2013年高考数学(理)二轮复习课件(人教A版)1.6三角函数的图象和性质

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已知函数图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常 用的解题方法是待定系数法，由图中的最 大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由 适合解析式的点的坐标来确定φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的 值不确定，解析式也就不唯一． • 将点的坐标代入解析式时，要注意选择的 点属于“五点法”中的哪一个点．“第一 点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．
三角函数y＝Asinωx＋φ的图象及解析式
• 常考查：①利用已给三角函数的图象特 点，求三角函数解析式；②函数y＝ Asin(ωx＋φ)的图象变换．考查学生三角函 数基础知识的掌握情况．
【例 2】► (2012· 惠州二模)已知 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) π (A＞0，ω＞0，|φ|＜2， x∈R)的图象的一部分如 图所示．则函数 f(x)的解析式为________． [审题视点] 观察图象， 由周期确定 ω， 由特殊点的坐标确定 φ. [听课记录]
π y＝f(x)的图象经过点4，0，求函数 3π f(x)在区间0， 5 上 1 ω∈2，1.
的取值范围． [审题视点] 对于第(1)问的求解主要是根据函数性质和三角函 数的定义进行合一化简求最小正周期； 对于第(2)问的求解则要 对三角函数在定义域内求值域． [听课记录]
1 ω∈2，1，k∈Z，所以
5 k＝1，故 ω＝ . 6
6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 .
(2)由 即
π π y＝f(x)的图象过点4，0，得 f4＝0，
5 π π π λ＝－2sin6×2－6＝－2sin4＝－
2，
即 λ＝－ 2. 故
中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．
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• 必备方法 1．三角函数中常用的转化思想及方法技 巧： (1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二； (2)“1”的替换：sin2α＋cos2α＝1； (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切．
2．(2012· 湖南)函数 f(x)＝sin
π x－cosx＋6的值域为
( A．[－2,2] B. － 3， 3

)．
C．[－1,1]
D.－
3 3 ，2 2
3 1 答案：B [因为 f(x)＝sin x－ 2 cos x＋2sin x＝
必考问题6 三角函数的图象 和性质
1．(2011· 新课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的 正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝ ( 4 A．－5 3 B．－5 3 C.5 4 D.5 )．
cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 答案： [由题意知， θ＝2， 2θ＝ 2 B tan cos ＝ cos θ＋sin2θ 1＋tan2θ 3 ＝－5.]
(
π A．f(x)在0，2单调递减 π C．f(x)在0，2单调递增 π 3π B．f(x)在4， 4 单调递减 π 3π D．f(x)在4， 4 单调递增
)．
答案：A [f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝
π 2sinωx＋φ＋4.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的问题： π 3π (1)“五点法”画图：分别令ωx＋φ＝0、 、π、 、2π，求出 2 2 五个特殊点； (2)给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求函数表达式时，比较 难求的是φ，一般从“五点法”中取靠y轴较近的已知点代入 突破； π (3)求对称轴方程：令ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，求对称中心：令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)． π π (4)求单调区间：分别令2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z)， π 3π 2kπ＋2≤ωx＋φ≤2kπ＋ 2 (k∈Z)，同时注意A、ω符号．
T 7π π π 答案：A [由图象可知， 4 ＝12－3＝4，∴T＝π， 2π π ∴ω＝ π ＝2，再由 2×3＋φ＝π.
π π 得 φ＝3，所以 f(x)＝sin2x＋3，
故只需将
π π f(x)＝sin2x＋6向右平移 个单位， 6
ห้องสมุดไป่ตู้
得到 g(x)＝sin 2x.]
1 x＝2 sin 2 π 3 x－ cos x＝2sinx－3的最 2
π π 5π 大值为 2，又 0≤x＜2π，故当 x－3＝2，即 x＝ 6 时，y 取得最 大值． 答案 5π 6
• 1．对三角函数图象的考查主要表现在以 下三个方面：(1)利用“五点法”作出图象； (2)图象变换；(3)由三角函数的图象(部分) 确定三角函数的解析式． • 2．三角函数的性质是高考的一个重点， 它既有直接考查的客观题，也有综合考查 的主观题．常通过三角变换，将其转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质(定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)． • 3．三角函数的图象和性质经常与向量综
由最小正周期为 π 得，ω＝2，又由 f(－x)＝f(x)可知 f(x)为偶函
π π π 数，|φ|< 可知 φ＝ ，所以 f(x)＝ 2cos 2x 在0，2单调递减．] 2 4
4．(2012· 全国)当函数 y＝sin x－ 3cos x(0≤x＜2π)取得最大值时， x＝________. 解析 y＝sin x－ 3cos
三角函数的性质 三角函数的单调区间：y＝sin x 递增区间是
π π 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z)， 2 2 π 3π 递减区间是2kπ＋2，2kπ＋ 2 (k∈Z)；
y＝cos x的递增区间是2kπ－π，2kπ(k∈Z)， 递减区间是2kπ，2kπ＋π(k∈Z)； y＝tan
必 备 知 识 方 法
• 必备知识 • 同角三角函数间的关系、诱导公式在三角 函数式的化简中起着举足轻重的作用，应 注意正确选择公式、注意公式应用的条 件．
五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的简图：五点取法是设X＝ωx＋φ， π 3π 由X取0、 、π、 、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点 2 2 作图．
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A＞0，ω＞0)最大值是A＋B， 2π ω 最小值是B－A，周期是T＝ ω ，频率是f＝ 2π ，相位是ωx＋ π φ，初相是φ；其图象的对称轴是直线ωx＋φ＝kπ＋ (k∈ 2 Z)，凡是该图象与直线y＝B的交点都是该图象的对称中 心．
由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途 径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．利用 图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移 也经常出现．无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变 化”多少．
π π x的递增区间是kπ－2，kπ＋2(k∈Z)．



