数学人教A版必修4课时分层作业10 正弦、余弦函数的单调性与最值

课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π2上为减函数的是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2
D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2
A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π2上是
减函数．]
2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
C [由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]
3．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π
6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0 D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5
6π，k ∈Z ， 又－π≤x ≤0，∴－π
6≤x ≤0，故选D.]
4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，32 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
2，32.]
5．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6的最大值为( )
A.6
5 B ．1 C.35
D.15
A [f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x
＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
π2－⎝
⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤6
5，
故函数f (x )的最大值为65.] 二、填空题
6．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大顺序排列为 ． cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]
7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为 ．
3 [∵0≤x ≤π， ∴π6≤3x ＋π6≤19π
6.
由题可知3x ＋π6＝π2，或3x ＋π6＝3π2，或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，或4π9，或7π
9，故有3个零点．]
8．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4对任意的实
数x 都成立，则ω的最小值为 ．
23 [因为f (x )≤
f
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4取最大值，所以π4ω－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，因为ω＞0，所以当k ＝0时，ω取最小值为23.]
三、解答题
9．求下列函数的最大值和最小值． (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，5π6.
[解] (1)当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，
2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，5π6，由函数图象(略)知，
f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.
(2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1
＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫sin x ＋122
＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，5π6，∴12≤sin x ≤1.
当sin x ＝1时，y max ＝5； 当sin x ＝12时，y min ＝52.
1．同时具有性质：
①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π3上是增函数．
这样的一个函数可以为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋π6
B ．y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2－π6
C [在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，由①T ＝π可知ω＝2，排除A 、
D ，又由②关于x ＝π3对称，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，B ，C 均符合，由③在⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
－π6，π3上是增函数，在B 中，0≤2x ＋π3≤π，y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上单减，在C 中，
－π2≤2x －π6≤π2，y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上单增，故C 项正确．] 2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最
小值等于( )
A.2
3 B.32 C ．2
D ．3
B [由于函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π4上的最小值为－2，
∴ω·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3≤－π2或ω·
π4≥3π2， 求得ω≥32或ω≥6，∴ω≥3
2， 故ωmin ＝3
2.]
3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是 ．
4π3 [因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和1
2. 不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sin π6＝sin 5π6＝sin 13π6＝12，sin 3π
2＝－1， 结合图象(略)可知(b －a )min ＝3π2－5π6＝2π3，(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π
3.] 4．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的最小正周期为 ；若x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的单
调递增区间为 ．
2π3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π18，π2 [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋π6的最小正周期为2π3. 令2k π－π≤3x ＋π6≤2k π，求得2k π3－7π18≤x ≤2k π3－π18， 可得函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2k π3－7π18，2k π3－π18，k ∈Z .
再根据x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5π18，π2.]
5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．
[解] (1)最小正周期T ＝2π
2＝π， 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8(k ∈Z )，
∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π
4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22＝－1，
∴当t ＝π2，即x ＝3π
8时，y max ＝2×1＝ 2.
由Ruize收集整理。

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