹣＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；所以当x=0时，h（x）取得最大值0，又当x→﹣时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，所以2ln（）＜0，所以0＜＜1，解得﹣1＜a＜﹣．故选：A．二、填空题13．【解析】根据题意，设，分析可得等式的右边各个式子分子为1，分母从n开始递增到n2为止，则当n=2时，S（2）=；故答案为：．14．乙丙【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．故答案为：乙、丙．15．[1，5]【解析】曲线是椭圆，右焦点坐标（1，0），（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标（1，0）半径为1，圆心与椭圆的右焦点坐标重合，由椭圆的性质可得，椭圆上的点到焦点的距离的范围是[2，4]，P，Q分别在曲线、（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|的取值范围：[1，5]．故答案为：[1，5]．16．[﹣4，1]【解析】∵，f（x）≥ax在R上恒成立，∴当x≤0时，x2﹣4x≥ax恒成立，x=0时，a∈R；①x＜0时，a≥（x﹣4）max，故a≥﹣4；②当x＞0时，f（x）≥ax恒成立，即e x﹣1≥ax恒成立，令g（x）=e x﹣1﹣ax（x＞0），则g（x）≥0（x＞0）恒成立，又g（0）=0，∴g（x）=e x﹣1﹣ax（x＞0）为（0，+∞）上的增函数，则g′（x）=e x﹣a≥0（x＞0），∴a≤（e x）min=e0=1；③由①②③知，﹣4≤a≤1，故答案为：[﹣4，1]．三、解答题17．解：（Ⅰ）若b=2，，，在f（x）的图象上，又f'（1）=1，故函数f（x）在点处的切线为，即．（Ⅱ）f（x）的定义域（0，+∞），．由题知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．方法一：即为x2﹣bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解．设，则h（x）≥2+1=3（当且仅当x=1时等号成立），∴b＞3．方法二：，对称轴当即b≤1时，u（x）在（0，+∞）上递增，则恒有u（x）＞u（0）=1＞0，不成立；当即b＞1时，△=（b﹣1）2﹣4＞0，解得b＞3；综上：b的取值范围为b＞3．18．解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），由于点M为线段的PD中点则即点P（x，2y）所以点P在圆x2+y2=4上，即x2+4y2=4，即．（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得成立．方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得．因为，，所以…①又Q（a，b）在上，所以…②联立①②解得，即存在或使得成立．方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为，焦点恰为，．假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得，即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，则必须满足c≥b，这显然成立，即轨迹C上存在点Q（a，b），使得．19．（Ⅰ）证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，正方形ABCD中，BD⊥AC，又P∈BD，则BP⊥AC，且BP∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1P．（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1）．若BP=1，所以，所以，．则，即cosθ的值为．20．解：（Ⅰ）方法一：延长BD与A1A交于F，连接CF交A1C1于点E，则直线CE（或CF）即为l．方法二：取A1C1中点E，连接ED，CE，则直线CE即为l．（Ⅱ）取AB的中点O，因为△ABC为等边三角形，则CO⊥AB，CO⊆平面ABC，底面ABC⊥侧面ABB1A1且交线为AB，所以CO⊥侧面ABB1A1．又侧面ABB1A1为菱形且，所以△AA1B为等边三角形，所以A1O⊥AB．以O为原点，分别以OA，OA1，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，，，，则A1C1中点．…（8分）设平面B1C1CB的一个法向量为=（x，y，z），，则，取y=1，得设直线l与平面B1C1CB所成角为α，则sinα=|cos＜，＞|===，即直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值为．21．解：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1•x2=﹣4a．（Ⅰ）由x2=4y有，则，则抛物线C在处的切线为，即…①同理抛物线C在处的切线为…②联立①②解得，代入①式解得，即P（2k，﹣a）．（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．由条件可知圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，则|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，|AD|•|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=，（或）即|AD|•|BE|为定值，定值为1．22．解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣a若a≤0，则在区间（0，2）上有f'（x）＞0恒成立，则f（x）在区间（0，2）上无极值；若a＞0，令f'（x）=0，则x=ln a，①当0＜ln a＜2，即1＜a＜e2时，当0＜x＜ln a时f'（x）＜0，2＞x＞ln a时f'（x）＞0，故此时f（x）在x=ln a取得极小值f（ln a）=a﹣a ln a﹣1．②当ln a≥2或ln a≤0，即a≥e2或0＜a≤1时，f（x）在区间（0，2）上无极值综上所述，当a∈（﹣∞，1]∪[e2，+∞）时f（x）在区间（0，2）上无极值；当1＜a＜e2时f（x）在区间（0，2）上有极小值f（ln a）=a﹣a ln a﹣1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）=e x﹣x﹣1在x=ln1=0处取得最小值0，即恒有f（x）=e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1．当x＞﹣1时，两边取对数可得，x≥ln（x+1）（当x=0时等号成立）令，则，即∴，故．。