π (2)对称轴与对称中心：y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋ ，对称中 2 心为(kπ，0)k∈Z，y＝cos x的对称轴为x＝kπ，对称中心为
π kπ＋ ，0；对于y＝asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)来说，对称 2
3 4 解 由三角函数定义，得 cos α＝－5，sin α＝5， 2sin αcos α＋2cos2 α 2cos αsin α＋cos α ∴原式＝ ＝ sin α sin α＋cos α 1＋cos α cos α ＝2cos
2
3 18 － 2 ＝ . α＝2× 5 25
5 π f(x)＝2sin3x－6－
• 由于本部分高考试题的难度不大，经过 一轮复习的学生已经达到了高考的要求， 二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强 化，在复习中注意如下几点： • (1)该专题具有基础性和工具性，虽然没 有什么大的难点问题，但包含的内容非常 广泛，概念、公式很多，不少地方容易混 淆，在复习时要根据知识网络对知识进行 梳理，系统掌握其知识体系． • (2)抓住考查的主要题型进行训练，根据 三角函数的图象求函数解析式或者求函数
[审题视点] 先求 tan α，再将所求三角函数式分子分母同除 cos α 化成切的式子． [听课记录]
答案：C
1 1 cos 2α [由 tan(π－α)＝－ 得，tan α＝ ， ＝ 3 3 2sin αcos α＋cos2 α
1 cos2 α－sin2 α 1－tan2 α 1－9 8 ＝ ＝ .] 2 ＝ 2 15 2sin αcos α＋cos α 2tan α＋1 ＋1 3
热 点 命 题 角 度
• 基本关系的应用 • 常考查利用三角函数的定义、诱导公式 及同角三角函数的关系进行化简、求 值．主要以小题形式考查，在综合性问题 第(1)问中也经常涉及到三角函数的化简、 求值，多为基础问题．
1 【例 1】► (2012· 山东莱芜检测)若 tan(π－α)＝－3，则 cos 2α 的值为 2sin αcos α＋cos2 α ( 8 A．－ 3 8 B. 5 8 C. 15 8 D．－ 7 )．
解
(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin ωx· ωx＋λ＝－cos cos
π 2ωx＋λ＝2sin2ωx－6＋λ. π sin2ωπ－6＝± 1，
2ωx＋ 3sin
由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
k 1 π π 所以 2ωπ－ ＝kπ＋ (k∈Z)，即 ω＝ ＋ (k∈Z)． 6 2 2 3 又
• 在三角函数求值类试题中，一般是 先化简题目的已知条件或是目标式，把已 知和求解之间的关系明朗化后，再选择解 决问题的方法．
【突破训练1】 如图，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位
3 4 圆相交于点P，已知点P的坐标为－5，5.